幾何輔助線(xiàn)進(jìn)階訓(xùn)練——構(gòu)造中線(xiàn)

一'階段一

1.已知：如圖，在44BC中，AD是BC邊上的高線(xiàn)，CE是4B邊上的中線(xiàn)，G是EC的中點(diǎn)，連結(jié)

DG,CD=AE,AD=6,BD=8.

(1)求CD的長(zhǎng).

(2)求證：DG1CE.

2.如圖，/ABC中ZC=9O。，AB=10,AC=8,BC=6,線(xiàn)段DE的兩個(gè)端點(diǎn)0、E分別在邊AC,

BC上滑動(dòng)，且DE=4,若點(diǎn)M、N分別是DE、4B的中點(diǎn)，則MN的最小值為

3.

(1)【問(wèn)題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1,在△ABC中，若AB=

13,AC=9,求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使DE=AD,連接BE,容

易證得△ADC^AEDB,再由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是.

解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線(xiàn)”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形，把分散的已知

條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形之中.

(2)【初步運(yùn)用】如圖2,AD是AABC的中線(xiàn)，BE交AC于E,交AD于F,且NFAE=

ZAFE.若AE=4,EC=3,求線(xiàn)段BF的長(zhǎng).

圖2

(3)【拓展提升】如圖3,在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DELDF分別交AB,AC于點(diǎn)E,

F.求證：BE+CF>EF.

圖3

4.如圖，在線(xiàn)段AB上取一點(diǎn)C,分別以AC,BC為邊長(zhǎng)作菱形BCFG和菱形ACDE,使點(diǎn)D在邊

CF上，連接EG,H是EG的中點(diǎn)，且CH=5,則EG的長(zhǎng)是.

5.在中，已知點(diǎn)D、E、F分別是邊AE、BF、CD上的中點(diǎn)，若AABC的面積是14,貝必

DEF的面積為.

6.ABAC=72°,過(guò)C作CFII4B,連接AF與BC相交于點(diǎn)G,若

GF=2AC,求ZBAG的度數(shù).

7.如圖，AABC中，AB=AC,AD平分ZBAC與BC相交于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC

的中點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)P.若AABC的面積是24,PD=1.5,則PE的長(zhǎng)是()

8.如圖所示，E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，且BE=BC,P為CE上任意一

點(diǎn)，PQLBC于點(diǎn)Q,PRLBE于點(diǎn)R,貝1|PQ+PR的值是()

9.如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB,CE_LAB于E,F為AD的中點(diǎn)，若NAEF=54。，則

B.60°C.66°D.72°

10.

(1)方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問(wèn)題：如圖1,在△ABC中，AB=8,

AC=6,求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法(如

圖2),

E

圖1圖2圖3

①延長(zhǎng)AD到M,使得DM=AD；

②連接BM,通過(guò)三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在AABM中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB-BM<AM<AB+BM,從而得到AD的取

值范圍是多少；

（2）請(qǐng)你寫(xiě)出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

（3）深入思考：如圖3,AD是AABC的中線(xiàn)，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF=90°,請(qǐng)

直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線(xiàn)段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

二'階段二

11.如圖，在中,乙4cB=90。，4=30°,BC=4.將△4BC繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△

若點(diǎn)O是BC中點(diǎn),點(diǎn)P是D中點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段。P的最大值等于（）

A.4B.6C.8D.10

12.如圖1,在AABC中,CD,BE分另是48,4C邊上的高線(xiàn)，M,N分別是線(xiàn)段BC,DE的中點(diǎn).

(1)求證：MN1DE.

（2）連接DM,ME,猜想乙4與NOME之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）若將銳角三角形ABC變?yōu)殁g角三角形ABC,其余條件不變，如圖2,直接寫(xiě)出ZBAC與

NOME之間的關(guān)系.

13.如圖，在△ABC中，AD為BC邊的中線(xiàn)，E為力。上一點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交力C于點(diǎn)F,若乙4"

AFAE,BE=4,EF=1.6,則CF的長(zhǎng)為.

14.如圖，AZBC的面積為12,點(diǎn)D,E,F分別為BC,AD,CE的中點(diǎn)，則陰影部分的面積為

)

A.2B.3C.4D.6

15.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,D,E分別為線(xiàn)段AB,AC上一點(diǎn)，且AD=AE,

連接BE、CD交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)F.以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）

①BF=CF；②若BELAC,貝UCF=DF；③若BE平分NABC,貝UFG=|；④連結(jié)EF,若

BE_LAC,則NDFE=2NABE.

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

16.閱讀理解：親愛(ài)的同學(xué)們，在以后的學(xué)習(xí)中我們會(huì)學(xué)習(xí)一個(gè)定理：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等

于斜邊的一半.即：如圖1：在中，乙4cB=90。，若點(diǎn)。是斜邊力B的中點(diǎn)，貝!

(1)牛刀小試：在圖1中，若47=6,BC=8,其他條件不變，則CD=

(2)活學(xué)活用：如圖2,已知乙4BC=^ADC=90。，點(diǎn)E、F分別為ZC、8。的中點(diǎn)，AC=26,

BD=24.求EF的長(zhǎng)；

(3)問(wèn)題解決：為了提高全民健身環(huán)境，公園管理部門(mén)想要建一個(gè)形狀如圖3中的四邊形

ABCD,其中，^ABC=90°,^ADC=60°,AD=CD=6千米，要在公園的B、。之間鋪設(shè)一條筆直

的塑膠跑道，若跑道鋪設(shè)成本每米200元，當(dāng)BD最大時(shí)，請(qǐng)問(wèn)管理部門(mén)預(yù)算160萬(wàn)元夠用嗎？

17.如圖，在△力BC中，ADJ.BC于點(diǎn)D,CE1AB于點(diǎn)E,AD與CE相交于點(diǎn)F,連接DE.

(1)若BD=2,AD=4,CE=6,求SAABO

(2)若ZACF=25。，Z.DEB=45°,求ZB.

18.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是4,NA=60。，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，以BG為邊作菱形BEFG,其中

點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)P為FD的中點(diǎn)，連接PB.貝|PB=.

19.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E,F分別是AO,BC的中點(diǎn)，連接

EF.按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)0,C為圓心，大于30c的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；②作

直線(xiàn)PF,交AC于點(diǎn)G若AD=4V^,BD=8,則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)為

20.如圖，在平行四邊形ABCD中，CD=2AD,BE1AD于點(diǎn)E,F為DC的中點(diǎn)，連結(jié)

EF,BF,下列結(jié)論：?^ABC=2LABF,（2）ADEF+^EBF=90°；③S四邊形DEBC=

2SAEFB；?^CFE=3ADEF,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

三、階段三

21.在平行四邊形ABC。中，AC1CD,E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)M在線(xiàn)段BE上，連接AM,在下方有一點(diǎn)

(1)若乙BCN=6?！?AE=5,求的面積；

(2)若MA=MN,MC=EA+CN,求證：AB=43AE.

（1）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,AABC中，AB=AC,^BAC=90°,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，E、尸分別

為邊AC、48上兩點(diǎn)，若滿(mǎn)足NEDF=90。，貝熊E、AF.48之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是.

（2）【類(lèi)比應(yīng)用】如圖2,AABC中，AB^AC,NBAC=120。，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，E、P分別為

邊AC、上兩點(diǎn)，若滿(mǎn)足NEDF=60。，試探究4E、AF,48之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）【拓展延伸】在AABC中，AB=AC=5,ZBAC=120。，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，E、F分別為直

線(xiàn)AC、上兩點(diǎn)，若滿(mǎn)足CE=1,/.EDF=60°,請(qǐng)直接寫(xiě)出AF的長(zhǎng).

23.如圖，在4ABC中，ABAC=90°,AB=AC=5,點(diǎn)。在AC上，且4。=2,點(diǎn)E是AB上的動(dòng)

點(diǎn)，連結(jié)DE,點(diǎn)F,G分別是BC,DE的中點(diǎn)，連接ZG,FG,當(dāng)AG=FG時(shí)，線(xiàn)段DE長(zhǎng)為

AEB

24.如圖，在R3ABC中，C為直角頂點(diǎn)，ZABC=20°,O為斜邊的中點(diǎn)，將OA繞著點(diǎn)。逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)0。（0<0<180）至OP,當(dāng)△BCP恰為軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，e的值為.

25.在菱形ABCD中，ZD=60°,CD=4,E為菱形內(nèi)部一點(diǎn)，且AE=2,連接CE,點(diǎn)F為CE中

點(diǎn)，連接BF,取BF中點(diǎn)G,連接AG,則AG的最大值為.

26.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)A作AHLBC于點(diǎn)H,連接OH,若

OB=4.5,S菱形ABCD=36,則OH的長(zhǎng)為（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

27.點(diǎn)P是平行四邊形ZBCD的對(duì)角線(xiàn)4c所在直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過(guò)

點(diǎn)A、C向直線(xiàn)BP作垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)E、F.點(diǎn)O為AC的中點(diǎn).

圖1圖2圖3

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，線(xiàn)段0E和。F的關(guān)系是；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，請(qǐng)證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

（3）如圖3,點(diǎn)P在線(xiàn)段04的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N0EF=30。時(shí)，試探究線(xiàn)段CF、AE.OE之間

的關(guān)系.

28.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題背景：數(shù)學(xué)小組在一次課外學(xué)習(xí)交流時(shí)，組內(nèi)一同學(xué)提出如下問(wèn)題：在AABC中，

乙4cB=90。，□為BC邊上一點(diǎn)，但不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合，過(guò)點(diǎn)D作DE人AB于點(diǎn)E.連接

AD,M為/。的中點(diǎn)，連接EM,CM.

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1,EM與CM之間的數(shù)量關(guān)系是；

（2）思考分享：如圖2,將ABDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論還成

立，請(qǐng)證明.小明是這樣思考的：延長(zhǎng)DE至點(diǎn)0,，使得ED'=DE,連接AD'運(yùn)用三角形中

位線(xiàn)定理，.…按照他的思路或采用其他方法證明；

EB

即

AC

圖2

（3）探究計(jì)算：若^ABC=30°,AC=4,DE=2,在XBDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程

中，當(dāng)直線(xiàn)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為.

29.已知，點(diǎn)P是RtAABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），分別過(guò)A、B向直線(xiàn)CP作垂

線(xiàn)，垂足分別為D、E,M為斜邊AB的中點(diǎn)（備注，可以直接用結(jié)論：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等

于斜邊的一半）.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，AD與BE的位置關(guān)系是,MD與ME的數(shù)量關(guān)

系是.

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上不與點(diǎn)M重合時(shí)，試判斷MD與ME的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由；

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上且PQ是不與AB重合的任一直線(xiàn)時(shí)，分別過(guò)A、B

向直線(xiàn)PQ作垂線(xiàn)，垂足分別為D、E,此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

30.在AABC與ACDE中，乙ACB=乙CDE=90°,AC=BC2遙，CD=ED=2,連接

AE,BE,點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，連接DF,ACDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

B

B

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D落在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，DF與BE的數(shù)量關(guān)系是：；

(2)如圖2,當(dāng)ACDE旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D落在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，DF與BE是否仍有具有(1)

中的數(shù)量關(guān)系，如果具有，請(qǐng)給予證明；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若當(dāng)乙800=105。時(shí)，直接寫(xiě)出DF2的值.

答案解析部分

L【答案】(1)解：,.?AD是BC邊上的高線(xiàn)，AD=6,BD=8,

：.AADB=90°,AB=VXD2+BD2=V62+82=10,

是AB邊上的中線(xiàn)，

1

：-BE=AE=^AB=5,

■:CD=AE,

：.CD=5

(2)證明：連接DE,

9：^ADB=90°,CE是43邊上的中線(xiàn)，

：.DE=AE,

：.DE=DC,

???G是EC的中點(diǎn)，

：.DG1CE.

2.【答案】3

3.【答案】(1)2<AD<11

(2)解：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使DG=AD,連接BG,

AE=4,EC=3

???AC=AE+CE=7；

TAD是中線(xiàn)，

???BD=CD,

在^ADC和^GDB中

(DG=AD

\乙BDG=^ADC

(BD=CD

ADC^AGDB(SAS),

???AC=BG=7,NG=NDAC,

■:NFAE=NAFE=NBFG,

AZG=ZBFG,

???BF=BG=7

(3)證明：延長(zhǎng)ED使DG=ED,連接FG,CG,

VFD±ED,

???FD垂直平分EG,

???EF=FG,

在^BED和^CGD中

DG=ED

乙BDE=4CDG

BD=CD

.*.△BED^ACGD(SAS),

二?BE=CG,

在^CFG中

CG+CF>FG即BE+CF>EF

4.【答案】10

5.【答案】2

6.【答案】解：取FG的中點(diǎn)D,連接CD,如圖所示.

設(shè)NF=x。，

VZB=90°,CF〃AB,

???NBAG=x。，ZBCF=90°,

???DC=DF=DG.

又,「GF=2AC,

???AC=DC=DF=DG,

.\ZADC=ZDAC=2x°.

NBAO72。，

.\3xo=72o,

:.NBAG=NF=x°=24。.

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】(1)解：如圖2,延長(zhǎng)AD到M,使得DM=AD,連接BM,

:人口是^ABC的中線(xiàn)，

???BD=CD,

在^MDB和^ADC中，

BD=CD

乙BDM=Z.CDA,

、DM=AD

A△MDBADC(SAS),

???BM=AC=6,

在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM,

A8-6<AM<8+6,2<AM<14,

.\1<AD<7,

故答案為：1VADV7；

方法總結(jié)：上述方法我們稱(chēng)為“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”.“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)

系.

(2)解：AC/7BM,且AC=BM,

理由是：由(1)知，△MDB^AADC,

?,.NM=NCAD,AC=BM,

???AC〃BM；

(3)解：EF=2AD,

理由：如圖2,延長(zhǎng)AD到M,使得DM=AD,連接BM,

由(1)知，△BDM^ACDA(SAS),

???BM=AC,

\?AC=AF,

???BM=AF,

由(2)知：AC〃BM,

??.NBAC+NABM=180°,

???NBAE=NFAC=90。，

AZBAC+ZEAF=180°,

???NABM=NEAF,

在^ABM和4EAF中，

'AB=EA

乙ABM=/LEAF,

、BM=AF

.*.△ABM^AEAF(SAS),

???AM=EF,

VAD=DM,

；.AM=2AD,

VAM=EF,

；.EF=2AD,

即：EF=2AD.

11.【答案】B

12.【答案】（1）證明：如圖，連接DM,ME,

VCD,BE分別是AB,4c邊上的高線(xiàn)，M是BC的中點(diǎn)，

11

=^BC,ME=”C，

：.DM=ME,

又TN為DE中點(diǎn)，

：.MNIDE；

(2)解：^DME=180°-2zX；理由如下：

在△力BC中，LABC+Z.ACB=180°-

VDM=ME=BM=MC,

：.Z.ABC=Z-BDM,乙ACB=4CEM,

：.Z.BMD=180°-乙ABC-乙BDM=180°-2乙ABC,

乙CME=180°-^ACB一乙CEM=180°-2乙ACB,

：.Z.BMD+MME=(180°-2^ABC)+(180°-2^ACB)

=360°-2^ABC+Z.ACB)

=360°-2(180°-4A)

二2"

."DME=180°-(乙BMD+ACME)=180°-2^A；

(3)解：^DME=2LBAC-180°

13.【答案】2.4

14.【答案】B

15.【答案】D

16.【答案】(1)5

(2)解：如圖2,連接BE、DE,

■■■^ABC=90°,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC=26,

1

??.BE=jAC=13,

???乙ADC=90°,

1

DE=^AC=13,

BE=DE=13,

???點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),BD=24,

1I

BF=DF=^BD=1x24=12,EF1BD,

???Z.BFE=90°,

???EF=VBE2-BF2=V132-122=5，

???即的長(zhǎng)是5.

(3)解：如圖3,連接力C,取AC的中點(diǎn)E,連接BE、DE,

???2L4DC是等邊三角形，

??.AC=AD=6千米，

???AE=CE=2AC=2x6=3(千米),

DE1AC,

???,LAED=90°,

???DE=y/AD2-AE2=V62-32=3V3（千米），

???Z.ABC=90°,

1

BE=^AC=3千米，

,*eBD（DE+BE,

BD<（3百+3）千米，

如圖4,當(dāng)8、E、。在同一直線(xiàn)上時(shí)，BD的值最大，此時(shí)BD=（3遮+3）千米,

???跑道鋪設(shè)成本每米200元，

（3V3+3）X1000X200=（600000V3+600000）元，

二跑道鋪設(shè)的總成本為（600000VI+600000）元，

600000V3+600000>1600000,

.??管理部門(mén)預(yù)算160萬(wàn)元不夠用.

17.【答案】（1）解：VAD1BC,：.^ADB=90°,在RtAABD中，BD=2,AD=4,.'.AB=

22

VAD+BD=2瓜VCE=6,CE1AB,--SLABC=^AB?CE=*X2逐X6=6V5;

（2）解：如圖，取C力的中點(diǎn)G,連接DG,EG,

'：^BDA=90°,CELAB,J.^ADC=AAEC=90°,為C;4的中點(diǎn)，：.GE=AG=GC=DG=

1

^AC,，乙GDE=^GED,Z.GEA=Z-GAE,9：^DEB=45°,：.^DEG+LGEA=135°,ALDGA

360°—2X135°=90°,：.DG1AG,,：AG=GC,：.DA=DC,：.^DCA=45°,：.^BCE=45°-

25°=20°.VzBFC=90°,AzB=90°-Z.BCE=90°-20°=70°.

18.【答案】V7

19.【答案】2VT7

20.【答案】D

21.【答案】（1）解：..?四邊形ABCD為平行四邊形，

AAB//CD,AD/7BC,

ZCAD=ZACB=ZBCN=60°,

又ACJ_CD,

AAB±AC,

AZB=30°,

在R3ABC中，E為BC的中點(diǎn),

；.BC=2AE=10,

；.AC=；BC=5,

-'-AB=y/BC2-AC2=5g，

?,SAABE—4X3X5x5V3-V3

由（1）知NACM=/GCM,

又MC=MC,

?.△ACM^AGCM,

AAM=GM,ZMAC=ZG,

又AM=MN,

AGM=MN,

...ZG=ZMNG=ZMAC=ZMAE+ZEAC,

又由(1)可得EC=EA,

ZEAC=ZACE=ZNCM,

ZMNG=ZNCM+ZNMC,

AZNMC=ZMAE,

在MC上截取MF=AE,

.*.△MAE^ANMF,

AME=FN,

又MC=ME+CE=MF+CF,MC=EA+CN,

：EA=MF=CE,

；.ME=CN=FN=CF,

...△NCF為等邊三角形，

.\ZMCN=60°,.\ZACB=60°,AZABC=30°,:.AB=*BC，

VAE=1BC,.-.AB=V3AE.

22.【答案】AB=AF+AE【類(lèi)比應(yīng)用】（2）如圖2,ATWC中，AB=AC,NB4C=120。，點(diǎn)。為BC

的中點(diǎn)，E、F分別為邊力C、AB上兩點(diǎn)，若滿(mǎn)足NEDF=60。，試探究力E、AF.AB之間滿(mǎn)足的數(shù)量

關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】解：AE+AF=aAB.理由是：取中點(diǎn)G,連接OG,如圖2

圖2

AC,ABAC=120°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),."BAD=乙CAD=60°,/.Z.GDA=乙BAD=60°,即

^GDF+^FDA=60°,又.."FAD+NADE=NFDE=60。，：.^GDF=^ADE,"：DG=AG,

ABAD=60°,.?.△4DG為等邊三角形，：.^AGD=^CAD=60°,GD=AD,：.AGDF

11

ADE{ASA),：.GF=AE,：.AG=^AB=AF+FG=AE+AF,+4F=豺8;【拓展延伸】

(3)在△ABC中，AB=AC=5,ZBAC=120。，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，E、尸分別為直線(xiàn)AC、AB上兩

點(diǎn)，若滿(mǎn)足CE=L乙EDF=6。。,請(qǐng)直接寫(xiě)出AF的長(zhǎng).【答案】解：4F的長(zhǎng)為|或應(yīng)

(1)AB=AF+AE

(2)解：4E+4F=理由是：

取43中點(diǎn)G,連接DG,如圖2

圖2

???點(diǎn)G是△力。B斜邊中點(diǎn)，

1

:?DG=AG=BG=^AB,

9：AB=AC,ABAC=120°,點(diǎn)D為3。的中點(diǎn)，

：.^BAD=乙CAD=60°,

：.Z.GDA=^BAD=60°,即4GD尸+匕FDA=60°,

又丁乙尸力。+乙ADE=乙FDE=60°,

C./-GDF=^ADE,

9：DG=AG,LBAD=60°,

???△力DG為等邊三角形，

：.Z.AGD=乙CAD=60°,GD=AD,

：.LGDFADE(ASA),

：.GF=AE,

???力G=^AB=AF+FG=AE+AF,

：.AE+AF=^AB;

(3)解：ZF的長(zhǎng)為|或彳

23.【答案】V13

24.【答案】40或100或70

25.【答案】i+V7

26.【答案】C

27.【答案】(1)OE=OF

(2)解：補(bǔ)全圖形如圖所示，OE=。?仍然成立,

圖2

證明如下：延長(zhǎng)E。交CR于點(diǎn)G,

^AE1BPfCF1BP,

：.AE//CF,

C.Z.EAO=乙GCO,

???點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

：.A0=CO,

又???44?！?乙COG,

C.AAOE=ACOG,

：.0E=OG,

.:乙GFE=90°,

1

-,-OF=尹G=OF;

(3)解：當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段。4的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，線(xiàn)段CF、AE.OE之間的關(guān)系為OE=CF+4E,

證明如下：延長(zhǎng)E。交FC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,如圖所示，

H

圖3

由（2）可知AAOE三ACOH,

：.AE=CH,OE=OH,

又.."OEF=30。，/.HFE=90°,

1

:.HF￡EH=OE,

：.0E=CF+CH=CF+AE.

28.【答案】（1）EM=CM

（2）解：（2）如圖，

延長(zhǎng)DE到點(diǎn)D',使得D'E=DE,延長(zhǎng)AC到點(diǎn)4,使得A'C=AC,分別連接D'A、

D'B、A'B和A'D,

■:DE1BE,

：.BE為DD'的垂直平分線(xiàn),

：.BD'=BD,

:.乙D'BD=2乙DBE,

同理可得BA=BA',AABA'=2AABC,

,:乙DBE=乙ABC,

：.^D'BD=AABA',

：.^D'BA=^DBA',

在AD'BA和ADBA'中，

'BD'=BD

乙D'BA=ZDBA'，

BA=BA'

：.AD'BA=ADBA'（SAS）,

J.D'A=DA',

?：DE=D'E,AMDM,AC=A'C,

：.ME,MC分別是AD'DA和AADA'的中位線(xiàn),

ii

■,.EM=加A,CM=^DA',

：.EM=CM；

（3）2V13-2或2河+2

29.【答案】(1)AD//BE；MD=ME

(2)如圖，延長(zhǎng)EM交AD于F,

由（1）得：AD//BE,

Z.FAM=乙MBE,

???M為AB的中點(diǎn)，

AM=BM,

???Z-AMF=Z.BME,

??.△AFM=△BEM（ASA\