補上一課數(shù)列中的構(gòu)造問題

題型分析求數(shù)列通項公式的方法除了我們前面學(xué)習(xí)過的公式法、累加法、累乘

法，還有構(gòu)造法，其總的思想是根據(jù)數(shù)列的遞推公式，利用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為特殊的

數(shù)列(等差、等比數(shù)列或可利用累加、累乘求解的數(shù)列)求解.

題型一形如型

角度1cin+i=pcin~\~1,qWO)

例1已知數(shù)列｛廝｝中,0=1,z+i=3斯+4,求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

解設(shè)an+i~\~t=3(an~\~t),

即Cln+l—3dn~\~2t,

又Cln+l=3dn~\~4,

根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等，解得％=2,

故。九+I+2=3(Q〃+2).

令bn=an+2,則61=41+2=3,

bn+l6ZH+1+2

bnan+l3

所以｛瓦｝是3為首項,3為公比的等比數(shù)列,

所以仇=3X3〃T=3〃,

即—2.

角度21=pcinQnc(j)0,1,qWO)

例2已知ai=l,當(dāng)〃三2時，4"=1?"-1+272—1,求｛為｝的通項公式.

解設(shè)a〃+p〃+q=；[a〃—i+p(九—l)+q],

明」111

即an—/a”—1一一呼一

與原式比較，對應(yīng)項系數(shù)相等得

-5=2,

p=—4

11解得＜

0=6,

首項⑶-4+6=3,

所以｛z—4〃+6｝是3為首項，義為公比的等比數(shù)列，

所以z—4〃+6=3,gj,

3

所以7+4n—6.

角度3a〃+i=pa〃+q"SWO,1,qWO,1）

〃+1

例3已知數(shù)列｛a”｝中々1=焉，加1=*+@],求｛服｝的通項公式.

解法一構(gòu)造數(shù)列

a〃+i+/lg=|tzn+A^j，

〃+1

化簡成原式結(jié)構(gòu)得a=+1=,

對應(yīng)項系數(shù)相等得4=—3,

2

設(shè)bi—a\一3

bn~Cln—33,

所以數(shù)列｛況｝是以一|為首項，；為公比的等比數(shù)列，則氏=—Kg），

、32

所以Cbi=》一予.

法二將癡+i=]z+|jJ兩邊同乘2〃+i,

2

得2#i5+i=w（2〃s）+l

2

令為=2凡z,則況+i=§為+1,又回到了構(gòu)造一的方法，根據(jù)待定系數(shù)法,

得b〃+i—3=:（瓦一3）,

所以數(shù)列｛瓦一3｝是首項為

54

bi-3=2XT-3=一T,

o3

公比為，2的等比數(shù)列，

所以瓦一3=—/停)

即bn—3—2、

所以加=號=今2_

3"-

將念+1=5〃+(；)兩邊分別除《

法三得3"+1Q〃+I=3%〃+

令況=3凡?！?，則瓦+1=及+1|)

所以bn—bn-1bn-1—bn-2~…，b2~bl

將以上各式疊加，得

553

又加=3m=3Xd=，=l+],

3

所以瓦=1+]+

所以的二專二房一看.

感悟提升1.形如麗+i=aa〃+伙aWO,1,夕WO)的遞推式可用構(gòu)造法求通項，構(gòu)

造法的基本原理是在遞推關(guān)系的兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等

差數(shù)列或等比數(shù)列.

2.遞推公式a”+i=a"+6的推廣式an+iuaazj+SX/XaWO,1,0力。,產(chǎn)0,1),

兩邊同時除以*1后得到/=泮+，轉(zhuǎn)化為加E瓦十§(20,1)的形式，

通過構(gòu)造公比是k的等比數(shù)列卜L.([J)]求解.

訓(xùn)練1(1)已知數(shù)列｛為｝滿足訪+i=2a”+〃,ai=2,則飆=.

答案2,,+1—n—1

解析令z+i+x(〃+l)+y=2(a"+x”+y),

=

即an+i2an-\-xn+y—x,

與原等式比較得，x=y=l,

?！?1+(“+])+]

所以=2

1

所以數(shù)列｛如+"+1｝是以。1+1+1=4為首項，2為公比的等比數(shù)列,

所以a”+〃+l=4X2"-i,即z=2"+i—〃一1.

n

(2)(2024?河南名校聯(lián)考)若數(shù)例J｛斯｝滿足m=2,an+i-2an=3~',則數(shù)列｛詼｝的通

項公式an=

答案2"一1+3"一1

解析因為斯+1—2。"=3'廠1,

a+i2an

即?n

3〃1—33〃—2卜1,

所以千_3=條彩_3)

Cln+1

可一32

所以工----=3-

因為0=2,所以靠5-3=3,

故［關(guān)一31是以3為首項，］為公比的等比數(shù)歹人

所以巖-3=3《|),

所以斯=2"」+3"-1.

題型二相鄰項的差為特殊數(shù)列(形如所+i=pa〃+?i)型

例4已知數(shù)列｛斯｝滿足m=l,怎=2,且斯+1=2如+3斯-1(九22,〃WN*),則數(shù)

列｛麗｝的通項公式an=.

3n-(-1)n

答案

4

解析法一因為Z+I=2Z+3Q〃_I(〃22,〃￡N*),

設(shè)瓦=Cln+1+,

bna+\~\~a3(Q〃+Q〃-i)

所以nn

bn—lCln~\~Cln—1Cln~\~Cln—1

又因為Z?1=Q2+Q1=3,

所以｛瓦｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列.

所以及=?！?1+。%=3X3"1=3",

Cln+l1an1

從而3>=3?

不妨令。尸竽，即扇+1+守=],

,,1ifn

故Cn+l—4=—c?-4),

1

41

即-

13

-

4

pew1ai11

又因為CI-4=J-4=12,

所以數(shù)歹“外一號是首項為專，公比為一g的等比數(shù)歹I,

1

故圓一廠12*13)-3「不

..一3」(-1)n

從而an=?

法二因為方程/uZx+B的兩根為一1,3,

可設(shè)a〃=ci?(一l)G+c2?3G,

由〃1=1,02=2,

,13

解得Cl=],。2=不

感悟提升可以化為為+1—I1?！?%2(酸一元1服—1),其中％1,尤2是方程X2—P%—4=°

的兩個根，若1是方程的根，則直接構(gòu)造數(shù)歹！J｛斯一?！ㄒ?｝,若1不是方程的根，則

需要構(gòu)造兩個數(shù)列，采取消元的方法求數(shù)列｛m｝.

訓(xùn)練2若x=l是函數(shù)Hx)=a”+id—。以3-a”+?+i(〃?N*)的極值點，數(shù)列｛圓｝滿

足0=1,42=3,則數(shù)列｛為｝的通項公式02=.

答案3G

3

解析/(x)=4-an+ix—3any?~an+i,

??/(I)=4tZ"+l—3dn—6Zn+2=0)

即Cln+2—a“+l=3(tZ"+l—dn),

數(shù)歹即｝是首項為2,公比為3的等比數(shù)列，

，

*,?<2n+l—=2X3!I

=

則anan—Gzi-i+tZw-i-或―2+…+。2—tzi+tzi

=2X3^2H-----F2X30+1

=2X(3,,-2+3n-3H----F3i+30)+l

1-3"-1

=2X1

1-3

=3〃T—1+1=3”T.

題型三倒數(shù)為特殊數(shù)列（形如z+i='T型）

例5已知在數(shù)列｛詼｝中,ai=2,a〃+i=a則0=

2

答案

2X3n-1-l

解析V—=3-^+1,

Cln+1

.,.^+|=3^-+|1-+|=1

Cln+12\ClnZ)Cl\2

苴是以1為首項，3為公比的等比數(shù)歹L

,—_|_XO71_1.————

??1c=J,??j,

an2an2

2

2X3^1-r

感悟提升兩邊同時取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為六="?/形式，化歸為如尸%+q型,

求出工的表達式，再求服.

訓(xùn)練3（2024?福州質(zhì)檢）在數(shù)列3｝中，若0=1,。"+1=丁%，則a”=____________.

〃十1

]

答案

2n一1

解析取倒數(shù)，得」一=；+2,即」一一；=2,

Un+\Cln+\an

所以數(shù)歹出；是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，且;=1+2(〃―1)=2〃一1,

[ClnJCln

所以an—7.7?

■課時分層精練

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.已知數(shù)列｛m｝滿足ai=2,an+i=2an+l,則。4的值為()

A.15B.23C.32D.42

答案B

解析因為。?+1=2。"+1,

所以6Z?+1+1—2(iZn+l),

所以｛板+1｝是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以〃+1=32-

所以m=3?2『i—1,所以s=23.

2.在數(shù)列｛而｝中，刃=5,且滿足養(yǎng)、一2=卷手則數(shù)列｛所｝的通項公式為()

A.2〃一3B.2n—7

C.(2n—3)(2〃-7)D.2n~5

答案c

解析因為.0"+1-2=

用牛忻四刀2〃一522"—7'

所以^一7-^—-=2,又丁與=—1,

2n~52n~/2—7

所以數(shù)歹《蒙了]是以一1為首項，公差為2的等差數(shù)列，

所以2^-7=-1+2(“-1)=2"—3,

所以a”=(2〃-3)(2〃-7).

n

3.已知數(shù)列｛坳｝滿足:?1=1,an+i=2an+2,〃WN*,則如等于()

A.64B.56C.32D.24

答案C

Cln+lOn1

解析由得，

=2a”+2"2n+l~2n~2,

而1

是首項為:，公差為;的等差數(shù)列,

???數(shù)列

??卷=3+(〃-i)xg=g,

4-1

/.an—〃,2〃-i,「?。4=4義2=32.

4.已知數(shù)歹！J{〃〃}￥兩足：“1=42=2,斯=3%一1+4〃〃一2(〃23),貝U〃9+aio=()

A.47B.48C.49D.410

答案C

角翠^^?由3〃〃-i+4?！ㄒ?(九三3),

得an+an-1=4(6ZH-1+an-2),

nCln-I-Cln.-1

即募F=4(心3)，又。1+。2=4,

所以數(shù)列｛廝+斯+i｝是等比數(shù)歹I」,公比為4,首項為4,

所以49+410=49.

5.在數(shù)列■〃｝中,若。1=3,an+\=c&,則。〃等于()

A.2GB.3”TC.23，i-1D.32"

答案D

解析由＜71=3,＜2〃+1=易知板＞0,

對外+1=忌兩邊取以3為底的對數(shù)得，

10g3tZn+1=210g3處,則數(shù)列｛10g3?n｝是以log3a1=1為首項,2為公比的等比數(shù)列,

則log3a==L2"-I=2"T,即a〃=32"T.

6.設(shè)數(shù)列｛麗｝的前幾項和為S”,若S〃=2a〃-2〃+1,則Sio=()

A.2"—23B.210-19

C.3X210-23D.3X29-19

答案C

解析當(dāng)n—1時,S\=a\=2a\—2+1,

解得<71=1.

當(dāng)〃22時，Sn-i=2an-i—2〃+3,

所以Un~Sn—Sn-1

—2an—2〃+1—(2z—1—2〃+3),

即?！?2。〃一1+2,

所以。〃+2=2(?！╛1+2),QI+2=3,

所以數(shù)列｛雨+2｝是首項為3,公比為2的等比數(shù)列，則z+2=3X2”-i,

從而a=3義2〃一2〃一3,故Sio=3X2i0—23.

7.(2024?杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列｛以｝滿足幻=3,?！?1=歐+2、/￡不1+1,則mo=()

A.80B.100C.120D.143

答案C

解析因為an+1=On+2^Jan+l+1,

所以tz?+l+1=("\/tZn+l)2+2^y<7n+1+1,

即a〃+i+1=川飆+1+1)2,

等比兩邊開方可得、z+l+l=、z+l+l,

即\/an+i+l6"+1=1,

所以數(shù)歹I｛、.+1｝是首項為1。1+1=2,公差為1的等差數(shù)列，

所以1=2+(〃—1)X1=?+1,

2

所以an=n+2n,

所以<7io=lO2+2O=12O.

8.(多選)已知數(shù)列｛z｝滿足ai=l,劣+1=前一(〃GN*),則下列結(jié)論正確的是

，十JCln

()

AR+3；為等差數(shù)列

[ClnJ

B.｛a〃｝的通項公式為a?=

2?-j_3

C｛a”｝為遞減數(shù)列

D.；的前n項和A=2"+2—3〃―4

[Cln]

答案CD

解析因為防+1=/^—，

2十3Cln

r)12+3。？2IC

所以一=——=7+3，

Cln+1anUn

所以+3=2住+3),且;+3=4W0,

an+1W)QI

所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，即:+3=4X2”T,

JCln

所以[=2〃+i—3,可得

一2九十1_39故A,B錯誤；

因為;=2〃+i—3單調(diào)遞增，

Un

所以念=3七單調(diào)遞減，

即｛劣｝為遞減數(shù)列，故c正確；

工的前n項和^=(22-3)+(23-3)H-----F(2w+1-3)-(22+23H-----F2n+1)-3n

[Unj

l-2n

=22X-~7―3〃=2#2-3九一4.故D正確.

1—2

9.(2024?東北三省三校聯(lián)考)已知數(shù)列｛所｝滿足m=。，服+i==^,則數(shù)列｛加｝的

D〃〃十Z

通項公式為.

2

答案。產(chǎn)〃+2

解析因為an+i=^~,

3?！ㄊ?

擠___an+211

加以z+i—2an—5十以，

即」-—▲=]

Un+1anZ

31

所以數(shù)列是首項為會公差為抽等差數(shù)列,

an

所以:二,十】"—

Cln乙乙乙

2

所以I9?

Cln—〃十2

10.（2024?四川名校聯(lián)考）已知數(shù)列｛麗｝中,ai=l,z=3,。升2=3。用—2%,則an

答案2"-1

解析由題知4"+2—a〃+l=2(訪1+1—an),

因為6—0=2,所以｛麗+i—斯｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，所以以+1—

Cln=2”,

當(dāng)“三2時，an=｛an-6Zn-l)+(<7n-l—。〃-2)+…+(。2—。1)+&1=2”1+2n2H----k2

顯然〃=1時滿足上式，所以如=2"—1.

11.（2024?河南名校聯(lián)考）已知數(shù)列｛為｝滿足ai=2,log43-tz?

Cln+\Cln9貝！J18=.

答案■2

解析由Iog43s—￡^^=log25-log53s+iz可得Jog23s—log2小s+l

log25?器|s+iz,

即,Og23?斯一

,斯+1=10g23,Q〃+

??Cln—Cln+1=2Q〃Q〃+1,

結(jié)合。]=2可知dndn+l~^~09

Un+1Cln

則是公差為2的等差數(shù)列，

[Cln)Cl\Z

,,11.34H—3

故￡=1+(“—1>2=2〃—/=^-，

F22

則。尸4〃一3,故。8=兩?

12.已知S”是數(shù)列｛劣｝的前〃項和，an+i-3an+2an-i=l,ai=l,或=4,則數(shù)列

｛以｝的通項公式an=.

答案2n+｝-n-2

解析因為an+i—3。幾+2斯—1=1,

所以an+l—an=2(an—1)+1,

—Ql+1

因此

an-an-l~\~l

因為m=l,<22=4,所以。2—。1+1=4,

故數(shù)歹1」｛癡+1—如+1｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列，所以Z+1—所+1=4.2〃一

1=2〃+i

n+1

即an+i—an=2—1,

所以當(dāng)“22時，

<72—<21=22—1,03-<72=23—1,

<24—<23=24—1,…，an—服-1=2”-1,

22(1—2Z,-1)

以上各式累加可得tz—tzi=(22+23H-----\-2n)—(n—1)='~—(n—1)=

n1—2

2"+i—4一(〃-1)=2"+1一”一3,

因為ai=1,所以cin=2n+i—n—2,“22；

又0=1符合上式，

n+1

所以an=2—n—2.

【B級能力提升】

13.(多選)已知數(shù)列｛或｝滿足ai=l,4。"+1=3以一〃+4,則下列結(jié)論正確的是()

13

人.43=至

29

B.￡Z3=B

C.｛a'十〃一8｝是等比數(shù)列

D.｛a〃+2｝不可能是等比數(shù)列

答案ACD

解析a\—1,4?！?1=3。〃一〃+4,

313

/.(22=2，。3=可，故A正確，B錯誤；

=3斯-n+4,

.31,t

??an+i=~;an—~：n+1,

.*?斯+i+(〃+1)—8=畢〃—1+(〃+1)—8=平〃+“-6=^(癡+〃—8),

又?「Qi+1—8=-6,

3

???數(shù)列｛癡+〃-8｝是首項為一6,公比為I的等比數(shù)列，故C正確；

729

。彳，。弁，

*.*<71+2=3,2+2=Z3+2=o

顯然(。2+2)2W(ai+2)(?3+2),

二｛麗+2｝不可能是等比數(shù)列,故D正確.

14.(2024.武漢質(zhì)檢)將一些數(shù)排成如圖所示的倒三角形，其中第一行各數(shù)依次為1,

2,3,…，2025,從第二行起，每一個數(shù)都等于它“肩上”的兩個數(shù)之和，最后

一行只有一個數(shù)則航等于()

123?-?202320242025

35740474049

812???8096

M

A.2025X22022B.2026X22023

C.2025X22023D.2026X22024

答案B

解析記第〃行的第一個數(shù)為外,

則ai=1,。2=3=2.(21+1,<73=8=2tZ2+2,

。4=20=2。3+4,,,,,=2a”―1+2”~,

券=職+1,即券是以券=2為首項，1為公差的等差數(shù)歹山

/7?

?'?^^=2+(?—1)Xl=n+l,

tZn=(n+l)X2n-2,

又每行比上一行的數(shù)字少1個，

...最后一行為第2025行,

.?.”=42025=2026X22023.

15.已知數(shù)列兩足<71=2><72=6,且Qn+2—2>+1+麗=2,右[x]表TH不超過X

「221「32]「20252-1

的最大整數(shù)(例如=[―1.6]=—2),則了+7+…+.

答案2025

解析由題設(shè)，（癡+2—斯+i）—（。"+1一斯）=2,

。2—。1=4,

故｛斯+1—詼｝