2024-2025學(xué)年天津市部分區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.集合力={1,2,3,4},B={2,3,4,5},則AnB=（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{1}

2.在研究線性回歸模型時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（々,%）（i=1,2，…,n）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線y=比+1上，則樣本相

關(guān)系數(shù)r=（）

A.-1B.1C.fD.無法確定

3."a=b"是uIna=bib"的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.高二某班有7名學(xué)生干部，其中男生4名，女生3名.若從中隨機(jī)選出3名學(xué)生干部，則恰好有2名男生的概

率為（）

A包B-C—D—

355。35U-35

5.設(shè)a=2-口2,b=2。，2,c=log20.2,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

6.函數(shù)f（x）=（ex-eT）cosx在區(qū)間［一2,2］上的圖象大致為（）

7.已知（1-2支產(chǎn)的展開式中第4項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）

A.128B.256C.512D.1024

8.某公司的兩名同事計(jì)劃今年國(guó)慶節(jié)期間從大理、麗江、洱海、玉龍雪山、藍(lán)月谷這5個(gè)著名旅游景點(diǎn)中

隨機(jī)選擇一個(gè)游玩.若在兩人中至少有一人選擇大理的條件下，求兩人選擇的景點(diǎn)不同的概率為（）

9.已知函數(shù)f(x)=[：2+,2ax+a，：<R在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

(2ax+cosx—2,%>0,

11

A.(-8期B.[-1,0]C.[-i,0]D.[-1,-j]

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

10.根據(jù)下表所示的樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=bx+9.4,貝防=

X6791112

y75431

11.若3"2>5,則實(shí)數(shù)久的取值范圍是.

12.(%-點(diǎn))6展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

13.某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)的同學(xué)于同一社區(qū)開展民意調(diào)查工作.已知參加活動(dòng)的甲、乙兩班人數(shù)之比為4：

5,其中甲班女生占比為,乙班女生占比為|,那么該社區(qū)某居民遇到一名進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好為女

生的概率為.

14.勾股定理是初等幾何中最精彩、最著名的定理之一，是幾何學(xué)的明珠，它不僅揭示了直角三角形三邊

之間的數(shù)量關(guān)系，而且體現(xiàn)了“數(shù)形統(tǒng)一”的思想，對(duì)我們解決直角三角形類問題的幫助很大.如果一個(gè)直

角三角形的周長(zhǎng)等于4cm,則該三角形面積的最大值為cm2.

15.己知函數(shù)/(x)=Vx2-2x-\x-1|-/n有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題15分)

2_1

已知函數(shù)/'(x)=-%3+-%2-6%+4.

(1)求/'(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求/(久)在區(qū)間[0,3]上的最大值.

17.(本小題15分)

隨著電影微B吒之魔童鬧?！窡嵊常洳粌H標(biāo)志著我國(guó)動(dòng)漫電影的技術(shù)水平達(dá)到行業(yè)領(lǐng)先地位，進(jìn)一步激

發(fā)了觀眾的愛國(guó)情懷，更為國(guó)產(chǎn)動(dòng)漫產(chǎn)業(yè)發(fā)展注入強(qiáng)勁動(dòng)力.為探究觀眾對(duì)該電影的喜好是否與性別相關(guān)，

某影院對(duì)200名觀眾(男女各100人)展開調(diào)查，結(jié)果顯示喜歡該電影的觀眾共有140人，其中喜歡該電影的

男生人數(shù)比女生少20人.

(1)完成下面的2x2列聯(lián)表;

(2)根據(jù)小概率值a=0.005的22獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析調(diào)查的數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷是否喜歡該電影與性別有關(guān)

聯(lián)？

2

n{ad—bc)

附：2臨界值表如下:

X(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

18.(本小題15分)

已知函數(shù)/(X)=loga(2+x)-loga(2-x)(a>0,且a力1).

(1)判斷/(久)的奇偶性，并證明；

(2)當(dāng)a=3時(shí)，若/(m)-/'(一zn)<2,求實(shí)數(shù)ni的取值范圍.

19.(本小題15分)

某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)

員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第

二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得

分總和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為今乙每次投中的概率為|,各次投中與否

相互獨(dú)立.

(1)若甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?分的概率；

(2)若乙參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望.

20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(%)=(1—ax)ln(l+x)—%(a6R).

(1)若曲線y=/(%)在點(diǎn).的斜率為伍2,求a的值；

(2)當(dāng)a=0時(shí)，證明：/(x)

(3)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0,求a的取值范圍.

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：集合4=口,2,3,4},B={2,3,4,5},則2CB={2,3,4).

故選：B.

利用交集的運(yùn)算法則求解即可.

本題考查集合的基本運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可知，舊=1,又直線y=x+l的斜率為1>0,滿足正相關(guān)，故r=L

故選:B.

根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的定義直接得解.

本題考查了線性相關(guān)系數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：當(dāng)a<0時(shí)，Ina,Inb無意義,

所以由“a=b”推不出“Ina=Inb”，

當(dāng)bia=bib時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有a=6,

所以由“Ina=Inb”可以推出“a=b”，

所以“a=6”是a=Inb”的必要不充分條件，

故選：C.

根據(jù)函數(shù)充要條件的判定、函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：高二某班有7名學(xué)生干部，其中男生4名，女生3名.

從中隨機(jī)選出3名學(xué)生干部，則恰好有2名男生的概率為萼=坐.

Cy35

故選：D.

根據(jù)古典概型的計(jì)算公式計(jì)算即可.

本題古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

02

【解析】解：a=2-02<1,6=2,>1,即0<a<l<6,c-log20.2<0,

則c<a<b.

故選：C.

根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求得a,b,c的取值范圍，即可求解.

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解:/(x)=(ex?e~x)cosx,

可知/'(—久)=(e~x—ex)cos(—x)——(知—e-x)cosx——/(x),

函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B、D；

又/(—今=〃0)=居)=0，函數(shù)/(久)在［一2,2］上有3個(gè)零點(diǎn)，排除力；所以C符合要求?

故選：C.

根據(jù)給定條件.利用函數(shù)的奇偶性及零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷即可.

本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及特殊值的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解:由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可知，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為髭，第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為然,

因?yàn)?1-2乂尸的展開式中第4項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，

所以第=碟,所以n=3+6=9,

所以二項(xiàng)式(1-2x)9的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為29T=28=256.

故選：B.

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，列出方程，求出參數(shù)n,求出奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和.

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：設(shè)事件兩人中至少有一人選擇大理為4事件兩人選擇的景點(diǎn)不同為B,則

2x4+192x48

P⑷=P(AB)

252525,

8

P(BM)=需9

故選：B.

設(shè)事件兩人中至少有一人選擇大理為4事件兩人選擇的景點(diǎn)不同為B,求P(4),P(AB),結(jié)合條件概率公

式求解結(jié)論.

本題考查古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】D

【解析】解：由題意，當(dāng)久<0時(shí)，/(%)=/+2a%+。為單調(diào)遞減函數(shù)，

又因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為第=-a,

則有一aNO,即a<0①；

當(dāng)工>0時(shí)，/(%)=2ax+cosx—2為單調(diào)遞減函數(shù)，

即/'(%)=2a—sinx<0在［0,+8)上恒成立，

即2a<s譏%在［0,+8)上恒成立，

因函數(shù)y=sin%在［0,+8)上恒有sin%>—1,

故得2a<—1,即a4—g②；

又由函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞減，

可得。2+2ax0+a>2ax0+cost)—2,解得a>—1(3),

綜上①②③，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是

故選：D.

利用分段函數(shù)的單調(diào)性分段考慮，借助于二次函數(shù)的單調(diào)性和求導(dǎo)判斷單調(diào)性法列出不等式，綜合考慮即

得.

本題考查了二次函數(shù)及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題.

10.【答案】-0.6

【解析】解：%=1(6+7+9+11+12)=9,y=1(7+5+4+34-1)=4,

即數(shù)據(jù)的樣本中心為(9,4),將其代入回歸方程y=6尤+9.4,可得4=bx9+9.4,

解得b——0.6.

故答案為：—0.6.

根據(jù)題意，求得數(shù)據(jù)的樣本中心(9,4),將其代入回歸直線方程，即可求解.

本題考查了一元線性回歸模型，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】{x|x>2+log35}

【解析】解：不等式3^-2>5可化為x-2>log35,解得％>2+log35,

所以x的取值范圍是拉氏>2+log35}.

故答案為：{x|x>2+log35}.

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)的換算計(jì)算即可.

本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】240

7彳3

【解析】解：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為2+1=盤久6-(一福廠=重(一2)。6-2「，r=0,I,2,3,4,

5,6,

令6-]7-=0,解得r=4,

則常數(shù)項(xiàng)為或(—2>=240.

故答案為：240.

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案

【解析】解：根據(jù)題意，該社區(qū)某居民遇到一名進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)，A="該學(xué)生來自甲班”，B="該

學(xué)生來自乙班”，C="該學(xué)生為女生”

廠t4455

則P⑷=4=§,P⑻=布=爐

P(C\A)=1P(C|B)=|3)

P(C)=PG4)P(C|4)+P(B)P(C|B)=^4x|1+1Sx|3=|S.

故答案為：

根據(jù)全概率公式計(jì)算即可.

本題考查全概率公式的應(yīng)用，涉及條件概率的定義，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】12-872

【解析】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b(a,b>0),則斜邊長(zhǎng)為V02+爐,

因?yàn)橹苯侨切蔚闹荛L(zhǎng)為4cm,所以a+b+Va2+b2=4,

由a+6+22V五+V2方=(2+V~2)y石，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，

所以(2+ab<4,即ab<(^j^=)2>

所以S=<1x(吸白￥=12-8/2,即三角形面積的最大值為12-872.

故答案為：12-872.

設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,得到a+b+Va?+爐=4,利用基本不等式，求得abW

(熹)2,進(jìn)而求得面積的最大值.

本題考查了解三角形，屬于中檔題.

15.【答案】［-1,0)

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=V%2-2%-|%-1|-TH有零點(diǎn),

即方程。％2—2x—|x—1|=m有實(shí)根.

由/—2%>0,可得％<0或%>2,

設(shè)|%-1|=a則得tNl,

即得V/—1—t=m.

令g?=Vt2—i—t=-it>1,

所以g(t)在te[1,+8)上單調(diào)遞增,

所以=g(l)=一1，

又因?yàn)間(t)=<0,

所以—i<g(t)<o，

所以—1<m<0,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[—1,0).

故答案為：

依題將函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成方程一2久-|x-l|=M有實(shí)根，求出函數(shù)f(%)的定義域，令1%-1|=t,則

t>l,設(shè)g(t)=712—1一t,t之1,求出g(t)的值域，即可求得參數(shù)租的范圍.

本題考查了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

16.【答案】答案見解析;

17

T

【解析】(1)由題意得尸(%)=2x2+%-6=(%+2)(2%-3),

由/'(%)>0,可得久V-2或久由((%)<0,可得一2<%<了

故函數(shù)/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,—2)和G，+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(—2,|)；

⑵由⑴已得函數(shù)/(%)在(-2,|)上單調(diào)遞減，在(|,+8)上單調(diào)遞增，

因x6[0,3],則函數(shù)/(?在(0,1)上單調(diào)遞減，在(|,3)上單調(diào)遞增，

21

⑶3332

-X+X

又f(。)/(3

2-

故當(dāng)％=3時(shí)，函數(shù)/(久)取得最大值為孝.

(1)利用函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)利用(1)的結(jié)論，可判斷函數(shù)/(久)在區(qū)間［0,3］上的單調(diào)性，代入端點(diǎn)值計(jì)算函數(shù)值，比較大小即得函數(shù)

最大值.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】2x2列聯(lián)表見解析；

不能據(jù)此推斷是否喜歡該電影與性別有關(guān)聯(lián).

【解析】(1)2x2列聯(lián)表如下：

喜歡不喜歡總計(jì)

男生6040100

女生8020100

總計(jì)14060200

2_"。吆。）：_g4762<7879

V以一100X100X140X60_21生/“<

由小概率值a=0.005的22獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，不能據(jù)此推斷是否喜歡該電影與性別有關(guān)聯(lián).

(1)根據(jù)題目信息，完成表格即可；

(2)根據(jù)表格數(shù)據(jù)，和公式，求出/的值，推斷是否有關(guān)聯(lián)即可.

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】奇函數(shù)，證明見解析；

(-2,1).

【解析】⑴由那+嗔?可得一2<久<2,

因/1(_%)+f(x)=loga(2-x)-10ga(2+x)+loga(2+x)-loga(2-x)=0,

所以;'(-%)=-/(%),

故函數(shù)/(%)為奇函數(shù).

OXOX

(2)當(dāng)a=3時(shí)，((%)=Z53(2+)-Z03(2-)=log3^=log3(-l-

因函數(shù)y=-1-白在(-2,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)y=logs%在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故函數(shù)/(%)在(-2,2)上

單調(diào)遞增；

又/(m)=-/(根)，且/(I)=L故原不等式等價(jià)于2/(血)<2/(1),

即f(m)Vf(l),即可得—2<mVl,故實(shí)數(shù)zn的取值范圍為(一2,1).

(1)利用函數(shù)的奇偶性定義判斷即得；

(2)在a=3時(shí)，先利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)在(-2,2)上單調(diào)遞增，再利用奇函數(shù)性質(zhì)和特殊

值，將不等式轉(zhuǎn)化成〃小)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即得參數(shù)小的范圍.

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】三

DO

65

【解析】(1)因?yàn)榧住⒁宜趯?duì)的比賽成績(jī)?yōu)?分，

則甲在第一階段至少投中一次，乙在第二階段恰好投中一次，

又由甲在第一階段至少投中一次的概率為己=1-(1一今3=，

乙在第二階段恰好投中一次的概率為22=ci-|x(i-|)2=1,

所以甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?分的概率「=。像="|=親

(2)設(shè)乙參加第一階段比賽，甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量X,則X=0,5,10,15,

當(dāng)X=15時(shí)，即乙參加第一階段比賽，至少投中一次，且甲在第二階段恰好投中三次，

可得P(X=15)=(1-各.廢??)“房

當(dāng)X=10時(shí)，即乙參加第一階段比賽，至少投中一次，且甲在第二階段恰好投中兩次，

可得P(X=10)=(1-J).第?(獷.(l-l)=g；

當(dāng)X=5時(shí)，即乙參加第一階段比賽，至少投中一次，且甲在第二階段恰好投中一次，

可得p(x=5)=(1_').程.*1_扔=奈

當(dāng)x=o時(shí)，即乙參加第一階段比賽，三次未中或乙參加第一階段比賽，

至少投中一次且甲第二階段未投中可得P(X=0)=(1-|)3+(1-點(diǎn))?(1一護(hù)=蓋，

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X051015

17131313

P

1083636108

所以成績(jī)的期望為E(X)=0x-^+5xi1+10x1|+15x-^-=^.

lUoDODOlUoy

(1)根據(jù)題意，得到甲在第一階段至少投中一次，乙在第二階段恰好投中一次，結(jié)合獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)

試驗(yàn)的概率公式，即可求解；

(2)設(shè)乙參加第一階段比賽，甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量X=0,5,10,15,根據(jù)題意，結(jié)合獨(dú)

立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

20.【答案】-1；

證明見解析；

(-00,

【解析】(1)由題意可得/'(x)="dln(l+x)+]+x—1,

則[⑴=-aln2+^-l,

?.?曲線y=f(x)在點(diǎn)(1)(1))的斜率為m2,可得一口伉2+3—1=ln2,

整理得—uln2,——=ITI2+—,??a.——1.

(2)證明：當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=ln(l+x)-x,x>-1,

要證/'(x)2即ln(l+X)-X2-Wp即證(1+x)ln(l+x)-x20,

令h(x)=(1+x)ln(l+久)—久，x>—1,可得八'(久)=ln(l+x),

當(dāng)一1<久<0時(shí)，h'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，hr(x)>0,

h(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

.?.當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)%(%)取