1.利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)5.2三角函數(shù)的概念知識點1

三角函數(shù)的概念知識清單破5.2.1

三角函數(shù)的概念前提設(shè)α是一個任意角,α∈R,它的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊OP與圓心為坐標(biāo)原點的單位圓交于點P(x,y)正弦函數(shù)點P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù),記作sinα,即y=sinα余弦函數(shù)點P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù),記作cosα,即x=cosα正切函數(shù)點P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值

叫做α的正切,記作tanα,即

=tanα(x≠0),以此比值為函數(shù)值的函數(shù)叫做α的正切函數(shù)2.利用角終邊上任一點的坐標(biāo)定義三角函數(shù)如圖,α為一個任意角,其始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,在角α的終邊上任取一點P(異于原點

O),其坐標(biāo)為(x,y),且OP=r=

,則sinα=

,cosα=

,tanα=

(x≠0).三角函數(shù)解析式定義域正弦函數(shù)y=sinxR余弦函數(shù)y=cosxR正切函數(shù)y=tanx

3.三角函數(shù)及其定義域

三角函數(shù)值在各象限的符號如圖,第一象限各三角函數(shù)值均為正,第二象限只有正弦值為正,第三象限只有正切值為

正,第四象限只有余弦值為正.

記憶口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦.知識點2

公式一

其中k∈Z.知識點3

特殊角的三角函數(shù)值知識點4α0

π

sinα0

1

0-1cosα1

0-

-

-

-10tanα0

1

—-

-1-

0—知識辨析1.角α的三角函數(shù)值的大小與點P在角α終邊上的位置是否有關(guān)?2.兩角的同一三角函數(shù)值相等時,兩角是否一定為終邊相同的角?3.已知α是三角形的內(nèi)角,能否確定sinα、cosα、tanα的符號?一語破的1.無關(guān).只與角α終邊的位置有關(guān).2.不一定.比如α=

,β=

,sinα=sinβ=

,但α與β并不是終邊相同的角.3.能確定sinα>0,但cosα、tanα的符號不能確定.定點1利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值關(guān)鍵能力定點破

利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值有以下幾種情況(單位圓的圓心為原點O):(1)若已知角α的大小,則只需確定出角α的終邊與單位圓的交點坐標(biāo),即可求出各三角函數(shù)值.(2)若已知角α終邊上一點P(x,y)(x≠0)是單位圓上一點,則sinα=y,cosα=x,tanα=

.(3)若已知角α終邊上一點P(x,y)(x≠0)不是單位圓上一點,則先求r=

,再求sinα=

,cosα=

,tanα=

.當(dāng)角α的終邊上點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時,要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論.(4)若角的終邊在一條經(jīng)過原點的直線上,則選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)表示直線上的點,參數(shù)取不同的

符號確定兩條射線,再利用三角函數(shù)的定義求解.典例(1)已知O為坐標(biāo)原點,角θ終邊上有一點P(x,3)(x≠0),且cosθ=

x,求sinθ,tanθ的值;(2)已知O為坐標(biāo)原點,角α的終邊落在直線y=-2x上,求2sinα+3cosα的值.解析

(1)由題意知r=OP=

,由三角函數(shù)的定義得cosθ=

=

.因為cosθ=

x,所以

=

x,解得x=0或x=±1.又因為x≠0,所以x=±1.當(dāng)x=1時,P(1,3),此時sinθ=

=

,tanθ=

=3.當(dāng)x=-1時,P(-1,3),此時sinθ=

=

,tanθ=

=-3.(2)設(shè)P(x,-2x)(x≠0)是直線y=-2x上任意一點,則r=OP=

=

|x|,當(dāng)x>0時,r=

x,因此sinα=

=-

,cosα=

=

,∴2sinα+3cosα=-

+

=-

.當(dāng)x<0時,r=-

x,因此sinα=

=

,cosα=

=-

,∴2sinα+3cosα=

-

=

.綜上,2sinα+3cosα=±

.

判斷三角函數(shù)值在各象限的符號

判斷三角函數(shù)值在各象限的符號的關(guān)鍵(1)準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限;(2)準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)值在各象限的符號.定點2典例(1)若α是第四象限角,則點P

在

象限;(2)若sinθtanθ>0,且cosθtanθ<0,則sinθcosθ的符號為

(填“正”或“負(fù)”).解析

(1)因為α是第四象限角,所以2kπ-

<α<2kπ,k∈Z,則kπ-

<

<kπ,k∈Z.當(dāng)k=2n+1,n∈Z時,2nπ+

π<

<2nπ+π,n∈Z,所以

是第二象限角,第三或第四負(fù)則cos

<0,tan

<0,所以點P在第三象限;當(dāng)k=2n,n∈Z時,2nπ-

<

<2nπ,n∈Z,所以

是第四象限角,則cos

>0,tan

<0,所以點P在第四象限.綜上可得,點P在第三或第四象限.(2)由sinθtanθ>0,知sinθ與tanθ同號,故θ是第一或第四象限角,由cosθtanθ<0,知cosθ與tanθ

異號,故θ是第三或第四象限角.綜上可知,θ是第四象限角,所以sinθ<0,cosθ>0,所以sinθcosθ<0.

公式一的應(yīng)用?利用公式一化簡求值的步驟(1)定形:將已知的任意角寫成2kπ+α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z.(2)轉(zhuǎn)化:根據(jù)公式一,轉(zhuǎn)化為求角α的某個三角函數(shù)值.(3)求值:若角α為特殊角,則可直接求出該角的三角函數(shù)值,需熟記特殊角的三角函數(shù)值,見知

識點4.定點3典例計算:(1)sin(-1740°)cos1470°+cos(-660°)sin750°+tan(-315°);(2)a2sin(-1350°)+b2tan405°-(a-b)2·tan765°-2abcos(-1080°).解析

(1)原式=sin(60°-5×360°)cos(30°+4×360°)+cos(60°-2×360°)sin(30°+2×360°)+tan(45°-360°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°+tan45°=

×

+

×

+1=2.(2)原式=a2sin(-4×360°+90°