第01講放縮與相似形（六大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、了解放縮運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)；

2、能通過生活中的實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，能通過觀

察直觀地判斷兩個(gè)圖形是否相似；

3、掌握相似多邊形的性質(zhì)。

03知識(shí)清單

—_1K_

一、知識(shí)引入

日常生活中，可以看到許多像這樣形狀相同、大小不一定相同的圖形.

對(duì)于圖中的三個(gè)四邊形，通?？梢哉f，縮小四邊形ABCD,得到四邊形A】BiCiDi;放大四邊ABCD,得

到四邊形AzB2C2D2.

圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動(dòng).將一個(gè)圖形放大或縮小后，就得到與它形狀相同的圖形.

圖中，四邊形AiBiC]Di和四邊形A2B2C2D2都與四邊形ABCD形狀相同.我們把形狀相同的兩個(gè)

圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似形.

相似的圖形，它們的大小不一定相同.對(duì)于大小不同的兩個(gè)相似形，可以看作大的圖形由小的圖形放大而

得到，或小的圖形由大的圖形縮小而得到.對(duì)于大小相同的兩個(gè)相似形，它們可以重個(gè)這時(shí)它們是全等形.

圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動(dòng)。

圖24-1B924-2

【即學(xué)即練1】

對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行放縮時(shí)，下列說法中正確的是（）

A.圖形中線段的長度與角的大小都保持不變

B.圖形中線段的長度與角的大小都會(huì)改變

C.圖形中線段的長度保持不變、角的大小可以改變

D.圖形中線段的長度可以改變、角的大小保持不變

三、相似圖形

在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形或相似形.

溫馨提示：

（1）相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

⑵“全等，，是“相似，，的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形全等。

【即學(xué)即練1】

下列圖標(biāo)中，不是相似圖形的是（）

AO&-中也。累。。裁?！稾X

【即學(xué)即練2】

下列命題中，錯(cuò)誤的是（）

A.兩個(gè)含有120。角的等腰三角形一定相似B.兩個(gè)矩形一定相似

C.兩個(gè)等邊三角形一定相似D.兩個(gè)正方形一定相似

四、知識(shí)探究

如圖24-4,△A】BiC是^ABC通過放大后得到的圖形，這兩個(gè)三角形的形狀相同，它們是相似形.

圖24-4

問題;對(duì)4ABCAiBiCi進(jìn)行觀察和測量，可以發(fā)現(xiàn)NA】與NA、NB1與NB、ZC1與/C分

別有怎樣的大小關(guān)系？AiBi與AB、BiCi與BC、AiCi與AC這三組邊的長度的比值之間有怎樣

的大小關(guān)系？

通過測量及計(jì)算，可以得：NAi與/A、/Bi與NB、Ng與/C對(duì)應(yīng)相等；

的長度用C的長度_AC1的長度

A5的長度-3C的長度-AC的長度

由各組邊的長度的對(duì)應(yīng)比值相等，可知這兩個(gè)三角形的邊的長度對(duì)應(yīng)成比例.

AABC放大為△A】BiCi后，AABC的角的大小不變，而它的各邊“同樣程度”地放大了.我們說

AAlBlCl與小ABC的形狀相同，就是指它們的角對(duì)應(yīng)相等，邊的長度對(duì)應(yīng)成比例.

五、相似多邊形

相似多邊形的概念：如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長度成比例，我們就說它們是相似多邊形.

溫馨提示：

(1)相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì).

(2)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比.

【即學(xué)即練1】

如圖所示，兩個(gè)四邊形相似，求未知數(shù)x,y和角度a的大小.

04題型精講

題型1:放縮運(yùn)動(dòng)

【典例1】.將圖形甲通過放大得到圖形乙，那么在圖形甲與圖形乙的對(duì)應(yīng)量中，沒有被放大的是()

A.邊的長度B.圖形的周長C.圖形的面積D.角的度數(shù)

【典例2].如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于().

A.平移變換B.相似變換C.旋轉(zhuǎn)變換D.對(duì)稱變換

題型2：相似形的識(shí)別

【典例3].下列說法中，不正確的是（）

A.同一版的8開中國地圖與32開的中國地圖相似

B.同一張底片沖出的兩張照片相似

C.校長辦公桌上插的小國旗與學(xué)校升旗桿上飄揚(yáng)的國旗相似

D.畫圖用的兩塊三角板是相似的

【典例4】.下面幾對(duì)圖形中，相似的是（）

【典例6].在數(shù)學(xué)上，我們把具有相同形狀的圖形稱為相似形，下列各組圖形中，是相似形的是—，不

是相似形的是

⑸⑹

題型3：相似形的概念和特點(diǎn)

【典例7].下列關(guān)于“相似形”的說法中正確的是（）

A.相似形形狀相同、大小不同B.圖形的放縮運(yùn)動(dòng)可以得到相似形

C.對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形是相似形D.相似形是全等形的特例

【典例8】.相似的兩個(gè)圖形，它們的大?。ㄌ睢耙欢ā?，“不一定”，“一定不”）相同.

題型4：幾何圖形中相似形的判斷

【典例9】.下列命題是假命題的是（）

A.所有等邊三角形一定相似B,所有等腰直角三角形一定相似

C.有一個(gè)角為120。的兩個(gè)等腰三角形相似D.有一條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似

【典例10].下列判斷正確的是（）

A.所有的等腰三角形都相似B.所有的直角三角形都相似

C.所有的正方形都相似D.所有的菱形都相似

【典例111將等邊三角形，菱形，矩形，正方形各邊向外平移1個(gè)單位并適當(dāng)延長，得到如圖所示的4

組圖形，變化前后的兩個(gè)多邊形一定相似的有（）

題型5：相似多邊形的性質(zhì)——對(duì)應(yīng)關(guān)系的重要性（含圖形）

【典例12].如圖，四邊形ASCDs四邊形4瓦GR，ZA=116°,4=40。，ZC=65°,求x的值和N?的

度數(shù).

C4

【典例13].如圖，四邊形ABCDS四邊形石打汨.若AB=18,￡F=4,FG=6,ZB=77°,ZC=83°,

NE=117°,求線段8C的長和”的大小.

83月F6G

C

【典例14].如圖，四邊形ABCDs四邊形AEC'D',AB=12,BC=9,

B'C'=6,C'D'=4.ZA=95°,ZD=136°,ZB'=60°

BC

（D"=；

（2）求邊A",CD的長度.

【典例15].如圖所示，一般書本的紙張是原紙張多次對(duì)開（對(duì)折）得到，矩形A8CD沿歷對(duì)開后，再把

4n

矩形防CD沿MN對(duì)開，依次類推，若各種開本的矩形都相似，求丁的值.

題型6：相似多邊形的性質(zhì)——對(duì)應(yīng)關(guān)系的重要性（數(shù)學(xué)語言描述）

【典例16].已知五邊形ABCDEs五邊形A?CX＞的,ZA=120°,ZB'=130°,ZC=105°,/O'=85。,

貝此E=.

【典例17].己知四邊形A8CD與四邊形ABC'。相似，邊與邊AE是對(duì)應(yīng)邊，S四邊彩A2CDS四邊形ABCD

=2：4,AB=2,則A'8'=.

【典例18].已知四邊形A3CD和四邊形A'B'C'D是相似的圖形，并且點(diǎn)A與點(diǎn)A，、點(diǎn)5與點(diǎn)9、點(diǎn)C與

點(diǎn)C'、點(diǎn)。與點(diǎn)"分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，已知BC=4,CE>=3.6,W=3.3,B'C'=3>ZB=75°,ZC=105°,

"=95。，求A3,C'D的長和/A'的度數(shù).

【典例19].已知四邊形ABC。與四邊形4瓦GR相似，并且點(diǎn)A與點(diǎn)4、點(diǎn)8與點(diǎn)用、點(diǎn)C與點(diǎn)G、點(diǎn)

。與點(diǎn)A分別對(duì)應(yīng).

⑴已知NA=40。，ZB=110°,NG=90。，求"的度數(shù)；

（2）已知AB=9,CD=15,A4=6,=4,4G=8,求四邊形ABC。的周長.

05強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.下列關(guān)于“相似形”的說法中正確的是（）

A.相似形形狀相同、大小不同B.圖形的放縮運(yùn)動(dòng)可以得到相似形

C.對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形是相似形D.相似形是全等形的特例

2.如圖，用放大鏡將圖形放大，應(yīng)屬何種變換（）

A.相似變換B.平移變換C.旋轉(zhuǎn)變換D.對(duì)稱變換

3.用一個(gè)2倍放大鏡照一個(gè)下面說法中錯(cuò)誤的是（）

A.ABC放大后,—A是原來的2倍

B.—ABC放大后，各邊長是原來的2倍

C.ABC放大后，周長是原來的2倍

D.ABC放大后，面積是原來的4倍

4.下列命題中，正確的是（）

A.兩個(gè)等腰三角形一定相似B.兩個(gè)等腰梯形一定相似

C.兩個(gè)菱形一定相似D.兩個(gè)正方形一定相似

5.手工制作課上，小紅利用一些花布的邊角料，剪裁后裝飾手工畫，下面四個(gè)圖案是她剪裁出的空心不等

邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形花邊，其中，每個(gè)圖案花邊的寬度都相等，那么，每個(gè)圖案中花邊

的內(nèi)外邊緣所圍成的幾何圖形不一定相似的是（）

6.下列各組圖形中，不一定相似的是（）

A.各有一個(gè)角是100。的兩個(gè)等腰三角形

B.各有一個(gè)角是90。的兩個(gè)等腰三角形

C.各有一個(gè)角是60。的兩個(gè)等腰三角形

D.各有一個(gè)角是50。的兩個(gè)等腰三角形

7.對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行放縮時(shí)，下列說法中正確的是（）

A.圖形中線段的長度與角的大小都保持不變

B.圖形中線段的長度與角的大小都會(huì)改變

C.圖形中線段的長度保持不變、角的大小可以改變

D.圖形中線段的長度可以改變、角的大小保持不變

8.如圖四邊形ABCDs四邊形AD=4,AB=5,42=8,則殳=（）

10.小明在研究梯形的相似分割問題，即如何用一條直線將一個(gè)梯形分割成兩個(gè)相似的圖形.他先從等腰

梯形開始進(jìn)行探究，得到下面兩個(gè)結(jié)論.結(jié)論1:存在與上、下底邊相交的直線，能將等腰梯形分割成兩個(gè)

相似的圖形；結(jié)論2：不存在與兩腰相交的直線，能將等腰梯形分割成兩個(gè)相似的圖形.對(duì)這兩個(gè)結(jié)論，你

認(rèn)為（）

A.結(jié)論1、結(jié)論2都正確B.結(jié)論1正確、結(jié)論2不正確;

C.結(jié)論1不正確、結(jié)論2正確D.結(jié)論1、結(jié)論2都不正確.

二、填空題

11.形狀相同的圖形叫做.

兩個(gè)圖形相似是指它們的相同，與它們的位置無關(guān)；

是一種特殊的相似圖形，不僅形狀相同，大小也相同.

12.仔細(xì)觀察圖中五組圖形，兩個(gè)圖形相似的有(填序號(hào)).

(1)⑵⑶(4)(5)

13.下列說法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所

有的矩形都相似；⑤所有的圓都相似.其中說法正確的序號(hào)是

14.下列命題：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一個(gè)角都是150。的兩個(gè)菱形相似；④

所有的正六邊形都相似.其中是真命題的有.(填序號(hào))

15.四邊形ABC。和四邊形A9CO是相似圖形，點(diǎn)A、B、C、。分別與4、B\C、。對(duì)應(yīng)，已知BC=3,

CD=2.4,B'C'=2,那么CO的長是—.

16.如圖，四邊形ABCDs四邊形EFGX,若/3=80。，AD//BC,則—E的度數(shù)為

BC

17.一個(gè)四邊形的邊長分別是3,4,5,6,另一個(gè)與它形狀相同的四邊形最小邊長為6,則另一個(gè)四邊形

的周長是.

18.如圖，矩形A3CD中，A￡>=2,AB=4,剪去一個(gè)矩形AEFD后，余下的矩形EBCFs矩形小工必，

則CF的長為.

DFC

AEB

三、解答題

19.如圖，圖形（a）~（/）中，哪些與圖形（1）或（2）相似?

⑴

(d)

20.如圖所示的兩個(gè)五邊形相似，求