空間向量和立體幾何高考復習專題十四

知識點一證明線面平行，面面角的向量求法

典例1、如圖，是圓。的直徑，點C是圓。上異于43的點，直線PC,平面/3C,E,F

分別是加，尸C的中點.

(1)記平面與平面的交線為/,求證：直線///平面P/C；

(2)若尸C=/3=2,點C是壺的中點，求二面角的正弦值.

隨堂練習：如圖，三棱柱ABC-A^Q中側(cè)棱與底面垂直,^.AB=AC=2,AA1=4,AB1AC,

M,N,

P,〃分別為c5，BC,AXBX,BQ的中點.

(1)求證：尸N〃面NCCd；

(2)求平面/W與平面/CG4所成銳二面角的余弦值.

典例2、如圖所示的幾何體中，"BE,ABCE,ADCE都是等腰直角三角形，

AB=AE=DE=DC,且平面工平面3CE,平面。CE_L平面8CE.

(1)求證：AD〃平面3CE；

(2)求平面5/。與平面口。夾角的余弦值.

隨堂練習：如圖，在四棱錐力-BCDE中，/C,平面BCDE,AD^DE,ABCE為等邊三角

形，ZECD=60°.

(1)求證：DE上平面/CD,且BE〃平面/CD.

(2)已知/C=3,BC=2,求平面NDE與平面ME所成銳二面角的余弦值.

典例3、如圖，"3C是邊長為2的等邊三角形，四邊形ZCOE為菱形，平面4CDE，平面

ABC,ZACD=60°,DF//BC,DF=\.

(1)求證：跖〃平面ABC；

(2)求平面與平面3跖所成銳二面角的余弦值.

隨堂練習：如圖，直四棱柱四5-44C〃的底面是菱形，胡尸4,1戶2,N加大60°,E,

M,N分別是8C,BB1,4〃的中點.

(1)證明：腑〃平面a龍；(2)求二面角4-例「及的正弦值.

知識點二證明線面垂直，線面垂直證明線線垂直，線面角的向量求法

典例4、如圖，在四棱錐尸一N3CD中，底面43CD是正方形，尸/上平面/BCD,PA=2AB=4,

點、M是P4的中點.

(1)求證：BDLCM.(2)求直線PC與平面MCD所成角的正弦值.

隨堂練習：如圖，在直角APCM中，POLOA,PB20A,將△尸，4繞邊加旋轉(zhuǎn)到,08的位

置，使乙408=90。，得到圓錐的一部分，點。為薪的中點.

(1)求證：PC1AB-,(2)設直線夕。與平面/W所成的角為?，求sin。.

典例5、在四棱錐尸-Z5CD中，底面四口為直角梯形，ABHCD,AB1BC,

PD=BC=CD=2AB=2AP=2,￡為的中點，點夕在平面43co內(nèi)的投影川合好

在直線4￡上.

(1)證明：CDLAP.(2)求直線尸8與平面川。所成角的正弦值.

—3__

隨堂練習：如圖，在力3C中，AB=3,/C=23C=4,。為4C的中點，AE=2EB，BP^-PC.

現(xiàn)將VADE沿翻折至A4Z)E,得四棱錐./-3CDE

(1)證明：A'PLDE;(2)若AA=2也,求直線HP與平面BCD所成角的本切值

典例6、如圖，在七面體43CDE尸中，四邊形/BCD是菱形，其中/氏化)=60。，ABCE,△CEF,

△CDF是等邊三角形，且/8,8反

(1)證明：AB工EF；(2)求直線ZR與平面CD9所成角的正弦值.

隨堂練習：如圖，在四棱錐尸-/BCD中，尸/,平面/BCD,AD//BC,AD1CD,且

AD=CD=24i,BC=4&,PA=2,點河在上.

(1)求證：ABVPC-(2)若二面角/的大小為45。，求政與平面尸ZC所

成角的正弦值.

空間向量和立體幾何高考復習專題十四答案

典例1、答案：（1）證明見解析（2）反

3

解：（1）因為瓦尸分別是尸4尸C的中點所以

又因為ZCu平面跖（X平面4BC所以好//平面/L8C

又EFu平面8EF,平面8￡尸與平面N3C的交線為/,所以EF/〃,

而/U平面融C,EFu平面取C,所以///平面&C

（2）如圖，因為是圓。的直徑，點C是筋的中點，AB=2

所以。_LC2,CA=CB=4i

因為直線尸平面48。所以尸CLC4,尸

所以以C為原點，直線G4,CB,CP分別為x軸，V軸，，軸，

建立空間直角坐標系C-xyz,則尸（0,0,1）,5（0,V2,0）,E吟,0,1）

所以&F=（0,-虛,1）,5￡=（^-,-V2,l）

~BF-n=0+z=0

設平面Eq的法向量〃=（x,y,z）,則一即行

BE'n=0-^-x—ylly+z=0

令＞=1,則工=0/=正得〃=（0,1,8）

因為直線尸C，平面A8C所以屈=（0,0,1）為平面45。的法向量

所以cos＜聞3＞=腐所以二面角E-/-C的正弦值為。

隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）5經(jīng)

53

解：（1）解法一：以點/為坐標原點，18、〃；所在直線分別為星y、z軸建立空間直

角坐標系，

則4(0,0,4),5(2,0,0),M(0,2,2),N(l,l,0),尸(1,0,4).

取向量罰=(2,0,0)為平面ACC/的一個法向量，7W=(O,l,-4),

PM48=0x2+lx0+(-4)x0=0,/.~PN±~AB.

又,.,PNu平面NCCM，PN〃平面/CG4.

解法二：'：P,〃分別為4耳，4G的中點，

/.PD//4G,且4G平面NCG4,w平面/CG4,尸?！ㄆ矫?CG4,

?:D,N分別為4G,歐的中點，：.DN//CCX,且CC|U平面NCQ4，DNa平

面ACCXAX,

DN〃平面/CG4，又PDCDN=D,平面尸ZW〃平面/CG4，

又,：PNU平面PDN,...PN〃平面4cq4.

以點］為坐標原點，四、〃；441所在直線分別為X,乃z軸建立空間直角坐標系,

則4(0,0,4),5(2,0,0),M(0,2,2),N(l,l,0),尸(1,0,4)./.7W=(0,1,-4),

PM=(-l,2,-2),

取向量方=（2,0,0）為平面/CG4的一個法向量,

n?PM=0

設平面/W的法向量為〃=（x,y,z）,則

n-PN=0'

令z=l,貝!Jx=6,>=4,貝！J〃=(6,4,1),

-AB-n

cos<4B,n>=~—=2-x-6,+0x4+0=x—l=----

AB-n2A/62+42+1253'

由圖示可知平面/W與平面ACG4的夾角為銳角，

平面/W與平面"CG4所成銳二面角的余弦值為5空.

53

典例2、答案：（1）證明見解析（2）|

解：（1）證明：分別取EB,EC的中點連接

設AB=AE=DE=DC=1,則￡3=￡。=夜，AB=AE,BO=OE,:.AOLBE,

又平面A8E」平面8CE,平面/BEc平面8cE=BE,4。u平面/BE,:.AO1^

面BCE,

同理可證。平面3CE,:.AOHDH,

又因為“。=。〃=走，所以四邊形他是平行四邊形，.?.4D//O”,

2

又Q4）0平面8＜芯,。以匚平面5匿，；./。//平面3?！辏?/p>

（2）如圖，取8C的中點為尸，則。尸，8E,

以點。為坐標原點，。8。尸,。區(qū)所在的直線分別為x軸，》軸，z軸，建立空間直

角坐標系，

則?0,0可3停,0可，"一冬冬芬E產(chǎn)，。，°.

y

則麗=:字伴［而=M卓。，則叫-卓*等，

當X+%=0卜x+z=0

設平面的一個法向量為而=（尤,％z）,則13廣=＞小

rrV2V2_(-2x+y+z=0

—\J2xHyHz—0

2,2

令x=l,得平面的一個法向量為而=（1,1,1）

巴￡

o

22-

Lfl+c=0

設平面/DE的一個法向量為亢=（。,瓦c）,則,與￡

OIZ?+c=0

22-

令a=l,得平面/DE的一個法向量為方=（U,-1）,

玩.五11+1-111

設平面BAD與平面EAD夾角為G,則|cos8|=司平=.潟=

所以平面BAD與平面EAD夾角的余弦值為1.

隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）叵

20

解：（1）-：ACV^-^BCDE,Z）Eu平面8CDE,：.ACLDE,

又ADLDE,ACC\AD=A,/C,ADu平面/CD,DE_L平面/CD；

QVJBCE為等邊三角形，.^./J8￡1C=60°,又NECD=60。,：.BE//CD,

?;CDu平面/CD,BEcz平面/CD,.〔BE〃平面NCD.

DEV^-^ACD,COu平面/CD,:.DELCD；

（2）以。為坐標原點，友，瓦為軸正方向，作z軸/MC,可建立如圖所示空間

直角坐標系，

則刃(0,0,0),/(1,0,3),5(2,V3,o),網(wǎng)0,。,0),

Z14-(l,0,3),ZXE=(0,V3,0),28=[1,73,-3),BE=(-2,0,0),

設平面/DE的法向量E=(XQ”zJ,

,\DA-n=x,+3z.=0“,_z

則,一廠，令4=1,則再=-3,必=0,=(-3,0,1)；

DE?亢3yi=G

設平面NBE的法向量機=(尤2，%/2)，

AB-m—x+V3y—3z=0

222令％2=1,貝ll9=。，y?=.,.加=(0,；

BE?m=—2X2=0

\m'n\i而

cos<m.n>\

~20

加2A/TO

平面與平面月族所成銳二面角的余弦值為零.

典例3、答案：（1）證明見解析（2）叵

13

解：（1）證明：因為四邊形ZCDE為菱形，則。E///C,

?.,OEU平面/BC,/（7匚平面/8。，.1DE〃平面ABC,

?/DFHBC,DF<zABC,BCu平面/3C,DFIIABC,

;DECDF=D,所以，平面DEF〃平面N3C,

因為EFu平面。￡/，，斯〃平面48c.

（2）取NC的中點O,連接05、OD,

因為四邊形NC0E為菱形，貝l]/C=CD,因為//CD=60。，則“CD為等邊三

角形，

因為。為/C的中點，則QDJ./C,同理可得O8_LNC,

因為平面ZCDE，平面"C,平面,COEn平面Z3C=/C,OD^\^ACDE,

平面MC,以點O為坐標原點，OB、0C、0。所在直線分別為x、八z

軸

建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則4（0,-1,0）、5（V3,o,o）,C（0,l,0）、。（0,0,百）、網(wǎng)0,-2,回F

設平面BE尸的向量為加=（x/,z）,EF=BE=卜品一2,也）,

則產(chǎn)麗=%+>=。，取.3,可得前=（3,-6,1）,

m-BE=-#>x-2y+gz=0

一一一m-n1V13

易知平面血。的一個法向量為〃=（0,0,1）,則cos<也〃>=府雨=而=15".

因此，平面/BC與平面8跖所成銳二面角的余弦值為恒.

13

隨堂練習：答案：（1）見解析；（2）叵.

5

解：（1）連接M￡,BXC

■：M,E分別為四，8c中點.?.ME為物8c的中位線:.MEHBg豆

ME=\C

又N為4。中點，且:.ND//風C且ND=；B\C

.-.ME/JND四邊形以煙為平行四邊形

:.MN//DE,又跖VU平面CQ￡,DEu平面CQ￡；.ACV//平面

)^AC^BD=O,4cle49=0]由直四棱柱性質(zhì)可知：平面Z5CD

；四邊形ABCD為菱形AC±BD

則以。為原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：

則：/(百,0,0),M(0,l,2),4(C,0,4),D(0,-1,0)N--,——,2

I22,

取NB中點尸，連接。尸，則尸[#4，°]

,:四邊形/BCD為菱形且/區(qū)4。=60。.?.M4D為等邊三角形DF±AB

又“4,平面48CD,DFu平面48C。.'.DFVAA^

：.DF_L平面ABBXAX,即。尸1平面AMA1

一re3、

??.。月為平面皿必的一個法向量，且—,-,0

\7

設平面MN的法向量克=(x,y,z),又南=("-1,2),MN=

n?MA}=VJx-y+2z=0

??.二3,令％=百，貝！Jv=l,z=-1萬=

n-MN=—x—y=0

I22，

DFn_3_V15_,_Jio

cos<DF,n>=

研詞=布=丁.?.sin<DF,?>=—

「二面角/-4四-N的正弦值為：乎

典例4、答案：（1）證明見解析（2）立

6

解：（1）如圖，連接NC,?.?四邊形/BCD是正方形，.../C上80.

又P/_L平面ABCD,BDu平面ABCD,/.PALBD,

：P/,/Cu平面取C,PA^AC=A,：.BD1^-^PAC,

又CMu平面取C,BD1CM

（2）易知/B,AD,/尸兩兩垂直，以點A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標

系/一孫z.

-PA=2AB=4,.?./（0,0,0）,尸（0,0,4）,M（0,0,2）,C（2,2,0）,￡>（0,2,0）,

.?.就=（2,2,-2）,礪=（0,2,-2）,斤=（2,2,-4）.

n?MC=2x+2y-2z=0

設平面MCD的法向量為〃=（尤//）則

n-MD=2y-2z=0

J-_____rr

令>=1,得”=（0,1,1）.設直線尸c與平面MCO所成角為e,由圖可知0<e<5,

即直線尸C與平面2所成角的正弦值為.

⑵2(-一碼

隨堂練習：答案：（1）證明見解析

15

解：（1）證明：由題意知：POLOAPO上OB,OAnOC=0.?.如，平面N如,

又???/Bu平面N如，所以那.又點。為凝的中點，所以0d8,

POcOC=。，所以四，平面poa又???PCU平面poa所以PC±^B.

(2)以。為原點，OA,OB,而的方向分別作為X,乃z軸的正方向

建立如圖所示的空間直角坐標系，設。4=2,則4(2,0,0),5(0,2,0),尸(0,0,4),

C(V2,V2,0),

所以"=(-2,2,0),/尸=(-2,0,4),PC=(V2,V2,-4).

設平面/W的法向量為〃=(a,6,c),則_Fc，，取C=1,則。=6=2

n,AP=-2a+4c=0,

可得平面⑸8的一個法向量為元=（2,2,1）,

I/RUUTXI|克.尸4J2-42（V10-V5）

所以sin夕=cos（",PC）=/國叫=----^―=------------

?'/I\n\\pc\67515

典例5、答案：⑴證明見解析⑵中

解：(1)因為/3//CD,AB1BC,￡為。。的中點，所以4B=CE,AB〃CE,

所以四邊形4BCE為長方形，CD1AE,

因為尸尸_1平面48cD,CDu平面488,所以COLP;"

又因為P尸c/￡=尸，所以CD_L平面P/尸，4Pu平面P/尸，所以CO_L/尸.

(2)連接PE,由(1)CD_L平面尸/尸，PEu平面尸/尸，所以CD_LP￡,

因為尸。=2,DE=1,所以尸E?一。工=4一1=3,/加=4

^^XAP2+PE2=AE2,BPAP1PE,APPE^AEPF,PF=AP'PE=Ji,

AE2

所以“尸2=工尸2一小2=；,即/尸=；,

過廠做方HL3C交3C于b,分別以網(wǎng)、FE、FP所在的直線為X、4z軸的正方

建立空間直角坐標系，小-川，4°，一；，°］，

p，o閣,年1,訓,

7）

-?(iO-?—?(iG、

，P=0,-,—-,力。=(-1,2,0),PB=1,--,--—

I227I227

設平面尸/。的一個法向量為￡=(xj,z),

1+石

AP-n=0—yd-----z=0n，令金,則了=1/=一/所以〃=[2,1,一程

所以一一，即:22

AD?〃=0-x+2y=0

設直線必與平面必〃所成角的為。，所以

；

2-+------X-------

32

sin。cos(F5.?)=

4

所以直線必與平面為,所成角的正弦值為手.

隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）7

解：（1）設下為。E的中點，。為/C的中點，BE=2EA,貝Ij/D=/E=2,

__>4DpADO

故加UZE,則4戶，DE,XBP=-PC,則〒=力=了，

4PCAC4

所以NP是/R4C的角平分線，且4F,尸三點共線.

DEVFP

,且尸尸尸二尸，得面則。尸；

由DE±A'Fc//FP,￡_1_4

（2）法一：連結(jié)44，由。E上平面/打得，平面Z5C/平面/Rp,交線為/尸，

所以H在面43。上的射影點a在Z尸上，//尸〃為直線4P與平面8co所成

角.

Q2_|_42—?27

在中，AB=4,BC=2,AC=3,由余弦定理得cos/刈C=^^~~—

2x3x48

42+22—3211IT/TF

cosZACB=-------------=—,1^DE=J22+22-2X2X2X-=1AF=ArF=—,

2x4x216V892

又AA，=2出,在A44'尸得，由余弦定理得cos/H4F=撞，則sin//4P=g

55

所以/'〃=AA'sinZA'AP=2^-

5

由(1)得“尸為角平分線，

Q,由余弦定理得/尸=處，則/W=亞,

在△/(?尸中，CP”

735

所以tan//P〃=^=7,所以直線4P與平面3c。所成角的正切值為7.

法二：如圖,以尸為原點，F(xiàn)E,尸尸為％，V軸建立空間直角坐標系.

廠(0,0,0),fy,o,o

D-。。AB

\77

cf-1,—,olP0,

2①14。)］

7

設/(0,4,6),由?尸=%方=史，AA'=2也

2

得H八,嚕/

PA'=0,

平面BCD法向量為3=(0,0,1),設直線4P與平面BCD所成角為。，所以

2小

.\PA'-n\57A/2J2r,,

sinn0=——=-7^=—~r~,cos0=——，貝!jtan。=7,

\PA,\-\n\2V301010

------1

7

所以直線4尸與平面BCD所成角的正切值為7.

典例6、答案：⑴證明見解析；⑵鬻

解：(1)取CD中點G,連接5G,EG,FG,所以CG=：CD=；C3,

由余弦定理得：BG1=CG-+CB2-2CG-CBcos600=—CB,得8G_LCD,

2

ABVBG,又ABLBE,^.BGC\BE=B,則平面BEG,

ABLEG,又ABIICD,所以CD,平面5EG,

則CD_1EG,由等邊三角形CD產(chǎn)得CD,9G,且EGA尸G=G,

則CD,平面MG,故COLE。又ABHCD,因止匕A8DL

力V/

(2)連接過點尸作"，平面/BCD于點H,連接NX,GH,

由/平面BEG得平面BEG1平面ABCD,則點E在平面ABCD內(nèi)的射影位于直

線8G上,

由等邊三角形BCE得點￡在平面ABCD內(nèi)的射影位于8C的中垂線上，

因此，由幾何關系可確定點E在平面ABCD內(nèi)的射影位于ABCD的重心，

又由(1)知CD,平面MG,CD,平面5EG,則B,E,F,G,"五點共面,

如圖，以點G為原點，以射線G8,GC為x,V軸的正半軸，建立空間直角坐標

系G~xyz,

不妨設/3=2,則/（3,-2,0）,c（o,i,o）,r?（o,-i,o）,

在A8￡G和AERG中，由余弦定理得cosZBGE=出土這U

2BGEG3

Ed+FG-a1

——,

2EGFG3

則cos/gGN-g,解得尸,

16月、4767后476

因此4F=丁乂，丁---，un,---,DC=（0,2,0）,