集合與常用邏輯用語(yǔ)

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.2025高考真題

一、單選題

1.（2025?天津?高考真題）已知集合"={1,2,3,4,5},/={1,3},8={2,3,5},則為（/23）=（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{4}

【答案】D

【分析】由集合的并集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解.

【詳解】由/={1,3},8={2,3,5},則/。3={1,2,3,5},

集合U={1,2,3,4,5},

故務(wù)（4UB）={4}

故選：D.

2.（2025?北京?高考真題）已知集合M={x12x—1>5},N={1,2,3},則（）

A.{1,2,3}B.{2,3}C.{3}D.0

【答案】D

【分析】先求出集合再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)镸={x|2x-l>5}={x|x>3},所以AfcN=0,

故選：D.

3.（2025?全國(guó)二卷?高考真題）已知集合/={-4,0,1,2,8},2=卜|》3=4,則/門8=（）

A.{0,1,2}B.{1,2,8}

C.{2,8}D.{0,1}

【答案】D

1/27

【分析】求出集合8后結(jié)合交集的定義可求Zc8.

【詳解】5={X|X3=X}={0,-1,1},故/口8={0,1},

故選：D.

4.（2025?全國(guó)一卷?高考真題）設(shè)全集U={x|x是小于9的正整數(shù)}，集合/={1,3,5},則d/中元素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求出.

【詳解】因?yàn)閁={L2,3,4,5,6,7,8},所以務(wù)/={2,4,6,7,8},2/中的元素個(gè)數(shù)為5,

故選：C.

5.（2025?天津?高考真題）設(shè)xeR,則“x=0”是“sin2x=0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】通過判斷是否能相互推出，由充分條件與必要條件的定義可得.

【詳解】由x=0=sin2x=sinO=0,貝!=0"是"sin2x=0”的充分條件；

又當(dāng)x=兀時(shí)，sin2x=sin2it=0,可知sin2x=09x=0,

故“x=0”不是“sin2x=0”的必要條件，

綜上可知，“龍=0”是“sin2x=0”的充分不必要條件.

故選：A.

6.（2025?北京?高考真題）已知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)镈,貝心的值域?yàn)镽”是“對(duì)任意MeR,存在/e。，

使得|/（%）＞的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既

不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.

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【詳解】若函數(shù)的值域?yàn)镽,則對(duì)任意WwR,一定存在使得/=+

取無。=玉，則+充分性成立；

取〃x)=2',D=R,則對(duì)任意WeR,一定存在為?。，使得/'(須)=陷+1,

取無。=玉，則|/(X0)|=M+1>M,但此時(shí)函數(shù)〃X)的值域?yàn)?0,+“)，必要性不成立；

所以“/(x)的值域?yàn)镽”是“對(duì)任意MeR,存在x°w。，使得|〃/)|>"，，的充分不必要條件.

故選：A.

二、填空題

7.(2025?上海?高考真題)已知全集U={x|2<x<5,xeR},集合/={x|24x<4,xeR},貝!］彳=.

【答案】34V尤V5,xeR)/(4,5)

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的含義即可得到答案.

【詳解】根據(jù)補(bǔ)集的含義知1={x|4VxV5,xeR}.

故答案為：{x14CeR}.

三、解答題

8.(2025?上海?高考真題)已知函數(shù)，=f(x)的定義域?yàn)镽.對(duì)于正實(shí)數(shù)a,定義集合={x|/(x+?)=/(x)}.

⑴若/(x)=sinx,判斷三是否是中的元素，請(qǐng)說明理由；

,、x+2,x<0

⑵若〃x)=廠，此W0,求a的取值范圍；

7x,x>0

(3)若了=/(x)是偶函數(shù)，當(dāng)xe(0,l］時(shí)，/(x)=l-x,且對(duì)任意ae(0,2),均有寫出了=〃x),

xe(l,2)解析式，并證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)c,函數(shù)y=〃x)-c在［-3,3］上至多有9個(gè)零點(diǎn).

【答案】⑴不是；

⑵加；

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(3)證明見解析.

【分析】(1)直接代入計(jì)算和/[+“即可；

(2)法一：轉(zhuǎn)化為在實(shí)數(shù)/使得〃。+.)=/(%),分析得/+2=再]，再計(jì)算得4=卜。+^]+:,

最后根據(jù)玉的范圍即可得到答案；法二：畫出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為直線了=，與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，將。用，表

示，最后利用二次函數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；

(3)利用函數(shù)奇偶性和集合新定義即可求出xe(1,2)時(shí)解析式，再分析出了(-3)色(0,1),最后對(duì)。的范圍進(jìn)

行分類討論即可.

【詳解】⑴(1)/g=si吟=q，/徑+萬(wàn))=一0吟=_手,則w不是心中的元素.

(2)法一：因?yàn)椤?gt;0,則存在實(shí)數(shù)%使得〃/+0=/&0),且0>0,

當(dāng)x<0時(shí)，〃x)=x+2,其在(-8,0)上嚴(yán)格單調(diào)遞增，

當(dāng)x?0時(shí)，/(x)=4,其在[0,+8)上也嚴(yán)格單調(diào)遞增，

則Xo<OVXo+a,則x0+2="°+。,

令％+2=0,解得X=-29則-2W/<0,

則a=Qx()+a)_/=(%o+2『-x0+!)彳^,4^-

法二：作出該函數(shù)圖象，則由題意知直線》=方與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，

由圖知0W2,假設(shè)交點(diǎn)分別為4(加/),B(n,t),

一、AAW=t.

聯(lián)方程組｛?=|AB\=m-n=t4-川

n+2=t

/BQ八

/2O4x

(3)(3)對(duì)任意x°e(l,2),xo-2e(—l,0),因?yàn)槠涫桥己瘮?shù)，

4/27

貝！l/(x()-2)=/(2-Xo),而2-x()-(Xo-2)=4-2尤0e(0,2),

所以x0-2e

■^^4-2xQuM,

所以/(XO)=/(%-2)=/(2-XJ,因?yàn)閯t2roe(0,1),

所以/(%)=/(2-x0)=l-(2-%)=%-1,所以/(x)=x-l,xe(l,2),

所以當(dāng)se(0,l)時(shí)，l-se(0,l),l+se(l,2),則〃l-s)=1-(1-s)=s,

/(l+s)=(l+s)-l=s,則一s)=/(l+s),

而1+s-(1-s)=2s,(3-s)-(1-s)=2,

貝Ul-seAGsUM?，則〃l-s)=/(3-s),

所以當(dāng)xe(2,3)時(shí)，f(X)=f(x-2)=l-(x-2)=3-x,而/(x)為偶函數(shù)，畫出函數(shù)圖象如下:

其中〃-3)=/(3)J(-2)=/()/?),但其對(duì)應(yīng)的=值均未知.

首先說明/(-3)=”走(0,1),

若/(-3)=〃e(0,l),則一3+〃4一3,-2),易知此時(shí)/(x)=x+3,xe(-3,-2),

則/(-3+〃)=〃，所以/(一3)€心勺屈2,而xe[-l,0)時(shí)，f(x)=x+l,

所以〃-3)=〃-1)=0,與以-3)=〃矛盾,所以/(一3)任(0,1),即〃-3)=/(3"(0,1),

令y=/(x)-c=o,貝！Iy=/(x)=c,

當(dāng)c=0時(shí)，即使讓/(一3)=〃3)=〃-2)=3(2)=/))=0,此時(shí)最多7個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)cWl時(shí)，若/(-2)=/(2)=/(0)=/(-3)=/0)=。，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn),

故此時(shí)最多5個(gè)零點(diǎn);

5/27

當(dāng)c<0時(shí),若/(-2)=/(2)=/(0)=/(-3)=/0)=。，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn),

故此時(shí)最多5個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0<c<l時(shí)，若〃-2)=〃2)=/(0)=，，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，

若/(-3)=ce(0,l),貝卜3+ce(-3,-2),易知此時(shí)〃x)=x+3,

貝！|/(-3+c)=c,所以〃一此，而xe［T,O)時(shí)，〃無)=尤+1,

所以〃-3)=〃-1)=0,與/(一3)=。矛盾，所以八一3)e(0,1),

則最多在(-3，-2),(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)之間取得6個(gè)零點(diǎn)，

以及在x=-2,0,2處成為零點(diǎn)，故不超過9個(gè)零點(diǎn).

綜上，零點(diǎn)不超過9個(gè).

9.(2025?北京?高考真題)已知集合/={1,2,3,4,5,6,7,8},屈={(》))1€//€/，從M中選取〃個(gè)不同的

元素組成一個(gè)序列：(尤"1),(X2,%)，…，(匕，”)，其中(X"J稱為該序列的第，項(xiàng)［=1,2,若該序列的

相鄰項(xiàng)滿足：或［=1,2,…,〃-1),則稱該序列為K列.

(1)對(duì)于第1項(xiàng)為(3,3)的K列，寫出它的第2項(xiàng).

⑵設(shè)r為K列，且r中的項(xiàng)(x/)(i=l,2,…⑼滿足：當(dāng)Z?為奇數(shù)時(shí)，x;e{l,2,7,8}：當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，

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%e{3,4,5,6},判斷(3,2)*(4,4)能否同時(shí)為「中的項(xiàng)，并說明理由;

(3)證明：由M的全部元素組成的序列都不是K列.

【答案】(1)(6,7)或(7,6)

(2)不能，理由見解析

(3)證明過程見解析

【分析】(1)根據(jù)新定義即可得解；

(2)假設(shè)(3,2)與(4,4)能同時(shí)在r中，導(dǎo)出矛盾，從而得出(3,2)與(4,4)不能同時(shí)在r中的結(jié)論；

(3)假設(shè)全體元素構(gòu)成一個(gè)K歹U,通過構(gòu)造導(dǎo)出矛盾，從而得到要證明的結(jié)論.

3

【詳解】(1)根據(jù)題目定義可知，[*+|="；1或[*”="：：,

1,+1=弘±4【％+1=%±3

若第一項(xiàng)為(3,3),顯然％=0或一1不符合題意(不在集合A中)，所以下一項(xiàng)是(6,7)或(7,6)；

(2)假設(shè)二者同時(shí)出現(xiàn)在r中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨設(shè)(3,2)在(4,4)之前.

顯然，在K列中，相鄰兩項(xiàng)的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性總是相反的，所以從(3,2)到(4,4)必定要向下一項(xiàng)走

奇數(shù)次.

但又根據(jù)題目條件，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)均在中，所以從(3,2)到(4,4)必定要向下一項(xiàng)走偶數(shù)次.

這導(dǎo)致矛盾，所以二者不能同時(shí)出現(xiàn)在r中.

(3)法1：若/中的所有元素構(gòu)成K列，考慮K列中形如(七,乂)(%,入€{1,2,7,8})的項(xiàng)，

這樣的項(xiàng)共有16個(gè)，由題知其下一項(xiàng)為(玉+1，%+]),%+1，%1?{3,4,5,6},共計(jì)16個(gè)，

而(％+1，%+>(3,3),(6,3),(3,6),(6,3),因?yàn)橹荒?由2來，3只能由7來，

橫、縱坐標(biāo)不能同時(shí)相差4,這樣下一項(xiàng)只能有12個(gè)點(diǎn)，

即對(duì)于16個(gè)(4％),有12個(gè)(%"%])與之相對(duì)應(yīng)，矛盾.

綜上，由M的全部元素組成的序列都不是K列.

法2：假設(shè)全體元素構(gòu)成一個(gè)K列，貝！h=64.

設(shè)7；={(x,y)卜e{1,2,7,8},ye{1,2,3,4,5,6,7,8}},7；={(x,y)|xe{3,4,5,6}jeQ,2,3,4,5,6,7,8}}.

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則工和石都包含32個(gè)元素，且工中元素的相鄰項(xiàng)必定在心中.

如果存在至少兩對(duì)相鄰的項(xiàng)屬于4，那么屬于心的項(xiàng)的數(shù)目一定多于屬于十的項(xiàng)的數(shù)目，

所以至多存在一對(duì)相鄰的項(xiàng)屬于4.

如果存在，則這對(duì)相鄰的項(xiàng)的序號(hào)必定形如2加和2加+1,

否則將導(dǎo)致屬于T2的項(xiàng)的個(gè)數(shù)比屬于工的項(xiàng)的個(gè)數(shù)多2,此時(shí)冽=1,2,3,…,31.

從而這個(gè)序列的前2加項(xiàng)中，第奇數(shù)項(xiàng)屬于（，第偶數(shù)項(xiàng)屬于石；

這個(gè)序列的后64-2%項(xiàng)中，第奇數(shù)項(xiàng)屬于心，第偶數(shù)項(xiàng)屬于

如果不存在相鄰的屬于。的項(xiàng)，那么也可以看作上述表示在加=0或加=32的特殊情況.

這意味著必定存在加e{0,1,2,…,32},使得卜力筆,14：

由于相鄰兩項(xiàng)的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性必定相反，故工中橫縱坐標(biāo)之和為奇數(shù)的點(diǎn)和橫縱坐標(biāo)之和為偶數(shù)

的點(diǎn)的數(shù)量一定分別是"，和32-機(jī)（不一定對(duì)應(yīng)）.

但容易驗(yàn)證，工和刀都包含16個(gè)橫縱坐標(biāo)之和為奇數(shù)的點(diǎn)和16個(gè)橫縱坐標(biāo)之和為偶數(shù)的點(diǎn)，所以

??=32-7W=16,得m=16.

從而有（工2"1，%"1）e］,（x2k>y2JtMk<16

/，［，力）4,17<*<32,

這就得到4={國(guó),力）『=1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64}.

再設(shè)刀={（x,〉）|xe{l,2,3,4,5,6,7,8},ye1,2,7,8}},T4=1（x,j）|xe{1,2,3,4,5,6,7,8},j^e§,4,5,6}}.

則同理有!（"，6月，（5,%）e&1VkV16

侶［（%1，%1）的,（知,九）司,174”32.

這意味著刀={（乙,力）,=1,3,5,...,29,31,34,36,…,62,64}.

從而得到但顯然它們是不同的集合，矛盾.

所以由"的全部元素組成的序列都不是K列.

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2025高考模擬題

一、單選題

1.（2025?安徽蚌埠?三模）設(shè)集合U={0,1,2,3,4},尸={0,1,2,3},2={1,2,4},貝!|尸門0?）=

A.{0}B.{0,3}C.{3}D.{1,3}

【答案】B

【分析】求出電。可求尸

【詳解】務(wù)。={0,3},故Pn（4Q）={0,3},

故選：B.

2.（2025?湖南岳陽(yáng)?三模）已知集合/={T0,1,2},5={x|x（x-2）>0},則Nc&8）=（）

A.{1,2}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】C

【分析】由集合的運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】5={?。▁-2》0}={x|x>2或x<0},

則1B={x|0W2},且/={-1,0,1,2},

所以“c&8）={0,1,2}.

故選：C

3.（2025?河南許昌三模）己知集合/={-1,0,1,2},8={y|y=f+l,x<0},則（）

A.一2eADBB.{-2,-1}c5C.{I}u/c5D.2eAC\B

【答案】D

【分析】先求出B,再根據(jù)交集并集概念計(jì)算判斷..

【詳解】B^{y\j=-x+1,x<0}={y>1},又；N={-1,0,1,2},

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Nc8={2},/u2={x|x〉l}u{T0,1},

貝「2eNUB,{-2,-1}不包含于/U8,但不包含于Nc8,2e^A5.

故選：D.

4.（2025?山東煙臺(tái)三模）已知集合/=卜卜3Vx<1},5={X|X2<3）,則，UB=（）.

A.[-百』）B./右,6]C.卜0°,6]D.卜3,6]

【答案】D

【分析】先化簡(jiǎn)集合8,再利用并集的定義運(yùn)算.

【詳解】因3={尤k2W3}=卜卜&VxV。},/={x卜3<x<l},

貝?。?口3=卜-3〈尤4百）=卜3,行].

故選：D

5.（2025?四川?三模）已知“Vxw（O,兀），sinx<l；產(chǎn)xeR,x+|x|V0.下列結(jié)論正確的是（）

A.p是真命題，q是真命題B.p是真命題，是真命題

C.F是真命題，g是真命題D.F是真命題，rq是真命題

【答案】C

【分析】特殊值法x=5、x=0分別判斷。應(yīng)的真假，即可得.

【詳解】當(dāng)x=5時(shí)，sinx=l,則p是假命題，即F是真命題.

當(dāng)x=0時(shí)，x+|x|=0,滿足x+|x|WO,則夕是真命題，即-'0是假命題..

故選：C

22

6.（2025?湖南?三模）已知曲線°：工+工=1,設(shè)p:2<"3,q：曲線。是焦點(diǎn)在工軸上的橢圓，則夕

6-tt-2

是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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【答案】A

【分析】首先得到曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的充要條件是2</<4,再進(jìn)一步判斷即可.

6-t>0

【詳解】曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的充要條件是“-2>0,即2<f<4.

6-t>t-2

所以當(dāng)2y<3時(shí)，2</<4成立，所以p是q的充分條件，

反之當(dāng)2<1<4時(shí)，2<f<3不一定成立.所以。是夕的充分不必要條件.

故選：A.

x+1

7.（2025?四川成都?三模）若集合4=,5=Iy=x2+1,則/口8=

2—x

A.[-1,2)B.[-1,+co)C.[1,2)

【答案】C

【分析】根據(jù)分式不等式及二次不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合4B,根據(jù)交集運(yùn)算即可得解.

B=|y|y=/+1}={y[”1}=[l,+e）,

所以/口8=[1,2）.

故選：C

8.（2025?湖南長(zhǎng)沙?三模）在四邊形ABCD中，若/=益+而，則“太，麗”是“四邊形/BCD是菱形”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充

要條件

【答案】D

【分析】由大前提衣=刀+而推得口/BCD,再利用菱形的幾何性質(zhì)即可判斷.

【詳解】在四邊形/BCD中，由衣=在+石，可得四邊形Z8C。為平行四邊形,

若衣，麗，則平行四邊形/BCD對(duì)角線垂直，所以口/BCD為菱形，反之也成立,

11/27

故“太，麗”是“四邊形ABCD是菱形”的充要條件.

故選：D.

9.（2025?江西?三模）已知集合/={0,。,/},B^{a-l,3a-2},aeR,則/U8中的元素個(gè)數(shù)至少為（

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由集合A可得。片0且再由+可得”一1與0,。,/均互異，結(jié)合特例可得正確的選

項(xiàng).

【詳解】由A中元素的互異性，得“WO,。//,即。力0且a4,

13

而。2-。+1=（?！?+—>0,貝!］當(dāng)。/0且aw1時(shí)，a-1與0,。,/均互異，

24

因此/U3中至少有4元素，取a=2,此時(shí)/={0,2,4},3={1,4},/UB有4個(gè)元素，

二NU3中的元素個(gè)數(shù)至少為4個(gè).

故選：C

10.（2025?遼寧?三模）已知直線/：y=x+〃z和圓。：/+必=2,貝上=2”是“直線/與圓。相切”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】首先求出直線與圓相切時(shí)機(jī)的取值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】由圓。:/+/=2,可得圓心0（0,0）,半徑一亞，

若直線/：>=x+7"與圓相切。：，+）/=2,

則圓心。到直線/的距離1=廠=/，貝!|d=Ji=&,解得優(yōu)=±2,

V1+1

所以=2”是“直線/與圓。相切”的充分不必要條件.

故選：C.

11.（2025?四川成都?三模）下列四個(gè)條件中，使a>b成立的充要條件是（）

]_￡

A.\a\>bB?空>廬

12/27

11,,,

C.->—D.10gtz>\ogb

ba33

【答案】B

【分析】利用特值或者函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合充要條件的判定可得答案.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=-2,6=1時(shí)，a>b不成立，故時(shí)>6是a>b成立的不充分條件，

反之，當(dāng)?！皶r(shí)，同泊>。成立，故時(shí)>6是。>方成立的必要不充分條件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)関.藍(lán)在R上單調(diào)遞增，所以是。>方的充要條件，故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)。=-3,6=1時(shí)，成立，但a>方不成立，所以是。>方成立的不充分條件，

baba

當(dāng)a=l力=-2時(shí)，。>6成立，但:>!不成立，所以?>!是。>6成立的不必要條件，所以。>,是。>6的

bababa

既不充分也不必要條件，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)閥=log3X在（O,+e）上單調(diào)遞增，所以由logs。>logs。，得a>6>0,

所以logs。>log?。是a>b的充分不必要條件，故D錯(cuò)誤.

故選：B

12.（2025?重慶九龍坡?三模）已知集合M={x|0<x<a],N=^x\x2-6x+5<0},若NUM=M,則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是（）

A.[5,+co）B.（5,+<?）C.[3,+a>）D.（3,+oo）

【答案】A

【分析】解不等式求得N,由已知可得NqM,進(jìn)而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】由/_6X+5<0,可得（》一5）（了一1）<0,解得1<X<5,

所以N={x[l<x<5},由NU"=M,可得N=

又Af={x[0<x<〃},所以a25,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是[5,+s）.

故選：A.

13/27

13.（2025?江西萍鄉(xiāng)?三模）已知集合/=卜卜（》+機(jī)）40｝,5=^x|（3x+l）（x-m+1）=0j,C=A[｝B,若集

合。有3個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)機(jī)的值可能為（）

A.--B.-C.-D.-

2342

【答案】C

【分析】由集合C有3個(gè)真子集可得8中有兩個(gè)不同的元素，故求出機(jī)的范圍后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)镃有3個(gè)真子集，所以C中有2個(gè)元素，故8中有兩個(gè)元素，

——---Fm<0

3（3）

故3=且51/,貝!I,（加一1）（2加-1）（0,

I3

m-1^——

3

12

解得一《切且加w—.

23

故選：C.

14.（2025?江西萍鄉(xiāng)?三模）記％,V為實(shí)數(shù)，設(shè)甲：y>x>0；乙：x-cosj<y-cosx,則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/（x）=X+COSX,求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得充分性，進(jìn)而根據(jù)/（尤）</（了）可得必要

性.

【詳解】令函數(shù)/（無）=X+COSX,求導(dǎo)得/'（x）=l-sinx'O,故/（x）在R上單調(diào)遞增,

由y>x>0,得/⑺>/（x）,即X-cosy<y-cosx,即充分性成立；

由x-cosycy-co&x,得x+cosx<y+cosy,即力，可得y>x,故必要性不成立，

綜上可知，甲是乙的充分不必要條件.

故選：A.

15.（2025?上海黃浦?三模）已知數(shù)列｛4｝各項(xiàng)為正，尸：｛4｝滿足4+“=4/，，〃?、〃是正整數(shù)，。：｛%｝是

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等比數(shù)列，則尸是。的（）

A.充分必要條件B.充分非必要條件

C.必要非充分條件D.既非充分也非必要條件.

【答案】B

【分析】設(shè)為=，>0,令加=1得。川=加“，充分性成立，舉出反例得到必要性不成立，得到結(jié)論.

【詳解】設(shè)％=/>0,4+“=。血中，令機(jī)=1得。用=4%=",，

即―=，，所以{%}是等比數(shù)列，充分性成立；

an

但必要性不成立，理由如下：

不妨設(shè){4}的首項(xiàng)為1,公比為2,取〃z=〃=2得。4=吭

但%=8,%=2,不滿足&=姆，從而必要性不成立，

綜上，尸是。的充分非必要條件.

故選：B

二、填空題

16.（2025,河北石家莊?三模）若命題pVx>0,x2-7x+6<0,則命題p的否定為

【答案】3x>0,x2-7x+6>0

【分析】根據(jù)全稱量詞命題否定的方法：改量詞，否結(jié)論，可得答案.

【詳解】命題P：Vx>0,Y-7x+6V0的否定為：*>0,—-7彳+6>0,

故答案為：3x>0,X2-7X+6>0

17.（2025?四川巴中?二模）設(shè)集合M={x|Y-5X+6=0},N={1,2,3,4,6},則%W=.

【答案】{1,4,6}

【分析】首先求解集合"，再根據(jù)補(bǔ)集概念得到答案.

【詳解】對(duì)于方程/-5x+6=0,根據(jù)十字相乘法可得（X-2）（X-3）=0.

貝!]x-2=0或x-3=0,解得x=2或x=3,所以M={2,3}.

15/27

因?yàn)镹={1,2,4,6},所以4M={1,4,6}.

故答案為：{1,4,6}.

18.（2025?天津一模）已知集合/={0,1,2,3,4,5,6},8={x|x=2〃,〃e/},則/口8=.（用列舉法表

示）

【答案】{024,6}

【分析】由題意寫出集合3,根據(jù)集合交集，可得答案.

【詳解】由題意可得8={0,2,4,6,8,10,12},則={0,2,4可}.

故答案為：{0,2,4,6}.

19.（2025?上海?三模）已知集合/={x|lrw>l},2=卜.=:25一幺”zj,則/口3=.

【答案】{3,4,5}

【分析】先分別求出集合A與集合8,再根據(jù)交集的定義求出/c8.

【詳解】因?yàn)榧?={尤|In尤>1},根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式lnx>l.

X>e,即集合4={x|x>e}.

又集合8={x|y=W?,xeZ}，要使根式有意義，則根號(hào)下的數(shù)須大于等于0,BP25-x2>0,可得

-5<x<5；

又因?yàn)閤eZ,所以集合3={-5,-4,-3-2,-1,0,1,2,3,4,5）.

結(jié)合集合/={x|x>e}（e?2.718）和集合8={-5,-4,一3，-2,-1,0,1,2,3,4,5},可得/口2={3,4,5}.

故答案為：{3,4,5）.

20.（2025?湖南長(zhǎng)沙?二模）已知集合/={T2},5={xg+l=0},^A^B=A,則%的可能取值組成的

集合為.

【答案】

【分析】由題意可得3口/,利用子意的意求解即可.

【詳解】QAMB=A,：.BeA.

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.".當(dāng)8=0時(shí)，m=0；當(dāng)-leB時(shí)，m=1；當(dāng)2e3時(shí)，m=—,

2

.?./n的值為0,1,的值為“J,-,1.

故答案為：

21.（2025?山西?二模）設(shè)集合/={x|x=34+2,4wZ},B={x\x=5k+4,k&Z},在集合NcB的所有元素

中，絕對(duì)值最小的元素是.

【答案】-1

【分析】由集合交集運(yùn)算易得結(jié)果.

【詳解】/={x|x=3笈+2MeZ}={i,-4,-l,2,5,8「-},5={x|x=5^+4JeZ）=,

顯然集合Nc8的所有元素中，絕對(duì)值最小的元素是-1.

故答案為：-1.

三、解答題

22.（2025?廣東廣州?三模）對(duì)于數(shù)集/={-1,小外,其中0<%<出<"?<*，"'2,定義"伴隨向量

集，，8=同行=（邑）5€4/€4.若對(duì)任意區(qū)eB,存在瓦eB,使得“R=0,則稱/為“好集”.

⑴已知數(shù)集4請(qǐng)寫出數(shù)集4的“伴隨向量集”可，并判斷4是否為“好集”（不需要證明）；

⑵若有限集”…為“好集”，求證：1&A,且當(dāng)0<%<1時(shí)，?！?1；

⑶若有限集/={-1嗎,。2,為"好集"，且%T=q,a“=l,求可.

【答案】（1）答案見解析

（2）證明見解析

（3）%=小

【分析】（1）根據(jù)“伴隨向量集”的概念寫出集合耳，再根據(jù)“好集”的概念判斷集合A是否為“好集”.

（2）先取而=（%,%）e3,根據(jù)“好集”的概念，可證明le/;在利用反證法，證明%=L

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（3）根據(jù)“好集”的概念，探索集合A中元素的構(gòu)成，得到數(shù)列｛《,｝的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，再求％.

【詳解】（1）根據(jù)“伴隨向量集”的定義可得：

4=｛（T，T），O（T，1），

因?yàn)椋═，T?（T,l）=0,-1)=0，

(-1,1)-(1,1)=0,

所以對(duì)任意Re%存在￡eB,使得百石=0,故集合A為“好集”.

（2）取乙,因?yàn)榧螦是“好集”，所以存在&=（sj）e2,使得而也=［s+印=0,即

。［（5+1）=0.

因?yàn)?<%<1,所以s+f=0.

因?yàn)?…嗎｝,所以存在s=-l,彳=1或s=l,t=-l.

所以leZ.

假設(shè)%>1,取因?yàn)榧螦是“好集”，所以存在％=（s,，）e8,使得斤五=qs+a/=0.

因?yàn)?<%<%<…<a.，所以s,/異號(hào).

若s=-l,則％=加“，而0<qV/,0<al<an,所以％=q不可能成立;

若/=-1,則$%也,而0csi4,0<a1<1,所以叫=%不可能成立.

故假設(shè)錯(cuò)誤，即%41.

又Ie/,且0<%<。2<…<%，所以4=1.

(3)有限集2={-1,%,出，…,應(yīng)}為“好集”，且0<ax<a2<-'<an,an_x=q,a〃=T,所以0<0<1.

取4二（4應(yīng)）￡5,由“好集”定義，存在62=（S/）EB,使得&也=4s+/=0,所以取異號(hào).

若s=—l,貝!1%=/，因?yàn)閍x<t<\,所以，=幺?/；

q

若，二一1,貝！|?？?］，因?yàn)椤?lt;夕<1,5<1,所以該式不成立.

18/27

類似的：考慮向量,4國(guó)，…，可得序列小幺，烏，…，鼻都在集合A中.

NJ2Jqqq

由3=%=10%=尸.

q

23.(2025?湖北武漢三模)用符號(hào)|)|表示集合A中元素的個(gè)數(shù).對(duì)于實(shí)數(shù)集合A和B,且|4戶2,忸|02,

定義兩個(gè)集合：①和集/+B={a+6|ae4be8}；

②鄰差集。(/)="*+「%%=12…，同-1},其中可，出，…,，為集合A中元素按照從小到大排列.

(1)已知集合4={1,3,5},5={2,4},求忸+|。⑷口。⑻|的值；

⑵已知集合/={2"卜=1,2,…,100},8=卜"卜=1,2,…,100},求|/+用的值；

(3)若A與8都是由加(根23,加eN*)個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，證明：|/+同=2加-1的充要條件是

⑶|=1.

【答案】⑴忸(，+酬=1,⑶|=1

(2)|^+S|=8775

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)和集和鄰差集定義直接求解即可；

(2)考慮2'+4'=2'+2,(*),分別討論北51和t<50的情況，由集合中元素的性質(zhì)與和集的定義可得結(jié)果;

(3)根據(jù)|/|與和集的定義易證得充分性；設(shè)集合/={%,/，???，(}，8=但也，…也}，其中％</<???<%,,

4<%―一<與，可確定/+B中所有的元素，可證得推廣可得。2+4=%+砧1，由此可得

必要性.

【詳解】(1)?.,/={1,3,5},8={2,4},.?2+8={3,5,7,9},

.?.1(/+8)={2},。(4)={2},。")={2},

.?.忸(/+8)|=1,忸(/)口。(成=1

(2)考慮2'+4，=2'+4'(*),不妨設(shè)/</,則i>s,

19/27

①當(dāng)此51時(shí)，4,一(4,+2,"4'一4‘T一2'=3-4'一一2匕3x450-2100>0,此時(shí)(*)式不成立；

②當(dāng)區(qū)50時(shí)，若，>2人則2,一(2'+4'"2'一2'T-4'=2'T-4、2"-2"=0,此時(shí)(*)式不成立；

若，<2/,貝!14,-(4,+2,)>4,-4,-1-2'=3.4/-'-2!>3-22,-2-22M=1-22^'-22^>0,此時(shí)(*)式也不成立；

若i=2t,則取s=2/,此時(shí)(*)式成立.

由上述分析知：和集中重復(fù)的元素個(gè)數(shù)共5三0x4竺Q=1225個(gè)，

.-.|^+5|=100x100-1225=8775.

(3)充分性的證明：

當(dāng)忸⑷u。⑻|=1時(shí),不妨設(shè)。(/)=。(0={4，

設(shè)集合”={%,。2,…438=抄］也，…也}，其中4<為<…<冊(cè)，4<%<,?<〃，{。.}，{，}(力=1，2「一,〃7)

是公差為〃的等差數(shù)列，

N+8={%+配％+優(yōu)+d,…,％+4+2(”?-l)d},A+B里面的元素也是公差為d的等差數(shù)列，

M+同=2m—1；

必要性的證明：

設(shè)集合/={%,。2,…，%}，8=但也,…4},其中q<為<…<冊(cè)，<b2<---<bm,

貝?。?+4+bt<---<am+bx<am+b2<-?-<??,+bm,這里共2加-1個(gè)不同元素，

又|/+理=2加-1,.?.上面為和集4+5中的所有元素，

又%+4<%+打+bm<a2+bm<---<am+bm,這里共2根一1個(gè)不同元素，也為和集/+5中的所有元

素，

/.a2+bx=ax+b29即a2-ax=b2-bx,

一般地，由4+4<4+4<.?.<%+瓦<?+為+為<冊(cè)+4+i+超，

ai+bl<al+b2<--<ai+bk<al+bk+i<a2+bk+l<--<am+bk+i<--<am+bm9

可得出+d=%+4+i，即〃2一6=4+1一4?！白髒加一1)，

20/27

同理可得：b2-bx=ak+i-ak[\<k<m-i),得證.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列中的新定義問題，解題關(guān)鍵是能夠充分理解和集與鄰差集的定義，同

時(shí)結(jié)合集合中元素的性質(zhì)進(jìn)行推理證明.

24.(2025?北京?三模)已知整數(shù)數(shù)列｛&｝，｛4｝的項(xiàng)數(shù)均為〃？(加>2),且同時(shí)滿足以下兩個(gè)性質(zhì)：

@0<?[<at<--：!?0,0<br<b2bm<Q；

@al+a2+---+am=bl+b2+---+bm.

記S=Iax—6j+|a2—Z)2I+—1-|a”,一6J.

⑴若m=?>,且a[=1,%=7,4=3,8=4,4=6,與出出,S的值；

(2)記u=max[ak-bk\l<k<m,keZ｝,v=max[bk-at\l<k<m,keZ｝,其中maxA表示集合/中元素的最大值.

(i)若加=3,。=5,求M+V的最大值；

(ii)當(dāng)機(jī)=10時(shí)，若5=100,求0的最小值.

【答案】⑴。2=5,5=4；

(2)(i)2；(ii)30.

【分析】(1)直接根據(jù)定義性質(zhì)得1+&+7=3+4+6,解出電，再計(jì)算S即可；

(2)(i)取極端情況｛%｝為1,3,5；取數(shù)列也“｝為2,3,4,此時(shí)〃+v=2；方法一：利用反證法，假設(shè)

"+v23,最后分析得到與性質(zhì)②矛盾的點(diǎn)；方法二：一般性證明，設(shè)v=%-%,,pje｛1,2,3,…,加｝,

通過引入。進(jìn)行合理放縮即可；方法三：利用枚舉法，枚舉出所有情況即可；

(ii)考慮極端情況，顯然。2加=10,分類討論。為偶數(shù)和。為奇數(shù)即可.

【詳解】(1)由題意可得，1+出+7=3+4+6=電=5,

所以S=|l-3|+|5-4|+|7-6|=4.

(2)(i)由②可得，兩個(gè)數(shù)列均值相等，則要使S越大，則可考慮一組數(shù)據(jù)更集中，

一組數(shù)據(jù)更分散，作為極端情況來考慮，此時(shí)要使"+V取到最大值，對(duì)應(yīng)極端情況，取數(shù)列｛%｝為1,3,

5；取數(shù)列低｝為2,3,4,

貝!]〃=2—1=1/=5-4=1,"+y=2,

21/27

下證：〃+v的最大值為2：

法1：（反證法）假設(shè)〃+v>3,則max｛%v｝22,不妨設(shè)〃=max｛詼v｝22,

若〃=《_乙22：

因?yàn)?<%<%<〃3工5,0<4<%<4W5,所以％=3,仇=<

則%+%+%=3+4+5=12,4+8+&〈1+4+5=10<12,與性質(zhì)②矛盾，舍去；若〃=%—432：

因?yàn)?<%<出<的V5,0<4</<仇《5,所以b222M224,可得出=4,%=5力=1,4=2

貝!|%+4+“321+4+5=10,4+4+&?1+2+5=8<10,與性質(zhì)（§）矛盾，舍去；

u-%—422：

因?yàn)?<%<%<生?5,0<4<仇?5,所以4=3=>%=5,4=1也=2,

則%+%+%21+2+5=8,6]+打+&=1+2+3=6<8,與性質(zhì)②矛盾，舍去.

所以〃41,同理可得所以〃+v<2.

取數(shù)列｛4｝為1,3,5；取數(shù)列出｝為2,3,4,

則w=2-1=1/=5-4=1,0+曠=2成立，所以〃+v的最大值為2.

法2：（一般性證明）設(shè)"=4-4?=%-?！?。,/€｛1,2,3「，5｝,不妨設(shè)P>f,

則u+v=a,-b,+3-cip=b“，-b”+%-b,+與-cip=bm-（bm-bp^-b,~（ap-at^,

所以”+vVQ_（機(jī)一0）=Q-m=5-3>=2,（7分）

取數(shù)列｛aJ為L(zhǎng)3,5；取數(shù)列低｝為2,3,4,

則"=2-l=l,v=5-4=l,a+v=2成立,所以“+v的最大值為2.

法3：（枚舉法）

?。?｝為1,2,3,則｛"｝只能為1,2,3,此時(shí)〃+v=0；

?。?｝為1,2,4,則｛4｝只能為1,2,4,此時(shí)"+v=0；

?。?｝為1,2,5,則也｝可能為1,2,5,也可能為1,3,4,此時(shí)〃+v=0或2；