第3節(jié)二項(xiàng)式定理

考試要求能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解

決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.

■知識(shí)診斷自測(cè)

【知識(shí)梳理】

1.二項(xiàng)式定理

n

(1)二項(xiàng)式定理：(a+b)=C%"+C/廠用H-----HChi「kbJ------CQ(n?N*)；

(2)通項(xiàng)：TSa"",k=0,1,2,…，n,它表示第1+1項(xiàng);

⑶二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)C%CL…，CL

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)描述

對(duì)稱性與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C-=CQ

〃+1

二項(xiàng)式當(dāng)左＜2(〃?N*)時(shí)，是遞增的

增減性

系數(shù)C方當(dāng)左＞；(〃?N*)時(shí)，是遞減的

M

二項(xiàng)式系數(shù)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)土取得最大值

最大值〃一1〃1

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)Ch與C丁相等且取得最大值

3.各二項(xiàng)式系數(shù)和

(1)0+。)"展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：CHcRCiH——

(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即cHcHcH-=

C%+或+或+…=2"，

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

(a+Z?y的展開(kāi)式形式上的特點(diǎn)：

(1)項(xiàng)數(shù)為n+1;

⑵各項(xiàng)的次數(shù)和都等于二項(xiàng)式的募指數(shù)n,即。與》的指數(shù)的和為

(3)字母。按降嘉排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由〃逐項(xiàng)減1直到零；字母6按升嘉

排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到小

(4)二項(xiàng)式系數(shù)從C2,CA,一直到C”,CL

【診斷自測(cè)】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)(2①〃士接是二項(xiàng)展開(kāi)式的第k項(xiàng).()

(2)二項(xiàng)展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng).()

(3)5+。)〃的展開(kāi)式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a,6無(wú)關(guān).()

(4)(。+。)〃某項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等，與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系

數(shù)不同.()

答案(1)X(2)X(3)V(4)V

解析二項(xiàng)展開(kāi)式中C歷“r/是第^+l項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中

間兩項(xiàng)，故(1)(2)均不正確.

2.(選修三P34Tl改編)在(1—x)5+(l—必+(1一切+(1一療的展開(kāi)式中，含三的

項(xiàng)的系數(shù)是()

A.74B.121C.-74D.-121

答案D

解析將(1—尤)5,(1—X)6,(1—X)7,(1—X)8中含X3項(xiàng)的系數(shù)分別相加，即得展開(kāi)

式中含％3項(xiàng)的系數(shù)為d(-i)3+cg(-i)3+c^(-i)3+a(-i)3=-i2i.

3.(選修三P38T3改編)在(1—2x)1°的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和是.

答案1

解析令x=l,可得各項(xiàng)系數(shù)的和為(1—2嚴(yán)=1.

4.(選修三P31T4改編)(l+x+f)(l—的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為.

答案135

解析???(：!一》嚴(yán)展開(kāi)式的通項(xiàng)為

Tr+l=Cio(—X)r,

令r=4,3,2分別得展開(kāi)式含》4,必，好的系數(shù)為c%,-C?0,Go.故展開(kāi)式中

含的系數(shù)為

Cto-C?o+C?o=135.

■考點(diǎn)

考點(diǎn)一展開(kāi)式中的通項(xiàng)

角度1求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)

例1（1）（2023?天津卷）在（2x3—3的展開(kāi)式中，N的系數(shù)是

答案60

解析法一二項(xiàng)式（2爐一）展開(kāi)式的通項(xiàng)

T*+l=&（2%3）6-1—3=（_1）”6飛C舐18一%

令18—4左=2,解得k=4,

2

所以％的系數(shù)為（一l）4X22XCW=60.

法二將二項(xiàng)式Q%3一）看成6個(gè)多項(xiàng)式Qx3—3相乘，要想出現(xiàn)％2項(xiàng)，則先在2

個(gè)多項(xiàng)式中分別取2必，然后在余下的多項(xiàng)式中都取一J相乘，

4

即CQ/yxcj—=60f,所以％2的系數(shù)為60.

（2）（2023?德州模擬）若且3WnW6,則（x+'）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

答案4

解析口+g）展開(kāi)式的通項(xiàng)為

nn4k

Tk+i=C^~^=Ch~,

因?yàn)?W〃W6,令〃-4左=0,解得〃=4,k=l,

所以Q+5）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為4.

角度2兩個(gè)二項(xiàng)式之積

例2（1）（2024.長(zhǎng)沙調(diào)考）2x）4的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-4B.16C.-8D.-10

答案D

解析(1—2x)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)為

Tr+1=ca(-2x)r=C5(-2)r-xr,

所以g—2)(1—2x)4的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為

C|X(-2)+(-2)XC2=-8-2=-10.

(2)(2024.河南名校聯(lián)考)[1+；)(x+2y)6的展開(kāi)式中x2/的系數(shù)為..

答案432

解析將(l+f(x+2y4整理得(1+盯r)G+2yH展開(kāi)式中含的項(xiàng)為c"孫一

1)-x-(2y)5+Ctx2-(2y)4=432x2/,系數(shù)為432.

角度3三項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題

例BE+x+yP的展開(kāi)式中，的系數(shù)為.

答案30

解析法一(一+了+y>=限d+的+丁產(chǎn)，

含>2的項(xiàng)為73=c§(x2+x)3-j2.

其中(―十療中含％5的項(xiàng)為C^x4-x=Cix5.

所以/y2的系數(shù)為cgC4=30.

法二(N+x+yy表示5個(gè)因式(N+x+y)之積.

??.x5y2可從兩個(gè)因式中取f,剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取x,其余兩個(gè)因式取y,

因此x5)/的系數(shù)為CgCg&=30.

感悟提升1.求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合

要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)左+1,代

回通項(xiàng)即可.

2.對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律,

結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用

排列組合的知識(shí)求解.

3.對(duì)于三項(xiàng)式問(wèn)題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決，或利用展開(kāi)式的原理求解.

訓(xùn)練1(1)(2024.北京昌平區(qū)質(zhì)檢)已知二項(xiàng)式1十￡的展開(kāi)式中｝的系數(shù)是10,則

實(shí)數(shù)。=()

A.-lB.lC.-2D.2

答案B

解析二項(xiàng)式(x+曾的展開(kāi)式的通項(xiàng)為

C§-x5-,-(ax-1)r=tzr-a-x5-2r,

令5—2r=—1,解得r=3,

所以/.色=10。3=10,解得a=l.

(2)(f+x+l)(x—1)4的展開(kāi)式中，X3的系數(shù)為.

答案一2

解析(X—1)4的通項(xiàng)為4+1=(2h4-*(—1)*,

M+x+l)。-1)4的展開(kāi)式中,X3的系數(shù)為

Cl(-l)3+C3(-l)2+Cl(-l)=-2.

(3)(2024.重慶質(zhì)檢)(2爐+y+1)5的展開(kāi)式中》與2項(xiàng)的系數(shù)為.

答案120

解析將(2/+丁+1)5看作5個(gè)因式(2/+y+l)相乘，

根據(jù)竟y2的指數(shù)可得5個(gè)因式中有兩個(gè)選2/，兩個(gè)選y,一個(gè)選1,進(jìn)行相乘,

即(2N+y+l)5的展開(kāi)式中dy2項(xiàng)的系數(shù)為

C？X22XC?=120.

考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和

例4⑴在6工

XY的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為128,則(

W

A.二項(xiàng)式系數(shù)和為32B.各項(xiàng)系數(shù)和為128

C.常數(shù)項(xiàng)為一135D.常數(shù)項(xiàng)為135

答案D

解析令x=l,得各項(xiàng)系數(shù)和為2”,

又二項(xiàng)式系數(shù)和為2〃，則2X2"=128,得〃=6,

即二項(xiàng)式系數(shù)和為64,各項(xiàng)系數(shù)和也為64,故A,B不正確;

的展開(kāi)式的通項(xiàng)為

冗+1=C&(3x)6—［一審=c&(—

3

令6—^=0,得左=4,

因此展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為T5=C2-(一1)+32=135,故C不正確，D正確.

(2)(2024?南昌調(diào)研)若(1+xp°=ao+aix+Fcziox10>則<22+06+as=

；ai+2a2+3磁+…+lOt?io=.

答案3005120

解析①由已知得(1+?°展開(kāi)式的通項(xiàng)為改+i=C￥of,所以展開(kāi)式中每一項(xiàng)的系

數(shù)即為其二項(xiàng)式系數(shù).

故<72H-<26+as=CTO_FC5OH_C?O=3OO.

②對(duì)原式兩邊求導(dǎo)得，

10(1+%)9=<71+2tZ2%+36Z3X2H---F10<710X9.

令x=l,得

m+2a2+3a3H---FlOaio=lOX29=5120.

感悟提升一般地，對(duì)于多項(xiàng)式(a+Ox)"=ao+aix+a2%2H---Fanxn,令g(x)=

(a+bx)n,則(a+加的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(l),(a+fet)"的展開(kāi)式中奇數(shù)

項(xiàng)的系數(shù)和為3g(l)+g(—1)］，(a+fct)"的展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為

g(—1)1

訓(xùn)練2(1)(2024?西安質(zhì)檢)已知(2%—1)5=〃5%5+。4I4+〃3尤3+〃2%2+〃1%+。0,則|。。|

十|QI|H引等于()

A.lB.243C.121D.122

答案B

解析令％=1,得。5+。4+。3+。2+。1+。0=1,①

令X=-1,得一。5+〃4—。3+。2—。1+。0=-243,②

①+②，得2(〃4+。2+。0)=—242,

即。4+。2+。0=-121.

①一②，得2(45+03+。1)=244,

即。5+。3+Ql=122.

所以|oo|+|m|+…+|。5|=-QO+QI—。2+。3—。4+。5=122+121=243.

(2)設(shè)(也+x)i0=〃o+aix+Q2%2H-----PQIO%I0,貝!J(00+02+。4H-----btzio)2-(^i+tzs+

Q5H----h〃9)2的值為.

答案1

解析令X=1有Qo+〃1+…+〃10=N^+1)1°,

令％=一1有〃0一。1+。21,??+〃10=(誨—1)1°,

故(Qo+o2+〃4+…+〃10)2—(。1+。3+。5+???+。9)2=(。()+。1+及+…+。10>(。0—

+。2------kaio)=(V2+l)lo(V2-l)lo=l.

考點(diǎn)三系數(shù)的最值問(wèn)題

例5已知(m+/產(chǎn)的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x—1)〃的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)

和大992,則：

(1)(2X+3的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.；

(2)(2x+；)的展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)為..

答案(1)8064(2)15360x4

解析由題意知，22n-2n=992,

即(2"-32)(2"+31)=0,

.?.2〃=32(負(fù)值舍去)，解得干=5.

⑴由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，(2x+j的展開(kāi)式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即CM

=252.

76=C演2x)59=C?o25=8064.

(2)設(shè)第廠+1項(xiàng)的系數(shù)最大.

*/Tr+l=Cio(2x)l0-J=Cio2"%"2r’

./?021°r三(2砧1210丁+1,

…?02"r》Q421°一廠1,

CIo^2Cio1,[11—r^2r,

得V+1即

UClo^Cfo1,12（r+1）N1O—r,

解得Q]WrW了11.

VrEN,.）=3.

故系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，第4項(xiàng)為

74=C?O27X4=1536OX4.

感悟提升1.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，展開(kāi)式中第4+1項(xiàng)

的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為c3；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，展開(kāi)式中第二一項(xiàng)和第工一項(xiàng)

〃—1Z/+1

的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為C丁或c了.

2.如求3+加y（a,5?R）的展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展

Ak^Ak-l,

開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)分別為Al,A2,…，An+1,且第左項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用.從

而解出k即可.

訓(xùn)練3（多選）（2024?杭州質(zhì)檢）關(guān)于（a—。尸的說(shuō)法，正確的是（）

A.展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2048

B.展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

C.展開(kāi)式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

D.展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)最小

答案ACD

解析由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，（a—6）11的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=2048,故A正

確；

因?yàn)椋╝—0）11的展開(kāi)式共有12項(xiàng)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第6項(xiàng)和第7

項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故C正確，B錯(cuò)誤；

因?yàn)檎归_(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)，且絕對(duì)值最大，所以展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)

最小，故D正確.

■課時(shí)分層精練

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.（2024.天津段測(cè)）『芍展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（）

A.-135B.135C.1215D.-1215

答案B

解析二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)

「+1=（2江6,（一提）=a（-3）rx6-3r,

令6—3r=0,解得r=2,

所以常數(shù)項(xiàng)73=奠（-3）2=135.

2.（2024.南通調(diào)研）已知（3x—l）G+l）"的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64,則展開(kāi)

式中含％2的項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.25B.3C.5D.33

答案C

解析令x=l,可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為2〃+i=64,故”=5,

又（x+l）〃即（x+l）5的展開(kāi)式的通項(xiàng)

7V+1=C§V〃,

則展開(kāi)式中含有爐的項(xiàng)的系數(shù)為3d—cg=5.

3.（2024.贛州段考）1x一君的展開(kāi)式中含必項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.-112B.112C.-28D.28

答案B

解析由二項(xiàng)式定理可得［一君的展開(kāi)式的通項(xiàng)為。+1=蟲(chóng)--1一君=

3

（一2心87,o-,r￡N,

3

令81］廠=5,解得r=2,

所以含爐項(xiàng)的系數(shù)是（一2）2a=U2.

n

4.（2024?成都診斷）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

相等，則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為（）

A.212B.312C.310D.210

答案C

解析因?yàn)椋?%+卡），且第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，

所以C與=。，解得”=10,

取x=l,所以所有項(xiàng)的系數(shù)之和為3"

5.（2024?柳州、梧州大聯(lián)考）已知（2-x>（2x+l）5=ao+aix+a”2+a3x3+a4/+a5x5

-\~aex6,則ao+a6=（）

A.34B.30C.-34D.-30

答案D

5rr5r

解析令x=0,得ao=2,（2x+Ip的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+]=C^2x）--l=2-C^

丁，r=0,1,2,3,4,5,

令r=0,則TinZSCgx5：?2%5,

故<26=—1X25=-32,

所以ao+tZ6=-30.

6.在（x—（x+3）的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

A1515「5「5

ALZC.—2D，2

答案A

解析原式=x[—+3卜一日，①

而Q一口的通項(xiàng)為Tk+1=[~2）Cg/-2與

7

當(dāng)6—2k=-1時(shí)，左=14Z,

故①式中的前一項(xiàng)不會(huì)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)；

當(dāng)6—2左=0,即左=3時(shí)，可得①式中的后一項(xiàng)滿足題意，

此時(shí)原式常數(shù)項(xiàng)為3X

7.（多選）（2024.青島模擬）在0—3的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（）

A.常數(shù)項(xiàng)是1120

B.第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等

C.各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256

D.各項(xiàng)的系數(shù)之和為256

答案AC

解析根據(jù)二項(xiàng)式定理，［x—3的展開(kāi)式的通項(xiàng)為A+1=CS28F（—1）快8-2**=0,

1,2,…，8.

對(duì)于A,令8—2左=0,得左=4,

則常數(shù)項(xiàng)為C貶4（—1）4=1120,故A正確;

對(duì)于B,第四項(xiàng)的系數(shù)為C328—3（—1）3=—1792,第六項(xiàng)的系數(shù)為CQ8-5（—1）5=

-448,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,因?yàn)椤?8,所以各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為28=256,故C正確；

對(duì)于D,令x=l,各項(xiàng)的系數(shù)之和為1,故D錯(cuò)誤.

/I的展開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)

8.（2024?廈門質(zhì)檢）在|

式中含％2項(xiàng)的系數(shù)為.

答案70

解析由題目條件，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得”=8.

通項(xiàng)Tr+l=C§X8-

3

令8—y=2,解得r=4.

；?展開(kāi)式中含％2項(xiàng)的系數(shù)為（一1尸盤=70.

9.（2024?遼寧名校聯(lián)考）（第一2尸的展開(kāi)式中第二個(gè)有理項(xiàng)為.

答案1680

解析（第一2）7的展開(kāi)式的通項(xiàng)

Tk+i=C4部廠.（—2/

7

=C&37（—2）”=0,1,2,3,4,5,6,7）,

要使第k+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，

7—左

則與一GZ,則人可取1,4,7,

所以(第一2)7的展開(kāi)式中第二個(gè)有理項(xiàng)為

7-4

C13-(-2)4=35X3X16=1680.

10.設(shè)a=3"+C3「i+C汐廠2_]---HC尸3,則當(dāng)n=2024時(shí)，a除以15所得余數(shù)

為.

答案0

解析：C93"+CB"-1+C23『2-------pCT匕+C^3°=(3+1)〃=4",

a=4/,—1,

當(dāng)“=2024時(shí)，tz=42024-l=(15+l)1012-l,

W(15+1)1012-1=C?012151012+C1012151011+-+C181U5,

故此時(shí)。除以15所得余數(shù)為0.

(\

3廠1n

11.已知在勺關(guān)一'—的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).

、2版

⑴求n；

(2)求含f的項(xiàng)的系數(shù).

解(1)通項(xiàng)為

???第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，

n—2丫

.?"=5時(shí)，有一g—=0,即“=10.

n—9r1

(2)令一y-=2,得「=手〃一6)

=^X(10—6)=2,

.?.含x2的項(xiàng)的系數(shù)為

12.(2024.武漢質(zhì)檢)在①只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，②第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)相等，③所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為2R這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面

(橫線處)問(wèn)題中，解決下面兩個(gè)問(wèn)題.

已知(21一lyuao+aixi+air+GxSH-----Fa/MSeN*),若的展開(kāi)式中，

(1)求〃的值；

(2)求|ai|+㈤+|a31T-----卜|明的值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解(1)選擇條件①：

若(2x—l)"的展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則卷=5.所以”=10.

選擇條件②：

若(2x—1)〃的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，Cl=Cl

所以n=lQ.

選擇條件③：

若(2x—1尸的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為