2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之銳角三

角函數(shù)

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?盤龍區(qū)一模）如圖，在△ABC中，若/B=90°,tanC=V^，BC=3,則AB的值估計(jì)在（）

A.3到4之間B.4到5之間C.5到6之間D.6到7之間

2.（2025?濱海新區(qū)二模）2cos60°-1的值等于（）

A.-1B.0C.1D.V2

3.（2025?西山區(qū)校級(jí)模擬）在RtZXABC中，NC=90°,A2=10,AC=6,則sinA=（）

4334

A.—B.-C.一D.—

5543

4.（2025?西青區(qū)二模）3tan30°-sin60°的值等于（）

5V3V3

A.-----B.—C.1D.0

22

i

5.（2024秋?譙城區(qū)期末）在RtZkABC中，ZC=90°,tanA=J,AC=6,則3C的長(zhǎng)為（）

A.3B.6C.9D.12

6.（2024秋?襄都區(qū)期末）在△ABC中，ZC=90°,設(shè)NA,ZB,NC所對(duì)的邊分別為〃，b,c,若b=

??,則“?”表示（）

A.sinAB.sinBC.cosBD.tanA

7.（2024秋?邯鄲期末）在△ABC中，ZA,都是銳角，且sizM=孚，cosB=*,則△ABC的形狀是

（）

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.銳角三角形

D.銳角三角形或鈍角三角形

填空題（共5小題）

8.（2024秋?埔橋區(qū)期末）若a是銳角，且s譏（a+15。）=苧，則銳角a的度數(shù)為.

9.（2024秋?桐柏縣期末）4cos230°+2sin30°-2tan45°=.

10.（2024秋?滁州期末）在RtA4BC中，ZC=90°,tanA='，則cosA的值為.

q

n.（2025?鄭城縣模擬）有6個(gè)大小相同的小正方形，恰好如圖放置在AABC中，則tanB的值等

于.

12.（2024秋?西峽縣期末）（it-5）o+tan6O°-2sin30°+|-3|=.

三.解答題（共3小題）

13.（2024秋?肥鄉(xiāng)區(qū)期末）計(jì)算:

（1）4sin60°,tan30o-6cos245°.

（2）|-1|+2sE30。+（兀-3.14）°+

14.（2025?新?lián)釁^(qū)模擬）計(jì)算：

（1）2sin30°+cos60°-tan60°etan30°+cos2450；

（2）sin600-cos30°+孝cos45?！獆cos60°+tan45°.

15.（2025?紅橋區(qū)模擬）如圖，在RtA4BC中，ZA=90°,AB=3,BC=5,求sinB,cos—tanB的值.

BC

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之銳角三

角函數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號(hào)1234567

答案BBABABC

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?盤龍區(qū)一模）如圖，在△ABC中，若/8=90°,tanC=VLBC=3,則42的值估計(jì)在（）

A.3到4之間B.4到5之間C.5到6之間D.6到7之間

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；估算無理數(shù)的大小；勾股定理.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】先利用正切的定義計(jì)算出AB=3V2,再利用無理數(shù)的估算方法得到4<3V2<5,然后對(duì)各選

項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：；】B=90°,

tanC=需=V2,

：.AB=回C=3/,

V3V2=V18,

而16<18<25,

.,.4<V18<5,

即4<3V2<5,

.".AB的值估計(jì)在4到5之間.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確理解正切的定義是解決問題的關(guān)鍵.也考查了無理數(shù)的

估算.

2.（2025?濱海新區(qū)二模）2cos60°-1的值等于（）

A.-1B.0C.1D.V2

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】把60。的余弦值代入計(jì)算即可.

1

【解答】解：2cos60°-l=2x^-l=0,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

3.(2025?西山區(qū)校級(jí)模擬)在RtZXABC中，ZC=9Q°，AB=10,AC=6,則sinA=()

4334

A.-B.-C.一D.-

5543

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】由勾股定理求出BC=8,由銳角的正弦定義即可求出sinA的值.

【解答】解：VZC=90°,AB=10,AC=6,

：.BC=y/AB2-AC2=8,

.人BC84

sinA=^=10=5-

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握銳角的正弦定義.

4.（2025?西青區(qū)二模）3tan30°-sin60°的值等于（）

5V3B.立

A.-----C.1D.0

22

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】把30°的正切值、60°的正弦值代入計(jì)算即可.

【解答】解：3tan30°-sin60°

=3x比-遮

"32

=7

_V3

=a’

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

1

5.（2024秋?譙城區(qū)期末）在中，ZC=90°,tanA=AC=6,則BC的長(zhǎng)為（）

A.3B.6C.9D.12

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】先根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示，在Rt^ABC中，由N4正切的定義位加4=鄉(xiāng)綏，數(shù)形

LA鄰邊

1RC

結(jié)合得到一=一，即可得到答案.

26

【解答】解：根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示：

解得BC=3,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正切定義求邊長(zhǎng)，熟記正切定義是解決問題的關(guān)鍵.

6.（2024秋?襄都區(qū)期末）在△ABC中，ZC=90°,設(shè)/A,NB,/C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若b=

c4,則“?”表示（）

A.siMB.sinBC.cosBD.tanA

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，即可解決問題.

【解答】解：ABC中，ZC=90°,NA、ZB./C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

C-------------------B

??〃=csinAf

b~~csinB,

〃=ccos3,

4i=/?tanA,

觀察四個(gè)選項(xiàng)，B選項(xiàng)符合題意，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的定義.熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

7.(2024秋?邯鄲期末)在△ABC中，ZA,N8都是銳角，且sMA=亨，cosB=*,則△ABC的形狀是

()

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.銳角三角形

D.銳角三角形或鈍角三角形

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出/A,的度數(shù)，進(jìn)而得出答案.

【解答】M：sinA=cosB—孝,

AZA=60°,ZB=45°,

.-.ZC=75°,

，△ABC的形狀是銳角三角形.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

8.（2024秋?埔橋區(qū)期末）若a是銳角，且sM（a+15。）=苧，則銳角a的度數(shù)為45°.

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】450.

【分析】先根據(jù)60°的正弦值得到a+15°=60°,然后解方程得到銳角a的度數(shù).

【解答】解：；a是銳角,且s譏（a+15。）=亭，

：.a+15°=60°,

解得a=45°,

即銳角a的度數(shù)為45°.

故答案為：45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：記住特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵.

9.（2024秋?桐柏縣期末）4cos?30°+2sin30°-2tan45°=2.

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】2.

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可求解.

【解答】解：4cos?30°+2sin30°-2tan45°

=4X（—）2+2X4-2X1

22

=3+1-2

=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值混合運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

■a4

10.（2024秋?滁州期末）在中，NC=90°,tanA=則cosA的值為一.

【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)的關(guān)系.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

4

【答案】--

【分析】由tcmA=第=4，可設(shè)BC=3a,則AC=4a,由勾股定理得=yJAC2+BC2,求出AB的

值，根據(jù)cos4=帶可求結(jié)果.

【解答】解：由條件可設(shè)BC=3a,則AC=4〃,

由勾股定理得4B=y/AC2+BC2=5a,

..AC4a4

?""4=通=玄=寧

4

故答案為：-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，正切、余弦值.解題的關(guān)鍵在于求出三邊的數(shù)量關(guān)系.

1

11.（2025?知城縣模擬）有6個(gè)大小相同的小正方形，恰好如圖放置在△ABC中，則tanB的值等于

2-

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；平行線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】

【分析】先將圖形補(bǔ)全，依題意可得依〃3C,EH=1,FH=2,進(jìn)而得tanB=tan/EF7/=需,即可求

出答案；

【解答】解：如圖，

依題意得：FH//BC,EH=1,FH=2,

；./B=NEFH,

FH1

tanB=tanZEFH=麗=才

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)和正切函數(shù)

的定義.

12.(2024秋?西峽縣期末)(TT-5)o+tan6O°-2sin30°+|-3|=_V3+3_.

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)累.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】V3+3.

【分析】先計(jì)算出特殊角的三角函數(shù)值和零指數(shù)幕，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【解答】解：原式=1+V3—2x2+3

=1+^3—1+3

=V3+3.

故答案為：V3+3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)嘉，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

三.解答題(共3小題)

13.(2024秋?肥鄉(xiāng)區(qū)期末)計(jì)算：

(1)4sin60°,tan30°-6cos245°.

i

(2)|-11+2s譏30。+(7r—3.14)。+(2)?.

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)累；負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉.

【專題】實(shí)數(shù)；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】⑴-1；

(2)7.

【分析】(1)先代入特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算即可；

(2)先計(jì)算絕對(duì)值，代入特殊角的三角函數(shù)值，計(jì)算零次基，負(fù)整數(shù)指數(shù)事，再計(jì)算即可.

【解答】解：⑴原式=4x字x字一6X(￥)2

=2-6xa

=2-3

=-1；

1

(2)原式=1+2義2+1+4

=7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是含特殊角的混合運(yùn)算，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

14.(2025?新?lián)釁^(qū)模擬)計(jì)算:

(1)2sin30°+cos60°-tan60°*tan30o+cos245°；

/2i

(2)sm60°?cos30°+芋cos45°—cos600+tan450.

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力.

【答案】(1)1;

(2)2.

【分析】(1)利用特殊銳角三角函數(shù)值計(jì)算即可；

(2)利用特殊銳角三角函數(shù)值計(jì)算即可.

【解答】解：⑴原式=2x鼻/一百x堂+(―)2

2232

=H-2-1+2

=1;

(2)原式=^x字+字義孝—±x*+l

=|+|-1+1

=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

15.(2025?紅橋區(qū)模擬)如圖，在RtA4BC中，ZA=90°，AB=3,BC=5,求sinB,cosB,tanB的值.

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】sinB=4cos2=亮，tan3=*

【分析】先在RtAABC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可

解答.

【解答】解：在Rt^ABC中，ZA=90°,AB=3,BC=5,

?\AC=y/BC2—AB2=7s2—32=4,

C4

AC_4-

RABB--

sinB=BC=5f8sB=Jr=tanB=3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.估算無理數(shù)的大小

估算無理數(shù)大小要用逼近法.

思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值.

2.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，

又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方.

（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算

加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”

1.運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、幕的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三

角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)

算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

3.零指數(shù)塞

零指數(shù)塞：a°=l（czWO）

由可推出a°=l（aWO）

注意：O°W1.

4.負(fù)整數(shù)指數(shù)塞

負(fù)整數(shù)指數(shù)能ap=^（號(hào)0,P為正整數(shù)）

注意：①aWO；

②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)塞時(shí)，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義計(jì)算，避免出現(xiàn)（-3）-2=（-3）義（-2）

的錯(cuò)誤.

③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序.

5.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1:兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

6.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是。，b,斜邊長(zhǎng)為C,那么/+廿=,2.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式02+62=02的變形有：a=Vc2—b