專題03集合的基本運算

1、理解并、交集的含義，會求簡單的并、交集

2、借助Venn圖理解、掌握并、交集的運算性質(zhì)

3、根據(jù)并、交集運算的性質(zhì)求參數(shù)問題

(新知速通J

1、交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合3的所有元素組成的集合，稱為A與3的交集,

記作AA8,即=，且xeB}.

2、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，稱為A與3的并集,

記作AU8,即AUB={x|xeA,或xeB}.

3、補集：對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合

A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作G/A，

即CJJA-{x\xeU,且xeA}.

4、集合的運算性質(zhì)

(1)Ap[A=A,AQ0=0,Ap\B=BC\A.

(2)A\JA=A,A\J0=A,A\JB=B\JA.

(3)AD(GA)=0,AU(CUA)=U,CU(CUA)^A.

5,高頻結(jié)論

(1)AcB<4>AnB=A<=>A\JB=B<=>CVBcCVA.

(2)C￡/(AnB)=(C￡/A)U(C[/B),Cu(AU5)=(CuA)n(C*).

6、區(qū)間的概念

6.1區(qū)間的概念

設(shè)a,〃是實數(shù)，且a<b,滿足aW九Wb的實數(shù)x的全體，叫做閉區(qū)間，

記作[a,切，gp,[a,b]={x\a<x<b}Q如圖：a,b叫做區(qū)間的端點.在數(shù)軸上表示一個區(qū)間時，若

區(qū)間包括端點，則端點用實心點表示；若區(qū)間不包括端點，則端點用空心點表示.

I111一I1

"bxabx“b飛abx

a<x<ba<x￡ba^x<b

國"近"Wb}{r|a<x<b}(r|u<xWb)

l0?R(?.ft)(a,可(??b)

閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間

集合{x\a<x<b}{x|a<x<b]{x\a<x<b]{x\a<x<b}

區(qū)間[a,b](a/)(a,句[a])

6.2含有無窮大的表示

全體實數(shù)也可用區(qū)間表示為(-8,+°。)，符號"+s”讀作"正無窮大”，“f”讀作“負無窮大”，即

R=+co)o

J__________f________________u

axaxaxo*

axWax>ax<a

a!a}忖*>0}{x|x<a}

[a)+ao)(-??tf](a."Ho)a)

集合{x\x>a}{x\x<a}{x\x>a}{x\x<a}

區(qū)間[a,+oo)(a,+oo)(-℃,a)

/------[HHHK.

（對點集訓J

對點集訓一：交集

角度1：交集的概念及運算

典型例題

例題1.（24-25高一上?北京?期中）已知集合知={尤1-3<》<1},2V={-3,-2,-1,0,1},則〃口"=（

A.{—2,—1,0}B.{-3,—2,—1}C.2,-1,0,1}D.{-3,—2,—1,0}

【答案】A

【知識點】交集的概念及運算

【分析】根據(jù)集合的交集，可得答案.

【詳解】由題意可得McN={-2,-1,0}.

故選：A.

例題2.（24-25高一下?廣西崇左?階段練習）已知集合4=3-34彳41},8={刈了區(qū)2},則402=（

A.^x|-2<x<l|B.{x|-3WxWl}C.^x|-3<x<2}D.{疝WxW2}

【答案】A

【知識點】交集的概念及運算

【分析】先解絕對值不等式得出集合5,再應(yīng)用交集定義計算求解.

【詳解】依題意，B={x\-2<x<2},而A={x|-3WxWl},

所以AcB={x|-2WxWl}.

故選：A

精練

1.（2025?全國?模擬預(yù)測）已知集合4=何-1<%<3},5={-1,0,1,2,3},則（）

A.{0,1,2,3}B.{xl-l<x<3}C.{-1,0,1,2,3}D.{x[T<x<3}

【答案】A

【知識點】交集的概念及運算

【分析】根據(jù)交集定義計算求解.

【詳解】由題可得4=何一1—},B={-1,0,1,2,3},則Ac3={0,l,2,3}.

故選:A.

2.（24?25高一下,云南?階段練習）集合A={x|2<xv4},3={x|-lv%v3},則AQ5=（）

A.{x\2<x<3}B.{x|-l<x<4}C.{x|-l<x<2}D.{x|3<x<4}

【答案】A

【知識點】交集的概念及運算

【分析】根據(jù)集合的交集運算即可.

【詳解】因為A={x|2Wx<4},B={x[T<x<3},

所以Ap|3={x|2Vx<3}.

故選：A.

3.（2025?陜西?模擬預(yù)測）已知集合4={（元,y）b=/_2x_i},B=M，y）|y=2x-5},則Ac3的元素個數(shù)

是（）

A.0B.1C.2D.無數(shù)

【答案】B

【知識點】交集的概念及運算

【分析】依題意，AcB轉(zhuǎn)換為兩函數(shù)圖象交點問題，聯(lián)立方程組求解，從而得到答案.

[詳解】聯(lián)立F=；_?T,整理得2『=0,

[y=2%一5

解得x=2,則>=-1,即Ac8={（2,-1）},有1個元素.

故選：B.

角度2:根據(jù)交集的結(jié)果求集合或參數(shù)

典型例題

例題1.（2025高三?全國?專題練習）已知集合4=徊—3<%42},8={疝-》<2”?},且4口8=3-1?彳<2},

則，w=（）

3

A.-B.0C.-1D.1

2

【答案】D

【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)

【分析】根據(jù)交集的結(jié)果直接求解即可.

【詳解】因為A={x|-34xW2},3={x|%21-2加},

且={x|—1W尤W2},所以1—2加=—1,解得〃z=l.

故選：D.

例題2.（24-25高一上?河北唐山?期中）已知集合4=何一3<》<5},B={x\la+l<x<2a+l].

⑴當“=1時，求AU3,AnB;

（2）若4口3=0,求。的取值范圍.

【答案】（1）AU8={X[—3<X49},AnB={x|3<%<5）.

（2）（Y,—5]U[2,4W）

【知識點】交集的概念及運算、并集的概念及運算、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)

【分析】（1）把。=1代入，利用并集、交集的定義直接求解.

（2）利用給定的交集結(jié)果，列式求出.

【詳解】（1）當。=1時，B—1x|3<x<9},而A={H—3v%v5},

貝！j=3v%K9},Ac5={x|3V尤<5}.

（2）由人口3=0,得2a+125或2a+7W—3,解得aN2或〃4一5,

所以〃的取值范圍是（F,-5]U[2,+8）,

精練

1.（2025?山東臨沂?一模）已知集合4=何2工-4〈0},8={2<了<2}.若4「3=0,則4的取值范圍為（）

A.{x\x<l}B.{x\x<l}C.{x\x<2}D.{x\x<2}

【答案】D

【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)

【分析】由An3=0,可得即可得解.

【詳解】A={x|2x-a<o}=^|x<|j,

因為AnB=。，

所以羨VI,解得“W2,

所以a的取值范圍為{x|x<2}.

故選：D.

2.（24-25高一上?上海?期中）已知集合4={-1,1},3=國

⑴若AC3={1},求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若4口8=4,求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】（1）-1<?<1

⑵aW-1

【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

【分析】（1）根據(jù)交集的定義即可求得結(jié)果.

(2)由ACB=A,得到A=3,利用子集的定義即可得到結(jié)果.

【詳解】⑴?.-AnB={l},.-.leB,-UJB,.-.-l<a<l

(2)Ar>B=A,/.AcB,.\1,-1eB,.，.a<-l

3.(23-24高一上?福建龍巖?階段練習)已知集合4={幻204了4。+3},3={x|-24x43}

(1)當a=l時，求AU3;

(2)若AC3=A,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1){%|-2<%<4}；

(2)-14。40或a>3.

【知識點】并集的概念及運算、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

【分析】(1)應(yīng)用集合的并運算求集合；

(2)由題設(shè)有討論A=0、Aw0列不等式求參數(shù)范圍.

【詳解】(1)由題設(shè)4="|24彳〈4},3={*|-2<%<3},^AuB={x\-2<x<4]；

(2)由Ac3=A=AaB,

若A=0,有2a>a+3=a>3滿足題設(shè)；

2a<a+3

若Aw0,有2。2-2,可得—1<。<0;

(2+3<3

綜上，-1<々<0或a>3.

角度3:根據(jù)交集的結(jié)果求元素個數(shù)

典型例題

例題1.(24-25高三上,四川南充?階段練習)已知集合4={(")1y=Y+l},8={(x,y)ly=x+l},貝！IAcB

中的元素個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【知識點】交集的概念及運算、根據(jù)交集結(jié)果求集合元素個數(shù)、列舉法求集合中元素的個數(shù)

【分析】根據(jù)條件，直接求得AcB={(O,l),(l,2)},即可求解.

【詳解】由廠二廠?，消y整理得到f_x=o,解得》=0或彳=1,

[y=%+1

當x=0時，v=l,當x=l時，>=2,所以AcB={(O,l),(l,2)},

故選：C.

例題2.（2025高三?全國?專題練習）已知集合A={-1,0,1},B=L|^|<oj,則AcB中整數(shù)元素的個

數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【知識點】交集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式、根據(jù)交集結(jié)果求集合元素個數(shù)

【分析】先把分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次方程得出集合5,再根據(jù)交集定義計算即可.

【詳解】由與皿得卜[2）'+l）W。，解得—Kg.

x+1[x+lwO,

又4={TO,1},所以AA3={O，1},

所以Ac3中整數(shù)元素的個數(shù)是2.

故選：C.

精練

1.（24-25高一上?福建莆田?期中）設(shè)集合A={/+8,eN},B=[b2+29\b^},若Ac3=P,則尸中

元素個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.至少3個

【答案】C

【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合元素個數(shù)

【分析】由6+8=〃+29,可得21="一>2=5一35+9，可得出關(guān)于。、，的方程組，解出。、6的值,

即可得出集合P,即可得解.

【詳解】由4+8=〃+29,可得21=/-/=(〃-b)(a+b),

因為“、Z?eN,必有a>〃，S.a-b<a+b,

a—b=l,{a—b=3?[a=11,[a=5

所以,a+6=21叱+6=7,解得味=2,

因此，P=An3={33,129}.

故選：c.

2.（23-24高二下?北京?期中）設(shè)集合A={（尤,y）|y=x},B==則集合AcB的元素的個數(shù)

為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合元素個數(shù)、交集的概念及運算

【分析】通過求函數(shù)、=》和>=工的交點的個數(shù)即可判斷.

、=尤fx=lfx=-l

【詳解】由1,解得I或，，

y=一[y=i[y=T

lX

所以集合AcB的元素的個數(shù)為2個.

故選：C.

3.(23-24高一上?吉林?期末)集合A={xeN*卜2_3%-4<。},3={0,2,4,6},則AcB中元素的個數(shù)為

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合元素個數(shù)、交集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】先解不等式，求出集合A,然后得到Ac5,即可求解.

【詳解】解不等式/一3x-4W0可得：-1WXW4,

因為xeN*,所以集合4={1,2,3,4},

又3={0,2,4,6},

所以4口3={2,4},

所以AcB中元素的個數(shù)為2.

故選：A.

對點集訓二：并集

角度1：并集的概念及運算

典型例題

例題1.(2025?貴州貴陽?模擬預(yù)測)集合4={劃尤2+4工-5=。},3={丈|/_1=0},則41^=()

A.{-1}B.{1}C.{-5,-1,1}D.{-5,1}

【答案】C

【知識點】并集的概念及運算

【分析】根據(jù)一元二次方程的根化簡兩個集合，即可由并集的定義求解.

【詳解】A={-5,1},B={1,-1},所以AuB={-5,-l,l},

故選:C.

例題2.(2025高三?北京?專題練習)集合4=徊*+220},3=卜，-3*-4<0},則41^=()

A.{x|-2<x<4}B.{x\-2<x<4}C.{^1x>-2}D.{x\-2<x<4}

【答案】C

【知識點】并集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】求出集合A和B即可求出AU反

【詳解】A={x|x+220}={x|x>-2},B={x|x2-3x-4<Oy={x|-l<x<4},

所以=X>-2}.

故選：C.

精練

1.(2025?湖南邵陽?二模)已知集合八卜產(chǎn)詞，B=[X\X-1>6\,則皿3=()

A.{尤3<x<l}B.{x|x>l}C.{x[l<x<3}D.{無歸>—3}

【答案】D

【知識點】并集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】由不等式解出集合，再求并集即可.

【詳解]4={尤卜2<9}={x卜3<尤<3},8={創(chuàng)*_]>0}={尤|尤>1},

所以4。8={巾>一3}.

故選：D

2.(24-25高二下?北京?階段練習)設(shè)集合4=卜|—g<x<2；,B={X|X2<1},則AUb=()

A.|x|-l<x<2}B.

C.{尤[x<2}D.{x|l<尤<2}

【答案】A

【知識點】解不含參數(shù)的一元一次不等式、并集的概念及運算

【分析】求解一元二次不等式，再根據(jù)集合并集的概念進行運算即可.

【詳解】因為8=局無2<1}={尤所以AU3={XHVX<2}.

故選：A

3.(2025?天津和平?一模)已知集合人={尤卜2<尤<2},B={x|-l<x<3),則AUB=()

A.{尤卜2cx<3}B.{x|x>-2}

C.{尤|-14尤<3}D.{x|x<3}

【答案】A

【知識點】并集的概念及運算

【分析】利用并集的定義可求得集合AU反

【詳解】因為A=1x|-2<x<21,B=|x|-l<x<31,貝IJAu5={H-2Vxv3}.

故選：A.

角度2:根據(jù)并集的結(jié)果求集合或參數(shù)

典型例題

例題1.(23-24高三?河南周口?階段練習)設(shè)集合A=卜|尤2-3尤+2=。},集合3={x|x2+(a-l)x+a2-5=0'

⑴若A「B={2},求實數(shù)。的值；

(2)若AU3=A,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)?=-3,?=1

(2)卜卜4—3或a>耳].

【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)、一元二次方程的解集及其根與系數(shù)

的關(guān)系

【分析】(1)根據(jù)交集先將元素2代入集合B,求出。的值再逐一驗證；

(2)對B進行分類討論，分成空集，單元素集和雙元素集.

【詳解】⑴由題意得4={無叱-3尤+2=0}={1,2}.

AnB={2}./.2GB,

「.22+(〃—1)x2+〃—5=0即4+2々-2+[2一5=0,化簡得：/+2々一3=0,

即=解得：a=-3,a=l,

經(jīng)檢驗當Q=-3,5={RV_41+4=0}={2},滿足A。3={2}

當Q=1,3={X|爐―4=0}={—2,2},滿足AA5={2}

a=-3,a=1

(2)QAUB=A,故BqA

①當B為空集，貝必vO,BP(a-l)2-4(a2-5)<0,得。<—3或。>：;

②當8為單元素集，貝必=0,即(。-一4("-5)=0,得a=(或。=一3,

當a==]-|}(ZA,舍去；當a=-3,3={2}屋A符合；

③當8為雙元素集，則B=A={1,2},則有無解，

[1x2—d—3

綜上：實數(shù)”的取值范圍為“卜4-3或a>：].

2Y+1

例題2.（23-24高一上?江蘇無錫?階段練習）已知集合A={x|--<1}B={x\x2-2x-3<0]C={x\x<a],

x+199

全集。=R.求：

（l）AnB;

⑵&A）n8；

（3）若BUC=C,求。的取值范圍.

【答案】（l）A^B={x|-l<%<0}；

（2）（eA）n8={x|0<x43或x=-l}；

⑶（3,+8）.

【知識點】交集的概念及運算、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式

【分析】（1）解分式不等式、一元二次不等式求集合，再由交運算求結(jié)果；

（2）應(yīng)用集合交、補運算求結(jié)果；

（3）由題設(shè)得即可確定參數(shù)范圍.

2丫+1

【詳解】⑴由A=*|-------<1]={X\-1<X<0]5={x|—1"X"3},得Ac3={%|—lv%K0}；

x+19

（2）由（1）A={jr|-l<%<0},全集。=R,

r.=尤4-1或x>0},貝IJ（2A）r|B={x|0<x43或無=T}；

（3）由BUC=C,則3=結(jié)合（1）得a>3,

所以實數(shù)a的取值范圍是（3,+勾.

精練

1.（2025?陜西西安?二模）已知集合4=設(shè)/+爾=0},8={1}.若4口3={0,1},貝!|〃2=（）

A.0B.1C.-1D.0或-1

【答案】D

【知識點】根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)

【分析】解方程求出集合A,根據(jù)AU3即可確定參數(shù)機的值.

【詳解】由X2+mx=0可得x=0或％=-m,

則當相。0時，A={0,-m}；當機=。時，A={0}；

因5={1},且AD5={0,1},

則加=0或加=一1.

故選：D.

2.（23-24高一上?重慶?期末）已知集合人={無值一3）（尤+2）<0},集合8={x|2a-3<x<2a+l}.

（1）當a=2時，求AcB；

（2）若AU3=A,求a的取值范圍.

【答案】（l）AcB={x[l<x<3}

（2）]WaW1

【知識點】根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)、交集的概念及運算

【分析】（1）解出集合4中的不等式，將。=2代入集合3中不等式，求兩個集合的交集；

（2）由AU3=A得集合4和集合5之間的關(guān)系，求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】⑴A={x|（x-3）（%+2）<0}={x\-2<x<3},

當a=2時，B={.r|l<x<5},所以Ac3={x[l<x<3}.

（2）因為AU3=A,所以3=顯然集合B非空，

[2a-3>-21

所以?！按?，得

3.（23-24高一上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?階段練習）設(shè)集合A={x|尤2-8犬+15=0},8=何6+1=0}.

（1）若。=-；，判斷集合A與3的關(guān)系；

（2）若AU3=A,求實數(shù)。的取值集合.

【答案】（1）8是A的真子集

【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

【分析】⑴解方程得到A={3,5},3={3},得到8是A的真子集；

（2）分8=0,3=⑶和3={5}三種情況，求出答案.

【詳解】（1）A={X|X2-8X+15=0}={3,5},

a=-g時,2=卜|-卜+1=01={3},

故8是A真的子集

（2）AU3=A,故

當。=0時，B=0,滿足要求，

當aHO時，若3={3}時，3。+1=0,解得

若3={5}時，5a+l=0,解得。=一2，

故實數(shù)”的取值集合為.

角度3:根據(jù)并集的結(jié)果求元素個數(shù)

典型例題

例題1.（23-24高一上?江西撫州?階段練習）已知集合人={0,-1,3,2},B={-2,-l,l},則中元素的

個數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【知識點】并集的概念及運算、根據(jù)并集結(jié)果求集合元素個數(shù)

【分析】根據(jù)并集的概念和運算即可.

【詳解】由4={0，-1，3,2},5={-2,-1,1）,

WAU6={-2,-1,0,1,2,3）,共6個元素.

故選：C

例題2.（23-24高一上?湖南株洲?階段練習）若集合M={1,3},A={x\x=s+t,s^M,t^M},

B=[x\x=s2+t2,seM,t^M},則集合AU3中的元素個數(shù)是.

【答案】5

【知識點】根據(jù)并集結(jié)果求集合元素個數(shù)

【分析】求出集合A、B,可求出集合AUB,即可得解.

【詳解】因為集合”={1,3},A={Hx=s+f,seMjeM},B-^x=s2+t2,s&M,t&,

則4={2,4,6},B={2,10,18},所以，A|JB={2,4,6,10,18},

故集合AU3中的元素個數(shù)是5.

故答案為：5.

精練

1.（23-24高三上?貴州貴陽?階段練習）已知集合”=口,3,5,7},N=卜|V-2x-3<0,xeN*},則MuN

中的元素個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、根據(jù)并集結(jié)果求集合元素個數(shù)、并集的概念及運算

【分析】先計算集合N,然后運算MuN即可.

【詳解】由題意得：N={x|-1<X<3,XWN*}={1,2},

所以〃UN={1,2,3,5,7},

故MuN共5個元素，

故選：C.

2.（23-24高三上?陜西安康?階段練習）已知集合4=卜"|爐+1<5},8={-1,1,3},則AU3中元素的個

數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【知識點】根據(jù)并集結(jié)果求集合元素個數(shù)

【分析】化簡集合A,即可求出AU3中元素的個數(shù).

【詳解】由題意，

因為A={xeZ|x2+l<5}={xeZ|x2<4）={-1,0,1},B={-1,1,3},所以AU3={—1,0』,3},有4個元素，

故選：B.

3.（23-24高一上?遼寧?階段練習）已知集合4={-1,0,1,3,4}乃={.岡（尤-2）。-6）<0},則AUB的元素

個數(shù)為（）

A.8B.7C.5D.2

【答案】A

【知識點】并集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式、根據(jù)并集結(jié)果求集合元素個數(shù)

【分析】化簡集合8即得解.

【詳解】解：解不等式（x-2）（x-6）V0,得2Vx46,則3={2,3,4,5,6},

因為4={-1,0,1,3,4},

所以AU3={-1,0,L2,3,4,5,6}.

所以AUB的元素個數(shù)為8個.

故選：A

對點集訓三：補集

角度1：補集的概念及運算

典型例題

例題1.（24-25高一上?廣東廣州?期中）已知全集。={xeZ||x-2|<3},A={xeN*|尤?-2x<3},貝!|樂4=

（）

A.{1,2}B.{3,4}C.{0,1,2}D.{0,3,4）

【答案】D

【知識點】補集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】結(jié)合絕對值不等式、一元二次不等式求解，再由補集運算即可求解.

【詳解】全集U={xeZ||x—2|<3}={xeZ|-3<x—2<3}={xeZ|—l<x<5}={0,l,2,3,4},

A=UwN+|x2_2x<3}={xwN+|;r2_2x_3<0}={xwN+|_]<;r<3}={l,2}

則MA={0,3,4}

故選：D

例題2.(24-25高一下?浙江湖州?階段練習)設(shè)集合A={小訓,8=3。<彳43},貝！|&A)cB=()

A.{x[0<x<l}B.{x|x>0}

C.{x|x<l}D.{x[l<x<3}

【答案】A

【知識點】交集的概念及運算、補集的概念及運算

【分析】根據(jù)交集、補集的運算求解即可.

[詳解】因為4={小21},3=何0<*<3},

所以4A={x|x<l},(^A)nB={%|0<%<l),

故選：A

精練

1.(2025高三?全國?專題練習)設(shè)集合A={x|04x<l},B=則Ac\8=()

A.{x[0<x<l}B.

C.<x<1|D.{xOVxcg}

【答案】D

【知識點】交并補混合運算、交集的概念及運算、補集的概念及運算

【分析】解法一：根據(jù)集合的交集和補集運算求解即可；解法二：取特值檢驗即可.

【詳解】解法一：因為3卜故％8=[卜

又A={x[04無<1},故=,

解法二(特殊值法)：因為OeA且0e3,

所以結(jié)合選項可知ABC錯誤，D正確.

故選：D.

2.(2025?北京豐臺,一模)已知集合。={-3,-2,-1,0,1,2},A={^eZ||x|<2),則即A=()

A.{—1,0,1}B.{—2,—1,。,1,2}C.{-3}D.{-3,—2,2}

【答案】D

【知識點】補集的概念及運算、公式法解絕對值不等式

【分析】解絕對值不等式化簡集合A,根據(jù)補集的概念可得結(jié)果.

【詳解】由題意得，A={xwZ|-2Vx<2}={-1,0,1},

"U={-3,-2,-1,0,1,2},r.&A={-3,-2,2}.

故選：D.

3.(2025?福建廈門?二模)已知集合A={X|34X<5},3={小>4},則Ac做8)=()

A.{尤|%23}B.{x|x<4}C.{力3<無<4}D.{尤|34尤44}

【答案】D

【知識點】交集的概念及運算、補集的概念及運算

【分析】根據(jù)補集的概念及交集的運算可得結(jié)果.

【詳解】??,8={巾>4},??42={小V4},

VA={[3<x<5},An(^B)={x|3<x<4}.

故選：D.

角度2:根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)

典型例題

例題1.(24-25高一上,天津濱海新?階段練習)已知集合4=卜|x2-8x+m=0,meR),

B-[x\OX-1=0,6ZGR},且A|JB=A.

(1)若租=15,求實數(shù)a組成的集合；

(2)若加8={2},求機，a的直

【答案】

(2)m=12;a=—

6

【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)

【分析】(1)求得集合A,由8=A分類討論可得a值；

(2)由a^={2}得2eA,2史3,求得加，再求得A,從而得集合3,最后可得“值.

【詳解】(1)若加解5,可得4={尤k2-8龍+15=0}={3,5},因為AU3=A,所以3=A.

當3=0,貝Ua=O;當3={3},貝;當8={5},a=1.

綜上，可得實數(shù).組成的集合為.

（2）因為A={x,2-8x+m=0,meR^,B=^x\ax-l=O,a^R^,

且AU5=A,dAB={2},所以2GA,2出B,所以2?—8x2+m=0,

解得加=12,解了2_8%+12=0,得X=2或X=6,所以A={2,6},

所以所以6〃一1=。，解得〃=3.

6

例題2.（23-24高一上?新疆省直轄縣級單位?期中）已知集合4={*|2-?！从?lt;2+a},B={x\x<l^x>4\.

（1）當a=3時，求4cB；

（2）若a>0,且求實數(shù)。的取值范圍.

【答案]（1）4門3=[-1,1]3[4,5]

⑵（0」）

【知識點】交集的概念及運算、根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)

【分析】（1）。=3時化簡集合A,根據(jù)交集的定義寫出AcB；

（2）根據(jù)Aq、B,得出關(guān)于。的不等式，求出解集即可.

【詳解】⑴當a=3時，集合A={x|-lWx<5},B=[x\x<^>4],

AnB=[-l,l]k_>[4,5]；

（2）,A={尤|2-a<x42+a}（a>0）,

B=^x|x<lgJu>41,J.03={尤|1<%<4},

.f2-a>l

'[2+a<4'

又a>0,解得0<a<l.

二實數(shù)a的取值范圍是：（0,1）.

精練

1.（2025高三?全國?專題練習）設(shè)全集S={1,2,3,4},S.A^{xES\x2-5x+m=0\,若。4={2,3},貝IJ

m=.

【答案】4

【知識點】根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)

【分析】根據(jù)補集概念得到A={1,4},故1,4是方程f-5x+機=0的兩根，由韋達定理求出答案.

【詳解】。4={2,3},故4={1,4},

即1,4是方程尤2—5x+m=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得〃2=1X4=4.

故答案為：4

2.(24-25高一上,全國,課后作業(yè))已知集合4={?。?},3={x[x＞a+l}.

(1)當。=1時，求AcB;

(2)若存在集合M={x|3＜xV4},使得刎1=2,求a.

【答案】(1)4＜^={?。?}

(2)a=3

【知識點】交集的概念及運算、根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)、補集的概念及運算

【分析】(1)根據(jù)交集概念求出答案；

(2)根據(jù)補集的概念求出{?。?},結(jié)合%W=B,從而得到a+l=4,得到答案.

【詳解】⑴當4=1時，3={巾＞。+1}={?。?},所以Ac3={x|尤＞3}c{小＞2}={x|尤＞3}.

(2)因為集合4={?。?},“=何3＜》44},所以%0={?。?},

又6AM=8，所以a+l=4,解得a=3.

3.(23-24高一上?浙江金華?階段練習)已知集合4={劃一2＜%＜5},3="|用+1〈*〈2〃工一1}..U=R.

(1)若4口3=0,求實數(shù)機的取值范圍：

(2)若4口令8=。，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)(Y?，2)U(4,+8)

(2)(-?,3]

【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)交并補混合運算確定集合或參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參

數(shù)、根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)

【分析】(1)由An3=0分類討論3=0、B^0,分別列不等式求加的范圍，取并集即可.

(2)由條件知A,討論3=0、B手0,分別列不等式求機的范圍，取并集即可.

【詳解】(1)xeR時，4口3=0知：

當8=0時，加+1＞2加一1得根＜2;

fm+1＞5,f2m—1＜—2

當3,0時，丫。1或.

[m+1＜2m—1[m+l＜2m-1

解得機＞4;

綜上，，加的取值范圍為(f,2)U(4,+8)；

（2）因為Aud5=U,所以AUB=A,所以

當3=0時，m+l>2m-lWim<2;

m+1>-2

當gw0時，<2m—1<5解得2<根<3;

m+1<2m-1

綜上可得加W3,即機的取值范圍是（~°o,3];

對點集訓四：集合的并交補

角度1:并交補混合運算

典型例題

例題1.（24-25高一下?廣西來賓?開學考試）已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},4={1,2,4,5,7},3={1,3,5,7},則

AU（M=（）

A.{3,6}B.{2,4}C.{1,2,4,5,6,7}D.{3,5,7}

【答案】C

【知識點】交并補混合運算

【分析】由題意求出8的補集，根據(jù)集合的并集運算，即得答案.

【詳解】因為全集〃={1,2,3,4,5,6,7},8={1,3,5,7},所以孰3={2,4,6},

又A={1,2,4,5,7},則Au&B）={1,2,4,5,6,7},

故選：C.

例題2.（24-25高一下?河北保定?階段練習）已知集合4=|x|2<x<51,集合3=|x|3<x<71,集合

C={x|xN4}.求：

（1）求AcB,AIJB;

（2）求Ac（3cC）,Cu（AnB）.

【答案】（1）AC3={X|3<尤<5},Au3={x[2Vx<7}；

（2）An（BnC）={x|4<x<5）,Cu（Ac3）={小23}.

【知識點】交集的概念及運算、并集的概念及運算、交并補混合運算

【分析】（1）根據(jù)集合的交集和并集的定義求解；

（2）根據(jù)交集定義求BcC,再求AI（81C）,再結(jié)合（1）結(jié)合并集定義求C5AC3）.

【詳解】⑴因為A={x|2<x<5|,B=|x|3<x<71,

所以Ac5={x[3<%<5},=2Kx<7},

（2）因為5={尤|341<7},C={x|x>4},

所以BcC={x[4?x<7},又A={X|2Kx〈5},

所以AC(8CC)={H4WX<5},

由(1)AnB=1x|3<x<51,C={x|尤"},

所以C5AC3)={X|XN3}.

精練

1.(2025?天津?一模)已知集合4={-2,-1,0,1,2},3=何-1(尤41},則Ac&3)=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-2-1,1}D.{-2,-1,2}

【答案】D

【知識點】交并補混合運算

【分析】利用集合的補集和交集運算即可求解.

【詳解】因為3={XH<X41},所以a8={尤或X>1},

所以4。他3)={-2,7,2}.

故選：D.

2.(2025?江蘇宿遷?二模)設(shè)集合U=R,M=[x\x>^,N="|-l<x<2},貝Ij{x|x4-1}=()

A.^(MnN)B.e(MUN)C.MU&N)D.MJ”)

【答案】B

【知識點】交并補混合運算

【分析】根據(jù)交集、并集、補集的知識來求得正確答案.

【詳解】依題意，MCN=31<X<2},"UN={X|X)-1},

所以d(McN)={x|尤VI或xN2},A選項錯誤；

6(MuN)={x|x〈-l},B選項正確；

eN={尤IxV-1或x22},

Mu&N)={x|xW-l或x>l},C選項錯誤.

^/=卜1》41},

Nu(eM)={x|x<2},D選項錯誤.

故選：B

3.(24-25高一上?湖南長沙?階段練習)設(shè)全集為R,集合A={x[24x<6},3=何3WxV8}?求AU^,

AnB,他A)AB.

【答案】A<JB=1X|2<x<81,AnB=1x|3<x<61，他A)cB={x|6KxK8}

【知識點】交并補混合運算

【分析】根據(jù)集合間運算的定義分別可得解.

【詳解】由已知A={尤|24x<6},B={x|3<x<8),

貝IJAuB={尤[2<8},AcB={x[3<x<6},

44={小<2或xN6},

所以僅A)c8={x|6K8}.

角度2:根據(jù)并交補混合運算確定集合或參數(shù)

典型例題

例題1.(24-25高一下?湖南懷化?期末)已知集合4={乂尤2-5x-640},B={x\x-m<0\.

(1)當根=4時，求AU3；

(2)若Ac(43)H0,求實數(shù)，〃的取值范圍.

【答案】(1)0x46}

(2)(-co,6]

【知識點】并集的概念及運算、根據(jù)交并補混合運算確定集合或參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】(1)首先解一元二次不等式，即可求出集合A,再根據(jù)并集的定義計算可得；

(2)首先求出再根據(jù)Ac(43)H0,即可求出機的取值范圍.

【詳解】(1)由彳2一5犬一640,即(x+l)(x—6)(0,解得一1WXW6,

所以A={x|尤2—5x—6VO}={x|—14尤<6},

當機=4時，8={x|x-4<。}={x|x<4},

所以Au8={x|xW6};

(2)因為B={尤={創(chuàng)尤<加},所以43={x|x2機},

又Ac@3)H0,A={X]-1<X<6},

所以相V6,所以實數(shù)，〃的取值范圍為(-8,6].

例題2.(24-25高一上?江蘇常州?階段練習)已知全集U=R,不等式62+6尤_1>0的解集是A={x14<x<8},

集合2={尤|4-1},C={x\x>m}.

x-10

(1)求實數(shù)。，b的值；

(2)求;

(3)若AnC=0,8nCw0,求加的取值范圍.

【答案】（1）0=一擊1力、3

（2）（f,4]U[5,y）

（3）[8,10）

【知識點】分式不等式、交并補混合運算、根據(jù)交并補混合運算確定集合或參數(shù)、由一元二次不等式的解

確定參數(shù)

【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合三個二次式的關(guān)系，列出方程組，即可求解；

（2）求得B={x|5Wx<10},結(jié)合集合并集與補集的運算，即可求解；

（3）根據(jù)集合交集的概念與運算，分別求得優(yōu)的取值范圍，即可求解.

【詳解】（1）由不等式以2+旅一1>0的解集是4={尤|4<x<8},

a<0

13

可得16。+40-1