第06練矩形、菱形、正方形

（一）矩形

矩形是特殊的平行四邊形，從運動變化的觀點來看，當平行四邊形的一個內角變?yōu)?0。時，其它的邊、角位

置也都隨之變化。因此矩形的性質是在平行四邊形的基礎上擴充的。

1.矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形（通常也叫做長方形）

2.矩形性質定理1：矩形的四個角都是直角。

3.矩形性質定理2：矩形的對角線相等。

4.矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形。

說明：因為四邊形的內角和等于360度，已知有三個角都是直角，那么第四個角必定是直角。

5.矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。

說明：要判定四邊形是矩形的方法是：

方法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個直角（這是用定義證明）

方法二：先證明出是平行四邊形，再證出對角線相等（這是判定定理1）

方法三：只需證出三個角都是直角。（這是判定定理2）

（二）菱形

菱形也是特殊的平行四邊形，當平行四邊形的兩個鄰邊發(fā)生變化時，即當兩個鄰邊相等時，平行四邊形變

成了菱形。

1.菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2.菱形的性質1：菱形的四條邊相等。

3.菱形的性質2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

4.菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。

5.菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

說明：要判定四邊形是菱形的方法是：

方法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義證明）。

方法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。（這是判定定理2）

方法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理1）

（三）正方形

正方形是特殊的平行四邊形，當鄰邊和內角同時運動時，又能使平行四邊形的一個內角為直角且鄰邊相等，

這樣就形成了正方形。

1.正方形：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2.正方形性質定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。

3.正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。

4.正方形判定定理互：兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。

5.正方形判定定理2：兩條對角線相等的菱形是正方形。

注意：要判定四邊形是正方形的方法有

方法一：第一步證出有一組鄰邊相等；第二步證出有一個角是直角；第三步證出是平行四邊形。（這是用

定義證明）

方法二：第一步證出對角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這是判定定理1）

方法三：第一步證出對角線相等；第二步證出是菱形。（這是判定定理2

________

［基礎過關練

1.如圖，在矩形紙片4BCD中，AB=6,AD=8,折疊紙片使邊。C落在對角線DB上，折痕為。E,則DCE

的面積為（）

A.3B.6

2.一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是（）

A.等腰梯形B.矩形

C.正方形D.等腰梯形或矩形

3.如圖，已知四邊形ABC。的對角線互相垂直，若適當添加一個條件，就能判定該四邊形是菱形.那么這

個條件可以是（）

A.BA=BCB.AC=BD

C.AB//CDD.AC.80互相平分

4.如圖，在矩形ABC。中，對角線AC、BD交于點0,ZAOB=60°f以下說法錯誤的是（）

A.OA=OBB.OA=ADD.OB=OC

5.如圖所示的是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中

AE=5,班=13,貝U跖2的值是（）

A.128B.64C.32D.144

6.如圖，O為菱形ABCD的對角線的交點，DE//AC,CE//BD,若AC=6,BD=8,則線段0E的長為（）

A.3B.75C.5D.6

7.兩張全等的矩形紙片ABC。，AEC尸按如圖所示的方式交叉疊放，AB=AFfAE=BC.AE與BC交于點、

G,AO與C尸交于點〃，且NAG3=30。，AB=2,則四邊形AGCH的周長為（）

A.4B.8C.8A/3D.16

8.如圖，點。為矩形ABC。的對稱中心，點E從點A出發(fā)沿AB向點5運動，移動到點3停止，延長E0交

8于點尸，則四邊形AEC歹形狀的變化依次為（）

A.平行四邊形一菱形一平行四邊形”矩形B.平行四邊形"正方形一平行四邊形一矩形

C.平行四邊形”正方形?菱形”矩形D.平行四邊形一菱形”正方形“矩形

9.如圖，將兩條寬度均為2的紙條相交成30。角疊放，則重合部分構成的四邊形ABCD的面積為

10.如圖，正方形ABCZ）的面積為5,正方形CEPG的面積為2,點G在線段CZ）上，且2、C、E三點在

一條直線上，聯(lián)結AC、AE,則△ACE的面積是

11.如圖，在矩形中，若AB=7,ZDBC^30°,則AC的長為

12.如圖，在菱形ABC。中，對角線AC、8。相交于點O,8。=8,AC=6,OE//AB,交8c于點E,則

OE的長為.

D

能力提升練

13.如圖，尸是菱形ABC。的對角線AC上一點，PEL48于點E,PPLAD于點f

(1)若N8AO=60。，PE=1,求AE的長.

(2)若N8AO=90。，判斷四邊形AEPF的形狀，并說明理由.

14.如圖，在四邊形A8CZ)中，NBDC=90。，E為8C的中點，AD//BC,AB//DE.

(1)求證：四邊形ABED是菱形;

⑵過點E作于點R若CD=8,5c=12,求斯的長.

15.如圖，點E在平行四邊形ABC。的對角線AC上，連8E并延長到E使BE=EF,連。R

⑴求證：DF//AC

⑵若且C。與所的交點G正好是C￡＞的中點，請連接CRDE,判斷四邊形CE￡甲的形狀，并

證明.

AD

16.如圖，平行四邊形ABC。中，對角線AC、相交于點。，8E〃AC交DC的延長線于點E,BD=BE.

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；

(2)若NAO3=60。，AB=4,求四邊形ABED的面積.

拓展練

17.如圖1,點E是正方形A8CD的邊BC上的任意一點(不與3、C重合)，EFLAE與正方形的外角/。CG

的角平分線交于點F.

⑴求證：AE—EF

(2)將圖1放在平面直角坐標系中，如圖2,連。RBF,BF與AE交于點H,若正方形A8CD的邊長為4,

則四邊形的面積是否隨E點位置的變化而變化？若不變，請求出四邊形ABED的面積.

(3)在(2)的條件下，若SA8CF=4,求四邊形4”尸。的面積.

圖1圖2

8/27

9/27

第06練矩形、菱形、正方形

濕」______

妻［積累運用

（一）矩形

矩形是特殊的平行四邊形，從運動變化的觀點來看，當平行四邊形的一個內角變?yōu)?0。時，其它的邊、角位

置也都隨之變化。因此矩形的性質是在平行四邊形的基礎上擴充的。

1.矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形（通常也叫做長方形）

2.矩形性質定理1：矩形的四個角都是直角。

3.矩形性質定理2：矩形的對角線相等。

4.矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形。

說明：因為四邊形的內角和等于360度，已知有三個角都是直角，那么第四個角必定是直角。

5.矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。

說明：要判定四邊形是矩形的方法是：

方法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個直角（這是用定義證明）

方法二：先證明出是平行四邊形，再證出對角線相等（這是判定定理1）

方法三：只需證出三個角都是直角。（這是判定定理2）

（二）菱形

菱形也是特殊的平行四邊形，當平行四邊形的兩個鄰邊發(fā)生變化時，即當兩個鄰邊相等時，平行四邊形變

成了菱形。

1.菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2.菱形的性質1：菱形的四條邊相等。

3.菱形的性質2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

4.菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。

5.菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

說明：要判定四邊形是菱形的方法是：

方法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義證明）。

方法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。（這是判定定理2）

方法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理1）

（三）正方形

正方形是特殊的平行四邊形，當鄰邊和內角同時運動時，又能使平行四邊形的一個內角為直角且鄰邊相等，

10/27

這樣就形成了正方形。

1.正方形：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2.正方形性質定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。

3.正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。

4.正方形判定定理互：兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。

5.正方形判定定理2：兩條對角線相等的菱形是正方形。

注意：要判定四邊形是正方形的方法有

方法一：第一步證出有一組鄰邊相等；第二步證出有一個角是直角；第三步證出是平行四邊形。（這是用

定義證明）

方法二：第一步證出對角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這是判定定理1）

方法三：第一步證出對角線相等；第二步證出是菱形。（這是判定定理2

________

二［基礎過關綜

1.如圖，在矩形紙片A8CD中，AB=6,AD=8,折疊紙片使邊。C落在對角線。8上，折痕為。E,則DCE

的面積為（）

A.3B.6C.9D.18

【答案】C

【解析】解：令折疊后點C在8。上的對應點為點C'

,/矩形ABCD折疊后CD邊落在BD上，

，NBC'E=NDCE=/C=90°,

;CD=AB=6,BC=AD=8,

:,CD=6,BD=y/cB2+CD2=A/82+62,

,

CB=BD-CD=10-6=4f

設CE=C'E=x,貝lj￡B=8-x,

11/27

由勾股定理得：

C'B2+C?=EB2

42+x2=(8-x)2,

解得：x=3,

即CE=3,

S^DCE=；?EC?CZ)=；x3x6=9；

故選：C.

2.一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是（）

A.等腰梯形B.矩形

C.正方形D.等腰梯形或矩形

【答案】D

【解析】解：分為兩種情況:

①當ADUBC,=且時，四邊形ABCD是矩形;

②當ADHBC,4。=%）且仞片8（7時，四邊形A8CD是等腰梯形.

3.如圖，已知四邊形ABC。的對角線互相垂直，若適當添加一個條件，就能判定該四邊形是菱形.那么這

個條件可以是（）

A.BA=BCB.AC=BD

C.AB//CDD.AC、80互相平分

【答案】D

【解析】解：四邊形A8CD中，AC、3?；ハ啻怪?，

若四邊形ABCD是菱形，需添加的條件是：

AC、3?；ハ嗥椒郑唬▽蔷€互相垂直且平分的四邊形是菱形）

12/27

故選：D.

4.如圖，在矩形ABC。中，對角線AC、BD交于點、0,ZAOB=60%以下說法錯誤的是（）

A.OA=OBB.OA=ADD.OB=OC

【答案】B

【解析】解：:四邊形ABCQ是矩形，矩形對角線互相平分且相等

???OA=OB=OD=OC,

，選項A和選項D正確;

ZAOB=60°,

???ZCOZ)=60°,

又OD=OC,

???ACOD是等邊三角形,

???OC=CD,

???選項C正確；

,/ZAOB=60°,

???ZAOD=120°,

???AAOQ不是等邊三角形,

：.OA^AD,

.??選項B錯誤，符合題意.

故選B.

5.如圖所示的是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中

AE=5,BE=13,則E尸2的值是（）

A.128B.64C.32D.144

【答案】A

【解析】解：根據題題得：小正方形的邊長等于

13/27

VAE=5,BE=13,

??.小正方形的邊長=13-5=8,

AEF2=82+82=128.

故選：A

6.如圖，0為菱形ABC。的對角線的交點，DE〃AC,CE//BD,若AC=6,BD=8,則線段0E的長為（）

A.3B.y/5C.5D.6

【答案】C

【解析】'."DE//AC,CE//BD,

/.四邊形OCED是平行四邊形，

:四邊形A2C。是菱形，

ZCOD=9Q0,

二四邊形OCE。是矩形，

又：AC=6,BD=8,

：.OC=3,0D=4,

CD=yl0C2+OD2=732+42=5,

在矩形OCED中，OE=CD=5,

故選：C.

7.兩張全等的矩形紙片A8CQ,AECF按如圖所示的方式交叉疊放，AB=AF,AE=BC.AE與BC交于點

G,AD與CF交于點H,且/AG8=30。，AB=2,則四邊形AGCH的周長為（）

A.4B.8C.86D.16

【答案】D

【解析】解：：兩張全等的矩形紙片ABC。，AECF按如圖所示的方式交叉疊放，AB^AF,AE^BC,ZAGB

=30°

14/27

：.AD//BC,FC//AE,ZB=ZF=90°,

..NHAG=ZAGB=30°,NFH4=ZH4G=30°,

AG=2AB,AH=2AF,

AB=2,

??.AG=AH=4,

AG//HC,AH//GC,

.??四邊形AGCH是平行四邊形，

AG=AH,

四邊形AGCH是菱形.

四邊形AGCH周長為16.

故選D.

8.如圖，點0為矩形ABCD的對稱中心，點E從點A出發(fā)沿A3向點8運動，移動到點8停止，延長EO交

8于點尸，則四邊形AEC尸形狀的變化依次為（）

A.平行四邊形”菱形-平行四邊形”矩形B.平行四邊形"正方形”平行四邊形"矩形

C.平行四邊形"正方形“菱形”矩形D.平行四邊形一菱形”正方形“矩形

【答案】A

:點。為矩形ABCD的對稱中心，

OA=OC,

在矩形ABC。中，AB//CD,

：.ZOCF=ZOAE,ZOFC=ZOEA,

：.△AOE"ACOF,

：.AE=CF,

四邊形AECF是平行四邊形，

...當AE<CE時，四邊形AECB是平行四邊形,

當AE=CE時，四邊形AECF是菱形，

15/27

當AE>CE時，四邊形AECF是平行四邊形，

當點E到達點2時，四邊形AECP是矩形；

/.四邊形AECT形狀的變化依次為

故選：平行四邊形一菱形”平行四邊形一矩形.

故選：A

9.如圖，將兩條寬度均為2的紙條相交成30。角疊放，則重合部分構成的四邊形A8CD的面積為

【答案】8

【解析】'.,AB//CD,

ZABC=30°,

又：兩條紙條的寬度均為2,

：.AB=4,

同理可得4。=4,

又<AB〃CD,AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

y.'：AB=AD=4,

四邊形ABCO是菱形，

S??ABCD=4x2=8,

故答案為8.

10.如圖，正方形ABC。的面積為5,正方形CEFG的面積為2,點G在線段CD上，且8、C、E三點在

一條直線上，聯(lián)結AC、AE,則△ACE的面積是_____.

【答案】平

【解析】解：：正方形ABC。的面積為5,正方形CEFG的面積為2.

AB=,,CE=?.

16/27

.,.△ACE的面積不><&=亞.

222

故答案為：叵.

2

11.如圖，在矩形ABCD中，若AB=7,ZDBC^30°,則AC的長為

【答案】14

【解析】解：「四邊形ABCD是矩形，AB=7,

：.CD=AB=7,AC=BD,ZBCD=90°,

在Rt3CD中，/DBC=30°,

.-.BD=2CD=14,

.-.AC=BD=14,

故答案為：14.

12.如圖，在菱形ABC。中，對角線AC、8。相交于點O,BD=8,AC=6,OE//AB,交BC于點、E,則

OE的長為.

【答案】2.5

【解析】解：???四邊形ABCD是菱形，

AOB=-BD=4,OC=-AC=3,ZBOC=90°,ZABD=ZCBD,

22

BC=y]OB2+OC2=5>

'：OE//AB,

：.ZABD=ZBOE,

：.ZEBO=ZEOB,

：.BE=OE,

17/27

'：ZOBC+ZOCB=90°,ZEOB+ZEOC=90°,

：./EOC=/ECO,

：.OE=CE,

：.OE^-BC=2.5,

2

故答案為：2.5.

能力提升綠

13.如圖，尸是菱形A3C。的對角線AC上一點，PELAB于點E,尸尸，4。于點元

(1)若NA4O=60。，PE=1,求AE的長.

(2)若/氏4。=90。，判斷四邊形AE//的形狀，并說明理由.

【答案】(1)指；(2)正方形，理由見解析

【分析】(1)解：：四邊形ABC。是菱形，ZBAD=60°,

：.ZPAE=30°

'：PE±AB,

：.AP=2PE=2,

：.AE=YJAP2-PE2=73；

⑵證明：四邊形微斗是正方形，

理由如下：QZBAD=90°,PE±AB,PFA.AD,

???四邊形AEPF是矩形，

:.ZPAD=^PAB,

在AAPE和AAPF中，

ZPAB=ZPAD

<ZAEP=ZAFP,

AP=AP

\APE=AAPF(A45),

.\PE=PF；

???四邊形AEPF是正方形.

14.如圖，在四邊形ABC。中，ZBDC=90°,E為3C的中點，AD//BC,AB//DE.

18/27

(1)求證：四邊形A3E。是菱形；

⑵過點石作呼，的于點R若CD=8,5c=12,求斯的長.

BE

【答案】⑴見解析；⑵竽

【分析】(1)證明：'：AD//BC,AB//DE,

四邊形ABED是平行四邊形，

?.?RS8CO中，E是斜邊BC的中點，

：.DE=BE,

四邊形ABM是菱形.

⑵過點。作DGL2C于點G,如圖所示：

BEGC

在RSBCD中，

BD=yjBC2-CD2=7122-82=46，

S=~BDDC=~BCDG,

BRCcDn22

VDC=8,BC=12,

：.DG=—,

3

又S翱ABED=ABEF=BEDG,AB=BE,

：.EF=DG=—

3

15.如圖，點E在平行四邊形ABC。的對角線AC上，連BE并延長到尸，使BE=EF,連。F

⑴求證：DF//AC

⑵若且與斯的交點G正好是的中點，請連接CRDE,判斷四邊形CEZ加的形狀，并

證明.

19/27

【答案】（1）見解析；（2）四邊形尸是矩形，見解析

【分析】（1）過點尸作/H〃AB,交AC的延長線于點H,

「?/ABE=NHFE,ZAEB=ZHEF,

*：BE=EF,

：.△ABEmLHFE,

：.AB=HFf

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD,CD//AB,

：?HF=CD,CD//FH,

???四邊形CD巾是平行四邊形，

:,DF〃CH,

：.DF//AC,

(2)根據(1),DF//AC,

：.ZDGF=ZCGEfNDFG=/CEG,

VCG=GD,

:.ADGF名LCGE,

:,EG=GF,

???四邊形。皮＞/是平行四邊形,

20/27

,:BE=2EF,BF=2AB,四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD=EF,

；?四邊形CEDF是矩形.

16.如圖，平行四邊形"C。中，對角線AC、RD相交于點。，交DC的延長線于點E,BD=BE.

(1)求證：四邊形ABC。是矩形；

(2)若/4。3=60。，AB=4,求四邊形ABED的面積.

【答案】(1)見解析；(2)246

:.AB//CD.

又.?點E在0c的延長線上，

:.AB//CE.

又-BE//AC,

四邊形ABEC是平行四邊形，

AC=BE.

又BD=BE,

AC=BD,

???平行四邊形ABC。是矩形；

(2)解：「在矩形A5CQ中，ZAOB=6Q0,0A=0B,

.,.A0B是等邊三角形，

：.BO=AB=^,

.?.50=250=2x4=8,

又.四邊形ABEC是平行四邊形，

,-.CE=AB=4f

21/27

:.DE=CD+CE=8,

在RfABC中,BC=^BD2-CD2=^82-42=473-

四邊形ABED的面積=；(4+8)x46=2443.

17.如圖1,點E是正方形ABC。的邊BC上的任意一點（不與8、C重合），E/UAE與正方形的外角/。CG

的角平分線交于點F.

⑴求證：AE=EF

（2）將圖1放在平面直角坐標系中，如圖2,連DF、BF,BF與AE交于點H,若正方形ABCO的邊長為4,

則四邊形ABFD的面積是否隨E點位置的變化而變化？若不變，請求出四邊形ABFD的面積.

⑶在（2）的條件下，若SABCF=4,求四邊形AHFZ）的面積.

圖1圖2

【答案】（1）見解析

（2）點E在8C上運動時，四邊形尸。的面積不變化，始終等于16；

88

(3)S四邊形AHFD=-^~.

【分析】（1）證明：如圖1，在上截取連接HE,

圖1