初中照學(xué)

一元二次方程（壓軸題專練）

一、填空題

1.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程（楊+3）--4》+必+同+3=0的常數(shù)項(xiàng)是6,則

一次項(xiàng)是（）

A.一1B.-1C.xD.1

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程定義可得|加|+3=6,加+370,可得加的值，再代入原方程，由此即可得結(jié)果.

【詳解】解：.??關(guān)于x的一元二次方程（刃+3）尤2-4》+5+|制+3=0的常數(shù)項(xiàng)是6,

.?.網(wǎng)+3=6,m+3H0,

解得：加=3,

把加=3代入原方程可得6——、+6=0,

???一次項(xiàng)是一%,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的一般形式：一元二

次方程的一般形式是a/+bx+c=0（aw0）,其中，是二次項(xiàng)，版是一次項(xiàng)，。是常數(shù)項(xiàng).

2.（2023春?福建南平?九年級(jí)專題練習(xí)）兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程辦2+bx+c=o和52+bx+a=o,其中

a,b,c是常數(shù)，且a+c=0,如果％=2020是方程辦2+云+。=0的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程

ex?+瓜+@=0的根的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及一元二次方程的解法即可求出答案.

［詳解］丁aw0,cw0,a+c=0

￡=-1,

a

ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0,

x2+—x+—=0,—x2+—x+l=0,

aaaa

初中照學(xué)

bb

x29+-X-1=0,x92——x-1=0,

aa

x=2020是方程辦2+bx+c=0的一個(gè)根，

x=2020是方程Y+—x-1=0的一個(gè)根，

a

x=-2020是方程%2—2%_]=（）的一個(gè)根,

a

即x=-2020是方程ci+樂+〃=o的一個(gè)根

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的定義以及方程的解的概念.

3.（2023?全國?九年級(jí)假期作業(yè)）根據(jù)絕對值的定義可知％=\（，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

110）

①化簡|a|+|6|+?一共有8種不同的結(jié)果；

②「+3|+|2-R的最大值是5

③若％=[3〃-19|,S〃=4+%+…+%（〃為正整數(shù)），則當(dāng)S〃=1327時(shí)，〃=35；

1OOOO

④若關(guān)于X的方程/2-^-]="有2個(gè)不同的解，其中。為常數(shù)，則-4<6<2或6速

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】C

【分析】由科、同、上的結(jié)果分別有2種，則⑷+向+?的結(jié)果共有2x2x2=8種，可判斷①；根據(jù)x的

取值，化簡運(yùn)算及+3|+|2-司即可判斷②；根據(jù)

【詳解】解：???|。|、例、卜|的結(jié)果分別有2種，

|a|+|6|+|c|的結(jié)果共有2x2x2=8種,

故①正確；

當(dāng)x〉2時(shí)，|x+3|+|2-x|=x+3+x-2=2x+1,

當(dāng)00x<2時(shí)，|x+3|+|2—x|=x+3+2—x=5,

當(dāng)—3Wx<0時(shí)*,|x+3|+12-x|-3-x+2-x-5-2x,

當(dāng)x<—3時(shí)，|x+3|+12—x|=—x-3+2-x=—2x—1,

初中劇學(xué)

故②錯(cuò)誤；

Q”是正整數(shù)，

?fl9-3n,l<n<6

.e.an—\in-19=《

〃11I3z7-19,n>7

§6=16+13+10+7+4+1=51,

"2+3〃79)(”6),…

2

、［/__「一(2+3x35-19)x(35-6)

當(dāng)〃=35時(shí)，Sn=51+^-----------------------------^=51+1276=1327,

〃2

故③正確;

-x2-—x--,x<>4

l28333

x—x——

331228c/

---XH—XH—.-2<x<4

333

i22

當(dāng)xW—2或x24時(shí)，-x2——x——=x+b,

333

-1-§-6=。,

333

V方程有2個(gè)不同的解,

A=〃-4QC=(一g1_4x；x(_g_,>0,

解得：b>,

12

128

當(dāng)一2<x<4時(shí)，——xH——x+Z),

333

--X2-—x+--b=0,

333

方程有2個(gè)不同的解，

△="_4ac=U-4x^-^x^-Z)^>0,

解得：b<3^3,

故④錯(cuò)誤；

綜上，正確的有①③，

故選：C.

初中照學(xué)

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，絕對值的性質(zhì)，一元二次方程的判別式，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的

關(guān)鍵.

4.（2023春?江蘇?八年級(jí)期末）已知兩個(gè)多項(xiàng)式/=x?+尤+1,B=X2-X+\,x為實(shí)數(shù)，將A、B進(jìn)行加減

乘除運(yùn)算：

①若A+B=10,則x=2；

@\A-B-l\+\A-B+^=6,則x需要滿足的條件是一24x41；

③/xB=0,則關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根；

④若x為正整數(shù)（xw3）,且與f為整數(shù)，則x=l,2,4,5.

上面說法正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】利用/+8=10可求出x=±2,故①錯(cuò)誤；對|4-3-2|+|/-2+4|=6分情況討論可知②正確；若

/一3

AxB=0,則/=0或3=0,利用根的判別式可知/=0,3=0時(shí)，方程無解，故③正確；由■^為整數(shù),

B—/

2

可得一?是整數(shù)，可求出x=l,2,4,5,故④正確.

x-3

【詳解】解：A—x2+x+1>B=x2-x+1<

二①當(dāng)4+8=10時(shí)，貝Ux2+x+l+x2-x+l=10，解得：x=±2,故①錯(cuò)誤；

②當(dāng)+—8+4|=6,貝”/__8_2|+|4_2+4=|2x-2|+2x+《=6,

當(dāng)xM—2時(shí)，2x—2|+|2x+4|=2—2x—（2x+4）=—4.x—2=6,解得：x——2：

當(dāng)-2<xVl,|2x-2|+|2x+4=2-2x+（2x+q=6,解得：-2<x<l：

當(dāng)x>l,|2x—2|+|2x+41=2x—2+（2x+4）=4x+2=6,解得：x=l（舍去）；

綜上所述：-2<x<l,故②正確；

③若4x8=0,貝1]/=0或8=0,

當(dāng)/=0時(shí)，x2+x+1=0,A=/?2-4ac=1-4=-3<0，無解；

當(dāng)3=0時(shí)，x2~x+l=0）△=6?-4ac=1-4=-3<0，無解；

：.AxB=0,關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根；故③正確;

初中照學(xué)

2

金=f+x+l-3=x：+x-2=X-X-6+2X+4乜?2x+4口卜2(尤+2)=i—

B—7—x+1—7%2一%—6—x—6x2—x~6(x+—3X—.

A-32

。為整數(shù)’則三是整數(shù)，

?；x為正整數(shù)（xW3）,解得：x=l,2,4,5,故④正確;

...正確的有②③④

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡，含絕對值的一元一次方程的求解，根的判別式，能夠正確解方程是解題的

關(guān)鍵.

5.（2023?全國?九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于x的一元二次方程af-2G+6+1=0（ab#0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根上,

則下列選項(xiàng)成立的是（）

A.若則:>、B.若一>、,則0<a<l

abab

C.若OVaVl,則鼠&D.若則-IVaVO

abab

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程的根的情況利用判別式求得a與b的數(shù)量關(guān)系，再代入方程求k的值，然后結(jié)

合a的取值范圍和分式加減法運(yùn)算法則計(jì)算求解.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程分-2ax+6+l=0（。即0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根人，

/.A=(―2〃)2—4〃(6+1)=0,

4。2—4ab—4?！?,

又「abW0,

?\a-b-l=Of即a=b+l,

ax2-2ax+a=0,

解得：X1=X2=\,

k_k_]___1_1

abaa-1Q(Q-1)

、“kk?,kk八

當(dāng)一>一時(shí)，即Qri---->0,

abab

1

即一>0,

a(a-1)

初中照學(xué)

??a(a-1)<0,

a<0?！?

即a-l>0或

Q—1<0

解得Q<a<\

、“kkkk八

當(dāng)一〈一時(shí)，即on----<0,

abab

BP--^r<0,

a\a-i)

a(a-1)>0,

解得：a>l或a<0.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的情況求得。與6之間的等量關(guān)系是

解題關(guān)鍵.

6.（2023春?安徽?八年級(jí)期中）對于一元二次方程"2+&+。=0（.彳0）,下列說法：

①若a-b+c=O,貝！I/?一4acN0；

②若方程ax?+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程辦2+bx+c=O必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

③若c是方程ax?+6x+c=0的一個(gè)根，則一定有ac+6+l=0成立；

222

④若x0是一元二次方程ax+bx+c=O的根，則b-4ac=（2ax0+b）

其中正確的：（）

A.只有①B.只有①②C.①②③D.只有①②④

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程解的含義、一元二次方程根的判別式等知識(shí)逐個(gè)分析即可.

【詳解】由a-6+c=0,表明方程G2+A+C=0（"0）有實(shí)數(shù)根-1,表明一元二次方程

辦2+加+。=0（。力0）有實(shí)數(shù)解，貝l|△=b2-4ac20,故①正確;

???方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

.??方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

a

初中照學(xué)

即。與C異號(hào).

-ac>0f

A=Z?2-4ac=b2+（T〃c）>0,

*e?方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

故②正確；

Vc是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，

ac2+6c+c=0，

即c（ac+b+1）=0

當(dāng)cwO時(shí)，一定有〃c+b+l=O成立；

當(dāng)c=0時(shí)，則ac+b+l=0不一定成立，例如：方程3%2+2%=0,則〃c+b+l=3wO；

故③錯(cuò)誤；

,/%是一元二次方程分2+/+°=o的根，

ax^+bxQ+c=0,

c——UXQ—bx0,

222

b-Aac=b-4。（-。京-bx0）=+4ax0+b=（2。/+,

故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)是解答本題

的關(guān)鍵.

7.（2023春?安徽滁州?八年級(jí)校聯(lián)考期中）對于一元二次方程辦2+6x+c=0（aw0）,下列說法：

①若a+6+c=0,則62-4acN0;

②若方程ax。+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax?+6x+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

③若c是方程ax2+6x+c=0的一個(gè)根，則一定有ac+6+l=0成立；

④若「是一元二次方程ax2+6x+c=0的根，則〃-4"二化嘰+才其中正確的（）

A.只有①②④B.只有①②③C.①②③④D.只有①②

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)解決此題.

初中照學(xué)

【詳解】①當(dāng)x=l時(shí)，ax12+/,x1+c=a+b+c=Q,那么一元二次方程辦不歷也力(存0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)〃一40侖0成立，那么①一定正確.

②方程aN+cR有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則-4ac>0,那么62-4ac>0,故方程辦2+Z?x+c=0(a#0)必有兩個(gè)不

相等的實(shí)根，進(jìn)而推斷出②正確.

③由c是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，得ac2+bc+c=0.當(dāng)c#0,則ac+6+l=0；當(dāng)c=0,則ac+b+1不一定等于

0,那么③不一定正確.

@(2axo+fe)2=4a2xo2+b2+4abxo,由b2-4ac=4a2xo2+b2+4abxo,Maxo^+bxo+c—0.由xo是一■元二次方程aN+bx+cR

的根，則axo2+6xo+c=O成立，那么④正確.

綜上：正確的有①②④，共3個(gè).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，熟練掌握一元二次

方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

8.(2023?全國?九年級(jí)假期作業(yè))若方程/+28-3。-2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根國、赴滿足

X：+x/=4-(/2+x；),則實(shí)數(shù)p的所有值之和為()

35

A.0B.—C.—1D.—

44

【答案】B

【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到x：+2px「3p-2=0,xi+x2=-2p,進(jìn)而推

322

出X：=3毋1+2尤］，貝UX：+無：=3/1+2尤］+x：,x2+x2=3px2+2x2-2px^+x2,即可推出

2

(30+2)(/+x2)+(lw2^)(x/+%2)=4,然后代入占+x2=-2p,x：+/2=(X［+々)2-4。得到

2PHp+3)(〃+1)=0,再根據(jù)判別式求出符號(hào)題意的值即可得到答案.

【詳解】解：：為、%是方程尤2+21—3°—2=0的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

+2pxx-3p-2=0,再+/=_2p,x1x2=-3p-2,

Xy+2pxx=32+2,

xj+2px；=3pxx+2再,

xj=3pX[+2xj-2px；,

初中懿老

%：+須2=3pX]+2演-2px：+再2,

22

同理得々3+x2=3Px?+2X2-2px^+x2,

X^~\~xj=4—(x2?+^"1)，

Xj2+Xy+(%2+^2)=4,

2

3Pxi+2占-2Px：+x；+3px2+2X2-2px^+x2=4,

22

(3p+2)(x]+x2)+(l-2/7)(x1+x2)=4,

(3。+2)(-2^)+(1-20](-2p)2-2(-3p-2)]=4,

一622一4〃+(1-22乂4P2+62+4)=4,

一62之一42+4夕2+62+4—2m4p2+6/>+=4,

-2p2+2p-2。(4p2+6夕+4)=0,

-2/?+6/7+4+11=0,

2p(4p2+7p+3)=0,

2M40+3)(夕+1)=0,

入，3

角軍得Pl=0，P2=23=一^，

??,A=(2p『+4(3p+2)>0,

，p?+32+2>0,

.,?(2+1)(2+3)>0,

??.2=-1不符合題意，

.3

??P\+P3=~~

符合題意，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一元二次方程解的定義，熟知一元

二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵.

初中照學(xué)

9.（2023春?浙江杭州?八年級(jí)?？计谥校┛盏厣嫌幸欢伍L為a米的舊墻MN,利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形

菜園（如圖1或圖2）,已知木欄總長為40米，所圍成的菜園面積為S.下列說法錯(cuò)誤的是（）

7////"/乂/////N

IrrIl-f*1

圖1圖2

A.若a=16,S=196,則有一種圍法

B.若a=20,5=198,則有一種圍法

C.若a=24,5=198,則有兩種圍法

D.若a=24,5=200,則有一種圍法

【答案】A

【分析】分兩種情況討論：，圖2圍法，設(shè)矩形菜園垂直于墻的邊為x米，分別表示矩形的長，再利用矩形

面積列方程，解方程，注意檢驗(yàn)x的范圍，從而可得答案.

【詳解】解：設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為（40-2x）米，

S=x（40-2x）=~2x2+40x,

當(dāng)。=16時(shí)，米用圖1圍法，貝?。荽藭r(shí)12￡x〈20,

當(dāng)S=196時(shí)，

-2X2+40X=196,

解得：Xj=10+V2,x2=10-72,

此時(shí)都不符合題意，

采用圖2圍法，如圖，

MN

J______/////////////////D

31------------------------------------------------------------------」C

此時(shí)矩形菜園的寬為X米，即==

初中照學(xué)

則AD+8C=40-2x416,則2c=28-%所以長為（28-力米,

結(jié)合28-x>16可得0〈x〈12,

/.x（28-x）=196,

解得：匹=%=14,經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，

綜上：若。=16,5=196,,則沒有圍法，故A符合題意；

設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為（40-2司米，

S=x（40-2x）=-lx1+40x,

當(dāng)a=20時(shí)，采用圖1圍法，則此時(shí)10￡x〈20,

當(dāng)S=198時(shí)，

-2X2+40X=198,

解得：網(wǎng)=n,%=9,經(jīng)檢驗(yàn)x=ll符合題意；

采用圖2圍法，如圖，

/______M〃〃/〃〃〃〃〃〃ND

B'-------------------------------------------」C

此時(shí)矩形菜園的寬為x米，即ZB=CD=x,

貝1]40+^^=40-法+20,貝”C=30-x,所以長為（30-x）米，

結(jié)合30-x>20可得0<x<10,

/.x（30-x）=198,

解得：占=15+3省=15-3百，經(jīng)檢驗(yàn)x=15-36符合題意,

綜上：若a=20,5=198,則有兩種圍法，故B不符合題意；

設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為（40-2x）米，

S=x（40-2x）=~2x2+40x,

初中照學(xué)

當(dāng)。=20時(shí)，采用圖1圍法，則此時(shí)10￡x<20,

當(dāng)S=198時(shí)，

-2X2+40X=198,

解得：經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意；

XI=11,X2=9,

采用圖2圍法，如圖，

A-M〃〃〃〃/〃〃〃〃ND

B'I------------------------------------------------------------1C

此時(shí)矩形菜園的寬為x米，即Z8=CO=x,

貝!]/￡>+8c=40-2x+24,則3c=32—x,所以長為（32—x）米,

結(jié)合32-x>24可得0cx<8,

x（32-x）=198,

解得：=16+A/58,X2=16-758,經(jīng)檢驗(yàn)都不符合題意，

若a=24,5=198,則有兩種圍法，C不符合題意，

設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為（40-2切米，

S=x（40-2x）=-lx1+40x,

當(dāng)。=20時(shí)，采用圖1圍法，則此時(shí)10￡x<20,

當(dāng)S=200時(shí)，

-lx1+40x=200,

解得：玉=遍=10,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；

采用圖2圍法，如圖,

初中照學(xué)

M〃〃/〃〃〃〃〃〃，_力

B'-------------------------------------------」C

此時(shí)矩形菜園的寬為x米，即N3=CD=x,

貝i]/D+BC=40-2x+24,則3C=32-無，所以長為（32-x）米，

結(jié)合32-x>24可得0<x<8,

x（32-x）=200,

解得：X[=16+=16-2A/54,經(jīng)檢驗(yàn)都不符合題意，

綜上所述，若。=24,5=200,則有一種圍法，D不符合題意；

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，表示圖2中矩形的長是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題

10.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考一模）將關(guān)于x的一元二次方程f-px+q=0變形為/=灰-夕，就可以將x?表

示為關(guān)于X的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如工3=尤.2=六0尤-4）=...,我們將這種方法稱為“降

次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，已知：x2+x-l=0,且x>0.則

尤4_2x3+3x的值為.

【答案】6-275

【分析】先將x2+x-l=0變形為Y+x=l,Y=l-八再禾I」用“降次法”將一一2/+3工轉(zhuǎn)化為4一4》，然后解

一元二次方程，求出x,再代入求值即可.

【詳解】解：d+x-l=0，

??X+x=l,X—1—X.

」.x4-2x3+3x

=x4+/-3^3+3x，

=x2（x2+x）-3x-x2+3x,

初中照學(xué)

=x2—3x(1—x)+3x,

=1-x—3x+3%2+3x，

=\—x—3x+3(1—x)+3x,

=l-x-3x+3-3x+3x,

=4-4x.

*?*x2+x-l=0，ci=l,b=\,c=-l,

???4=/_4。。=1+4=5>0

.-1±V5

??x=--------,

2

x>0,

-I+A/5

x=----------;

2

二.原式=4-4.士好

2

=4-2(-l+V5)

=4+2-2如

=6-275.

故答案為：6-2\[5-

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值和解一元二次方程.理解并掌握“降次法”，是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一塊矩形菜地==6（m）,面積為s（m）現(xiàn)

將邊增加Im.

（1）如圖1,若。=5,邊4。減少1m,得到的矩形面積不變，則b的值是

（2）如圖2,若邊/。增加2m,有且只有一個(gè)。的值，使得到的矩形面積為2s（m）,貝子的值是.

【答案】66+472/4>/2+6

初中照學(xué)

【分析】（1）根據(jù)面積的不變性，列式計(jì)算即可.

（2）根據(jù)面積，建立分式方程，轉(zhuǎn)化為a一元二次方程，判別式為零計(jì)算即可.

【詳解】（1）根據(jù)題意，得，起始長方形的面積為s=M（m）變化后長方形的面積為（。+1）（6（m）,

9：a=5,邊4。減少1m,得到的矩形面積不變，

.??（5+1）伍-1）=56,

解得b=6,

故答案為：6.

（2）根據(jù)題意，得，起始長方形的面積為5=仍仙2）,變化后長方形的面積為（。+1）伍+2乂m2）,

2s=（a+1）0+2）,b=—,

。+1a

2/+（2-S）Q+S=O,

???有且只有一個(gè)。的值，

A=/72-4ac=（2-5）2-85=0,

；?s?-⑵+4=0,

解得S1=6+4^/2,s2=6-4^/2（舍去），

故答案為：6+472.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的面積變化，一元二次方程的應(yīng)用，正確轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?河北衡水?統(tǒng)考二模）六張完全相同的小矩形紙片C與A,B兩張矩形紙片恰好能拼成一個(gè)相鄰

邊長為m,50的大矩形，部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示.

初中照學(xué)

（1）若〃=8,則矩形A的水平邊長為；

（2）請用含m,n的代數(shù)式表示矩形A的周長：；

（3）若矩形A,B的面積相等，貝＞］〃=.

【答案】26100+2m-12??—

【分析】（1）根據(jù)圖可得矩形/的長+3個(gè)小矩形寬=50,即可得到矩形/的水平邊長；

（2）根據(jù)圖可得矩形”的寬+3個(gè)小矩形寬=冽，進(jìn)而得到矩形”的豎直邊長，即可得到答案;

（3）分別表示出矩形/,8的面積，根據(jù)矩形/,8的面積相等即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)矩形/的水平邊長為。，矩形/的豎直邊長6,

（1）由圖可知。+3〃=50,

二.〃=50—3〃=50—3x8=26；

（2）由（1）可知〃=50-3〃,

由圖可知6=加-3〃

矩形/的周長=2（a+6）=2［（50-3〃）+（機(jī)-3〃）］

=2（50+加一6"）=100+2m-12n；

（3）由題知,矩形4的面積=。6=（50-3〃）（機(jī)-3〃）；

由圖知，矩形8的面積=2〃?3〃=6"2

矩形4,5的面積相等，

（50-3〃）（加-3〃）=6”?①

???小矩形紙片長=〃-2〃，矩形/的水平邊長為。=50-3〃

由圖可知小矩形紙片長=矩形4的水平邊長

...加—2〃=50-3〃②

25

聯(lián)立①②解得，?=y（〃=50舍去）.

故答案為：26；100+2m-12/?；了.

【點(diǎn)睛】本題主要考查列多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的值，一元二次方程，掌握解題的方法以及解方程的方法是解題

的關(guān)鍵.

13.（2023春?浙江?八年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)矩形內(nèi)放入兩個(gè)邊長分別為3cm和4cm的小正方形紙片，按照圖

初中照學(xué)

①放置，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為7cm2；按照圖②放置矩形

紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為11cm,若把兩張正方形紙片按圖③放置時(shí)，矩形紙片沒有

被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為.

【答案】8c//8平方厘米

【分析】設(shè)矩形的長為x,寬為＞，根據(jù)圖①和圖②的陰影面積列出方程組，求出xj的值，再求圖③的面

積求解即可.

【詳解】解：設(shè)矩形的長為x,寬為V,由題意，得：

(x-3)(y-4)+(x-4)(y-3)=7

個(gè)=16+34)+11

2xy=7x+7>-17①

整理，得:

xy=l5+3)?

把②代入①得：＞=47-7x③,

把③代入①得：2x(47-7x)=7x+7(47-7x)-17,

整理，得：7/—68X+156=0,

解得：%!=6,X2=^~,

當(dāng)％=6時(shí)，＞=47—6x7=5,

當(dāng)X=?時(shí)，J=47-yx7=21（不合題意，舍去）；

，長方形的長為6cm,寬為5cm,

2

二圖③中的陰影面積為：6x5-16-3x（6-4）=8cm:

故答案為：8cm2.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用.正確的識(shí)圖，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵.

14.（2023春?浙江?七年級(jí)期末）已知在長方形紙片/BCD中，4B=6,AD=5,現(xiàn)將兩個(gè)邊長分別為。和6

的正方形紙片按圖1、圖2兩種方式放置（圖1、圖2中兩張正方形紙片中均有部分重疊），長方形中未被

初中照學(xué)

這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為耳，圖2中陰影部分的面積為邑;

若邑-岳=3時(shí)，則6=；若再在邊長為。大正方形的左上角擺放一個(gè)邊長為6的小正方形(如圖

3),當(dāng)H=8時(shí)，則圖3中陰影部分的面積,=

【分析】先將H，邑，邑用用a,b表示,再分別根據(jù)$2-耳=3與'=8,星=11計(jì)算即可.

【詳解】解：在圖1中，根據(jù)題意得：E=S長方形4PCZ)—S大正方形一百、正方形十條小正方形重疊部分，

E=6x5—a?—b2+(4+/?—6)h——/+ab—6b+30,

同理在圖2中，S2=S長方形S大正方形—S小正方形+S大小正方形重疊部分，

S?=6x5-/—/72++b—5)6——a2+ab—5b+30

5-￡=(-a?+abSb+30)—-&+ab—6b+30=b,

又?.?邑—￡二3,

：.b=3.

又,.,Si=8,即一。2+“b—66+30=8，

將6=3代入方程—/+〃6—66+30=8中得：

—a?+3cl—6x3+30=8

a

解得：\=4,tz2=-1(舍去)，

.*.(2=4.

在圖3中,$3=S大正方形+5小正方形一展上空白大直角三角形一圣下空白小直角三角形

2222221

??.S3=a+b--(a+b)b--a=-ab—ab=^>4/4—>4>3△:

2V722222222

初中照學(xué)

13

故答案為：3；—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，整式的混合運(yùn)算，解一元二次方程，掌握相關(guān)知識(shí)和技巧是解題的關(guān)鍵.本

題難度較大，所列式子較復(fù)雜，需要較強(qiáng)的閱讀理解能力和對數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力.

三、解答題

15.（2023春?福建福州?八年級(jí)福州日升中學(xué)?？计谀╅喿x材料.材料：若一元二次方程

b0

ax?+bx+c=0（a/0）的兩個(gè)根為A,x2,則再+工2=——,xtx2=—.

aa

（1）材料理解：一元二次方程5/+10》-1=0的兩個(gè)根為X],x/則X|+Xz=,占尤2=.

（2）類比探究：已知實(shí)數(shù)加，"滿足7蘇-7機(jī)-1=0,7〃2-7〃-1=0,且加片"，求加2〃+機(jī)〃2的值.

2+7q+2

（3）思維拓展：已知實(shí)數(shù)s,，分別滿足7s2+7s+l=0,/+〃+7=0,且s/wl,求/的值.

【答案】（1）-2;-y

⑵-g

⑶T

【分析】（1）直接根據(jù)閱讀材料可得答案；

（2）由題意得出相，"可看作方程7--7x-l=0的兩個(gè)根，據(jù)此知加+〃=1,mn=-^,將其代入計(jì)算可

得；

（3）把「+”+7=0變形為7。丫+7.l+i=o,據(jù)此可得實(shí)數(shù)s和1可看作方程7/+7x+l=0的兩根，繼

⑺/t

而知s+1=-l,s--=~,進(jìn)一步代入計(jì)算可得.

tt7

【詳解】（1）解：x1+x2=——=-2,x]x2=――,

故答案為：-2；-g；

（2）*.*7m2—7m—l=0f7〃？一7〃-1二0，且加

:.m,〃可看作方程7x-1=0的兩個(gè)根，

m+n=1,mn=—,

7

初中照學(xué)

m*2n+mn2的值為一,

(3)Y$,，分別滿足7s2+7s+l=0,<+7￡+7=0,且)wl,

，+7-U1=O,

，s和1可看作方程7/+7x+l=0的兩根,

t

??Sd———1,S———,

tt7

.2s/+7s+2

c7s2

=2s-\--------F—

1

=2|^+-I+7-5--

=2X(-1)+7X1

2st+7s+2弘/士且

---------的值為7.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，因式分解的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立合適的

方程及分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.

16.（2023春?湖南長沙?八年級(jí)統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料：

問題：已知方程無2+x-1=0,求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.

解：設(shè)所求方程的根為V,則＞=2x,所以x=5,把x=5代入已知方程，得-1=0；化簡，得

22⑴2

/+2y-4=0；故所求方程為y2+2y—4=0.

這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；

請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：

（1）已知方程無2+3》-2=0,求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)；

（2）已知關(guān)于x的一元二次方程辦2-6尤+。=0伍片0）有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它

的根分別是已知方程根的倒數(shù).

【答案】⑴/一3y-2=0

初中照學(xué)

（2）cy2_/^+Q=0（CW0）

【分析】（1）設(shè)所求方程的根為則歹=一%,將'=一歹代入已知方程f+3x—2=0,化簡即可得到答案;

（2）設(shè)所求方程的根為了，貝廿=L將其代入已知方程，然后化為一般形式即可得到答案.

X

【詳解】（1）解：設(shè)所求方程的根為V,則〉=—x,

「?％=一）,

把％=一歹代入已知方程1+31_2=0,

得（_J）2+3x（-y）-2=0,

化簡得，y2-3y-2=0,

.,?這個(gè)一元二次方程為：y2-3y-2=0；

（2）解：設(shè)所求方程的根為兀貝打=」，

X

1

..X=—,

y

把尤=5代入已知方程辦2-6x+c=o（a豐0）,

得〃（口-b--+c=0,

去分母得，a-by+cy2=0,

若c=0,貝1一一樂=0,于是方程研2-云+。=0（。20）有一根為0,不符合題意，

:.c^0,

，所求方程為：cy1-by+a=0（c^0）.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解答該題的關(guān)鍵是弄清楚“換根法”的具體解題方法.

17.（2023春?廣東梅州?九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于x的方程7尤3-7（0+2卜2+（44。-l）x+2=60p.

①求證：不論P(yáng)為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程女3-7（0+2）/+（440-1卜+2=60。有固定的自然數(shù)解，并求這自然數(shù);

②設(shè)方程另外的兩個(gè)根為"、v,求，Jv的關(guān)系式；

③若方程7x3-7（p+2）尤2+（44p-l）x+2=602的三個(gè)根均為自然數(shù)，求〃的值.

初中照學(xué)

【答案】①證明見解析，所求自然數(shù)為2；②”=四”止1；③p=18.

7

【分析】①把方程整理，使含尸的項(xiàng)“系數(shù)”為0,求x的值，再代入不含。的項(xiàng)檢驗(yàn)，可求這個(gè)自然數(shù);

②由所求自然數(shù)值可知方程的一個(gè)因式，代入方程，再將方程分解因式，由兩根關(guān)系解題；

③在(2)的條件下，根據(jù)解為自然數(shù)，求P的值.

【詳解】①原方程整理得：(7x3-14x2-x+2)-(7Y-44x+60)p=0,

30

解方程7——44X+60=0,得再=2,x2,

當(dāng)x=2時(shí)，7——14/—%+2=0，故所求自然數(shù)為2；

②,?,%=2是方程的固定解，

???(x-2)是方程的一個(gè)因式，原方程分解為：

(X-2)(7%2_7px+30/?_l)=0,

〃、v是方程乃？一7夕x+30P一1二0的兩根，

.30(w+v)-l

?.uv=——--------——；

7

③由②可知，"+v=P,uv=30p-1,

7

以30p-l7|7k+1

設(shè)節(jié)一=k，則mi。=\~，

由題意可知，P,k,u,v均為自然數(shù)，

則k的個(gè)位數(shù)字必須為7,

當(dāng)左=77時(shí)，即。=18時(shí)，方程三個(gè)根均為自然數(shù).

【點(diǎn)睛】本題考查了求高次方程固定根的方法，方程的根與系數(shù)關(guān)系，自然數(shù)解的問題，解題的關(guān)鍵是對

高次方程進(jìn)行降次及熟練掌握根與系數(shù)之間的關(guān)系.

18.(2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí))閱讀材料：選取二次三項(xiàng)式依2+區(qū)+跳。40)中的兩項(xiàng)，配成完全平方

式的過程叫配方.例如

①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：/-4x+2=(x-2/一2；

②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：/-4x+2=(x-逝『+(2乃-4卜，或尤2_4x+2=(x+逝『一(4+2后卜

初中照學(xué)

③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：/-4x+2=(瓜-塔一X。

請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：

(1)比照上面的例子，寫出--4尤+9三種不同形式的配方；

(2)已知f+/+4x-6v+13=0,求(-y)x的值

(3)當(dāng)尤，＞為何值時(shí)，代數(shù)式5X2-49+J?+6X+25取得最小值，最小值為多少？

【答案】(1)見解析

⑵㈠)x=6

⑶當(dāng)》=一3,了=一6時(shí)，5Y-4xy+/+6尤+25取得最小值，最小值為16

【分析】(1)根據(jù)配方的定義，分別選取二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)中的兩項(xiàng)，進(jìn)行配方即可得出三種形式;

(2)首先根據(jù)配方法把丁+/+4工一6y+13=0變形為(x+2『+(y-3『=0,再根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得出

x+2=0,y-3=0,解出x、y的值，然后將x、了的值代入代數(shù)式(-了卜，計(jì)算即可得出結(jié)果；

(3)首先根據(jù)配方法把代數(shù)式5/-4孫+/+6尤+25變形為(2x-y『+(x+3y+16,再根據(jù)偶次方的非負(fù)

性，得出(2x-y)2+(x+3『+16216,進(jìn)而得出當(dāng)2x-y=0,x+3=0時(shí)，5x?-4孫+/+6尤+25取得最小

值，再進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：第一種形式：選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方，

X2-4%+9

二/-4x+4-4+9

=(%-2『+5；

第二種形式：選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方，

x2-4%+9

=—+6x+9-6x-4%

=(X+3)2-10X；

或工2-4x+9

=/-6%+9+6x—4%

初中照學(xué)

=(x-3)2+2x；

第三種形式：選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方,

%2-4x+9

44

=—x2-4x+9——x2+x2

99

(2)解：x2+y2+4x-6y+13=0,

酉己方，得：X2+4X+4+/-6J；+9-4-9+13=0,

即(x+2『+(y-3『=0,

V(X+2)2>0,(y-3)2>0,

x+2=0,y—3=0,

解得：x=—2,V=3,

，㈠)X=(-3)X(一2)=6；

(3)解：5x2-4xy+y2+6x+25

=4x2-4xy+y2+x2+6x+9+16

=(2x-y『+(x+3)2+16,

V(2x-y)2+(x+3)2>0,

/.(2x-y)2+(x+3)2+16>16,

當(dāng)2x-y=0,x+3=0時(shí)，5x?-4切+/+6x+25取得最小值，

即當(dāng)x=-3,夕=一6時(shí)，5/-4七y+/+6x+25取得最小值，最小值為16.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)配方法的步驟和完全平方公式進(jìn)行配方是解本題的關(guān)鍵.

19.(2023春?浙江?八年級(jí)專題練習(xí))閱讀如下材料，完成下列問題：

材料一：對于二次三項(xiàng)式求最值問題，有如下示例：

X2-2X+3=X2-2X+12-12+3=（X-^2+2.因?yàn)椋╔-IJNO,所以（x-l『+222,所以，當(dāng)x=l時(shí)，原式

初中照學(xué)

的最小值為2.

材料二：對于實(shí)數(shù)a,b,若a>b>0,則

ab

完成問題：

(1)求x2-4x-l的最小值；

(2)求2「-2+13的最大值;

x-4x+6

(3)若實(shí)數(shù)m,n滿足用2一/一6機(jī)+12〃=27.求行不了的最大值.

【答案】(1)-5；(2)((3)嶇

22

【分析】(1)按照材料一配方即可求最值；

(2)把原式化成2求V一人+6最小值即可；

X-4x+6

(3)根據(jù)已知得到(加一3)2=(〃-6)2,即加+3=〃或〃=9一加，代入求最值即可.

【詳解】解：(1)%2—4x—1=%2—4x+22—22—l=(x—2)2—5,因?yàn)?x—2)20,所以(x—2)—52—5,所

以，當(dāng)％=2時(shí)，原式的最小值為-5.

公、2X2-8X+132(X2-4X+6)+1。1

(2)—;:----=-------；7—=2H-I；--->，

x-4x+6x-4x+6x-4x+6

當(dāng)一—4%+6取最小值時(shí)，原式最大，

由(1)可知12一4%+6=0-2)2+2,最小值為2,

此時(shí)竺一型+q的最大值為2+上!；

X2-4X+622

(3)Vm2-n2-6m+12n=21,

m2-6m+9-(n2-12?+36)=0,

(加一3)2=(〃一6)2,

加一3=〃-6或初一3=—〃+6,

加+3=〃或〃=9一冽,

327

n2—3m2=(m+3)2—3m2=—2m2+6m+9=—2(m——)2+,

最大值是孑，77J*.,_3_是__的___最大值為

a243

或/_3加2=(9—加)2—3冽2=-2m2-18m+81=-2(m+-)2+—,

初中照學(xué)

最大值是三，，川-3川的最大值為,3