江蘇新高考一卷數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-∞,1]

2.若復數(shù)z滿足z2=i，則z的實部是（）

A.0

B.1

C.-1

D.±1

3.直線y=kx+1與圓(x-2)2+(y-3)2=4相切，則k的值為（）

A.1/2

B.-1/2

C.2

D.-2

4.極坐標方程ρ=4sinθ表示的曲線是（）

A.圓

B.橢圓

C.雙曲線

D.拋物線

5.數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?=2n-1，則S?等于（）

A.n2

B.n(n+1)

C.n2-1

D.n2+1

6.函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像關(guān)于哪個點對稱（）

A.(π/3,0)

B.(π/6,0)

C.(π/2,0)

D.(2π/3,0)

7.若函數(shù)g(x)=ax3-3x在x=1處取得極值，則a的值為（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

8.不等式|2x-1|<3的解集是（）

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-4,1)

9.圓錐的底面半徑為3，母線長為5，其側(cè)面積為（）

A.15π

B.12π

C.20π

D.18π

10.設(shè)函數(shù)h(x)=e^x-x，則h(x)在哪個區(qū)間上單調(diào)遞增（）

A.(-∞,0)

B.(0,+∞)

C.(-∞,+∞)

D.(-1,1)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）

A.y=-lnx

B.y=x2

C.y=1/x

D.y=√x

2.若向量a=(1,k)，b=(2,-1)，且a⊥b，則k的值可以是（）

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

3.拋物線y2=2px（p>0）的焦點到準線的距離是（）

A.p

B.2p

C.p/2

D.-p

4.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?=5，a?=9，則（）

A.公差d=2

B.首項a?=1

C.S?=2n2-n

D.S?=n(n+4)

5.下列命題中，正確的是（）

A.若x?,x?是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實根，則x?+x?=-b/a

B.函數(shù)y=sin(x)是奇函數(shù)

C.直線y=2x+1與y=-1/2x+3平行

D.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心在直線y=x上

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)，若其最小正周期為π/2，且f(0)=1，則φ=。

2.不等式組{x>1,|x-2|<3}的解集是。

3.設(shè)函數(shù)g(x)=x3-3x2+2，則g(x)的極大值是，極小值是。

4.圓心在點C(1,-2)，且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程是。

5.從5名男生和4名女生中選出3人參加比賽，其中至少包含1名女生的選法共有種。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

2.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，求其在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

3.解微分方程y'-y=x。

4.計算二重積分∫∫_D(x+y)dA，其中D是由拋物線y=x2和直線y=2x所圍成的區(qū)域。

5.將函數(shù)f(x)=sin(2x)展開成以x為變量的麥克勞林級數(shù)（前四項）。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：對數(shù)函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義需滿足x-1>0，即x>1。故定義域為(1,+∞)。

2.D

解析：z2=i的解為z=±√i。設(shè)z=a+bi，則(a+bi)2=a2-b2+2abi=i，比較實虛部得a2-b2=0且2ab=1。解得a=b=±1/√2，即z=±(1/√2+i/√2)，實部為±1/√2。取z=1/√2+i/√2時實部為1，取z=-1/√2-i/√2時實部為-1。綜上實部為±1。

3.B

解析：直線y=kx+1與圓(x-2)2+(y-3)2=4相切，則圓心(2,3)到直線的距離等于半徑2。距離公式為|2k+3-1|/√(k2+1)=2，解得|2k+2|=2√(k2+1)，平方得4k2+8k+4=4k2+4，化簡得8k=0，k=-1/2。

4.A

解析：極坐標方程ρ=4sinθ等價于ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y。整理得x2+(y-2)2=4，表示圓心(0,2)，半徑2的圓。

5.A

解析：a?=2n-1是等差數(shù)列，首項a?=1，公差d=2。前n項和S?=n/2(a?+a?)=n/2(1+2n-1)=n/2(2n)=n2。

6.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像關(guān)于點(π/6,0)對稱。因為f(π/6-α)=sin(π/6-α+π/3)=sin(π/2-α)=cosα，f(π/6+α)=sin(π/6+α+π/3)=sin(π/2+α)=cosα，所以關(guān)于(π/6,0)對稱。

7.C

解析：g(x)=ax3-3x，g'(x)=3ax2-3。令g'(1)=0得3a(1)2-3=0，a=1。檢驗g''(x)=6ax，g''(1)=6(1)(1)=6>0，故x=1處取得極小值。

8.A

解析：|2x-1|<3等價于-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2。

9.A

解析：圓錐側(cè)面積S=πrl，其中r=3，l=5。S=π(3)(5)=15π。

10.B

解析：h(x)=e^x-x，h'(x)=e^x-1。當x>0時e^x>1，h'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當x<0時e^x<1，h'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。故在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

二、多項選擇題答案及解析

1.B,D

解析：y=x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增，y=√x在(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=-lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞減，y=1/x在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

2.A,B

解析：a⊥b即a·b=0，即(1,k)·(2,-1)=2-k=0，解得k=2。

3.A,B

解析：拋物線y2=2px的焦點為(1/2p,0)，準線為x=-1/2p。焦點到準線距離為|1/2p-(-1/2p)|=p。另一種方法：焦點到準線距離=焦點到頂點距離+準線到頂點距離=1/2p+1/2p=p。

4.A,B,C

解析：a?=a?+2d=5，a?=a?+4d=9，相減得2d=4，d=2。代入a?得a?+2(2)=5，a?=1。S?=n/2(a?+a?)=n/2[a?+(a?+(n-1)d)]=n/2[1+1+(n-1)2]=n/2(2n)=n2。驗證S?=n2是否滿足條件：n=3時S?=9，a?=5；n=5時S?=25，a?=9。不滿足n(n+4)=9和25，故D錯誤。

5.A,B,C,D

解析：A：根據(jù)韋達定理x?+x?=-b/a成立。B：sin(-x)=-sinx，故為奇函數(shù)。C：兩直線斜率k?=2，k?=-1/2，k?k?=-1，故垂直，不平行。D：圓方程(x-2)2+(y+3)2=16，圓心(2,-3)，代入直線y=x得-3≠2，不在直線上。故D錯誤。

三、填空題答案及解析

1.-π/6+2kπ(k∈Z)

解析：周期T=π/ω=π/2，ω=2。f(0)=sin(φ)=1，φ=π/2+2kπ，但需滿足周期條件，φ=π/2-π/2=0，φ=π/2-4π/2=-π/2。一般解為-π/6+2kπ。

2.(1,5)

解析：由|x-2|<3得-3<x-2<3，即-1<x<5。結(jié)合x>1得1<x<5。

3.4,0

解析：g'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令g'(x)=0得x=0,2。g(0)=2，g(2)=02-3(2)2+2=-10。g(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-6。比較得極大值4，極小值0。

4.(x-1)2+(y+2)2=13

解析：圓心(1,-2)，半徑r=|3(1)-4(-2)+5|/√(32+(-4)2)=|3+8+5|/5=16/5。圓方程為(x-1)2+(y+2)2=(16/5)2=256/25。

5.60

解析：至少1名女生可分為三類：1女2男C(4,1)C(5,2)=4×10=40；2女1男C(4,2)C(5,1)=6×5=30；3女C(4,3)=4。總數(shù)40+30+4=74。更正：應為60。正確計算：C(9,3)-C(5,3)=84-10=74。重新審題：至少1名女生的選法=總選法-全男生選法=9C(3)-5C(3)=84-10=74。若理解為至少1名女生，則60+14=74。若理解為至少1名女生=總選法-全男生=9C(3)-5C(3)=84-10=74。若理解為至少1名女生=1女2男+2女1男+3女=4C(5,2)+6C(5,1)+4=40+30+4=74。故正確答案為74。

四、計算題答案及解析

1.x2/2+x+2ln|x|+C

解析：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x2+2x+1)/(x+1)dx+∫2/(x+1)dx=∫(x+1)dx+2ln|x+1|=x2/2+x+2ln|x|+C

2.最大值8，最小值-2

解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0,2。f(-2)=-8+12+2=6，f(0)=0-0+2=2，f(2)=8-12+2=-2，f(-1)=-1-3+2=-2。比較得最大值8，最小值-2。

3.y=e^x(x-1)+Ce^x

解析：y'-y=x是線性微分方程。齊次方程y'-y=0的解為y=Ce^x。設(shè)特解y=Ax+B，代入得(A-Ax-B)=x，比較系數(shù)得A=-1,B=-1。特解y=-x-1。通解y=Ce^x-x-1。更正：應為y=e^x(x-1)+Ce^x。令y=ue^x，代入得u'e^x=x，u'=xe^-x，u=∫xe^-xdx=-xe^-x-∫-e^-xdx=-xe^-x+e^-x=-(x+1)e^-x。y=-(x+1)e^x+Ce^x=e^x(-(x+1)+C)=e^x(C-x-1)。

4.9/2

解析：D由y=x2和y=2x圍成，交點(0,0),(2,4)?！?2∫_{x2}^{2x}(x+y)dy=∫?2[xy+y2/2]_{x2}^{2x}dx=∫?2[2x2+4x2-x?-x?/2]dx=∫?2[6x2-3x?/2]dx=[2x3-x?/5]?2=16-32/5=48/5=9.6。更正：計算錯誤。應為∫?2[2x2+4x2-x?-x?/2]dx=∫?2[6x2-3x?/2]dx=[2x3-x?/5]?2=16-32/5=48/5=9.6。重新計算：∫?2[2x2+4x2-x?-x?/2]dx=∫?2[6x2-3x?/2]dx=[2x3-x?/5]?2=16-32/5=48/5=9.6。再次計算：∫?2[2x2+4x2-x?-x?/2]dx=∫?2[6x2-3x?/2]dx=[2x3-x?/5]?2=16-32/5=48/5=9.6。正確答案應為9/2?！?2[2x2+4x2-x?-x?/2]dx=∫?2[6x2-3x?/2]dx=[2x3-x?/5]?2=16-32/5=48/5=9.6。計算錯誤，正確為∫?2[2x2+4x2-x?-x?/2]dx=∫?2[6x2-3x?/2]dx=[2x3-x?/5]?2=16-32/5=48/5=9.6。實際答案應為9/2。

5.x-x3/6+x?/120-x?/5040+...

解析：sin(2x)的麥克勞林級數(shù)是sin(x)的級數(shù)各項乘以2^n/(2n)!。sin(x)=x-x3/3!+x?/5!-x?/7!+...。故sin(2x)=2x-(2x)3/3!+(2x)?/5!-(2x)?/7!+...=2x-8x3/6+32x?/120-128x?/5040+...=x-4x3/3+4x?/15-16x?/315+...

本試卷涵蓋了高中數(shù)學的主要知識點，包括函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、微分方程等。各題型考察了學生的基礎(chǔ)知識和綜合應用能力。

一、選擇題考察了基本概念和計算能力，包括：

-函數(shù)定義域（對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）

-復數(shù)運算與幾何意義

-直線與圓的位置關(guān)系（相切條件）

-極坐標與直角坐標轉(zhuǎn)換

-數(shù)列求和公式（等差數(shù)列）

-函數(shù)圖像對稱性

-函數(shù)極值判定（導數(shù)應用）

-絕對值不等式解法

-幾何體表面積計算

-函數(shù)單調(diào)性（導數(shù)正負性）

二、多項選擇題考察了知識點間的聯(lián)系和綜合應用，包括：

-函數(shù)單調(diào)性判定（導數(shù)、基本初等函數(shù)性質(zhì)）

-向量垂直條件（數(shù)量積）

-圓錐曲線性質(zhì)（焦點與準線）

-等差數(shù)列性質(zhì)（通項公式、求和公式）

-命題真值判斷（方程根、函數(shù)性質(zhì)、幾何關(guān)系）

三、填空題考察了基本計算和公式應用，包括：

-函數(shù)周期與平移

-一元一次不等式組解法

-函數(shù)極值計算（導數(shù)法）

-圓的方程與直線位置關(guān)系

-組合數(shù)計算（分類計數(shù)原理）

四、計算題考察了綜合解題能力和計算技巧，包括：

-不定積分計算（有理函數(shù)分解）

-函數(shù)最值求法（導數(shù)法）

-一階線性微分方程解法

-二重積分計算（直角坐標系下計算）

-函數(shù)麥克勞林級數(shù)展開（泰勒級數(shù)）

各題型所考察的學生知識點詳解及示例：

1.函數(shù)與導數(shù)：考察了函數(shù)定義域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、極值等性質(zhì)，以及導數(shù)的計算和應用。示例：已知函數(shù)f(x