初中幾何輔助線進階訓練—矩形的輔助線

一'階段一（較易）

1.如圖，四邊形ABCD是矩形，點E是BC延長線一點，連接DE,BF垂直平分DE,垂足為F,點G

在BE上，點H在ZB上，S.GH//DE.

(1)若BC=3,CE=2,求

(2)若GE=4D+BG,求證：GH=EF.

2.如圖，在長方形ABCD中，AB=8,GC=1,AE平分/BAG交BC于點E,E是BC的中點,

則AG的長為.

3.如圖，四邊形4BCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若=2,AC=3,則矩形

4EFC的面積為（）

A.3B.2V5C.4V5D.6

4.如圖，長方形ABCD中，AB=3,BC=38，NCBD=30。，點M是射線BD上一點（不與點

B,D重合），連接AM,過點M作MN1AM交直線BC于點N,若△BMN是等腰三角形，貝U

BN=.

5.如圖，已知在△OAB中AO=BO,分別延長AO,BO到點C、D,使得OC=AO,OD=BO,連

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；

(2)以AO,BO為一組鄰邊作平行四邊形AOBE,連接CE.若CELAE,求NAOB的度數(shù).

6.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD為BC邊上的中線，點E為AD的中點，作點B關于點E的對

(1)求證：四邊形2DCF為矩形；

(2)若4。=BC,AB=2遮，求BF的長.

7.如圖，△ABC中，AB=AC,AD為BC上的高線，E為AB邊上一點，EFLBC于點F,交CA

的延長線于點G已知EF=2,EG=3.則AD的長為.

8.已知，在長方形ABCD中，AB=8,BC=6,點E,F分別是邊AB,BC上的點，連接DE,

DF,EF.

（1）如圖①，當CF=2BE=2時，試說明ADEF是直角三角形；

（2）如圖②，若點E是邊AB的中點，DE平分NADF,求BF的長.

9.如圖，在矩形ABCD中，BC=4,AE±BD,垂足為E,ZBAE=30°,那么△ECD的面積是

()

A.2V3B.4V3C.8V3D.

10.如圖，在矩形中，AB=1,4。=2,點M在邊BC上，若平分ZDMB,貝UCM的長是

A.3A/2B.2A/6C.2V5D.V3

二'階段二（一般）

11.如圖，將長方形紙片4BCD沿EF折疊后,點A,B分別落在4,B,的位置，再沿邊將乙4,折疊

到NH處，已知41=54°,貝ikZEF=°,乙FEH=1

12.如圖，在矩形48CD中，點E是對角線AC上一點，有/E==gBC且BC=a，點P是BE上

一動點，則點P到邊ZB,4C的距離之和PM+PN的值（）

A.有最大值aB.有最小值坐aC.是定值得aD.是定值字a

13.矩形4BCD與矩形CEFG如圖放置，點B、C、E共線，點C、D、G共線，連接2F,取ZF的中點

H,連接GH.若BC=EF=3,CD=CE=1,則GH=()

A.V2B.V3C.2D-f

14.如圖是一張矩形紙片ABCD,點M是對角線AC的中點，點E在BC邊上，把△DCE沿直線0E折

疊，使點C落在對角線4C上的點F處，連接DF,EF.若MF=4B,則乙DAF=度.

15.AM/7BN,AB1BN,垂足為B,點C在直線BN上，AC1CD,AC=CD,DE1AM,垂足為

E.

(1)如圖①，求證：DE+BC=AB；

(2)如圖②、圖③，請分別寫出線段DE,BC與AB之間的數(shù)量關系，不需要證明;

(3)在(1)、(2)的條件下，AC2=100,AB-BC=2,則線段DE=.

16.如圖，矩形ABCD中，ZE1BD交CD于點E,點F在AD上，連接CF交AE于點G,CG=

GF=AF,若BQ=48，則CD的值為_________.

AB

工

D￡C

17.如圖，在矩形ABCD中，點E,F分別是邊AB,BC的中點,連接EC,FD,點G、H分別是

EC、FD的中點，連接GH,若AB=6,BC=10,則GH的長度為________________.

AD

BF7?

18.如圖，點E為口ABCD的邊AD上的一點,連接EB并延長，使BF=BE,連接EC并延長，使

CG=CE,連接FG.H為FG的中點，連接DH,AF.

F*-----------H-----------'G

(1)若NBAE=65。，ZDEC=40°,求/ECD的度數(shù)；

(2)求證：四邊形AFHD為平行四邊形；

(3)連接EH,交BC于點0,若OC=OH,求證：EFLEG.

19.如圖，矩形ABCD中，M,N分別是邊AB,CD的中點，BP1AN于P,CP的延

長線交4。于Q.下列結論：①PM=CN；②PM1CQ；③PQ=AQ；④OQ<2PN.其

中結論正確的有()

AMB

A.1個B.2個C.3個D.4個

20.如圖，在矩形ABCD中，點E,F分別是邊AB,BC的中點，連接EC,FD,點H,G分別是

EC,FD的中點，連接GH,若AB=6,BC=8,則GH的長度為（）

A.2B.|C.^ZfD.5

，2

三'階段三（較難）

21.如圖，在矩形4BCD中，DEJ.AC交BC于點E,點尸在CD上，連接BF交DE于點G,且BG=GF=

C.2V15D.8

22.如圖：在平面直角坐標系內有長方形OABC,點A,C分別在y軸，x軸上，點。（4,3）在4B

上，點E在。C上，沿DE折疊，使點B與點O重合，點C與點Ci重合.若點P在坐標軸上，且4

APG面積是18,則點P坐標為.

23.閱讀下列材料，完成相應任務.

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

如圖1,△ABC中，^ABC=90°,BD是斜邊AC上的中線.求證：BD=|AC.

分析：要證明BD等于AC的一半，可以用“倍長法”將BD延長一倍，如圖2.延長BD到E,

使得DE=BD.

連接AE,CE.可證BE=AC,進而得到BD=3AC.

圖1圖2圖3

(1)請你按材料中的分析寫出證明過程；

(2)如圖3,點C是線段AB上一點，CD±AB,點E是線段CD上一點，分別連接AD,BE,

點F,G分別是AD和BE的中點，連接FG.若AB=12,CD=8,CE=3,貝胴G=.

24.如圖，在長方形中，AB=9,4。=14.點E、點尸分別在4。、BC上,且ZE=CF=1,

點G是0C邊上的動點，點H是AB邊上的動點.貝的是小值是.

25.在菱形ABCD中，NBCD=60。，點P是直線AB上一點，且不與點A,點B重合，連接CP,

作等邊三角形PCE.

(1)如圖1,若點P在線段AB上，連接DE,則線段PB,DE之間的數(shù)量關系是；

(2)如圖2,若點P在線段AB的延長線上，連接AE,求證：EA=EP；

(3)如圖3,若點P在線段BA的延長線上，順次連接四邊形ABCE各邊的中點，則所得四邊形

的形狀是.

26.如圖1,在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的一條角平分線，AN為△ABC的外角/BAM

的平分線，BELAN,垂足為E.已知AD=4,BD=3.

M

(1)求證：四邊形ADBE是矩形；

(2)如圖2,延長AD至點F,使AF=AB,連接BF,G為BF的中點，連接EG,DG.求EG的

長.

(3)如圖3,在(2)問的條件下，P為BE邊上的一個動點，連接PG并延長交AD延長線于點

Q,連接CQ,H為CQ的中點，求點P從E點運動到B點時，點H所經(jīng)過的路徑長.

27.如圖1,已知△ABC三△EBD,ZACB=NEQB=90。，點D在AB上，連接CD并延長交

AE于點F,

圖1圖2

(1)猜想：線段AF與EF的數(shù)量關系為；

(2)探究：若將圖1的AEBD繞點B順時針方向旋轉，當乙CBE小于180。時，得到圖2,

連接CD并延長交AE于點F,則(1)中的結論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說

明理由；

(3)拓展：圖1中，過點E作EG1CB，垂足為點G當乙4BC的大小發(fā)生變化，其它條件不

變時，若Z.EBG=Z.BAE,BC=6,直接寫出AB的長.

28.將一塊直角三角板的直角頂點和矩形ABCD(AB<BC)的對角線的交點O重合，如圖

(①一②一③)，圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點.

圖①圖②圖③

（1）圖①（三角板一直角邊與0D重合）中，連接DN,則BN與DN的數(shù)量關系

是，進而得到BN,CD,CN的數(shù)量關系是；

（2）寫出圖③（三角板一邊與0C重合）中，CN,BN,CD的數(shù)量關系是；

（3）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關系，寫出你的結論，并說明理

由.

29.如圖，平行四邊形ABCD中，AELCD于E,BF平分NABC與AD交于F.AE與BF交于G.

（1）延長DC到H,使CH=DE,連接BH.求證：四邊形ABHE是矩形.

（2）在（1）所畫圖形中，在CH的延長線上取HK=AG,當AE=AF時，求證：CK=AD.

30.如圖，矩形ABCD和矩形CEFG,AB=1,BC=CG=2,CE=4,點P在邊GF上，點Q在邊

CE上，且PF=CQ,連結AC和PQ,N,M分別是AC,PQ的中點，則MN的長為（）

答案解析部分

L【答案】（1）解：如圖，連接BD,

BC=3,CE=2,

BE-5,

v5F垂直平分DE,

.??BE=BD=5,DF=EF,

???CD=y/BD2-BC2=V25-9=4，

???DE=VDC2+CE2=V16+4=2z，

.??DF=EF=V5;

(2)證明：如圖，在DC上截取CN=3H,在CE*上截取CM=BG,連接MN,

BH=CN

乙HBG=^NCM=9。。，

、BG=CM

：?>BHGdCNM(SAS),

??.MN=HG,(HGB=(NMC,

??.HG//MN,

又???HG//DE,

???MN//DE,

CMN^ACED,

CM_MN

'~CE=~DE"

???GE=AD+BG,BM=BC+CM,

???BM=GE,

??.BG=ME,

1

???CM=ME=^CE,

1

???MN“DE,

???MN=EF,

???HG=EF.

2.【答案】名

3.【答案】B

4.【答案】V3

5.【答案】(1)證明：?；OC=AO,OD=BO

二四邊形ABCD是平行四邊形

；.AC=2AO,BD=2BO

XVAO=BO

AAC=BD

二四邊形ABCD是矩形

(2)解：如圖：連接0E與BD交于F

V四邊形AOBE是平行四邊形

AAE=BO

XVAO=BO

；.AO=AE

VCEXAE

.\ZAEC=90°

VOC=OA

.,.OE=1AC=AO

???OE=AO=AE

△AOE是等邊二角形，

.\ZOAE=60°

???ZOAE+ZAOB=180°,

.\ZAOB=120°.

???AE=DE,BE=FE,

???四邊形ABDF為平行四邊形，

???BD=AF,BC||AF,

vAB=AC,

??△ABC是等腰三角形，

又?.?AD為BC邊上的中線，

???BD=CD,ADIBC,/-ADC=90°

???CD=AF,

??.四邊形ADCF為平行四邊形，

???四邊形ADCF為矩形

(2)解：設AD=BC=x,貝BD=1x,

在RtAABD中，AB2=AD2+BD2,

?12

得(2V5)=x2+(2%)，

解得X=4或%=-4(舍去)，

.??AD=BC=4,

???四邊形ADCF為矩形，

.?.CF=AD=4,

在Rt△BCF中，BF=VBC2+CF2=V42+42=4V2.

7.【答案】3.5

8.【答案】(1)證明：CF=2BE=2,

：.BE=1,

AE=AB-BE=7.

四邊形ABCD是矩形，

???Z-A=Z-B=Z.C=90°,CD=AB=8,AD=BC=6,

在RtAADE中，DE2=AE2+AD2=62+72=85,

在RtADCF中，DF2=DC2+CF2=82+22=68,

在RtABEF中，EF2=BE2+EF2=I2+42=17,

DF2+EF2=DE2,

ADEF是直角三角形，且Z.DFE=90°；

(2)解：作EH1DF于H,

圖②

貝U乙4=乙DHE=90°.

???DE平分乙ADF,

^ADE=乙HDE,

在AAED和AHED中，

'"=乙DHE

乙ADE=乙HDE,

.DE=DE

AAED=AHEDtiAAS),

DA=DH=6,EA=EH=4,

：.EH=EB=4,

在RtAEHF和RtAEBF中，

(EF=EF

>EH=EB'

RtAEHF=RtAEBF(HL),

BF=HF.

設BF—x,貝!JHF—x，CF=6-x，

DF=DH+HF=6+x,

在RtACDF中，DC2+CF2=DF2,

???82+(6-%)2=(6+%)2,

8

即BF=|.

9.【答案】A

10.【答案】D

IL【答案】117；9

12.【答案】D

13.【答案】A

14.【答案】18

15.【答案】(1)證明：延長ED交BN于點F,如圖所示:

.\ZAED=90°,ZABC=90°

???ZBAC+ZACB=90°

VAM/7BN

???NDFC=180°-NAED=90°

VAC1CD

???NACB+NDCF=90°

???NBAC=NDCF

VAC=CD

.*.△ABC^ACFD(AAS)

???BC=DF

NABC=NDFC=NAED=90°

???四邊形ABFE是矩形

???AB=EF

VDE+DF=EF

二?DE+BOAB.

(2)解：圖②結論：BC-DE=AB；理由如下:

延長ED交BN于點F,如圖所示：

???NAED=NAEF=90°,NABC=90°

???ZBAC+ZACB=90°

???AM〃BN

???ZDFC=ZAED=90°

VAC1CD

JZACB+ZDCF=90°

???NBAC=NDCF

VAC=CD

.*.△ABC^ACFD(AAS)

???BC=DF

ZABC=ZDFC=ZAEF=90°

J四邊形ABFE是矩形

???AB=EF

VDE+EF=DF

???BC-DE=AB；

圖③結論：DE-BOAB；理由如下:

設DE交CN于點F,如圖所示:

.\ZAED=90°,ZABC=90°,

JZBAC+ZACB=90°

VAM//BN

.\ZDFC=ZAED=90°,即NBFE=90。，

VAC1CD

.\ZACB+ZDCF=90°

二?NBAONDCF

VAC=CD

???△ABC^ACFD(AAS)

???BC=DF

NABC=NBFE=NAEF=90°

???四邊形ABFE是矩形

AAB=EF

VDE=DF+EF

二?DE-BOAB.

(3)2或14

16.【答案】V30

17.【答案】學或義例

18.【答案】(1)解：:四邊形ABCD是平行四邊形,ZBAE=65°,

???NBAE=NBCD=65。，

-AD//BC,ZDEC=40°,

???乙ECB=40°,

???乙ECD=乙BCD-乙ECB=65°-40°=25°；

(2)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,

；.AD=BC,AD//BC,

：BF=BE,CG=CE,

；.BC是AEFG的中位線，

；.BC〃FG,BC=jFG,

為FG的中點，

.,.FH=1FG,

；.BC〃FH,BC=FH,

；.AD〃FH,AD=FH,

四邊形AFHD是平行四邊形;

(3)證明：連接EH,CH,

：CE=CG,FH=HG,

ACH=|EF,CH〃EF,

VEB=BF=1EF,

ABE=CH,

四邊形EBHC是平行四邊形，

A0B=0C=1BC,OE=OH=^EH,

VOC=OH,

；.BC=EH,

平行四邊形EBHC是矩形，

.\ZFEG=90°,

AEFXEG.

19.【答案】D

20.【答案】B

21.【答案】A

1724

22.【答案】（一弓,0）或（手，0）或（0,-17）或（0,23）

23.【答案】（1）證明：如圖2,延長BO到E,使得DE=BD.連接AE,CE,

圖2

1.1

貝麗=^BE,

BQ是斜邊ac上的中線，

???CD=AD,

CD=AD

在△BCD和△EAD中，\^BDC=^EDA,

.BD=ED

.,.ABCD=△EAD(SAS),

BC=AE,Z-BCD=Z.EADf

???BC||AE,

.??四邊形2BCE是平行四邊形，

又???^ABC=90°,

二平行四邊形2BCE是矩形，

.?.BE=AC,

1

???BD=^AC.

(2)竽

24.【答案】41

25.【答案】(1)PB=DE

(2)證明：如圖，連接DE.

???四邊形ABCD是菱形，

???BC=CD=DA,NADC=120。，CD||AB.

???NCBP=NBCD=60。.

VAPCE是等邊三角形，

???EC=EP=CP,NECP=60。.

??.NECD=NBCP.

.*.△DCE^ABCP.

?,.NCDE=NCBP=60。.

.*.ZADE=120°-60°=60°.

???NADE=NCDE.

VDE=DE,AD=CD,

???△ADE^ACDE,

???EA=EC,

???EA=EP.

(3)矩形

26.【答案】(1)證明：\?AB=AC,AD是角平分線,

AADXBC,NABONC,

VAN為二ABC的外角NBAM的平分線，

???NMAN=/BAN,

VZBAM=ZABC+ZC,

二./MAN二NC,

???AN〃BC,

/.NDAE=NADC=NADB=90。，

VBE±AN,

???NAEB=NDAE=NADB=90。，

J四邊形ADBE是矩形；

(2)解：如圖，連接AG,

M

??,矩形ADBE中，AD=4,BD=3,

二?BE=AD=4,AE=BD=3,NADB=NDBE=NBDF=90。，

??AB—y/AD2+BD2—V42+32=5,

???DF=1,

:?BF=VOF2+BD2=Vl2+32=V10

???G是BF的中點，

；.DG=BG-BF=①，

22

.\ZBDG=ZDBG,

；.NADG=NEBG,

AGD^ABEG,

；.EG=AG,

???AG=7AB2—BG2=J52—(理)2=

“G呼;

(3)解：由題意知點H運動的軌跡是一條線段，當P與E重合時，Q的位置在Qi,當P與B重

合時，Q的位置在F,此時H分別在%、H2的位置，

VBE//AD,

???NBEG=NDQiG,

.*.△EBG^AQiFG,

二?QiF=BE=4,

由題意知%H2是ACQiF的中位線，

「?"l"2=|QiF=2.

27.【答案】(1)AF=EF

(2)解：仍舊成立，理由如下：

延長DF到G點，并使FG=DC,連接GE,如下圖所示

設BD延長線DM交AE于M點，

VAABC=AEBD,

二?DE=AC,BD=BC,

.\ZCDB=ZDCB,且NCDB=NMDF,

.\ZMDF=ZDCB,

ZACB=90°,

.\ZACD+ZDCB=90°,

VZEDB=90°,

JZMDF+ZFDE=90°,

JNACD=NFDE,

又延長DF使得FG=DC,

???FG+DF=DC+DF,

???DG=CF,

在^ACF和^EDG中，

(AC=ED

\AACF=^EDG,

ICF=DG

.*.△ACF=△EDG(SAS),

；.GE=AF,ZG=ZAFC,

又NAFC=NGFE,

NG