第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年重慶市北碚區(qū)兼善中學高一（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z=3?i，則z的虛部為(

)A.?1 B.1 C.?i D.32.平面向量a與b的夾角為60°，|a|=2,?|b|=1，則A.3 B.12 C.4 D.3.在△abc中，三邊之比a：b：c=2：3：4，則sinA?2sinBsinC=(

)A.1 B.2 C.?1 D.?24.已知奇函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸為直線x=12，那么f(x)的解析式可以為(

)A.y=sin(3πx) B.y=cos(x+π45.已知平面向量a=(?1,2)，b=(3,4)，則a在b上的投影向量為(

)A.(?35,?45) B.(6.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，點E在邊CD上運動(包含端點)，則AE?BE的取值范圍為A.[22,72]

B.7.△ABC所在平面內(nèi)點O、P，滿足OP=OA+λ(AB+12BC)A.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心8.已知等邊△ABC的邊長為3，點D，E為邊AC的兩個三等分點，點D靠近點A，點G在線段AB上運動，設|BE+DG|的最大值為M，最小值為N，則A.8 B.10 C.19 D.115二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若復數(shù)z=3?5i1?i，則(

)A.|z|=17

B.z在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限

C.z?=4+i

D.復數(shù)ω滿足|ω|=110.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)圖象的一條對稱軸為直線x=πA.將f(x)的圖象向左平移π2個單位長度得到g(x)的圖象

B.方程f(x)=g(x)的相鄰兩個實數(shù)根之差的絕對值為π2

C.函數(shù)y=log12f(x)在區(qū)間(7π811.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c且3bcosC+3ccosB=a2，則下列說法正確的是(

)A.a=3

B.若A=π6，且△ABC有一解，則b的取值范圍為(0,3)∪{6}

C.若C=2A，且△ABC為銳角三角形，則c的取值范圍為(32,33)

D.若A=2C三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(m,3)，b=(m?43,m?1).若a//b13.已知cos(α?π3)=?114.已知ω>0,|φ|<π2，函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1的圖象如圖所示，A，C，D是f(x)的圖象與y=1相鄰的三個交點，與x軸交于相鄰的兩個交點為O，B，若在區(qū)間(a,b)上f(x)有2027個零點，則b?a的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=sin(2x?π6)+12．

(1)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)若f(x)在區(qū)間16.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3(c?bcosA)=bsinA．

(1)求B；

(2)若a=3,b=13，求17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π3)?23cos2x+3．

(1)已知f(α18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosB(cosB+bcosC)+12a=0．

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若b=7，a+c=8，a<c，求sin(2A+C)的值；

(3)設D是邊AC上一點，BD為角平分線且AD=2DC19.(本小題17分)

十七世紀法國數(shù)學家、被譽為業(yè)余數(shù)學家之王的皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”它的答案是：“當三角形的三個角均小于120°時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角120°；當三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點.在費馬問題中所求的點稱為費馬點.已知a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且cosA2cosB=sin(C?π6)，點P為△ABC的費馬點．

(1)求角B；

(2)若b2?(a?c)2=6參考答案1.A

2.D

3.C

4.A

5.B

6.D

7.A

8.B

9.ACD

10.BD

11.ACD

12.2

13.?114.1014π

15.解：(1)函數(shù)f(x)=sin(2x?π6)+12，

由π2+2kπ≤2x?π6≤3π2+2kπ，整理得π3+kπ≤x≤5π6+kπ，(k∈Z)．

所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間[π3+kπ,5π6+kπ]，(k∈Z)．

(2)若f(x)16.解：(1)因為3(c?bcosA)=bsinA，

由正弦定理可得3(sinC?sinBcosA)=sinBsinA，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

可得3sinAcosB=sinBsinA，

又因為sinA>0，

可得tanB=3，

又因為B∈(0,π)，

所以B=π3；

(2)a=3，b=13，

由正弦定理可得asinA=bsinB，

即sinA=ab?sinB=17.解：(1)f(x)=(12sin2x+32cos2x)?3(cos2x+1)+3=12sin2x?32cos2x=sin(2x?π3)，

f(α2+π3)=sin(α+π3)=13，

cos(π3?2α)=cos[π?2(π18.解：(1)由題意及正弦定理可得：cosB(sinCcosB+sinBcosC)+12sinA=0，

可得cosBsin(B+C)+12sinA=0，

在△ABC中，sinA>0，所以cosB=?12，

因為B∈(0,π)，

所以B=23π；

(2)因為b=7，a+c=8，a<c，

由余弦定理得cosB=a2+c2?b22ac=a2+c2?492ac=?12，

所以(a+c)2?ac=49，即ac=15，

所以a=3，c=5，

由正弦定理可得：asinA=bsinB，

可得sinA=asinBb=37sin23π=3314，

因為a<c，則A<C，則A∈(0,π3)，

可得cosA=1?sin2A=1?(319.解(1)∵cosA2cosB=sin(C?π6)=32sinC?12cosC，

∴cosA=3cosBsinC?cosBcosC，

∴cos[π?(B+C)]=3cosBsinC?cosBcosC，

∴?(cosBcosC?sinBsinC)=3cosBsinC?cosBcosC，

又sinC>0，∴sinB=3cosB，

.∴tanB=3，B是三角形ABC內(nèi)角，∴B=60°，

(2)∵B=60°，∴cosB=a2+c2?b22ac=12，

∴a2+c2?b2=ac，又b2?(a?c)2=b2?(a2+c2)+2ac=6，∴ac=6，

設|PA|=x,|