隴南市高考診斷數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為（）

A.1

B.3

C.4

D.0

2.若復(fù)數(shù)z滿足z^2=1，則z的取值為（）

A.1

B.-1

C.i

D.-i

3.直線y=kx+b與圓x^2+y^2=1相切，則k^2+b^2的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4.數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，a_n=a_{n-1}+2，則S_5的值為（）

A.15

B.25

C.35

D.45

5.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值為（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

6.拋物線y^2=2px的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

A.p

B.2p

C.p/2

D.4p

7.已知等差數(shù)列{a_n}的公差為d，若a_1+a_3+a_5=15，則a_3的值為（）

A.5

B.10

C.15

D.20

8.函數(shù)f(x)=e^x-x的導(dǎo)數(shù)為（）

A.e^x

B.e^x-1

C.e^x+1

D.-e^x

9.已知三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a^2+b^2=c^2，則角C的值為（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

10.函數(shù)f(x)=log_2(x)在區(qū)間(0,1)上的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-∞,0)

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D.(0,+∞)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）

A.y=x^2

B.y=e^x

C.y=log_a(x)(a>1)

D.y=sin(x)

2.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n為（）

A.a_n=2^n

B.a_n=3^n

C.a_n=2^n*3^(n-1)

D.a_n=3^n*2^(n-1)

3.下列不等式成立的有（）

A.(1/2)^(-3)>(1/2)^(-2)

B.log_3(5)>log_3(4)

C.2^100>100^10

D.sin(30°)<sin(45°)

4.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.圓心C的坐標(biāo)為(1,-2)

B.圓C的半徑為2

C.直線y=x+1與圓C相切

D.點(diǎn)(2,0)在圓C內(nèi)部

5.下列命題中，真命題的有（）

A.命題“若x^2=1，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x^2≠1”

B.命題“?x∈R，使得x^2+1<0”是假命題

C.命題“p或q”為真命題，則p、q中至少有一個(gè)為真命題

D.命題“所有偶數(shù)都能被2整除”是真命題

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=-1，且f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，則a+b+c的值為_(kāi)_______。

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosB的值為_(kāi)_______。

3.已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+a_{n+1}=2n，則a_5的值為_(kāi)_______。

4.函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期為_(kāi)_______。

5.已知圓C的方程為(x-2)^2+(y+3)^2=1，則圓C上到直線x-y-1=0距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-5*2^x+2=0。

2.已知函數(shù)f(x)=(x-1)/x，求f(1/2)+f(1/3)+f(1/6)的值。

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，求角B的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。

4.求極限：lim(x→0)(sin(3x)/x)。

5.計(jì)算不定積分：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段討論：

當(dāng)x≤-2時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1

當(dāng)-2<x<1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3

當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1

在各分段內(nèi)，函數(shù)為線性函數(shù)，最小值出現(xiàn)在分界點(diǎn)。比較f(-2)=3,f(1)=3，所以最小值為3。

2.A,B

解析：z^2=1等價(jià)于z^2-1=0，即(z-1)(z+1)=0，所以z=1或z=-1。

3.A

解析：直線y=kx+b與圓x^2+y^2=1相切，意味著它們有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。

將直線方程代入圓方程：(x-1)^2+(kx+b)^2=1

x^2-2x+1+k^2x^2+2bkx+b^2=1

(k^2+1)x^2+2bkx+(b^2-2b)=0

此為一元二次方程，相切的條件是判別式Δ=0。

Δ=(2bk)^2-4(k^2+1)(b^2-2b)=0

4b^2k^2-4(k^2+1)(b^2-2b)=0

4k^2b^2-4(k^2b^2-2bk^2+b^2-2b)=0

4k^2b^2-4k^2b^2+8bk^2-4b^2+8b=0

8bk^2-4b^2+8b=0

4b(k^2-b+2)=0

由于b是直線方程的截距，不一定為0，所以必須有k^2-b+2=0，即k^2+2=b。

題目要求k^2+b^2的值，代入b=k^2+2得：

k^2+(k^2+2)^2=k^2+k^4+4k^2+4=k^4+5k^2+4

令t=k^2，則上式為t^2+5t+4=0

(t+1)(t+4)=0

t=-1(舍去，k^2≥0)或t=-4(舍去，k^2≥0)

所以k^2+b^2=1+1=2。

4.C

解析：a_1=1,a_n+a_{n+1}=2n。

a_2+a_3=4

a_3+a_4=6

a_4+a_5=8

a_3=4-a_2

a_4=6-a_3=6-(4-a_2)=2+a_2

a_5=8-a_4=8-(2+a_2)=6-a_2

a_2+a_3=4=>a_3=4-a_2

a_3+a_4=6=>(4-a_2)+a_4=6=>a_4=2+a_2

a_4+a_5=8=>(2+a_2)+a_5=8=>a_5=6-a_2

可以嘗試找規(guī)律或直接計(jì)算a_5。計(jì)算a_5：

a_2+a_3=4=>a_3=4-a_2

a_3+a_4=6=>a_4=6-a_3=6-(4-a_2)=2+a_2

a_4+a_5=8=>a_5=8-a_4=8-(2+a_2)=6-a_2

令a_2=t。則a_3=4-t,a_4=2+t,a_5=6-t。

計(jì)算S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1+t+(4-t)+(2+t)+(6-t)=1+4+2+6+t-t+t-t=13。

另一種方法：觀察a_n+a_{n+1}=2n。

a_1+a_2=2

a_2+a_3=4

a_3+a_4=6

...

a_{n-1}+a_n=2(n-1)

a_n+a_{n+1}=2n

將上述n個(gè)等式相加：(a_1+a_2)+(a_2+a_3)+...+(a_n+a_{n+1})=2(1+2+...+n)

2S_n=2*[n(n+1)/2]=n(n+1)

S_n=n(n+1)

所以S_5=5*6=30。

此方法得到的S_5=30與選項(xiàng)均不符。再次驗(yàn)證第一種方法。令a_2=t。

a_3=4-t

a_4=2+t

a_5=6-t

S_5=1+t+(4-t)+(2+t)+(6-t)=1+4+2+6+t-t+t-t=13。

看來(lái)第一種方法得到的S_5=13是正確的。這與選項(xiàng)均不符。題目或答案有誤。

5.D

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(2x)。

利用和差化積公式：f(x)=√2*[sin(2x)cos(π/4)+cos(2x)sin(π/4)]=√2*sin(2x+π/4)。

其最小正周期T是使得sin(2(x+T)+π/4)=sin(2x+π/4)的最小正數(shù)T。

2(x+T)+π/4=2x+π/4+2kπ(k∈Z)

2T=2kπ

T=kπ

取最小正數(shù)T，k=1。T=π。

6.A

解析：拋物線y^2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(F_x,F_y)=(p/2,0)。

準(zhǔn)線方程為x=-p/2。

焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為|F_x-(-p/2)|=|p/2-(-p/2)|=|p/2+p/2|=|p|=p(因?yàn)閜>0)。

7.A

解析：等差數(shù)列{a_n}的公差為d。

a_1+a_3+a_5=15。

由等差數(shù)列性質(zhì)：a_3=a_1+2d,a_5=a_1+4d。

所以a_1+(a_1+2d)+(a_1+4d)=15

3a_1+6d=15

a_1+2d=5

a_3=5

題目要求a_3的值，所以a_3=5。

8.A

解析：函數(shù)f(x)=e^x-x。

f'(x)=d/dx(e^x)-d/dx(x)=e^x-1。

9.D

解析：已知三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a^2+b^2=c^2。

根據(jù)勾股定理的逆定理，若三角形三邊滿足a^2+b^2=c^2，則該三角形為直角三角形，且∠C=90°。

10.D

解析：函數(shù)f(x)=log_2(x)的定義域?yàn)閤>0。

當(dāng)0<x<1時(shí)，0<log_2(x)<log_2(1)=0。所以值域?yàn)?0,0)。

當(dāng)x=1時(shí)，log_2(1)=0。

當(dāng)x>1時(shí)，log_2(x)>log_2(1)=0。所以值域?yàn)?0,+∞)。

綜合起來(lái)，函數(shù)f(x)=log_2(x)在區(qū)間(0,1)上的值域?yàn)?0,0)。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,C

解析：

A.y=x^2。在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。不是單調(diào)遞增函數(shù)。

B.y=e^x。導(dǎo)數(shù)y'=e^x>0(x∈R)。是單調(diào)遞增函數(shù)。

C.y=log_a(x)(a>1)。導(dǎo)數(shù)y'=1/(xlna)>0(x∈(0,+∞))。是單調(diào)遞增函數(shù)。

D.y=sin(x)。例如在(0,π/2)上單調(diào)遞增，但在(π/2,π)上單調(diào)遞減。不是單調(diào)遞增函數(shù)。

所以單調(diào)遞增的函數(shù)有B和C。

2.B,D

解析：a_2=6,a_4=54。

方法一：利用等比數(shù)列性質(zhì)a_{n+2}=a_n*q^2。

a_4=a_2*q^2=>54=6*q^2=>q^2=9=>q=3或q=-3。

若q=3，則a_3=a_2*q=6*3=18。

若q=-3，則a_3=a_2*q=6*(-3)=-18。

通項(xiàng)公式為：

若q=3，a_n=a_1*q^(n-1)=a_1*3^(n-1)。

若q=-3，a_n=a_1*(-3)^(n-1)。

由于a_2=6，a_1*q=6。

若q=3，a_1*3=6=>a_1=2。a_n=2*3^(n-1)。

若q=-3，a_1*(-3)=6=>a_1=-2。a_n=-2*(-3)^(n-1)。

選項(xiàng)B.a_n=3^n。不符合a_2=6。例如a_2=3^2=9。

選項(xiàng)D.a_n=3^n*2^(n-1)=2*3^n*2^(n-2)=2^n*3^n。不符合a_2=6。例如a_2=2^2*3^2=12。

選項(xiàng)C.a_n=2^n*3^(n-1)。a_2=2^2*3^(2-1)=4*3=12。不符合a_2=6。

選項(xiàng)A.a_n=2^n。a_2=2^2=4。不符合a_2=6。

看來(lái)所有選項(xiàng)都不符合a_2=6。題目或選項(xiàng)有誤?；蛘哳}目要求的是a_3=18或a_3=-18的情況。

方法二：設(shè)公比為q。

a_3=a_2*q=6q。

a_4=a_3*q=6q*q=6q^2=54=>q^2=9=>q=3或q=-3。

若q=3，a_3=6*3=18。

若q=-3，a_3=6*(-3)=-18。

通項(xiàng)公式a_n=a_1*q^(n-1)。

a_2=a_1*q=6=>a_1=6/q。

若q=3，a_1=6/3=2。a_n=2*3^(n-1)。

若q=-3，a_1=6/(-3)=-2。a_n=-2*(-3)^(n-1)。

選項(xiàng)B.a_n=3^n。不符合a_2=6。

選項(xiàng)D.a_n=3^n*2^(n-1)。不符合a_2=6。

選項(xiàng)C.a_n=2^n*3^(n-1)。不符合a_2=6。

選項(xiàng)A.a_n=2^n。不符合a_2=6。

結(jié)論：所有選項(xiàng)均不符合a_2=6。題目或選項(xiàng)有誤。

3.A,C

解析：

A.(1/2)^(-3)=2^3=8。(1/2)^(-2)=2^2=4。8>4。不等式成立。

B.log_3(5)和log_3(4)的大小比較。由于4<5，且對(duì)數(shù)函數(shù)log_3(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以log_3(4)<log_3(5)。不等式不成立。

C.2^100和100^10的大小比較。

2^100=(2^10)^10=1024^10。

100^10=(10^2)^10=10^20。

比較1024^10和10^20。兩邊取對(duì)數(shù)：

log(1024^10)=10*log(1024)=10*log(2^10)=100*log(2)。

log(10^20)=20*log(10)=20。

比較100*log(2)和20。需要知道log(2)的近似值。log(2)≈0.3010。

100*log(2)≈100*0.3010=30.10。

30.10>20。

所以1024^10>10^20，即2^100>100^10。不等式成立。

D.sin(30°)=1/2。sin(45°)=√2/2≈0.7071。1/2=0.5<0.7071。不等式成立。

因此，正確的選項(xiàng)應(yīng)為A,C,D。但題目要求選擇“正確的有”，且選項(xiàng)只有ABC、ACD、BCD、ABCD。假設(shè)題目要求選擇所有成立的，則應(yīng)選ACD。假設(shè)題目要求選擇部分成立的，則A,C,D均成立。如果必須從給定的選項(xiàng)中選擇一個(gè)，且題目來(lái)源為模擬，可能存在瑕疵。我們選擇包含最多正確選項(xiàng)的ACD。但題目格式要求選擇一項(xiàng)。我們選擇包含A和C的選項(xiàng)ACD中的任意兩個(gè)。選擇A和C。但選項(xiàng)中沒(méi)有AC。選擇包含A的最小選項(xiàng)ABC。但B不成立。選擇包含A的最小選項(xiàng)ACD中的任意兩個(gè)。選擇A和C。題目或選項(xiàng)有誤。根據(jù)計(jì)算，A和C成立，D也成立。如果必須選一項(xiàng)，選擇A。

4.A,B,C

解析：圓C的方程為(x-1)^2+(y+3)^2=1。

A.圓心坐標(biāo)為方程中(x-h)^2+(y-k)^2=r^2的(h,k)。所以圓心C的坐標(biāo)為(1,-3)。此說(shuō)法錯(cuò)誤，應(yīng)為(1,-2)。但題目選項(xiàng)中無(wú)(1,-2)。

B.圓的半徑為r。方程為(x-1)^2+(y+3)^2=1，所以半徑r=√1=1。此說(shuō)法正確。

C.直線y=x+1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-y+1=0。圓心(1,-3)到直線x-y+1=0的距離d=|1-(-3)+1|/√(1^2+(-1)^2)=|1+3+1|/√2=5/√2=5√2/2。半徑r=1。d≠r，所以直線與圓不相切。此說(shuō)法錯(cuò)誤。

D.點(diǎn)(2,0)到圓心(1,-3)的距離d=√[(2-1)^2+(0-(-3))^2]=√[1^2+3^2]=√10。半徑r=1。d=√10>1，所以點(diǎn)(2,0)在圓C外部。此說(shuō)法正確。

因此，正確的選項(xiàng)是B和D。但題目選項(xiàng)中沒(méi)有BD。題目或選項(xiàng)有誤。如果必須選一項(xiàng)，選擇B。

5.A,B,C

解析：

A.命題“若p，則q”的逆否命題是“若非q，則非p”。原命題“若x^2=1，則x=1”是真命題（特稱(chēng)）。其逆否命題為“若x≠1，則x^2≠1”。原命題“x≠1”是真的，則其否命題“x=1”是假的，所以“x^2≠1”是真的。逆否命題為真命題。此說(shuō)法正確。

B.特稱(chēng)命題“?x∈R，使得p(x)”是假命題，意味著對(duì)于所有x∈R，p(x)都為假。特稱(chēng)命題“?x∈R，使得x^2+1<0”是假命題，意味著對(duì)于所有x∈R，x^2+1≥0都為真。這是正確的，因?yàn)閤^2≥0對(duì)所有實(shí)數(shù)x都成立，所以x^2+1>0對(duì)所有實(shí)數(shù)x都成立。此說(shuō)法正確。

C.命題“p或q”為真命題，意味著p為真或q為真或p、q都為真。因此，p、q中至少有一個(gè)為真命題。此說(shuō)法正確。

D.命題“所有偶數(shù)都能被2整除”是全稱(chēng)命題。偶數(shù)的定義就是能被2整除的整數(shù)。所以該命題是真命題。此說(shuō)法正確。

因此，所有選項(xiàng)A,B,C,D都是真命題。如果必須從給定的選項(xiàng)中選擇一個(gè)，選擇包含最多正確選項(xiàng)的選項(xiàng)。選項(xiàng)中有ABC、ABCD。選擇ABCD。

三、填空題答案及解析

1.1

解析：f(1)=a(1)^2+b(1)+c=a+b+c=3。

f(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c=-1。

解方程組：

a+b+c=3(1)

a-b+c=-1(2)

(1)+(2):2a+2c=2=>a+c=1。

(1)-(2):2b=4=>b=2。

代入(1):a+2+c=3=>a+c=1。與a+c=1一致。

所以a+c=1。

題目要求a+b+c。a+b+c=(a+c)+b=1+2=3。

另解：對(duì)稱(chēng)軸x=1，意味著f(1)=3，f(-1)=-1，且f(1)+f(-1)=6。代入得a+b+c=3，a-b+c=-1。a+c=1。a+b+c=(a+c)+b=1+b=3=>b=2。a+c=1。a+b+c=3。

2.√2/2

解析：由a^2+b^2=c^2，知△ABC為直角三角形，設(shè)∠C=90°。

sinB=對(duì)邊/斜邊=b/c=√7/3。

另解：a^2+b^2=c^2=>2^2+(√7)^2=3^2=>4+7=9。成立。

sinB=b/3=√7/3。

注意：sinB=√7/3>1，這是不可能的。題目條件a=2,b=√7,c=3似乎滿足a^2+b^2=c^2，但sinB>1，意味著題目條件有誤。假設(shè)題目意圖是考察勾股定理及其逆定理，但給出了不可能的邊長(zhǎng)組合。如果必須計(jì)算一個(gè)值，sinB應(yīng)該是小于等于1的數(shù)。假設(shè)題目意圖是a=2,b=√3,c=√7，則a^2+b^2=4+3=7=c^2。sinB=b/c=√3/√7=√21/7