第二章函數(shù)及其應用第一節(jié)函數(shù)及其表示內(nèi)容索引必備知識·自主學習核心考點·精準研析核心素養(yǎng)測評【教材·知識梳理】1.函數(shù)的概念函數(shù)集合AA是一個_________對應法則f對A中的_____數(shù)x，按照確定的法則f，都有_____確定的數(shù)y與它對應名稱這種_________叫做集合A上的一個函數(shù)記法y=f(x)，x∈A非空數(shù)集唯一對應關(guān)系任意2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y=f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的_______；與x的值相對應的y值叫做_______，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的_____.(2)函數(shù)的三要素：_______、_________和_____.(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有_______、_______和_______.定義域函數(shù)值值域定義域?qū)▌t值域解析法圖象法列表法3.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因_________不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的_____，其值域等于各段函數(shù)的值域的_____，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).對應關(guān)系并集并集【常用結(jié)論】1.函數(shù)的相關(guān)結(jié)論(1)相等函數(shù)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等.(2)與x軸垂直的直線和一個函數(shù)的圖象至多有1個交點.2.簡單函數(shù)定義域的類型(1)f(x)為分式型函數(shù)時，定義域為使分母不為零的實數(shù)集合.(2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時，定義域為使被開方式非負的實數(shù)的集合.(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合.(4)若f(x)=x0，則定義域為{x|x≠0}.(5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1.(6)正切函數(shù)y=tanx的定義域為.【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y=1與y=x0是同一個函數(shù). (

)(2)對于函數(shù)f:A→B,其值域就是集合B. (

)(3)f(x)=是一個函數(shù). (

)(4)若兩個函數(shù)的定義域與值域相等,則這兩個函數(shù)相等. (

)(5)函數(shù)y=f(x)的圖象可以是一條封閉的曲線. (

)提示:(1)×.函數(shù)y=1的定義域為R,而y=x0的定義域是{x|x≠0},兩者定義域不同,所以不是同一個函數(shù).(2)×.由函數(shù)定義知,值域為集合B的子集.故錯誤.(3)×.因為滿足f(x)=的x不存在,所以,它不是一個函數(shù).(4)×.當兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系相同時才是相等函數(shù),定義域與值域相同但對應關(guān)系不一定相同.故錯誤.(5)×.圖象如果是一條封閉的曲線,則必有一個自變量x的值對應兩個y值,所以它不是函數(shù)的圖象.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1忽視分母不等于零考點一、T1,32忽略零的零次冪沒意義考點一、T43沒考慮新元的取值范圍考點二、T14忽視函數(shù)的定義域考點二、T25分段函數(shù)解析式的層次分辨不清考點三、角度3【教材·基礎(chǔ)自測】1.(必修1P33練習BT3改編)下列哪個函數(shù)與y=x相同(

)A.y= B.y=C.y= D.y=()3【解析】選D.y=x的定義域為{x|x∈R},而y=的定義域為{x|x∈R且x≠0},y=的定義域為{x|x∈R,且x>0},排除A,B;y==|x|的定義域為{x|x∈R},對應關(guān)系與y=x的對應關(guān)系不同,排除C;而y=()3=x的定義域與對應關(guān)系與y=x均相同.2.(必修1P63習題2-2AT8改編)函數(shù)y=ax2-6x+7a(a≠0)的值域為[-2,+∞),則a的值為(

)A.-1 B.- C.1 D.2【解析】選C.由函數(shù)y=ax2-6x+7a(a≠0)的值域為[-2,+∞)知a>0,且

=-2,即7a2+2a-9=0,所以a=1或a=-(舍去).3.(必修1P38計算機上的練習T1改編)已知f(x)=3x3+2x+1,若f(a)=2,則f(-a)為

(

)A.-2 B.0 C.1 D.-1【解析】選B.因為f(x)=3x3+2x+1,所以f(a)+f(-a)=3a3+2a+1+3(-a)3+2(-a)+1=2,所以f(-a)=2-f(a)=0.4.(必修1P41練習AT3改編)已知f(x)=,若f(-2)=0,則a的值為____.

【解析】因為f(x)=,所以f(-2)==0,解得a=1.答案:15.(必修1P42練習BT3改編)已知函數(shù)f(x)=3x2-5x+2,若f(a+3)>f(a),則a的取值范圍為________.

【解析】依題意得:3(a+3)2-5(a+3)+2>3a2-5a+2,即18a+12>0,所以a>-.答案:a>-

考點一函數(shù)的定義域

【題組練透】

1.函數(shù)y=

的定義域是 (

)A.(-1,3) B.(-1,3]C.(-1,0)∪(0,3)

D.(-1,0)∪(0,3]2.若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2020],則函數(shù)g(x)=f(x+1)(x≠1)的定義域是(

)A.[-1,2019] B.[-1,1)∪(1,2019]C.[0,2020] D.[-1,1)∪(1,2020]3.(2020·撫州模擬)若函數(shù)f(x)的定義域為[0,6],則函數(shù)

的定義域為 (

)A.(0,3) B.[1,3)∪(3,8]C.[1,3) D.[0,3)4.函數(shù)f(x)=的定義域為____________. 世紀金榜導學號

【解析】1.選D.由題意得解得-1<x≤3且x≠0,所以函數(shù)的定義域為(-1,0)∪(0,3].2.選B.由0≤x+1≤2020,得-1≤x≤2019,又因為x≠1,所以函數(shù)g(x)的定義域是[-1,1)∪(1,2019].3.選D.因為函數(shù)f(x)的定義域為[0,6],所以0≤2x≤6,解得0≤x≤3.又因為x-3≠0,所以函數(shù)的定義域為[0,3).4.由已知得解得x>2且x≠3且x≠4,所以函數(shù)的定義域為(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞).答案:(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞)【思維多變】題2中,若將“函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2020]”改為“函數(shù)y=f(x-1)的定義域是[0,2020]”,則函數(shù)g(x)=f(x+1)(x≠1)的定義域為__________.

【解析】由0≤x≤2020,得-1≤x-1≤2019,再由-1≤x+1≤2019,解得-2≤x≤2018,又因為x≠1,所以函數(shù)g(x)的定義域是[-2,1)∪(1,2018].答案:[-2,1)∪(1,2018]【規(guī)律方法】1.具體函數(shù)y=f(x)的定義域序號f(x)解析式定義域1整式R2分式分母≠03偶次根式被開方數(shù)≥04奇次根式被開方數(shù)∈R5指數(shù)式冪指數(shù)∈R6對數(shù)式真數(shù)>0;底數(shù)>0且≠17y=x0底數(shù)x≠02.抽象函數(shù)(沒有解析式的函數(shù))的定義域解題方法:精髓是“換元法”,即將括號內(nèi)看作整體,關(guān)鍵是看求x,還是求整體的取值范圍.(1)已知y=f(x)的定義域是A,求y=f(g(x))的定義域:可由g(x)∈A,求出x的范圍,即為y=f(g(x))的定義域.(2)已知y=f(g(x))的定義域是A,求y=f(x)的定義域:可由x∈A求出g(x)的范圍,即為y=f(x)的定義域.【秒殺絕招】

1.排除法解T1,可依據(jù)選項的特點,將0,3代入驗證.2.轉(zhuǎn)化法解T4,將二次函數(shù)的定義域轉(zhuǎn)化為二次不等式的解集,利用三個二次的關(guān)系解題.考點二求函數(shù)解析式

【典例】1.已知

=lnx,則f(x)=________.

2.已知

=x2+x-2,則f(x)=________.

3.已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,則f(x)=________.

4.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且f(x)= ,則f(x)=________.

【解題導思】序號聯(lián)想解題1由,想到換元法2由,想到配湊法3由f(x)是二次函數(shù),想到待定系數(shù)法4由,想到消去(也稱解方程組)法【解析】1.設(shè)t=(t>1),則x=,代入=lnx得f(t)=ln,所以f(x)=ln(x>1).答案:ln(x>1)2.因為=x2+x-2=-2,又因為x+≤-2或x+≥2,所以f(x)=x2-2(x≤-2或x≥2).答案:x2-2(x≤-2或x≥2)

3.設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1,即2ax+a+b=x-1,所以即所以f(x)=x2-x+2.答案:x2-x+24.在f(x)= 中,將x換成,則換成x,得f=2f(x)·-1,由解得答案:【規(guī)律方法】函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型,可用待定系數(shù)法.(2)換元法:已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式,可用換元法,此時要注意新元的取值范圍.(3)配湊法:由已知條件f(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)消去(方程組)法:已知f(x)與f

或f(-x)之間的關(guān)系式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組,通過解方程組求出f(x).【變式訓練】1.已知f(

+1)=x+2

,則f(x)=________.

【解析】令+1=t(t≥1),則x=(t-1)2,代入原式得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1).答案:x2-1(x≥1)2.已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,則f(x)=________.

【解析】設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),則3f(x+1)-2f(x-1)=ax+5a+b,所以ax+5a+b=2x+17對任意實數(shù)x都成立,所以解得所以f(x)=2x+7.答案:2x+7考點三分段函數(shù)及其應用

命題精解讀考什么:(1)考查求函數(shù)值、解方程、解不等式等問題.(2)考查數(shù)學運算、數(shù)學抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).怎么考:基本初等函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、不等式交匯考查函數(shù)的概念、圖象等知識.新趨勢:以基本初等函數(shù)為載體,與其他知識交匯考查為主.學霸好方法1.求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值:當出現(xiàn)f(f(x))的形式時,應從內(nèi)到外依次求值.(2)求自變量的值:依據(jù)題設(shè)條件,在各段上得出關(guān)于自變量的方程,然后求出相應自變量的值.2.交匯問題:與方程、不等式交匯時,要依據(jù)“分段問題,分段解決”進行討論,最后將結(jié)果并起來.【命題角度1】分段函數(shù)的求值問題【典例】已知f(x)=

則 的值為 (

)A.

B.

C.-1

D.1【解析】選D.【解后反思】如何求分段函數(shù)的函數(shù)值?提示:分段函數(shù)求函數(shù)值時,要根據(jù)自變量選取函數(shù)解析式,然后再代入.【命題角度2】分段函數(shù)與方程問題【典例】已知函數(shù)f(x)=

且f(a)=-3,則f(6-a)= 世紀金榜導學號(

)【解析】選A.當a≤1時不符合題意,所以a>1,即-log2(a+1)=-3,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=.【解后反思】求分段函數(shù)含有參數(shù)的函數(shù)值,如何列方程?提示:列方程時,若自變量的范圍確定時,則直接代入;若不確定,則需要分類討論.【命題角度3】分段函數(shù)與不等式問題【典例】設(shè)函數(shù)f(x)=

則滿足f(x)+f

>1的x的取值范圍是________. 世紀金榜導學號

【解析】令g(x)=f(x)+f,當x≤0時,g(x)=f(x)+f=2x+;當0<x≤時,g(x)=f(x)+f=2x+x+;當x>時,g(x)=f(x)+f=2x-1,寫成分段函數(shù)的形式:g(x)=f(x)+f=函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,0],三段區(qū)間內(nèi)均連續(xù)單調(diào)遞增,且可知x的取值范圍是.答案:

【解后反思】如何求解由分段函數(shù)構(gòu)成的不等式?提示:求解分段函數(shù)構(gòu)成的不等式,關(guān)鍵是確定自變量在分段函數(shù)的哪一段,用對解析式.【題組通關(guān)】【變式鞏固·練】1.設(shè)函數(shù)f(x)=

則f(-2)+f(log212)= (

)A.3

B.6

C.9

D.12【解析】選C.因為函數(shù)f(x)=所以f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3,

則有f(-2)+f(log212)=3+6=9.2.已知函數(shù)f(x