黃浦區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考2025.6一、填空題（本大題滿分36分）本大題共有12題．

1．函數(shù)的最小正周期是．

2．若角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸質(zhì)合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角的正弦值為．

3．若（i為虛數(shù)單位），則．

4．已知向量，若，則等于．

5．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，．若成等比數(shù)列，則．

6．滿足的角的集合為．

7．若，則的值為．

8．已知，則與的夾夾為．

9．若，則．

10．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則．

11．將面積為的正三角形（其內(nèi)部為灰色）的三條邊的中點(diǎn)兩兩相連，并將這三條線段所圍成的三角形區(qū)域設(shè)置為白色，得到圖①；將圖①中的內(nèi)部為灰色的小三角形都重復(fù)上述操作，得到圖②：依此類推，可得圖③，圖④，．設(shè)從左到右第個(gè)圖形中的白色三角形區(qū)域的總面積為，則滿足的的最小值為．

12．在中，，若點(diǎn)滿足，則的正切值為．二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題4分．

13．已知，則角的終邊在（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

14．設(shè)是某平面內(nèi)所有向量所組成的集合，則下列命題中真命題是（）．

A．若，則 B．若且，則C．若，則 D．若，則

15．已知，且，則（i為虛數(shù)單位）的最大值為（）．

A．B．C．D．

16．若函數(shù)滿足：對(duì)于集合內(nèi)的任意，都存在，使得，則稱函數(shù)在上具有性質(zhì)．對(duì)于命題：（1）若函數(shù)在上具有性質(zhì)，則的取值范圍是；（2）函數(shù)在上具有性質(zhì)，則的取值范圍是或或．下列判斷正確的是（）．

A．（1）和（2）均為真命題B．（1）為真命題，（2）為假命題C．（1）為假命題，（2）為真命題D．（1）和（2）均為假命題

三、解答題（本大題滿分48分）本大題共有5題．

17．（本題滿分8分）本題共2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分．

已知．

（1）求的值；（2）求的值．

18．（本題滿分8分）本題共2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分．設(shè)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)作，垂足為，求的坐標(biāo)．19．（本題滿分10分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分．

已知關(guān)于的方程．

（1）若（i為虛數(shù)單位）是該方程的一個(gè)根，求與的值；

（2）已知是該方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，且，若，求的值．

20．（本題滿分10分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分．

某公園擬在一塊扇形空地上建造一個(gè)四邊形花卉園，若已知扇形的圓心角（即）為，半徑，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，是弧上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形是矩形或以、為底的梯形．

（1）若四邊形是矩形，試求的正弦值；

（2）設(shè)四邊形的面積為（單位：），的中點(diǎn)為．試從與中選擇一個(gè)角并設(shè)其大小為，寫出隨變化的函數(shù)表達(dá)式，并求的最大值．

21．（本題滿分12分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分4分．設(shè)數(shù)列同時(shí)滿足以下條件：①中的任意一項(xiàng)；②為減數(shù)列；③的所有項(xiàng)的和為．記所有這樣的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為．例如：當(dāng)時(shí)，所有的不同數(shù)列為：10,1與．從而．

（1）求；

（2）若是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求；

（3）若，則與之間有何關(guān)系？請(qǐng)求出的通項(xiàng)公式．

黃浦區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考2025.6一、填空題（本大題滿分36分）本大題共有12題．

1．函數(shù)的最小正周期是．

【答案】2．若角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸質(zhì)合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角的正弦值為．

【答案】3．若（i為虛數(shù)單位），則．

【答案】4．已知向量，若，則等于．

【答案】5．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，．若成等比數(shù)列，則．

【答案】6．滿足的角的集合為．

【答案】7．若，則的值為．

【答案】8．已知，則與的夾夾為．

【答案】9．若，則．

【答案】10．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則．

【答案】11．將面積為的正三角形（其內(nèi)部為灰色）的三條邊的中點(diǎn)兩兩相連，并將這三條線段所圍成的三角形區(qū)域設(shè)置為白色，得到圖①；將圖①中的內(nèi)部為灰色的小三角形都重復(fù)上述操作，得到圖②：依此類推，可得圖③，圖④，．設(shè)從左到右第個(gè)圖形中的白色三角形區(qū)域的總面積為，則滿足的的最小值為．【答案】12．在中，，若點(diǎn)滿足，則的正切值為．【答案】二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題4分．

13．已知，則角的終邊在（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】C14．設(shè)是某平面內(nèi)所有向量所組成的集合，則下列命題中真命題是（）．

A．若，則 B．若且，則C．若，則 D．若，則

【答案】D15．已知，且，則（i為虛數(shù)單位）的最大值為（）．

A．B．C．D．

【答案】A16．若函數(shù)滿足：對(duì)于集合內(nèi)的任意，都存在，使得，則稱函數(shù)在上具有性質(zhì)．對(duì)于命題：（1）若函數(shù)在上具有性質(zhì)，則的取值范圍是；（2）函數(shù)在上具有性質(zhì)，則的取值范圍是或或．下列判斷正確的是（）．

A．（1）和（2）均為真命題B．（1）為真命題，（2）為假命題C．（1）為假命題，（2）為真命題D．（1）和（2）均為假命題

【答案】B三、解答題（本大題滿分48分）本大題共有5題．

17．（本題滿分8分）本題共2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分．

已知．

（1）求的值；（2）求的值．

【答案】（1）（2）【解析】（1）∵，2分

∴，4分

（2）由，6分

∴．8分18．（本題滿分8分）本題共2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分．設(shè)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)作，垂足為，求的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】（1）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，由，2分

可得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．4分

法二：由，可知，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．4分（2）設(shè)，則，由，可知，所以，解得，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

另法：∵是在方向上的投影，，

∴．．．．．．．．．．．．8分

19．（本題滿分10分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分．

已知關(guān)于的方程．

（1）若（i為虛數(shù)單位）是該方程的一個(gè)根，求與的值；

（2）已知是該方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，且，若，求的值．

【答案】（1）（2）1或【解析】（1）由是的一個(gè)根，可知是該方程的另一根．

所以．．．．．．．．2分

另法：由是的一個(gè)根，可知，即，．．．．．．．2分

所以且，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）由是該方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，可知，當(dāng)，即時(shí)，有，解得或3，故此時(shí)的值為1．．．．．．．．7分當(dāng)，即或時(shí)，有，解得，故此時(shí)的值為．所以的值為1或．．．．．．．．10分

法二：若都是實(shí)數(shù)，則且，可得．若都是虛數(shù)，則且可得．

所以的值為1或．．．．．．．．10分20．（本題滿分10分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分．

某公園擬在一塊扇形空地上建造一個(gè)四邊形花卉園，若已知扇形的圓心角（即）為，半徑，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，是弧上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形是矩形或以、為底的梯形．

（1）若四邊形是矩形，試求的正弦值；

（2）設(shè)四邊形的面積為（單位：），的中點(diǎn)為．試從與中選擇一個(gè)角并設(shè)其大小為，寫出隨變化的函數(shù)表達(dá)式，并求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】（1）在圖①中，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，連，它與交于，則有，由，可知，又是等腰直角三角形，故．又，2分為銳角，故，所以．．．．．．．4分

法二：，．．．．．．．．2分在中，由，可得．．．．．．．．．4分

法三：在中，由，可得，

又是銳角，故，所以．．．．．．．．4分

法四：先求出，又，可得．

（2）在圖②中，設(shè)與交于，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，同（1）可知．

設(shè)，則，，所以.

．．．．．．．．7分令，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

故的最大值為．．．．．．．．．10分

法二：設(shè)，則同上述解法可得，

又，故.．．．．．．．．．8分又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故的最大值為．.．．．．．．．．．10分21．（本題滿分12分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分4分．設(shè)數(shù)列同時(shí)滿足以下條件：①中的任意一項(xiàng)；②為減數(shù)列；③的所有項(xiàng)的和為．記所有這樣的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為．例如：當(dāng)時(shí)，所有的不同數(shù)列為：10,1與．從而．

（1）求；

（2）若是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求；

（3）若，則與之間有何關(guān)系？請(qǐng)求出的通項(xiàng)公式．【答案】（1），（2）（3），【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可以含有2個(gè)10,1個(gè)10和0個(gè)10，故所有不同的共有3個(gè)，即；.．．．．．．．．．2分

當(dāng)時(shí)，除了數(shù)列100,1之外，可以含有10個(gè)個(gè)個(gè)10，共有11種不同情形，故所有不同的共有12個(gè)，即．.．．．．．．．．．4分

（2）由是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，可知，

又，，..．．．．．．．．．．．6分，

所以．.．．．．．．．