第2講計數(shù)原理、隨機變量、數(shù)學歸納法專題八

附加題板塊三專題突破核心考點[考情考向分析]1.考查分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理與排列、組合的簡單應用，B級要求.2.考查n次獨立重復試驗的模型及二項分布、離散型隨機變量的數(shù)學期望與方差，B級要求.3.考查數(shù)學歸納法的簡單應用，B級要求.熱點分類突破真題押題精練內容索引熱點分類突破例1

(2018·蘇州調研)已知fn(x)＝

，n∈N*.(1)當a＝1時，求f5(x)展開式中的常數(shù)項；熱點一計數(shù)原理與二項式定理解答(2)若二項式fn(x)的展開式中含有x7的項，當n取最小值時，展開式中含x的正整數(shù)次冪的項的系數(shù)之和為10，求實數(shù)a的值.解答涉及二項式定理的試題要注意以下幾個方面：(1)某一項的二項式系數(shù)與這一項的系數(shù)是兩個不同的概念，必須嚴格加以區(qū)別.(2)根據(jù)所給式子的結構特征，對二項式定理的逆用或變用，注意活用二項式定理是解決二項式問題應具備的基本素質.(3)關于x的二項式(a＋bx)n(a，b為常數(shù))的展開式可以看成是關于x的函數(shù)，且當x給予某一個值時，可以得到一個與系數(shù)有關的等式，所以，當展開式涉及到與系數(shù)有關的問題時，可以利用函數(shù)思想來解決.思維升華解答跟蹤演練1

(2018·江蘇丹陽高級中學期中)設n≥3，n∈N*，在集合{1，2，…，n}的所有元素個數(shù)為2的子集中，把每個子集的較大元素相加，和記為a，較小元素之和記為b.(1)當n＝3時，求a，b的值；解當n＝3時，集合{1，2，3}的所有元素個數(shù)為2的子集為{1，2}，{1，3}，{2，3}，所以a＝2＋3＋3＝8,b＝1＋1＋2＝4.證明證明當n≥3，n∈N*時，依題意，＝2×1＋3×2＋4×3＋…＋(n－1)×(n－2)＋n×(n－1).熱點二隨機變量及其概率分布解答例2

(2018·南京師大附中考前模擬)如圖，設P1，P2，…，P6為單位圓上逆時針均勻分布的六個點.現(xiàn)任選其中三個不同點構成一個三角形，記該三角形的面積為隨機變量S.(如△P1P4P5)，共6×2＝12種，解答(2)求S的概率分布及數(shù)學期望E(S).求解一般的隨機變量的數(shù)學期望的基本方法先根據(jù)隨機變量的意義，確定隨機變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出概率分布，根據(jù)數(shù)學期望公式計算.思維升華解答跟蹤演練2

(2018·南通、徐州、揚州等六市模擬)在某公司舉行的年終慶典活動中，主持人利用隨機抽獎軟件進行抽獎：由電腦隨機生成一張如圖所示的3×3表格，其中1格設獎300元，4格各設獎200元，其余4格各設獎100元，點擊某一格即顯示相應金額.某人在一張表中隨機不重復地點擊3格，記中獎的總金額為X元.(1)求概率P(X＝600)；解答(2)求X的概率分布及數(shù)學期望E(X).解X的所有可能值為300,400,500,600,700.∴X的概率分布為熱點三數(shù)學歸納法解答(1)求a1,a2,a3的值；解a1＝2,a2＝4,a3＝8.解答(2)猜想數(shù)列{an}的通項公式，并證明.解猜想：an＝2n(n∈N*).證明如下：①當n＝1時，由(1)知結論成立；

②假設當n＝k(k∈N*，k≥1)時結論成立，所以ak＋1＝2k＋1，故n＝k＋1時結論也成立.由①②得，an＝2n，n∈N*.在數(shù)學歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可.在較復雜的式子中，注意由n＝k到n＝k＋1時，式子中項數(shù)的變化應仔細分析，觀察通項.同時還應注意，不用假設的證法不是數(shù)學歸納法.思維升華解答(1)求Sn；解答(2)若

＝an2＋bn＋c對n＝2,3,4成立，求實數(shù)a，b，c的值；證明(3)對(2)中的實數(shù)a，b，c用數(shù)學歸納法證明：對任意n≥2且n∈N*,

＝an2＋bn＋c都成立.證明①當n＝2時，由(2)知等式成立；②假設n＝k(k∈N*，且k≥2)時，等式成立，等式也成立；綜上可得，對任意n≥2且n∈N*，真題押題精練解答解答＝3n(1＋3)n－1＝3n·4n－1(n∈N*).所以f(n)是關于n(n∈N*)的遞增函數(shù).又因為f(n)＝3840＝3×5×44＝f(5)，所以當且僅當n＝5時才滿足條件，即n＝5是方程f(n)＝3840的唯一解.解答2.(2018·江蘇)設n∈N*，對1,2，…，n的一個排列i1i2…in，如果當s＜t時，有is＞it，則稱(is，it)是排列i1i2…in的一個逆序，排列i1i2…in的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序數(shù).例如：對1,2,3的一個排列231，只有兩個逆序(2,1)，(3,1)，則排列231的逆序數(shù)為2.記fn(k)為1,2，…，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個數(shù).(1)求f3(2)，f4(2)的值；解記τ(abc)為排列abc的逆序數(shù)，對1,2,3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3，所以f3(0)＝1，f3(1)＝f3(2)＝2.對1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，將數(shù)字4添加進去，4在新排列中的位置只能是最后三個位置.因此，f4(2)＝f3(2)＋f3(1)＋f3(0)＝5.解答(2)求fn(2)(n≥5)的表達式(用n表示).解對一般的n(n≥4)的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個：12…n，所以fn(0)＝1.逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個數(shù)字調換位置得到的排列，所以fn(1)＝n－1.為計算fn＋1(2)，當1,2，…，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將n＋1添加進原排列，n＋1在新排列中的位置只能是最后三個位置.因此，fn＋1(2)＝fn(2)＋fn(1)＋fn(0)＝fn(2)＋n.證明3.已知實數(shù)數(shù)列{an}滿足：a1＝3，an＝·(an－1＋2)，n≥2.證明：當n≥2時，{an}是單調減數(shù)列.解答4.(2018·江蘇鹽城中學模擬)某樂隊參加一戶外音樂節(jié)，準備從3首原創(chuàng)新曲和5首經(jīng)典歌曲中隨機選擇4首進行演唱.(1)求該樂隊至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率；解答(2)假定演唱一首原創(chuàng)新曲觀眾與樂隊的互動指數(shù)為a(