第二章一元二次函數、方程和不等式能力提升測試

本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.（2022?山東日照?二模）若a,b,c為實數，且a<6,c>0,則下列不等關系一定成立的是（）

A.a+c<b+cB.—<—C.ac>bcD.b-a>c

ab

【答案】A

【解析】

【分析】

由不等式的基本性質和特值法即可求解.

【詳解】

對于A選項，由不等式的基本性質知，不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號方

向不變，則。<b=>a+c<b+c,A選項正確；

對于B選項，由不等式的基本性質知,不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號方向改變，若。=-2,

b=-l,則工>1,B選項錯誤；

對于C選項，由不等式的基本性質知，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號方向不變，

0<a<b^>ac<bc,C選項錯誤；

對于D選項，因為avA=>Z?-a>0,c>0,所以無法判斷b-a與。大小，D選項錯誤.

2.（2022?天津市新華中學模擬預測）設xeR,貝上x>l”是<1”的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

尤但工<1不能推出x>l,從而判斷出結論.

XX

【詳解】

X>1時，0<-<1,故充分性成立，

X

-<1,解得：尤<0或X>1,故必要性不成立，

所以“X>1”是“L<1”的充分不必要條件.

X

故選：A

3.(2022?寧夏?銀川一中三模(理))已知2<a<3,-2<b<-l,則2a-6的取值范圍為()

A.(0,2)B.(2,5)C.(5,8)D.(6,7)

【答案】C

【解析】

【分析】

由不等式的性質求解

【詳解】

2<Q<3,-2<b<-1f

故4<2。<6,l<-b<2,得5<2。-6<8

故選：C

4.(2022?湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預測)小李從甲地到乙地的平均速度為。，從乙地到甲地的平均速

度為b(a>b>0),他往返甲乙兩地的平均速度為v,貝|()

B.v=y/ab

c.4^b<v<—D.b<v<y[ab

2

【答案】D

【解析】

【分析】

平均速度等于總路程除以總時間

【詳解】

設從甲地到乙地的的路程為s,從甲地到乙地的時間為力，從乙地到甲地的時間為。則

2s2s2

sv=---__

t,+t

2￡+￡1+1>

abab

2222ab2ab

v=-------->---------=bv二-----二yfab

111111a+b2y[ab

——I————I———+—

abbbab

故選:D.

5.(2022?江蘇南通?模擬預測)當xeR時，不等式尤?一2尤-1-020恒成立，則實數。的取值范圍是()

A.(-oo,-2]B.(-<?,-2)

C.(-8,0]D.(-8,0)

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意，保證當xeR時，不等式/一2》-1-恒成立，只需△=(-+4(l+a)V0,求解即可

【詳解】

由題意，當xeR時，不等式f-Zx-l-aZO恒成立，

故A=(—2)2+4(l+a)V0

解得a<-2

故實數。的取值范圍是(-叫-2]

故選：A

9

6.(2022?福建福建?模擬預測)已知“>0涉>0,且(。-2)3-1)=5，則a+2b的最小值為()

A.3+^iB.8C.4+^^D.10

22

【答案】D

【解析】

【分析】

對方程變形，再利用基本不等式進行求解.

【詳解】

(a-2)(b-l)=；整理為：2ab=5+2(a+2b),由基本不等式得：2M4y號上，即5+2(。+2“W("+，

解得：a+2b>10^a+2b<-2,由于。>0,。>。，所以。+264-2舍去，從而a+2方的最小值是10

故選：D

7.(2015?福建?高考真題(文))若直線2+：=1(。>0,6>0)過點(1,1),貝京+%的最小值等于

ab

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【詳解】

試題分析：：直線2+；=1（a>0，6>0）過點11.11,』=1.則

abQg

a+b=[a+b][-+^]=2+-+->2+2.r^=4,當且僅當°=3=:時取等號.故答案為C.

b）abNab

考點：基本不等式.

8.（2022?北京?北大附中三模）已知。>人>0,下列不等式中正確的是（）

A.—>丁B.ab<b2

ab

〃71c11

C.ci-b-\-------22D.------<------

a—bci—1b—1

【答案】C

【解析】

【分析】

由。>6>0,結合不等式的性質及基本不等式即可判斷出結論.

【詳解】

解：對于選項A,因為。>6>0,0而c的正負不確定，故A錯誤；

ab

對于選項B,因為。>b>0,所以">〃，故B錯誤；

對于選項C,依題意所以〃一匕>0,—^->0,所以〃一/?+—-—>2.（a-b）x—-—=2,故C正確；

a-ba-bVa-b

11

對于選項。，因為1>人-1>-1,一；與丁二正負不確定，故大小不確定，故D錯誤；

a-1b-1

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.（2022.廣東?華南師大附中三模）如果。<。<0,c<d<0,那么下面一定成立的是（）

dc

A.a+d<b+cB.aobdC.ac2>be2D.—<—

aa

【答案】BD

【解析】

【分析】

用不等式的性質推導和取值驗證相結合可解.

【詳解】

取〃=c=—2,Z?=d=—l,則a+d=Z?+c=—3,ac2=-S,bc2=-4,故AC不正確；

因為—a>—6>0,—c>—d>。，所以ac>bd,故B正確；

因為c<d,』<0,所以&<￡,故D正確.

aaa

故選：BD

10.（2022?遼寧?三模）若a>l,b<2,貝U（）

A.a-b>—1B.（a-1）（6-2）<0

C.aH------^的最小值為2D.--

a-12-b

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用不等式的性質可判斷ABD選項；利用基本不等式可判斷C選項.

【詳解】

因為人<2,所以—/?>—2,又a>l,所以a—》>—1,A正確；

因為a>l,b<2,貝b-2<Q,所以（a—B正確；

因為a>l,所以所以an-------=G_1H---------卜122」（a-1）--------1-1=3,

a-1a-1V'a-1

當且僅當a=2時，等號成立，C不正確；

因為6<2,貝IJ6（6-2）+1=（6-1）220,所以，Z?（2-Z?）<1,

因為2-匕>0,所以JyNb,D正確.

故選：ABD.

a+b

11.（2022.江蘇.阜寧縣東溝中學模擬預測）設a,6為兩個正數，定義a,b的算術平均數為A（a,b）=

幾何平均數為G（a,=上個世紀五十年代，美國數學家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”,即

Lp（a,b）=￡+"其中P為有理數.下列結論正確的是（）

a+b

A.45（。力）工爪。力）B.4（a,b）<G（a,b）

C.￡2（?,/?）<D.4+i（a,b）<4（a,〃）

【答案】AB

【解析】

【分析】

根據基本不等式比較大小可判斷四個選項.

【詳解】

T/K\1

對于A,4.5（。，0）=7—「=癡4L1g力）=.,當且僅當〃時，等號成立，故A正確；

區(qū)+為2

,2_2ab2b

對于B,L°^b）=Ty=~^<-^==4^b=G（a,b）,當且僅當“=6時，等號成立，故B正確;

—+—

/+/+2。/?(。+/7)2ci+b

對于C,L(a,b)=-------------------->------------------=-----------=-=------,當且僅當a=Z?時，等

22(〃+。)2(〃+/?)2(〃+加2

號成立，故C不正確；

對于D,當〃=1時，由C可知，L,a,b）29=k（a,b）,故D不正確.

故選：AB

12.（2022?湖南師大附中三模）若a>0,b>Q,-+b=2,則旦+g的可能取值有（）

aa+1b

A6「5「4-3

A.—B.—C.—D.一

5432

【答案】CD

【解析】

【分析】

利用題設條件，將式子化成-下+?，觀察得出3-6+6=3,之后利用乘以1不變，結合基本不等式求得其

3-bb

范圍，進而得到正確答案.

【詳解】

—____I__________I______I___(3-b+b)

原式14b(2-/?)+1b3—bb33-bb

---r1

43

（當且僅當6=；,a=2時取等號）.

故選：CD.

三.填空題本題共4小題，每小題5分，共20分

4

13.（2022?重慶?模擬預測）已知x>0,則2龍+7-；的最小值為

【答案】3

【解析】

【分析】

將原式變形為2x+l+1-1,然后利用基本不等式求最小值.

2x+l

【詳解】

44I4-1

解：2x+-------=2尤+1+^—-l>2J（2x+l）-----------1=3,當且僅當2x+l=2,即％=—時，等號成立.

2x+l2x+lV2x+l2

故答案為：3.

14.（2022.海南華僑中學模擬預測）不等式加+x+l>0的解集為貝梅=

【答案】-5##-0.5

【解析】

【分析】

利用一元二次方程根與系數的關系可求得機的值.

【詳解】

由已知，關于X的二次方程內2+x+i=o的兩根分別為機、1,且“<0,

Q+2=0a=—2

所以，L1,解得，1

lm=-m=——

.aI2

故答案為：

15.（2022.江西.模擬預測（理））已知命題p："Vxe[l,4],利42/+6”為真命題，則實數。的最大值是

【答案】4欄

【解析】

【分析】

分離參數。，將問題轉化為。4[2卜+；],然后利用均值不等式求出最小值即可得答案.

【詳解】

解：由題意，V^e[l,4],0<2口+。恒成立，

因為尤尤C=2jL當且僅當x=6時等號成立，

所以a《46，即”的最大值是46.

故答案為：473.

2x2

16.(2022?天津三模)已知正實數x,y滿足：x92+xy+—=2,則3x+2y+一的最小值為.

yy

【答案】4A/2

【解析】

【分析】

x+y=m

根據/+沖+￡=2,可得(x+y)[x+；]=4,再令'

24,再利用基本不等式即可得出答案.

x+—=—

ym

【詳解】

2x

解：因為父+孫+—=2,

y

2x

所以/+盯+—+2=4,

y

2

所以x(x+y)+—(x+y)=4,

y

所以(x+y)[+：]=4,

x+y=m

令24,

x+—=——

ym

則3尤+2y+二=2(x+y)+[x+二]=2m+—>2.2m--=2瓜=4近,

yI>Jm'm

4

當且僅當2機=—即〃z=后時取等號,

m

所以3x+2y+j的最小值為4VL

故答案為：472.

四.解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演

算步驟

17.(2022?河北保定?高二期末)已知a+10%=l(a>0,%>。).

⑴求ab的最大值；

(2)求，+J的最小值.

ab

【答案】⑴《

40

(2)11+2A/10

【解析】

【分析】

(1)直接利用基本不等式求解即可；

(2)利用“1”的代換，將原式變形后再利用基本不等式求解即可.

(1)

因為a>0,b>0,所以a+106=lN2jl0ab,

所以abW,

40

當且僅當。=106,即。=16=上時，等號成立，

220

所以"的最大值為々.

40

(2)

因為a+10b=l(a>0,Z?>0),

所以工+：=(4+106)4+w=11+四+B11+2^^|=11+2廂,

當且僅當則=?,即q=回二18=10_布時,等號成立，

ab990

所以1g的最小值為11+2JT5.

18.(湖北省黃岡市20212022學年高一下學期期末數學試題)已知函數〃"=加+法-a+2

(1)若。=1,b=4解關于％的不等式了(力>0；

⑵若關于x的不等式〃x)>0的解集為(-1,3),求實數a,人的值.

［答案］⑴尤++8)

(a=-1

⑵/0

［6=2

【解析】

【分析】

(1)根據二次不等式的求法求解即可；

(2)根據二次不等式的解集與系數的關系列式求解即可

(1)

當a=l,Z?=T時，f(x)=x1—4x+1,

由/(%)＞。得%2—4兀+1＞。；(%—2)2＞3,

解得工￡卜00,2—石)口(2+石,+8)；

(2)

-1+3=--c_

/\/\Z7CL——1

.一不等式〃力＞0的解集為(T，3),根據題意得。＜0,且_：+2,解得6=2,

-1x3=-----1一

、a

19.(2022?四川巴中?高一期末(理))已知函數〃%)=f+ox—2,/(x)＞0的解集為卜,＜一1或了＞印.

⑴求實數。、匕的值；

⑵若xe(0,+?)時，求函數g(X)="?+4的最小值.

【答案】(1)。=一1,b=2

⑵20-1

【解析】

【分析】

(1)分析可知-1、6是方程辦一2=0的兩個根，利用一元二次方程根與系數的關系可求得。、6的值;

(2)求得g(x)=x+：-l,利用基本不等式可求得g(x)在(0,+e)上的最小值.

(1)

解：因為關于無的不等式無2+“無-2＞0的解集為卜|無＜T或無＞印，

fl—〃—2=0[a=—1

所以，-1、6是方程/+奴-2=0的兩個根，所以，-c,解得，c.

[-l-p=-2[b-2

(2)

解：由越忌矢口g(x)=-------=---------=x-\----1，

XXX

因為x＞0,由基本不等式可得g(x)=x+:-122卜=一1=2后一1,

當且僅當x=42時，即.應時，等號成立

X

故函數g(x)的最小值為2四-1.

20.(2022?浙江?鎮(zhèn)海中學高二期末)已知函數/(無)=/—4x+b,若〃x)<0的解集為｛x|l<x<叫.

(1)求6,加的值；

⑵當a為何值時，(a+b)x2+2(a+b)無一1<0的解集為R?

【答案】(1)m=3,6=3

⑵(<-3]

【解析】

【分析】

(1)依題意x=l與工=機為方程Y-4x+8=0的兩根，利用韋達定理得到方程組，解得即可；

[a+b<0

(2)分。+匕=0和a+b<0兩種情況討論，當，+b<0時，需滿足〈A八,即可求出參數的取值范圍;

[A<0

(1)

解：由題意可知，尤2-4尤+匕<0的解集為｛x|l<x<m｝,

所以x=l與x=w為方程了2一4了+6=0的兩根，

fl+m=4fm=3

\l-m=b'j/?=3，

(2)

解：(.+6)12+2(〃+人)％_1<0的解集為R,

①當a+Z?=0時，一1<0的角星集為R,.?.。+3=0,/.tz=-3；

[a+b<0

②當。+》<0時，%=4(。+6)2+4(〃+6)<0'

/.-l<a+b<0,,\-1<?+3<0,:.-4<a<-3

綜上所述，。的取值范圍為(T-3].

21.(2022?廣東?高一期末)設函數/(x)=/-(a+l)x+l.

(1)當aeR+時，求關于x的不等式〃尤)<。的解集.

⑵若g(x)=r-V+1,當xe時，不等式〃x)Vg(x)恒成立，求實數。的取值范圍.

【答案】⑴當。=1時，解集為0;當。<”1時，解集為當">1時，解集為

(2)(-?,3]

【解析】

【分析】

(1)將原不等式可化為，再分由:與1的大小關系討論二次不等式的解集即可；

(2)分離參數得aMx+一二，再構造函數，利用基本不等式求解函數的最值即可

x-1

(1)

〃x)<0,QPar2-(a+l)x+l<0,當°eR+時，原不等式可化為，-￡|(x-l)<0,其解得情況應由:與1的

大小關系確定，

當a=1時，解得xe0；

當a>1時，解得一<x<1；