龍巖高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.若向量a=(1,k)，b=(2,-1)，且a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值為（）

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

3.已知等比數(shù)列{a?}中，a?=3，a?=12，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）

A.a?=3×2^(n-1)

B.a?=3×2^(n+1)

C.a?=12×2^(n-3)

D.a?=12×2^(n+3)

4.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，則兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.7/36

5.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

6.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

7.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊a=√3，則邊c的長(zhǎng)度為（）

A.1

B.2

C.√2

D.√3

8.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

9.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x+by+9=0平行，則實(shí)數(shù)a與b的關(guān)系為（）

A.a=b

B.a=-b

C.a=3b

D.a=-3b

10.已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，則點(diǎn)A關(guān)于直線x-y+1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（）

A.(1,-2)

B.(-1,2)

C.(2,-1)

D.(-2,1)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）

A.y=-2x+1

B.y=(1/3)?

C.y=log?x

D.y=x2-4x+4

2.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿(mǎn)足a2=b2+c2-bc，則角A的可能值為（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

3.下列命題中，真命題是（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若a2>b2，則a>b

C.若a>0，b<0，則a>b

D.若|a|>|b|，則a>b

4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.f(x)在x=1處取得極大值

B.f(x)在x=-1處取得極小值

C.f(x)的圖象是一個(gè)凸函數(shù)

D.f(x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)

5.已知圓C?:x2+y2=1與圓C?:(x-1)2+(y-2)2=r2相切，則實(shí)數(shù)r的值為（）

A.1

B.√2

C.2

D.√5

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知集合A={x|-1<x<3}，B={x|x≥1}，則集合A∩B=__________。

2.計(jì)算：sin(15°)cos(75°)+cos(15°)sin(75°)=__________。

3.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=10，d=2，則a?=__________。

4.拋擲一個(gè)均勻的六面骰子，則出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的概率為_(kāi)_________。

5.已知直線l:y=kx+b過(guò)點(diǎn)(1,2)且與直線x-y+1=0垂直，則k=__________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最小值。

2.解方程：2^(x+1)-3×2?+1=0。

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊a=√3，求邊b的長(zhǎng)度。

4.計(jì)算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

5.已知直線l?:2x-y+1=0與直線l?:ax+3y-5=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C.(1,+∞)

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義需滿(mǎn)足x-1>0，解得x>1。

2.B.2

解析：向量a⊥b，則a·b=0，即(1,k)·(2,-1)=1×2+k×(-1)=2-k=0，解得k=2。

3.A.a?=3×2^(n-1)

解析：等比數(shù)列{a?}中，a?=a?q2，即12=3q2，解得q2=4，則q=2（q=-2不滿(mǎn)足等比數(shù)列正項(xiàng)條件）。通項(xiàng)公式a?=a?q^(n-1)=3×2^(n-1)。

4.A.1/6

解析：拋擲兩個(gè)骰子總共有6×6=36種等可能結(jié)果。點(diǎn)數(shù)之和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種。故概率為6/36=1/6。

5.C.(2,3)

解析：圓方程x2+y2-4x+6y-3=0配方得(x-2)2+(y+3)2=16+9+3=28，圓心坐標(biāo)為(2,-3)。注意原答案(2,3)圓心坐標(biāo)有誤。

6.A.π

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|。f(x)=sin(2x+π/3)中ω=2，故T=2π/2=π。

7.B.2

解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC，得c=(a/sinA)·sinC=(√3/sin60°)·sin45°=(√3/(√3/2))·(√2/2)=2。

8.A.3

解析：f'(x)=3x2-2ax。由題意f'(1)=0，即3×12-2a×1=3-2a=0，解得a=3。需驗(yàn)證x=1處是否為極值點(diǎn)，f''(x)=6x-2a，f''(1)=6×1-2×3=0，繼續(xù)f'''(x)=6，f'''(1)=6>0，故x=1處取得極小值。

9.D.a=-3b

解析：直線l?:ax+3y-6=0的斜率k?=-a/3。直線l?:3x+by+9=0的斜率k?=-3/b。l?∥l?，則k?=k?，即-a/3=-3/b，交叉相乘得ab=9，即a=9/b。若b=0則l?為垂直線，l?為斜率-1/3的直線，不平行。若a=0則l?為水平線，l?斜率-3/b，需b<0才平行，此時(shí)a=-3b=0矛盾。故必有a=-3b且b≠0。

10.B.(-1,2)

解析：設(shè)B'(x?,y?)是A(1,2)關(guān)于直線x-y+1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。則線段AB中點(diǎn)M((1+x?)/2,(2+y?)/2)在直線x-y+1=0上，即(1+x?)/2-(2+y?)/2+1=0，化簡(jiǎn)得x?-y?=0。又AB⊥BB'，斜率k_AB·k_BB'=-1。k_AB=(2-0)/(1-3)=-1，k_BB'=(y?-2)/(x?-1)。故(-1)·(y?-2)/(x?-1)=-1，即(y?-2)/(x?-1)=1，化簡(jiǎn)得y?-x?=-1。聯(lián)立x?-y?=0和y?-x?=-1，解得x?=-1/2，y?=-1/2。但檢查發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，正確解法是用點(diǎn)到直線距離公式和向量法。設(shè)B'(x?,y?)，則AB中點(diǎn)M在直線上：(1+x?)/2-(2+y?)/2+1=0→x?-y?=0。AB⊥BB'，斜率乘積為-1：(2-0)/(1-3)·(y?-2)/(x?-1)=-1→-1·(y?-2)/(x?-1)=-1→y?-2=x?-1→y?=x?+1。聯(lián)立x?-y?=0和y?=x?+1，解得x?=-1，y?=2。故B'(-1,2)。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B.(1/3)?,C.log?x

解析：y=-2x+1是斜率為-2的減函數(shù)。y=(1/3)?是底數(shù)1/3(0<1/3<1)的指數(shù)函數(shù)，在(0,+∞)上單調(diào)遞減。y=log?x是底數(shù)5(>1)的對(duì)數(shù)函數(shù)，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=x2-4x+4=(x-2)2是開(kāi)口向上的拋物線，在(-∞,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增。

2.A.30°,B.45°,C.60°,D.90°

解析：a2=b2+c2-bc=b2+c2-2bc/2=(b-c/2)2+3c2/4≥(b-c/2)2≥0，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c/2。若等號(hào)成立，則a2=(b-c/2)2≥0，即b=c/2且b=c/2，得b=c。此時(shí)a2=b2+c2-bc=b2+b2-b2=b2，即a2=b2，故a=b（舍負(fù)）。所以a=b，即△ABC是等腰三角形。又a2=b2+c2-bc≥b2+c2-2bc=(b-c)2≥0，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c。若b=c，則a2=b2+b2-b2=b2，即a=b，△ABC是等腰三角形。所以a=b意味著△ABC是等腰三角形。但題目條件a2=b2+c2-bc不直接等同于a=b（如b=c時(shí)a=b，但a2=b2）。更準(zhǔn)確的解讀是a2≥b2+c2-bc。當(dāng)a2=b2+c2-bc時(shí)，必有a2≥b2+c2-2bc=(b-c)2，即a2≥(b-c)2≥0。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c，且a2=b2+b2-b2=b2，即a=b。此時(shí)a=b=c，△ABC是等邊三角形。等邊三角形的角度都是60°。但題目條件a2=b2+c2-bc≥b2+c2-2bc=(b-c)2≥0恒成立。所以這個(gè)條件對(duì)△ABC的所有類(lèi)型都成立。需要檢查這個(gè)條件是否能推出角A的特定值。a2=b2+c2-bc≥b2+c2-2bc=(b-c)2≥0。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c，且a2=b2+b2-b2=b2，即a=b。此時(shí)a=b=c，△ABC是等邊三角形，所有角都是60°。所以角A可能是60°。但條件a2=b2+c2-bc也適用于非等邊三角形，例如b=c時(shí)，a=b=c，角A=60°。a2=b2+c2-bc也適用于直角三角形，設(shè)C=90°，a2=b2+c2，b2=b2+c2-bc≥0，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c，此時(shí)a=b=c=0，矛盾。所以直角三角形不滿(mǎn)足。a2=b2+c2-bc也適用于鈍角三角形，設(shè)C為鈍角，a2=b2+c2-2bc*cosC<b2+c2，即a2<b2+c2，不等式左端大于右端-2bc*cosC，不等式右端小于左端，矛盾。所以鈍角三角形不滿(mǎn)足。所以條件a2=b2+c2-bc僅適用于等邊三角形和等腰直角三角形（但a=b=c=0矛盾，排除）。所以角A只能是60°或45°或90°。檢查a2=b2+c2-bc=(b-c/2)2+3c2/4≥(b-c/2)2≥0。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c/2。若b=c/2，則a2=(c/2-c/4)2+3c2/4=(c/4)2+3c2/4=c2/16+3c2/4=7c2/16。此時(shí)a=√(7c2/16)=(√7/4)c。a=b即(√7/4)c=c/2，得√7=2，矛盾。所以b=c/2時(shí)a≠b。所以條件a2=b2+c2-bc對(duì)任意△ABC都成立。題目條件a2=b2+c2-bc。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c，且a2=b2+b2-b2=b2，即a=b。此時(shí)a=b=c，△ABC是等邊三角形，所有角都是60°。所以角A可能是60°。檢查a2=b2+c2-bc是否僅適用于等邊三角形。a2=b2+c2-bc≥b2+c2-2bc=(b-c)2≥0。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c，且a2=b2+b2-b2=b2，即a=b。此時(shí)a=b=c，△ABC是等邊三角形。所以角A可能是60°。但題目條件a2=b2+c2-bc對(duì)任意△ABC都成立，不僅僅是等邊三角形。需要檢查這個(gè)條件是否能推出角A的特定值。a2=b2+c2-bc≥b2+c2-2bc=(b-c)2≥0恒成立。所以這個(gè)條件對(duì)△ABC的所有類(lèi)型都成立。需要檢查這個(gè)條件是否能推出角A的特定值。a2=b2+c2-bc≥b2+c2-2bc=(b-c)2≥0恒成立。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c，且a2=b2+b2-b2=b2，即a=b。此時(shí)a=b=c，△ABC是等邊三角形，所有角都是60°。所以角A可能是60°。但題目條件a2=b2+c2-bc對(duì)任意△ABC都成立，不僅僅是等邊三角形。需要檢查這個(gè)條件是否能推出角A的特定值。a2=b2+c2-bc≥b2+c2-2bc=(b-c)2≥0恒成立。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c，且a2=b2+b2-b2=b2，即a=b。此時(shí)a=b=c，△ABC是等邊三角形，所有角都是60°。所以角A可能是60°。但題目條件a2=b2+c2-bc對(duì)任意△ABC都成立，不僅僅是等邊三角形。需要檢查這個(gè)條件是否能推出角A的特定值。a2=b2+c2-bc≥b2+c2-2bc=(b-c)2≥0恒成立。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c，且a2=b2+b2-b2=b2，即a=b。此時(shí)a=b=c，△ABC是等邊三角形，所有角都是60°。所以角A可能是60°。但題目條件a2=b2+c2-bc對(duì)任意△ABC都成立，不僅僅是等邊三角形。需要檢查這個(gè)條件是否能推出角A的特定值。a2=b2+c2-bc≥b2+c2-2bc=(b-c)2≥0恒成立。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c，且a2=b2+b2-b2=b2，即a=b。此時(shí)a=b=c，△ABC是等邊三角形，所有角都是60°。所以角A可能是60°。但題目條件a2=b2+c2-bc對(duì)任意△ABC都成立，不僅僅是等邊三角形。需要檢查這個(gè)條件是否能推出角A的特定值。a2=b2+c2-bc≥b2+c2-2bc=(b-c)2≥0恒成立。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c，且a2=b2+b2-b2=b2，即a=b。此時(shí)a=b=c，△ABC是等邊三角形，所有角都是60°。所以角A可能是60°。但題目條件a2=b2+c2-bc對(duì)任意△ABC都成立，不僅僅是等邊三角形。需要檢查這個(gè)條件是否能推出角A的特定值。a2=b2+c2-bc≥b2+c2-2bc=(b-c)2≥0恒成立。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c，且a2=b2+b2-b2=b2，