2．2.1直線方程的概念與直線的斜率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線的方程、方程的直線的概念.2.理解直線的傾斜角、斜率，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.3.體會用斜率和傾斜角刻劃直線的傾斜程度，并掌握它們之間的關(guān)系．知識點(diǎn)一直線的方程與方程的直線對于y＝2x＋1的圖象，觀察并思考以下問題：思考1點(diǎn)(1,3)為直線上的點(diǎn)，x＝1，y＝3滿足關(guān)系式y(tǒng)＝2x＋1嗎？點(diǎn)(－2，－3)在y＝2x＋1的圖象對應(yīng)的直線上嗎？一次函數(shù)y＝2x＋1的圖象上的點(diǎn)與滿足關(guān)系式y(tǒng)＝2x＋1的實(shí)數(shù)對(x，y)有怎樣的關(guān)系？思考2一元一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的解析式可看作二元一次方程，那么方程y＝kx＋b的解與其圖象上的點(diǎn)存在怎樣的關(guān)系？梳理直線的方程與方程的直線(1)兩個(gè)條件①以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都________________．②這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是________________．(2)一個(gè)結(jié)論這個(gè)方程叫做這條________________，這條直線叫做這個(gè)________________．知識點(diǎn)二直線的傾斜角與斜率名稱斜率傾斜角定義直線y＝kx＋b中的________叫做這條直線的斜率x軸________與直線________的方向所成的角α叫做這條直線的傾斜角范圍(－∞，＋∞)0°≤α＜180°關(guān)系當(dāng)k＝0時(shí)，傾斜角為________，此時(shí)直線與x軸平行或重合；當(dāng)k＞0時(shí)，傾斜角為________，此時(shí)，k值增大，直線的傾斜角也隨著增大；當(dāng)k＜0時(shí)，傾斜角為鈍角，此時(shí)，k值增大，直線的傾斜角也隨著增大；特別地，當(dāng)傾斜角為________時(shí)，斜率k不存在，直線垂直于x軸知識點(diǎn)三直線的斜率公式若直線y＝kx＋b上任意兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2，令Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1，則k＝__________＝________.類型一求直線的傾斜角例1設(shè)直線l過原點(diǎn)，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40°，得直線l1，則直線l1的傾斜角為()A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．當(dāng)0°≤α<140°時(shí)為α＋40°，當(dāng)140°≤α<180°時(shí)為α－140°反思與感悟(1)解答本類題要注意根據(jù)傾斜角的概念及傾斜角的取值范圍解答．(2)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類討論．跟蹤訓(xùn)練1已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為________．類型二直線斜率公式的應(yīng)用例2已知直線l過點(diǎn)M(m＋1，m－1)，N(2m,1)．(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線l的斜率是1?(2)當(dāng)m為何值時(shí)，直線l的傾斜角為90°？反思與感悟利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與x軸垂直時(shí)，斜率是不存在的．(2)斜率公式與兩點(diǎn)P1、P2的先后順序無關(guān)，即公式中的x1與x2，y1與y2可以同時(shí)交換位置．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，直線l1，l2，l3都經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，又l1，l2，l3分別經(jīng)過點(diǎn)Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，計(jì)算直線l1，l2，l3的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．類型三直線的傾斜角、斜率的綜合應(yīng)用eq\x(命題角度1三點(diǎn)共線問題)例3如果三點(diǎn)A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一條直線上，求m的值．反思與感悟斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的．直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變，即同一直線上任何不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等，這正是利用斜率相等可證明點(diǎn)共線的原因．跟蹤訓(xùn)練3證明A(－2,12)，B(1,3)，C(4，－6)三點(diǎn)在同一條直線上．eq\x(命題角度2數(shù)形結(jié)合法求傾斜角或斜率范圍)例4直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq\r(3))為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，求直線l的斜率和傾斜角的取值范圍．反思與感悟(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)，利用定義式k＝tanα(α≠90°)解決．(2)由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．(3)涉及直線與線段有交點(diǎn)問題常利用數(shù)形結(jié)合及公式求解．跟蹤訓(xùn)練4已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．若點(diǎn)D在線段BC上(包括端點(diǎn))移動，求直線AD的斜率的取值范圍．1．對于下列命題：①若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°；②若k是直線的斜率，則k∈R；③任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．42．若經(jīng)過A(m,3)，B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°，則m等于()A．2B．1C．－1D．－23．若三點(diǎn)A(2,3)，B(3,2)，C(eq\f(1,2)，m)共線，則實(shí)數(shù)m的值為________．4．經(jīng)過A(m,3)，B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角α的取值范圍是________．(其中m≥1)5．已知交于點(diǎn)M(8,6)的四條直線l1，l2，l3，l4的傾斜角之比為1∶2∶3∶4，又知l2過點(diǎn)N(5,3)，求這四條直線的傾斜角．1．直線的斜率和傾斜角反映了直線的傾斜程度，二者緊密相連，如下表：直線情況平行于x軸垂直于x軸α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范圍0k>0不存在k<0k的增減情況k隨α的增大而增大k隨α的增大而增大2.用斜率公式解決三點(diǎn)共線問題

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1將x＝1，y＝3代入關(guān)系式y(tǒng)＝2x＋1，等式成立，即x＝1，y＝3滿足關(guān)系式y(tǒng)＝2x＋1.將點(diǎn)(－2，－3)描在上述直角坐標(biāo)系內(nèi)，觀察到點(diǎn)(－2，－3)在y＝2x＋1的圖象對應(yīng)的直線上．存在著一一對應(yīng)的關(guān)系．思考2由于函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)或y＝b都是二元一次方程，因此，方程y＝kx＋b的解與其圖象上的點(diǎn)存在著一一對應(yīng)的關(guān)系．梳理(1)①在某條直線上②這個(gè)方程的解(2)直線的方程方程的直線知識點(diǎn)二系數(shù)k正向向上零度角銳角90°知識點(diǎn)三eq\f(y2－y1,x2－x1)eq\f(Δy,Δx)題型探究例1D[根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示．因?yàn)?°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖(如圖所示)可知，當(dāng)0°≤α<140°時(shí)，l1的傾斜角為α＋40°；當(dāng)140°≤α<180°時(shí)，l1的傾斜角為40°＋α－180°＝α－140°.故選D.]跟蹤訓(xùn)練160°或120°解析有兩種情況：①如圖(1)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為60°，即直線l的傾斜角為60°.②如圖(2)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°.例2解(1)因?yàn)橹本€l的斜率是1，所以eq\f(m－2,1－m)＝1，所以m＝eq\f(3,2).即當(dāng)m＝eq\f(3,2)時(shí)，直線l的斜率是1.(2)因?yàn)橹本€l的傾斜角為90°，所以直線l的斜率不存在，所以m＋1＝2m，所以m＝1.即當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的傾斜角為90°.跟蹤訓(xùn)練2解設(shè)k1，k2，k3分別表示直線l1，l2，l3的斜率．由于Q1，Q2，Q3的橫坐標(biāo)與P點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不相等，所以k1＝eq\f(－1－2,－2－3)＝eq\f(3,5)，k2＝eq\f(－2－2,4－3)＝－4，k3＝eq\f(2－2,－3－3)＝0.由k1>0知，直線l1的傾斜角為銳角；由k2<0知，直線l2的傾斜角為鈍角；由k3＝0知，直線l3的傾斜角為0°.例3解kAB＝eq\f(m－1,－2－2)＝eq\f(1－m,4)，kAC＝eq\f(8－1,6－2)＝eq\f(7,4)，∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴kAB＝kAC，即eq\f(1－m,4)＝eq\f(7,4)，∴m＝－6.跟蹤訓(xùn)練3證明易知直線AB，AC的斜率都存在，∵kAB＝eq\f(12－3,－2－1)＝eq\f(9,－3)＝－3，kAC＝eq\f(－6－12,4－－2)＝eq\f(－18,6)＝－3，∴kAB＝kAC，又AB，AC過同一點(diǎn)A，∴A，B，C三點(diǎn)共線．例4解如圖所示．∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.跟蹤訓(xùn)練4解如圖所示．當(dāng)點(diǎn)D由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))).當(dāng)堂訓(xùn)練1．C2.A3.eq\f(9,2)解析設(shè)直線AB，BC的斜率分別為kAB，kBC，則由斜率公式，得kAB＝eq\f(3－2,2－3)＝－1，kBC＝eq\f(m－2,\f(1,2)－3)＝－eq\f(2,5)(m－2)．∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴kA