1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題1．求參數(shù)例1設(shè)曲線y＝f(x)＝ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a＝________.解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(a1＋Δx2－a,Δx)＝eq\f(2aΔx＋aΔx2,Δx)＝2a＋aΔx，當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí)，2a＋aΔx無(wú)限趨近于2a，即f′(1)＝2a.又由曲線f(x)＝ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，得2a＝2，即a＝1.答案12．求傾斜角例2求曲線y＝f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角．分析要求切線的傾斜角α，先要求切線的斜率k，再根據(jù)斜率k＝tanα，求出傾斜角α.解設(shè)曲線y＝f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角為α.eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(\f(1,3)1＋Δx3－1＋Δx2＋5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1＋5)),Δx)＝eq\f(\f(1,3)Δx3－Δx,Δx)＝eq\f(1,3)(Δx)2－1，當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí)，eq\f(1,3)(Δx)2－1無(wú)限趨近于－1，即tanα＝f′(1)＝－1.因?yàn)棣痢蔥0，π)，所以α＝eq\f(3π,4).故切線的傾斜角為eq\f(3π,4).評(píng)注切線的傾斜角α能通過(guò)求切線的斜率得到，在解題過(guò)程中，一定要注意切線的傾斜角α的取值范圍．3．求曲線的切線例3求在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))處與曲線y＝eq\f(1,3)x3相切的切線方程．分析要求直線在點(diǎn)P處的切線方程，需求得過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可求得切線方程．解因?yàn)辄c(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))在曲線y＝eq\f(1,3)x3上，Δy＝eq\f(1,3)(2＋Δx)3－eq\f(1,3)×23＝4Δx＋2(Δx)2＋eq\f(1,3)(Δx)3，所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋2Δx＋eq\f(1,3)(Δx)2，當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)無(wú)限趨近于4，即k＝4.故所求的切線方程為y－eq\f(8,3)＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.評(píng)注求在點(diǎn)P處與曲線相切的切線方程時(shí)，可求出切線的斜率，然后再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程．4．求切點(diǎn)的坐標(biāo)例4若曲線y＝f(x)＝x3＋1在點(diǎn)P處的切線的斜率為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．分析要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(3,0)＋1)，然后由切線的斜率為3，解方程求得．解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(3,0)＋1)，因?yàn)閑q\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f(3x\o\al(2,0)·Δx＋3x0Δx2＋Δx3,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2，當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí)，上式無(wú)限趨近于3xeq\o\al(2,0)，所以3xeq\o\al(2,0)＝3.解得x0＝±1.故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,2)或(－1,0)．評(píng)注值得注意的是切點(diǎn)P的坐標(biāo)有兩個(gè)，部分同學(xué)誤認(rèn)為只有一個(gè)而出錯(cuò).2利用導(dǎo)數(shù)求切線方程曲線的切線問(wèn)題是高考的常見題型之一．而導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義為曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，所以利用導(dǎo)數(shù)解決相切問(wèn)題是常用的方法．下面對(duì)“求過(guò)一點(diǎn)的切線方程”的題型做以下歸納．1．已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程此類題只需求出曲線的導(dǎo)數(shù)f′(x)，并代入點(diǎn)斜式方程即可．例1曲線f(x)＝x3－3x2＋1在點(diǎn)(1，－1)處的切線方程為()A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5解析由f′(x)＝3x2－6x，知在點(diǎn)(1，－1)處的斜率k＝f′(1)＝－3.所以切線方程為y－(－1)＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.故選B.答案B2．已知過(guò)曲線上一點(diǎn)，求切線方程過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法．例2求過(guò)曲線f(x)＝x3－2x上的點(diǎn)(1，－1)的切線方程．解設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線的斜率為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－2.所以切線方程為y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0)，即y－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0)．又知切線過(guò)點(diǎn)(1，－1)，所以－1－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(1－x0)．解得x0＝1，或x0＝－eq\f(1,2).故所求切線方程為y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，或y－(－eq\f(1,8)＋1)＝(eq\f(3,4)－2)(x＋eq\f(1,2))，即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.點(diǎn)評(píng)可以發(fā)現(xiàn)直線5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－1)，且以(－eq\f(1,2)，eq\f(7,8))為切點(diǎn)的直線．這說(shuō)明過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)．3．已知過(guò)曲線外一點(diǎn)，求切線方程此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來(lái)求解．例3求過(guò)點(diǎn)(2,0)且與曲線f(x)＝eq\f(1,x)相切的直線方程．解設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線的斜率為f′(x0)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0)).所以切線方程為y－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)，即y－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)．又已知切線過(guò)點(diǎn)(2,0)，把它代入上述方程，得－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(2－x0)．解得x0＝1，y0＝eq\f(1,x0)＝1，即x＋y－2＝0.點(diǎn)評(píng)點(diǎn)(2,0)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解答過(guò)程中卻無(wú)需判斷它的確切位置，這充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性．4．求兩條曲線的公切線例4已知曲線C1：y＝x2與C2：y＝－x2＋4x－4，直線l與C1，C2都相切，求直線l的方程．分析設(shè)出直線與兩條曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程，再利用兩個(gè)方程所表示的直線重合，建立方程組求解．解設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1，xeq\o\al(2,1))，與C2相切于點(diǎn)Q(x2，－xeq\o\al(2,2)＋4x2－4)．由C1：y＝x2，得y′＝2x，則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為y－xeq\o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq\o\al(2,1)，由C2：y＝－x2＋4x－4，得y′＝－2x＋4，則與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為y＝－2(x2－2)x＋xeq\o\al(2,2)－4.因?yàn)閮汕芯€重合，所以2x1＝－2(x2－2)且－xeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)－4，解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.所以直線l的方程為y＝0或y＝4x－4.點(diǎn)評(píng)公切線問(wèn)題的一般解法是分別求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程，再利用兩直線重合的條件建立方程組求解.3導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中的常見錯(cuò)誤1．對(duì)f′(x0)與f′(x)理解有誤例1已知函數(shù)f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)的值為()A．0B．－4C．－2D．2錯(cuò)解由f(x)＝x2＋2xf′(1)得f(0)＝0.所以f′(0)＝0.故選A.錯(cuò)因分析解題時(shí)沒(méi)有弄清導(dǎo)函數(shù)和其在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)先求導(dǎo)再求函數(shù)值，同時(shí)要注意f′(1)是常數(shù)．正解由f(x)＝x2＋2xf′(1)得，f′(x)＝2x＋2f′(1)．所以f′(1)＝2×1＋2f′(1)．所以f′(1)＝－2.從而f′(x)＝2x－4.所以f′(0)＝－4.故選B.2．切點(diǎn)位置的確定有誤例2求過(guò)點(diǎn)P(1,0)且與曲線f(x)＝x3－x相切的直線的方程．錯(cuò)解由題意知點(diǎn)P(1,0)在曲線上．因?yàn)閒′(x)＝3x2－1，所以f′(1)＝2.所以切線方程為y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.錯(cuò)因分析點(diǎn)P(1,0)雖然在曲線上，但不一定是切點(diǎn)，解題時(shí)把點(diǎn)P(1,0)當(dāng)作切點(diǎn)顯然是錯(cuò)誤的．求曲線的切線方程時(shí)，應(yīng)注意兩種“說(shuō)法”：(1)曲線在點(diǎn)P處的切線方程(一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn))；(2)曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程(無(wú)論點(diǎn)P是否在曲線上，點(diǎn)P都不一定是切點(diǎn))．正解設(shè)切點(diǎn)為(x0，xeq\o\al(3,0)－x0)，則過(guò)該點(diǎn)的切線方程為y－(xeq\o\al(3,0)－x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－1)(x－x0)．由切線過(guò)點(diǎn)P(1,0)得：0－(xeq\o\al(3,0)－x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－1)(1－x0)，整理得2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋1＝0.即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2).所以切線方程為2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0.3．對(duì)切線定義的理解有誤例3已知曲線C：y＝f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)，曲線C在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y＝4x－4，試分析該切線與曲線C是否還有其他公共點(diǎn)？若有，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．錯(cuò)解由于直線y＝4x－4與曲線C相切，因此除切點(diǎn)P(2,4)外沒(méi)有其他的公共點(diǎn)．錯(cuò)因分析“切線與曲線有唯一公共點(diǎn)”，此說(shuō)