第1講直線與圓專題五

解析幾何板塊三專題突破核心考點[考情考向分析]高考考查重點是求直線和圓的方程、直線間的平行和垂直關(guān)系、距離、直線與圓的位置關(guān)系，此類問題難度屬于中檔，偶爾出現(xiàn)解答題.其中直線方程和圓的標準方程與一般方程是C級要求.熱點分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點分類突破例1

(1)在平面直角坐標系xOy中，過點M(1,0)的直線l與圓x2＋y2＝5交于A，B兩點，其中點A在第一象限，且

，則直線l的方程為____________.熱點一直線、圓的方程x－y－1＝0解析答案解得x1＝2，代入可得y1＝±1，又點A在第一象限，故A(2,1)，由點A和點M的坐標可得直線AB的方程為x－y－1＝0.(2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x＝－2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長為

，且與直線l2：2x－

－4＝0相切，則圓M的方程為______________.解析答案(x＋1)2＋y2＝4∴圓M的方程為(x＋1)2＋y2＝4.求具備一定條件的直線或圓的方程時，其關(guān)鍵是尋找確定直線或圓的兩個幾何要素，待定系數(shù)法也是經(jīng)常使用的方法，解題時要注意平面幾何知識的應(yīng)用.思維升華解析答案x±3y＋4＝0跟蹤演練1

(1)過點P(－4,0)的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B兩點，若點A恰好是線段PB的中點，則直線l的方程為____________.解析設(shè)AB的中點為D，則CD⊥AB，設(shè)CD＝d，AD＝x，則PA＝AB＝2x，在Rt△ACD中，由勾股定理得d2＋x2＝r2＝5，

①在Rt△PDC中，由勾股定理得d2＋9x2＝CP2＝25，

②易知直線l的斜率一定存在，設(shè)為k，則l：y＝k(x＋4)，即為x±3y＋4＝0.解析答案(2)若圓上一點A(2,3)關(guān)于直線x＋2y＝0的對稱點仍在圓上，且圓與直線x－y＋1＝0相交的弦長為

，則圓的方程為______________________________________________.(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244解析設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點A(2,3)關(guān)于直線x＋2y＝0的對稱點仍在圓上，說明圓心在直線x＋2y＝0上，即a＋2b＝0，

①且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②所以所求圓的方程為(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.熱點二直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系解答例2

(2018·江蘇儀征中學(xué)檢測)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點A(－1，0)，

B(1，2).(1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點，MN＝AB，求直線l的方程；解圓C的標準方程為(x－2)2＋y2＝4，所以圓心C(2，0)，半徑為2.設(shè)直線l的方程為x－y＋m＝0,解得m＝0或m＝－4，故直線l的方程為x－y＝0或x－y－4＝0.解答(2)在圓C上是否存在點P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求點P的個數(shù)；若不存在，請說明理由.解假設(shè)圓C上存在點P，設(shè)P(x，y)，則(x－2)2＋y2＝4，PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4,(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法：①幾何法：利用d與r的關(guān)系；②代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷；③點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.(2)判斷圓與圓的位置關(guān)系，一般用幾何法，其步驟為：①確定兩圓的圓心坐標和半徑長；②利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d，r1＋r2，|r1－r2|；③比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論.思維升華解析答案跟蹤演練2

(1)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若AB＝

，則圓C的面積為____.4π所以圓C的面積為π(a2＋2)＝4π.解析答案(2)(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(x＋1)2＋y2＝2，點A(2,0)，若圓C上存在點M，滿足MA2＋MO2≤10，則點M的縱坐標的取值范圍是______________.解析設(shè)點M(x，y)，因為MA2＋MO2≤10，所以(x－2)2＋y2＋x2＋y2≤10,即x2＋y2－2x－3≤0，因為(x＋1)2＋y2＝2，所以y2＝2－(x＋1)2，所以x2＋2－(x＋1)2－2x－3≤0，熱點三直線、圓的綜合問題解答例3

如圖所示，已知圓A的圓心在直線y＝－2x上，且該圓存在兩點關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱，又圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，過點B(－2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P.(1)求圓A的方程；∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20.解答(2)當(dāng)MN＝

時，求直線l的方程；解當(dāng)直線l與x軸垂直時，易知x＝－2符合題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，連結(jié)AQ，則AQ⊥MN，∴直線l的方程為3x－4y＋6＝0，∴所求直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.解答當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，直線、圓的綜合問題包括和圓有關(guān)的定點定值問題、范圍問題及探究性問題.解決的基本思路有兩種：代數(shù)法和幾何法，解題時要注意充分利用方程、向量及圖形的特征.思維升華解答跟蹤演練3

(2016·江蘇)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2,4).(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標準方程；解圓M的方程化為標準形式為(x－6)2＋(y－7)2＝25，圓心M(6,7)，半徑r＝5，由題意，設(shè)圓N的方程為(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0).解得b＝1，∴圓N的標準方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1.解答(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BC＝OA，求直線l的方程；解∵kOA＝2，∴可設(shè)l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.由題意，圓M的圓心M(6,7)到直線l的距離為∴直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.解答又∵P，Q為圓M上的兩點，∴PQ≤2r＝10.真題押題精練答案解析3解析設(shè)A(a,2a)，則a＞0.又B(5,0)，故以AB為直徑的圓的方程為(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0.解得a＝3或a＝－1.又a＞0，∴a＝3.2.圓心在直線y＝－4x上，且與直線x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)的圓的標準方程為____________________.答案解析(x－1)2＋(y＋4)2＝8答案解析解答(1)求圓M的方程；故圓M的方程為(x－1)2＋y2＝1.解答(2)設(shè)A(0，t)，B(