作業(yè)07離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征

~—積累瑪用---

1.離散型隨機(jī)變量定義

隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨

機(jī)變量

2.離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)

(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為X1,X2,…，如X取每一個(gè)值雙Z,=1,2,…,

〃)的概率尸(X=M^)="，則表

X

XIX2XiXn

PPiP2PiPn

稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列.

(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：

1,2,n)；@pi+pi+...+pn—l.

3.離散型隨機(jī)變量均值

(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為:

XX\X2XiXn

PPlP2PiPn

則稱E(X)=xipi+x2p2+...+xiPi+...+xnp?為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變

量取值的平均水平.

(2)若Y=aX+"其中a,b為常數(shù)，則/也是隨機(jī)變量，且E(aX+6)=aE⑶+6.

4.離散型隨機(jī)變量方差

(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

XXiX2XiXn

ppiP2PiPn

則(沏一E(X))2描述了雙=1,2,…，〃)相對(duì)于均值￡(&的偏離程度.而D(X)=2(XLE(㈤)2”?為這些

偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱。⑶為隨機(jī)變量X的方

差，并稱其算術(shù)平方根五方為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)D(aX+6)=a2￡)(X).

wa鞏固提升練

一、單選題

1.已知離散型隨機(jī)變量J和〃滿足關(guān)系式〃=J2,且隨機(jī)變量J的概率分布表如下:

-3-1013

1工]_

Pab

1246

若￡管)=；,則p(〃=l)=()

2.已知隨機(jī)變量X0=1,2）的分布列如表所示:

1

X,01+P,

]_2

PPi

3

22

其中0＜R＜§,若。1＜02，且~+?2=]，則（）

A.￡（式）=￡（工），。（式）=。（入2）B.￡（式）＞￡（K），。（乂）＞。（工）

C.E（X1）=E（X2）,D（＜Xl）＞D（＜X2）D.E（Xl）＜E（X2）,D（Xl）＜D（X2]

3.近年來(lái)中國(guó)人工智能產(chǎn)業(yè)爆發(fā)式的增長(zhǎng)，推動(dòng)了AI電商行業(yè)的快速發(fā)展，已知2020-2023年中

國(guó)AI解決方案提供商企業(yè)數(shù)量分別為1617,2106,2329,2896,從這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，

當(dāng)所取兩個(gè)數(shù)字差的絕對(duì)值小于500時(shí)，隨機(jī)變量X=g；當(dāng)所取兩個(gè)數(shù)字差的絕對(duì)值不小于500

時(shí)，隨機(jī)變量X=l,則￡（'）=（）

11r5-3cl

A.—B.-C.—D.-

12642

4.有一枚質(zhì)地均勻點(diǎn)數(shù)為1到4的特制骰子，投擲時(shí)得到每種點(diǎn)數(shù)的概率均等，現(xiàn)在進(jìn)行三次獨(dú)立

投擲，記X為得到最大點(diǎn)數(shù)與最小點(diǎn)數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望E（X）=（）

21315

A.—B.一cD.

162-\T

5.若隨機(jī)變量J的分布列如下表所示，則。（1-3?=（）

J-101

11

P-CLa2

33

4150

B.2C.D.

27~9~~9

二、多選題

6.已知隨機(jī)變量X的分布列如下，則正確的是（）

X-2-112

￡2

Pmn

99

C.若"?=:，貝UE（X）=gD.D（X2）=2

7..一個(gè)不透明的袋子中裝有6個(gè)球，其中有〃個(gè)白球（，，eN*）,其他均為黑球，這些球除顏色外動(dòng).

大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球的概率為設(shè)X為取

出白球的個(gè)數(shù)，貝U（）

A.n=3B.P（X=1）＞P（X=2）

c.E（X）=5D.D（x）=-

8.已知正四面體骰子的四個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,正六面體骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,

2,3,4,5,6,拋擲一枚正四面體骰子，記向下的數(shù)字為X,拋擲一枚正六面體骰子，記向上的數(shù)

字為匕則（）

A.尸（X=2）=；B.P（y＜3）=；

C.E（X）＞E（Y）D.D（X）＜D（Y）

三、填空題

9.隨機(jī)變量孑的取值為0,1,2,分布列如圖：若E（J）=l，則。C）=.

10.一批產(chǎn)品中次品率為5%,隨機(jī)抽取一件，定義X=:可利p口，則D（x）=.

10,抽到正品

四、解答題

11.有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽

結(jié)束后，負(fù)的一方下場(chǎng).第1局由甲，乙對(duì)賽，接下來(lái)丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽，來(lái)替換負(fù)的那個(gè)人，

每次比賽負(fù)的人排到等待上場(chǎng)的人之后參加比賽，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽的結(jié)

果相互獨(dú)立.

⑴求前3局比賽甲都取勝的概率；

（2）用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

12.五一假期后，高二年級(jí)籃球賽進(jìn)入白熱化階段，甲、乙、丙三支種子隊(duì)在進(jìn)入半決賽之前不會(huì)

相遇.他們都需要在最后一輪小組賽中戰(zhàn)勝對(duì)手從而進(jìn)入淘汰賽，然后在淘汰賽中勝出才能進(jìn)入半決

賽.已知甲隊(duì)在小組賽最后一輪和淘汰賽中獲勝的概率分別為:和二；乙隊(duì)在最后一輪和淘汰賽中獲

34

勝的概率分別為W3和%4丙隊(duì)在最后一輪和淘汰賽中獲勝的概率分別為。和，3P，其中0<P<3\.

（1）甲、乙、丙三隊(duì)中，誰(shuí)進(jìn)入半決賽的可能性最大；

37

（2）若甲、乙、丙三隊(duì)中恰有兩隊(duì)進(jìn)入半決賽的概率為荒，求？的值；

（3）在（2）的條件下，設(shè)甲、乙、丙三隊(duì)中進(jìn)入半決賽的隊(duì)伍數(shù)為九求J的分布列及期望.

m能力培優(yōu)練

1.已知隨機(jī)變量44>0）滿足磯2-34）+加仁）=6,則磯9=（）

A.-1或4B.2C.3D.4

2.已知隨機(jī)變量J的分布列是

-202

2-PP_

P

44

隨機(jī)變量〃的分布列是

7357

2-pP_

P

~244

下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.￡（J）=E（〃）B.當(dāng)p增大時(shí)，￡仁）遞減

C.。（/>。（〃）D.當(dāng)p增大時(shí)，遞增

3.（多選）隨機(jī)地向4個(gè)器皿內(nèi)投放4種不同的食物給4只狗仔喂食，設(shè)所投放的食物均落在器皿

內(nèi)，隨機(jī)變量X為空器皿個(gè)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）

a

A.隨機(jī)變量X的取值為1,2,3B.P（X=2）=—

'764

C.F（^=3）=—D.￡（x）=—

v'64v'64

4.已知盒子中有5個(gè)球，其中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中隨機(jī)取球.

（1）若每次取1個(gè)，不放回，直到取到黑球?yàn)橹?，求第二次取到黑球的概率?/p>

（2）若每次取1個(gè)，放回，取到黑球停止，且取球不超過(guò)3次，設(shè)此過(guò)程中取到白球的個(gè)數(shù)為X,求

X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

5.A,B,C,。四人進(jìn)行羽毛球單打循環(huán)練習(xí)賽，其中每局有兩人比賽，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的

一方下場(chǎng)，第1局由A,B對(duì)賽，接下來(lái)按照C,。的順序上場(chǎng)第2局、第3局（來(lái)替換負(fù)的那個(gè)

人），每次負(fù)的人其上場(chǎng)順序排到另外2個(gè)等待上場(chǎng)的人之后（即排到最后一個(gè)），需要再等2局（即

下場(chǎng)后的第3局）才能參加下一場(chǎng)練習(xí)賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為g,各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)

立.

⑴求前4局A都不下場(chǎng)的概率；

（2）用X表示前4局中8獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

m柘展突破練

1.（多選）有4,8兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)

問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，

無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得分，否則得0分;B

類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得N（N>0）分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為

p（O<p<l）,能正確回答3類問(wèn)題的概率為式且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

為使累計(jì)得分的期望最大，下列哪些條件下小明應(yīng)選擇先回答A類問(wèn)題（）

A.M>N豆P>qB.MpQ-p）>NqQ-q）

rqMpNq

C.M=ND.—

1-q'~P「q

2.為建設(shè)“書香校園”，學(xué)校圖書館對(duì)所有學(xué)生開放圖書借閱，可借閱的圖書分為“期刊雜志”與“文

獻(xiàn)書籍”兩類.已知該校小明同學(xué)的圖書借閱規(guī)律如下：第一次隨機(jī)選擇一類圖書借閱，若前一次選擇

借閱“期刊雜志”，則下次也選擇借閱“期刊雜志”的概率為g,若前一次選擇借閱“文獻(xiàn)書籍”，則下次

3

選擇借閱“期刊雜志”的概率為《.

⑴設(shè)小明同學(xué)在兩次借閱過(guò)程中借閱“期刊雜志”的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）若小明同學(xué)第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”，試分析他第一次借哪類圖書的可能性更大，并說(shuō)明理由.

3.甲，乙兩小朋友參加“歡樂(lè)六一”游戲比賽，記分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則

甲得1分；如果甲輸乙贏，則甲得-1分；如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸，則甲得0分，設(shè)一輪比賽中

甲贏的概率為60%,乙贏的概率為50%,求：

⑴在一輪比賽中，甲的得分X的概率分布列（列表表示）；

（2）在兩輪比賽中，甲的得分y的均值與方差.

頓仿真考場(chǎng)練

1.（2021?浙江?高考真題）袋中有4個(gè)紅球/個(gè)黃球，〃個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球

數(shù)為3若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為一紅一黃的概率為:，則〃-〃=___________，

63

碓）=.

2.（2022?浙江?高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨

機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為3則尸?=2）=,E?=.

3.（2022?全國(guó)?高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10

分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)

項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

4.（2021?全國(guó)?高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有4,3兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同

學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答

正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束幺類問(wèn)題中

的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；8類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分,

已知小明能正確回答4類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答8類問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)題

的概率與回答次序無(wú)關(guān).

（1）若小明先回答/類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

5.（2008?山東?高考真題）甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為

本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為;，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為

221

且各人正確與否相互之間沒(méi)有影響.用J表示甲隊(duì)的總得分.

（1）求隨機(jī)變量4分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）用/表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用3表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這

一事件，求尸（/團(tuán)

作業(yè)07離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征

~—積累瑪用---

1.離散型隨機(jī)變量定義

隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨

機(jī)變量

2.離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)

(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為X1,X2,…，如X取每一個(gè)值雙Z,=1,2,…,

〃)的概率尸(X=M^)="，則表

X

XIX2XiXn

PPiP2PiPn

稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列.

(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：

1,2,n)；@pi+pi+...+pn—l.

3.離散型隨機(jī)變量均值

(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為:

XX\X2XiXn

PPlP2PiPn

則稱E(X)=xipi+x2p2+...+xiPi+...+xnp?為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變

量取值的平均水平.

(2)若Y=aX+"其中a,b為常數(shù)，則/也是隨機(jī)變量，且E(aX+6)=aE⑶+6.

4.離散型隨機(jī)變量方差

(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

XXiX2XiXn

ppiP2PiPn

則(沏一E(X))2描述了雙=1,2,…，〃)相對(duì)于均值￡(&的偏離程度.而D(X)=2(XLE(㈤)2”?為這些

偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱。⑶為隨機(jī)變量X的方

差，并稱其算術(shù)平方根五方為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)D(aX+6)=a2￡)(X).

wa鞏固提升練

一、單選題

1.已知離散型隨機(jī)變量J和〃滿足關(guān)系式〃=J2,且隨機(jī)變量J的概率分布表如下:

-3-1013

1工]_

Pab

1246

若￡管)=；,則p(〃=l)=()

【答案】C

【分析】先根據(jù)分布列的性質(zhì)和期望公式求出a,b,再根據(jù)=1）==-1）+尸值=1）即可得解.

1

L.+H+Lia=—

12466

【詳解】由題意可得1,解得＜

Eg*-a+0xZ>+-+3x-=b=-

4633

所以尸（〃=1）=尸信=T）+尸信=1）=：+；=^.

o412

故選：c.

2.已知隨機(jī)變量X,（i=1,2）的分布列如表所示：

1

Xi0§+p.1+p,

]_2

pPi

3

22

其中0＜P：＜§,若Pl＜P］，且。1+。2=］，則（）

A.E（X1）=E（X2）,D（X1）=D（X2）B.磯Xj＞磯&），。（乂）＞。（工2）

C.￡（乂）=￡（工），。（工）＞。（工）D.E（Xl）＜E（X2）,D（Xl）＜D（X2］

【答案】A

【分析】根據(jù)期望和方差的公式代入計(jì)算即可.

12?

【詳解】因?yàn)镋(M)=O+pq+P,)+(§-pJ(l+P,)="所以￡區(qū))=￡(工),

121222

O(M)=§X(0-§)2+巴(§+口-§)2+(§-0,)(]一]_pj2

o??iQoi

所以。（占）=有'一a［（a一夕,）一a『=---（--A）2=°（乙）.

乙/JJJ乙/JJ

所以￡（乂）=￡（工）,。（毛）=。（耳）.

故選：A.

3.近年來(lái)中國(guó)人工智能產(chǎn)業(yè)爆發(fā)式的增長(zhǎng)，推動(dòng)了AI電商行業(yè)的快速發(fā)展，已知2020-2023年中

國(guó)AI解決方案提供商企業(yè)數(shù)量分別為1617,2106,2329,2896,從這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，

當(dāng)所取兩個(gè)數(shù)字差的絕對(duì)值小于500時(shí)，隨機(jī)變量X=g；當(dāng)所取兩個(gè)數(shù)字差的絕對(duì)值不小于500

時(shí)，隨機(jī)變量X=l,則￡（'）=（）

11-5-3-I

A.—B.-C.—D.-

12642

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，列出所有可能的情況，求出X的分布列，即可求出E（X）.

【詳解】從這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，結(jié)果有6種，

|1617-2106|=489,|1617-2329|=712,|1617-2896|=1279,

|2106-2329|=223,|2106-2896|=790,|2329-2896|=567,

所取兩個(gè)數(shù)字差的絕對(duì)值小于500的結(jié)果有2種，故尸［X=g［=；,

2

不小于500的結(jié)果有4種，故P（X=1）=§,

11?5

所以E(X)=]X§+lx7

6

故選：B.

4.有一枚質(zhì)地均勻點(diǎn)數(shù)為1到4的特制骰子，投擲時(shí)得到每種點(diǎn)數(shù)的概率均等，現(xiàn)在進(jìn)行三次獨(dú)立

投擲，記X為得到最大點(diǎn)數(shù)與最小點(diǎn)數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望E（X）=（）

【答案】D

【分析】由題意得X的所有可能取值為0,1,2,3,用古典概型算出相應(yīng)的概率，進(jìn)而即可求解.

【詳解】X的所有可能取值為（M,2,3,記三次得到的數(shù)組成數(shù)組（％b,c）,

滿足X=。的數(shù)組有：

(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),(4,4,4)，共4個(gè),

41

所以尸。=0）=不=而,

滿足X=1的數(shù)組有：

（1,1,2）,（1,2,1）,（2,1,1）,（2,2,3）,（2,3,2）,（3,2,2）,（3,3,4）,（3,4,3）,（4,3,3）,

（2,2,1）,（2,1,2）,（1,2,2）,（3,3,2）,（3,2,3）,（2,3,3）,（4,4,3）,（4,3,4）,（3,4,4）,共18個(gè),

1?0

所以尸。=1）=不=五，

滿足X=2的數(shù)組有：

（1,1,3）,（1,3,1）,（3,1,1）,（2,2,4）,（2,4,2）,（4,2,2）,

（3,3,1）,（3,1,3）,（1,3,3）,（4,4,2）,（4,2,4）,（2,4,4）,

（1,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,（3,2,1）,

（4,2,3）,（4,3,2）,（2,4,3）,（2,3,4）,（3,4,2）,（3,2,4）,共24個(gè)，

743

所以網(wǎng)'=2）=不=/

滿足X=3的數(shù)組有：

（1,2,4）,（1,3,4）,（1,4,4）,（1,4,1）,（1,4,2）,（1,4,3）,

（1,1,4）,（2,1,4）,（3,1,4）,（4,1,1）,（4,2,1）,（4,3,1）,

（4,1,2）,（4,1,3）,（4,1,4）,（2,4,1）,（3,4,1）,（4,4,1）,共18個(gè)，

1?Q

所以尸（x=3）=￥=豆，

1a?a15

所以X的數(shù)學(xué)期望￡（X）=0X3+1X9+2X[+3X9=?.

1632o32o

故選：D.

5.若隨機(jī)變量4的分布列如下表所示，則。（1-39=（）

50

D.——

9

【答案】D

【分析】由分布列的性質(zhì)求。，根據(jù)期望的定義求￡《)，再由期望的定義求。仔)，結(jié)合期望性質(zhì)

求。(1-3J).

【詳解】由已知可得=1,0—~a—1?0W/W1,

2

所以

2142

所以￡?=_lx_+Ox_+lx_=_,

')9399

所以。（4=11一|

所以。(1-39=90(0=5,

故選：D.

二、多選題

6.已知隨機(jī)變量X的分布列如下，則正確的是（）

X-2-112

2

Pmn

99

7

B.尸(X<2)=3

C.若機(jī)=）,則E（X）=；D.。因)=2

【答案】ABD

【分析】利用分布列的性質(zhì)求得私"的關(guān)系，再根據(jù)隨機(jī)變量的概率公式與期望、方差公式即可得

解.

122

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?+加+幾+3=1,所以加+〃=4，故A正確;

yy3

27

對(duì)于B,P(X<2)=l-P(X>2)=l--=故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)??=：,所以力=|,

所以E(x)=-2xg+(_l)xg+lx1+2x「=1,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,尸(X2=1)=尸(X=—1)+尸(X=1)=加+〃=g，

p(X2=4)=P(X=-2)+HX=2)=|

則X?的分布列如下：

所以E（X2）=lxg+4x；=2,

則。（燈=n―2）2+3（4_2）2=2.

故選：ABD.

7.一個(gè)不透明的袋子中裝有6個(gè)球，其中有〃個(gè)白球（〃eN*）,其他均為黑球，這些球除顏色外動(dòng).

9

大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑球，I個(gè)白球的概率為a設(shè)X為取

出白球的個(gè)數(shù)，貝I」（）

A.〃二3B.尸（X=l）＞尸（X=2）

3

C.E（x）=-D-D（X）=-

【答案】AC

9

【分析】根據(jù)取出2個(gè)黑球,I個(gè)白球的概率為.求出〃的值，再求出X的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望

和方差的定義即可計(jì)算.

c；c；9j

【詳解】由題可知,而，解得〃=3,A正確;

c"

X的可能取值為0」,2,3,

r3ic：c,2：，尸（『人曾=：,尸（二=3）=言.,B錯(cuò)誤;

尸（x=o）7J,尸。=1）=有

''C；20NUNU/U

i9913

???E（X）=0x——+lx——+2x—F3X——=—,C正確;

v7202020202

222

"（X）=0一|x）+133x[+33jx-L=2,D錯(cuò)誤.

2

12020

故選：AC

8.已知正四面體骰子的四個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,正六面體骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,

2,3,4,5,6,拋擲一枚正四面體骰子，記向下的數(shù)字為X,拋擲一枚正六面體骰子，記向上的數(shù)

字為匕貝！I（）

A.尸（X=2）=gB.尸（y＜3）=g

C.E（X）＞E（y）D.D[X）＜D（Y）

【答案】BD

【分析】通過(guò)古典概型的概率計(jì)算公式即可判斷A、B選項(xiàng)；通過(guò)X和y的分布列，可以計(jì)算對(duì)應(yīng)

的期望和方差的大小關(guān)系.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：正四面體骰子，記向下的數(shù)字為X,當(dāng)X=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率為尸（x=2）=：,

錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B：正六面體骰子，記向上的數(shù)字為匕其中丫<3時(shí)，即y=i,Y=2,則

p(y<3)=p(y=i)+尸(y=2)=,+：=；,正確；

對(duì)選項(xiàng)C、D：X的分布列為：

X1234

j_j_j_

P

4444

貝l]E(X)=lx!+2xL+3xL+4xL3,且

―44442

￡>(^)=￡(^2)-[^(^)]2=l2x^+22x1+32x1+42x|-f|j=|

,21c21c21,21=21,21(7Y7

D(y)=￡，)-[￡(y)T=lx—+2x—+3x—+4x—+5x—+6x———二一,

666666Uj4

所以E(x)<￡(y),C錯(cuò)誤;o(x)<D(y),D正確;

故選：BD

三、填空題

9.隨機(jī)變量孑的取值為0,1,2,分布列如圖：若E(J)=l，則。1)=

2

【答案】1/0.4

【分析】根據(jù)概率和為1,確定6+5=々4，根據(jù)￡(4=1,確定6+25=1,聯(lián)立解出6、6,再根

據(jù)求方差公式即可求解.

14

【詳解】根據(jù)題意有(+片+￡=1,即4+巴=1①，

又因?yàn)镋(J)=1,即Ox1+百+2￡=1,即4+2鳥=1②,

cf3

_4P=-

聯(lián)立①②，有"+￡=二，解得x:，

者+2￡=1|^=-

所以0(J)=g[O_E⑷了+⑷了/+[2_E⑷了6,

2

=—xl+Ox—+lx—=

5555

2

故答案為：—

1,抽到次品

10.一批產(chǎn)品中次品率為5%,隨機(jī)抽取一件，定義X=則。(x)=

0,抽到正品

【答案】--/0.0475

400

【分析】求出分布列再根據(jù)數(shù)學(xué)期望與方差公式求解即可.

11g

【詳解】由題意尸(X=l)=右，p(x=0)=—,可得分布列:

故E(x)i:+ox?焉

19

故答案為:

400

四、解答題

11.有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽

結(jié)束后，負(fù)的一方下場(chǎng).第1局由甲，乙對(duì)賽，接下來(lái)丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽，來(lái)替換負(fù)的那個(gè)人，

每次比賽負(fù)的人排到等待上場(chǎng)的人之后參加比賽，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽的結(jié)

果相互獨(dú)立.

(1)求前3局比賽甲都取勝的概率；

(2)用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴!

O

9

⑵分布列見(jiàn)解析，￡(x)=g

O

【分析】(1)借助獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即可得；

(2)寫出X的所有可能取值后計(jì)算相應(yīng)概率即可得其分布列，借助分布列計(jì)算即可得期望.

【詳解】(1)前3局甲都獲勝的概率為p=!x：x[=:；

2228

(2)X的所有可能取值為01,2,3.

其中，X=。表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙輸，則尸(X=0)=gxg=T；

X=1表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，

則P(X=l)=；x；+；x；=；；

乙乙乙乙乙

X=2表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局是乙輸，則P(X=2)=：x：x：=:；

2228

X=3表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局是乙贏，則P(X=3)=(x：x：=：；

2228

所以X的分布列為：

X0123

￡j_J_1

P

4T88

故X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0XL+1XL+2X1+3XL=2.

42888

12.五一假期后，高二年級(jí)籃球賽進(jìn)入白熱化階段，甲、乙、丙三支種子隊(duì)在進(jìn)入半決賽之前不會(huì)

相遇.他們都需要在最后一輪小組賽中戰(zhàn)勝對(duì)手從而進(jìn)入淘汰賽，然后在淘汰賽中勝出才能進(jìn)入半決

賽.已知甲隊(duì)在小組賽最后一輪和淘汰賽中獲勝的概率分別為彳和;；乙隊(duì)在最后一輪和淘汰賽中獲

34

3433

勝的概率分別為:和，；丙隊(duì)在最后一輪和淘汰賽中獲勝的概率分別為。和1-p,其中0<p<:.

(1)甲、乙、丙三隊(duì)中，誰(shuí)進(jìn)入半決賽的可能性最大；

37

(2)若甲、乙、丙三隊(duì)中恰有兩隊(duì)進(jìn)入半決賽的概率為茹，求。的值；

(3)在(2)的條件下，設(shè)甲、乙、丙三隊(duì)中進(jìn)入半決賽的隊(duì)伍數(shù)為求J的分布列及期望.

【答案】(1)乙進(jìn)入半決賽的可能性最大

(3)分布列見(jiàn)解析，E^=—

【分析】（1）根據(jù)題意，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，分別求得甲乙丙進(jìn)入半決賽的概率，

即可求解；

（2）由甲、乙、丙三隊(duì)中恰有兩對(duì)進(jìn)入半決賽的概率，結(jié)合列出方程，即可求解；

（3）根據(jù)題意，得到J的可能取值為01,2,3,求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望公式，即可

求解.

【詳解】（1）解：由題意，甲隊(duì)進(jìn)入半決賽的概率為2:x=3==1,乙隊(duì)進(jìn)入半決賽的概率為=34=3

342455

丙隊(duì)進(jìn)入半決賽的概率為0f=,

因?yàn)樗裕?/p>

4<2）16

顯然乙隊(duì)進(jìn)入半決賽的概率最大，所以乙進(jìn)入半決賽的可能性最大.

37

（2）解：因?yàn)榧?、乙、丙三?duì)中恰有兩對(duì)進(jìn)入半決賽的概率為癡，

所以m2一WRTmdfW工―；解得。*或

32

因?yàn)?cp<1，所以°=

（3）解：由題意可知：甲、乙、丙三隊(duì)進(jìn)入半決賽的概率分別為萬(wàn),不上

且隨機(jī)變量J的可能取值為0」,2,3,

可得尸?=0）=

所以4的分布列為

437

4590

所以，期望為以9=+3義一二

90690

W能力培優(yōu)練

1.已知隨機(jī)變量式4>0）滿足磯2-39+加（9=6,則￡t）=（）

A.-1或4B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)均值的性質(zhì)可得磯2-3J）=3E⑶，則磯2-39+-?=6即為嚴(yán)?-3雙9-4=0,

解方程求得答案.

【詳解】因?yàn)椤辏?-3劣+￡2仁）=6,所以￡2信）一3￡偌）一4=0,

解得￡（0=4或￡（/=-!（舍去），

故選：D

2.已知隨機(jī)變量占的分布列是

-202

2-P

P￡

~244

隨機(jī)變量〃的分布列是

7357

]_2-p

PP_

44

下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.E（J）=￡（〃）B.當(dāng)p增大時(shí)，￡仔）遞減

C.。（/>。（〃）D.當(dāng)p增大時(shí)，遞增

【答案】D

【分析】利用隨機(jī)變量的期望公式、方差公式結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)一一判定選項(xiàng)即可.

【詳解】由離散型隨機(jī)變量的期望公式可知E（JH-2）xg+0x鋁+2x（=卜1,

E（n}=3x-+5x-竺+7x±=±+4,顯然A,B錯(cuò)誤；

v72442

由離散型隨機(jī)變量的方差公式可知：

北）小白127出小一片（2=一"20+1,

可）=2、尋1）+J'/11vx（f-3）=-3。+1，

即。/）=。（〃），故C錯(cuò)誤；

由D（1）=~~^P2+3/7+1=,[g—1]

+4（0<^<1）,由二次函數(shù)的單調(diào)性可知D正確.

故選：D

3.（多選）隨機(jī)地向4個(gè)器皿內(nèi)投放4種不同的食物給4只狗仔喂食，設(shè)所投放的食物均落在器皿

內(nèi)，隨機(jī)變量X為空器皿個(gè)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）

a

A.隨機(jī)變量X的取值為1,2,3B.P（X=2）=—

64

C.P（^=3）=—D.￡（x）=—

v'64v'64

【答案】CD

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，結(jié)合排列組合求解個(gè)數(shù)，即可求解分布列，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可

逐一求解.

【詳解】由題意得隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,故A錯(cuò)誤；

C2c2

則尸（X=2）=￡匚上=&，尸（X=3）=，=:，故B錯(cuò)誤，C正確；

4464

又尸（X=1）=*:，尸（x=0）=苧

17193

所以E（X）=3x—+2x—+lx—+0x—=—.故D正確.

'）6464163264

故選：CD.

4.已知盒子中有5個(gè)球，其中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中隨機(jī)取球.

（1）若每次取1個(gè)，不放回，直到取到黑球?yàn)橹?，求第二次取到黑球的概率?/p>

（2）若每次取1個(gè)，放回，取到黑球停止，且取球不超過(guò)3次，設(shè)此過(guò)程中取到白球的個(gè)數(shù)為X,求

X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴、

（2）分布列見(jiàn)解析，總147

【分析】（1）根據(jù)條件，利用排列知識(shí)及古典概率公式，即可求出結(jié)果；

（2）先求出X的可能取值，再利用相互獨(dú)立事件的概率公式求出對(duì)應(yīng)取值的概率，即可求出分布列,

再由期望的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）因第二次取到黑球，則第一次取到白球，

記第i取到白球事件為4,第J取到白球事件為Bj,

貝=冬生■」.

v127A；5x410

（2）由題知X的可能取值為0,1,2,3,

p(x=o)=2,p(x=i)=-x-=—

55525

…c、33218

P(X—2)——x-x-=----,

555125

…r、33327

P(X—3)——x_x_=-----,

555125

所以X的分布列為

X0123

261827

P

525125125

X的數(shù)學(xué)期望為￡(')=0*2+珠色+2'四+3、二=史.

525125125125

5.A,B,C,。四人進(jìn)行羽毛球單打循環(huán)練習(xí)賽，其中每局有兩人比賽，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的

一方下場(chǎng)，第1局由A,3對(duì)賽，接下來(lái)按照C,。的順序上場(chǎng)第2局、第3局（來(lái)替換負(fù)的那個(gè)

人），每次負(fù)的人其上場(chǎng)順序排到另外2個(gè)等待上場(chǎng)的人之后（即排到最后一個(gè)），需要再等2局（即

下場(chǎng)后的第3局）才能參加下一場(chǎng)練習(xí)賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)

立.

⑴求前4局A都不下場(chǎng)的概率；

（2）用X表示前4局中B獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（書

16

1Q

⑵分布列見(jiàn)解析，E（X）=-.

1O

【分析】（1）根據(jù)前4局N都不下場(chǎng)，由前4局/都獲勝求解；

（2）由X的所有可能取值為0,1,2,3,4,分別求得其概率，列出分布列，再求期望.

【詳解】（1）前4局A都不下場(chǎng)說(shuō)明前4局A都獲勝，

故前4局A都不下場(chǎng)的概率尸

222216

（2）依題意X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

其中，X=0表示第1局5輸，第4局是5上場(chǎng)，且5輸，則尸（X=0）=gxg=；；

224

X=1表示第1局5輸，第4局是5上場(chǎng)，且