重難點培優(yōu)02抽象函數(shù)的定義域、求值、解析式、單調(diào)性、

奇偶性（對稱）、周期性的應用

目錄

01知識重構?重難梳理固根基....................................................1

02題型精研?技巧通法提能力....................................................3

題型一抽象函數(shù)的定義域（★★★）.....................................................3

題型二抽象函數(shù)的求值問題（★★★★）..................................................4

題型三抽象函數(shù)的解析式（★★★★）...................................................5

題型四抽象函數(shù)的奇偶性（★★★）.....................................................7

題型五抽象函數(shù)的單調(diào)性（定義法）（★★★）...........................................6

題型六抽象函數(shù)的周期性（★★★★★）..................................................8

題型七抽象函數(shù)的對稱性（★★★★★）..................................................9

03實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效...................................................10

檢測I組重難知識鞏固.................................................................10

檢測II組創(chuàng)新能力提升.................................................................13

01

知識重構?重難梳理固根基

【注意：本專題以賦值法為主干去破解相關難題，掌握模型可以快速解題】

1、常見的抽象函數(shù)模型

【反比例函數(shù)模型】

反比例函數(shù)：小+1焉貴，則小）=一，r,）均不堀

【一次函數(shù)模型】

模型1：若/（X士y）=/（x）±/（y）,則/（%）=/⑴%；

模型2：若/（%土y）=/（x）±/（y）,則/（%）為奇函數(shù);

模型3：若f(x+y)=/(x)+/(y)+)n,則/(x)=[/(1)+m\x-m；

模型4：若/(%-y)=/U)-/(y)+貝!|/(x)=[/(l)-/n]x+m；

【指數(shù)函數(shù)模型】

模型1:若/(x+月=，則/(X)=[fdW；/(X)>0

模型2：若/(x—y)=04,則/(x)="(l)r；f(x)>0

f(y)

模型3：若/(x+y)=/(x)/(y)m,則/⑴」，⑴相]；

m

模型4：若/(x-y)=m~~，則/(x)=m,⑴；

/(y)Lm

【對數(shù)函數(shù)模型】

模型1：若/(x")=W(x),則/(x)=〃a)logaX(a>(klLwLx>0)

模型2：若/(盯)=/(%)+/(y),則/(x)=/(a)logaX(a>(lS.wLx,y>0)

模型3：若/(二)=/(%)—/(>),則/(x)=/(a)k)gaX(a>CLi.wl,x,y>0)

模型4：若/(盯)=/(x)+/(y)+m,則/(%)=[/(。)+同電X-機伍>0且片1,了,》>0)

模型5：若/(：)=/(》)一/(30+機，則/(%)=[/⑷一向log”x+加>0且wl,x,y>0)

【塞函數(shù)模型】

模型1：若/(孫)=/(%)/("則/(%)=/(。產(chǎn)，(。>0且wl)

模型2：若/申則/(x)=〃a產(chǎn)"(。>0且#1,"0"3m0)

代入/(a)則可化簡為塞函數(shù)；

【正弦函數(shù)模型】

對于正弦函數(shù)/(x)=sin近，與其對應的抽象函數(shù)為/(x+y)/(x—)0=/(%)—尸(田

注：此抽象函數(shù)對應于正弦平方差公式：sin26Z-sin2(3=sin(a+/7)sin(6z-/7)

【余弦函數(shù)模型】

對于余弦型函數(shù)/。)=cos區(qū),涉及2種余弦的和差化積公式

八一八八a+Ba-B

1、公式一：COS6lf+cosp=2cos-----cos-----

22

其抽象函數(shù)模型是：+=

.門cos(cr+S')+cos(cr-B)

2、公式二：cos(zcos/?=--——匕彳~-———

其抽象函數(shù)模型是：2/(x)/(y)=/(x+y)+f(x-y)

3、若/0+丁)+/。:一y)=40)/(以/。)不值為0),貝Ij/(x)=xcoswx

K

【正切函數(shù)模型】

模型：若/(x±y)=[(；；)；；(/W(y)w1),則/⑴=tanwx

2、其他技巧

(1)觀察不等式兩端的特點，化為同類函數(shù)；

(2)借助函數(shù)的單調(diào)性，脫掉“/”；

(3)注意定義域及單調(diào)區(qū)間，特別是對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于0.

02

題型精研?技巧通法提能力

?題型一抽象函數(shù)的定義域.

【技巧通法?提分快招】

抽象函數(shù)的定義域的求法

(1)若已知函數(shù)/(x)的定義域為[a,b],則復合函數(shù)/(g(x))的定義域由agg(x)砂求出.

⑵若已知函數(shù)/(g(x))的定義域為[a,b],則/(x)的定義域為g(x)在加時的值域.

注：求函數(shù)的定義域，一般是轉化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結果必須用

集合或區(qū)間來表示.

1.已知函數(shù)f(x)的定義域為(3,5),則函數(shù)/(2x+l)的定義域為()

A.(1,2)B.(7,11)C.(4,16)D.(3,5)

2.已知函數(shù)/'(2x-l)的定義域為[1,4],則函數(shù)f(x)的定義域為()

A.[1,4]B.(1,4)C.[1,7]D.(1.7)

3.（24-25高三下?湖南長沙?月考）已知函數(shù)y=/（x）的定義域和值域分別為[T1]和[5,9],則函數(shù)

y=/（x+l）的定義域和值域分別為（）

A.[0,2]和[6,10]B.[-2,0]和[6,10]

C.[0,2]和[5,9]口.[一2,0]和[5,9]

4.若函數(shù)/（x）的定義域為[-1,3],則函數(shù)/（Y-1）的定義域為（）

A.[-2,2]B.[0,8]

C.[-1,8]D.[0,2]

5.（2024?湖北武漢.二模）已知函數(shù)〃2x+l）的定義域為[-1』），則函數(shù)/。-力的定義域為.

6.（24-25高三上?湖南邵陽?月考）已知函數(shù)'=/\了+1）的定義域是[2,4],則函數(shù)g（x）=肅冷的定

義域為.

?題型二抽象函數(shù)的求值問題?

【技巧通法?提分快招】

一般采用賦值法，0,1,X,-尤是常見的賦值手段，或者是代入……，-L-）,0*」，……等特殊值求解；

1.若對任意的x,yeR,函數(shù)"X）滿足“：y）=〃x）+〃y）,則/⑴=（）

A.6B.4C.2D.0

2.函數(shù)〃%）定義域為（0,+"）,對任意九，,￡（0,小）都有/（孫）=〃力+/3，又/（8）=3,則〃2）=（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2025?黑龍江大慶?模擬預測）已知定義在R上函數(shù)“X）滿足〃%+々）=/（石）/?），若*-1）=；，

則/（4）=（）

A.1B.16C.128D.256

4.（2025?重慶?三模）已知定義在R上的函數(shù)/（X）滿足對任意的a,6wR,/（a+〃6））-b=〃〃a））,〃0）=L

則/⑴=（）

A.-2B.0C.2D.1

5.（2025?廣東深圳?模擬預測）已知函數(shù)滿足：VXER,/（x-l）+6>/（x+5）,/（x+l）-3>/（x-2）,

若/(3)=2,則/(2025)=()

A.2022B.2023C.2024D.2025

?題型三求抽象函數(shù)的解析式?

1.(2025?江西萍鄉(xiāng)?三模)已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足對于任意實數(shù)尤，y均有〃孫)=W(x),且

2f(2)=/(l)+6,則/(2025)=()

A.675B.1350C.2025D.4050

2.(2025?安徽?模擬預測)已知函數(shù)/⑺滿足f(尤+y)=f(x)+/(y)-l,則以下結論第氓的是()

A./(0)=1B./(x)+/(-x)=2C./(x+l)+/(x-l)=/(2x)+lD./(l+x)+/(l-x)=0

3.(24-25高三上?廣東?開學考試)己知函數(shù)滿足=-=則下列結論中正

確的是()

A.=B./(2)=0C.打4)=1D.f(8)=2

4.已知函數(shù)“X)的定義域為R,對于任意實數(shù)x,y滿足〃x+y)=/(x)/(y),且"1)=2,則

組刊/(2024)_

/(1)/(3)7(2023)

A.1012B.2023C.2024D.4046

5.(2025?福建泉州?模擬預測)已知定義在Z上的函數(shù)/(x)滿足/(尤+y)=f(x)+/(y)+2孫-1,且/(2)=7,

貝U()

A./(D=4B.方程/。)=。有解

C./(XT)=/(T)D./(尤+l)=f(x)

6.(2025?遼寧.一模)對任意尤,yeR,都有丁)=尸(同一產(chǎn)(y),且〃y)不恒為0,函數(shù)

8(3”：［/%小)，貝Ug(2)+g(—2)=()

A.0B.2C.4D.6

7.已知函數(shù)的定義域為R,且〃x)―/(y)=〃x+y)+〃x-y),〃l)=l,則下列選項不正確的是()

A.〃。)=2B.〃x)為偶函數(shù)

C./(x)=/(x+6)D.”尤)在區(qū)間［。,4］上單調(diào)遞減

8.已知函數(shù)的定義域為R,且滿足：/(力+/3=2(芝"(寧)，/(1)=-1,"2)=1,則

A./(3)=1

C.為偶函數(shù)D./(x)為奇函數(shù)

?題型四抽象函數(shù)的奇偶性?

【技巧通法?提分快招】

令式子中出現(xiàn)/(X)及/(-X)判定抽象函數(shù)的奇偶性

1.已知函數(shù)＞=/(尤)對任意實數(shù)X,y都滿足2〃x)〃y)=〃x+y)+〃x—y),且/⑴=T,/(0)^0,

則函數(shù)“X)是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

2.(24-25高三上?山東濟寧?期中)已知函數(shù)的定義域為R,滿足〃x+y)-[〃x)+〃y)]=2024,

則下列說法正確的是()

A.〃x)是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

C./(x)+2024是奇函數(shù)D./(x)+2024是偶函數(shù)

3.已知函數(shù)滿足v龍,"R,〃x+y)=/(x)+/(y),/(1)=1,則〃-2)=()

A.0B.1

C.-2D.2

4.(23-24高三上?江蘇揚州?期中)已知/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),且〃力40,則〃力是()

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)D.不能確定

5.(2024?山西.一模)已知函數(shù)“力是定義在｛NXH。｝上不恒為零的函數(shù)，若〃◎)=罕+修，則

()

A./(1)=1B."-1)=1

C."X)為偶函數(shù)D.〃尤)為奇函數(shù)

題型五抽象函數(shù)的單調(diào)性(定義法)

【技巧通法?提分快招】

1、令式子中出現(xiàn)/(玉)-/(%)的變換判定單調(diào)性；

2、單調(diào)性與對稱性(或奇偶性)結合解不等式問題

①/'(x)在R上是奇函數(shù)，且/'(x)單調(diào)遞增n若解不等式/(XJ+/(x2)>0,則有

2+%>0;

y(x)在R上是奇函數(shù)，且/'(X)單調(diào)遞減n若解不等式/(%1)+/(x2)>0,則有

再+%<°；

②/'(尤)在R上是偶函數(shù)，且/'(X)在(0,+8)單調(diào)遞增n若解不等式/(%1)>/(x2),則有M>國(不

變號加絕對值)；

/(X)在R上是偶函數(shù)，且/'(x)在(0,”)單調(diào)遞減n若解不等式/(%1)>/(%2),則有㈤<同(變號

加絕對值)；

③了(%)關于口。)對稱，且/'(x)單調(diào)遞增n若解不等式/(XJ+/(x2)>2/?,則有

xx+x2>2a；

/(X)關于(a,。)對稱，且y(x)單調(diào)遞減n若解不等式/(X1)+/(X2)>2&,則有

%+%〈2。；

④/'(x)關于*對稱，且/(x)在(a，a3)單調(diào)遞增n若解不等式/(%)>/(%),則有歸一。|>昆一。|

(不變號加絕對值)；

心)關于x=a對稱,且力)在(5o)單調(diào)遞減n若解不等式幾)〉A%)，則有/_水退.4

(不變號加絕對值)；

1.已知函數(shù)/(X)的定義域為R,對任意實數(shù)x，y滿足/(x+yXAB+AjO+g.且H=。，當龍〉;時,

/W>0,則下列結論不正確的是()

131

A./(0)=--B./(-1)=-C./'(X)為增函數(shù)D.+5為奇函數(shù)

2.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且/(1)=一2,若〃x)"(y)=f(x+y)+f(x-y),則()

A./(O)=oB."2)=1

C.f(x)為偶函數(shù)D.f(x)為增函數(shù)

3.已知定義域為R的函數(shù)“X)滿足/(x)/(y)=/(x+y),/(x)>0,當尤>0時，/(%)>1.

(1)用定義法證明：/(X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增;

(2)記函數(shù)g(x)=/(x)-苗J,

判斷g(x)的奇偶性，并證明你的結論.

4.設定義在R上的函數(shù)“X)滿足：①對都有〃x+y)=；②當無>0時，/(%)>0；

③不存在xeR,使得|〃x)|=L

⑴求證：/(尤)為奇函數(shù)；

(2)求證：/(尤)在R上單調(diào)遞增；

5.已知定義在(-M)上的函數(shù)〃x)滿足：對Vx,ye(-l,l),都有〃x)+〃y)="需)且當xe(-l,0)

時，/(x)>0.

(D判斷函數(shù)/(x)的奇偶性并用定義證明；

(2)判斷函數(shù)/(x)在(-U)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；

⑶解關于/的不等式/-1+/1J｝。.

?題型六抽象函數(shù)的周期性?

【技巧通法?提分快招】

1、換x為x+T確定周期性.

2、f[x+a)-/(x)-a-/(九+〃)=-jf(x)nT=2〃；

/、k

f(x+4)=/\nT=2〃；(左為常數(shù))；/(%+〃)=/(工+5)=7=|。一4

1.(2024.四川.模擬預測)已知函數(shù)/(%)滿足〃l)=g2〃x)/(y)=〃x+y)+〃x—y),(x,y￡R),則

/(2024)=()

1

A,—2BcD.——

-1-42

2.(2024.福建廈門?一模)已知函數(shù)/(%)的定義域為R,Vx,ywR,/(x+l)/(y+1)=/(x+y)-f(x-y),

若F(0)w0,則/(2024)=()

A.-2B.-4C.2D.4

3.(24-25高三上?廣東廣州?月考)己知函數(shù)f(x)的定義域為R,且+>)+/(%-y)=1/(x)/(y),

2024

/(1)=-2,則￡/“)=()

k=\

A.-4B.4C.0D.-2

4.已知函數(shù)〃x)的定義域為R,且〃a/(y)=〃x+y)+〃x-y),〃l)=l,則下列選項不正確的是()

A.〃。)=2B.〃x)為偶函數(shù)

C./(x)=/(x+6)D.〃尤)在區(qū)間［0,4］上單調(diào)遞減

5.(23-24高三上?安徽?月考)已知函數(shù)“X)的定義域為/，任取x,ye/,當xry時恒有

/(x)/(y)+i

f(x-y)=成立，且存在正數(shù)根使得“〃?)=-!,則/■(2023〃。=()

A.-1B.0C.1D.2

6.(2025?河北保定?一模)已知函數(shù)/(x)的定義域為R"(元)/(y)=[/(言)],-"(三2)『"⑴=1,且

23

y(3x+2)為偶函數(shù)，則￡/出=()

k=l

A.-1B.0C.1D.2

?題型七抽象函數(shù)的對稱性.

【技巧通法?提分快招】

1、對稱軸：f[a-x)=/(a+x)^<f(2a-x)=f(x)=>/(x)關于x=a對稱；

2、對稱中心：/'(°-%)+/'(0+%)=2。或者/'(24-1)+/(%)=2。=>/(X)關于(a,A)對稱；

3、如果/'(x)同時關于x=a對稱，又關于0,c)對稱，則/'(x)的周期T=|a—母

1.已知連續(xù)函數(shù)的定義域為R,若/(x+y)=/(x)+〃y)+2?—2,且/(1)=4,則函數(shù)y=〃x)+x

的圖象的對稱軸為直線()

A.x=-B.x=――C.x=lD.x=—l

22

2.(2024.甘肅慶陽.一模)已知函數(shù)的定義域為R,/(/(x+y))=/(x)+/(y),/(1)=1,則下列結

論錯誤的是()

A./(0)=0B.”X)是奇函數(shù)

D.的圖象關于點[匏對稱

C.”2024)=2024

3.(2024.貴州遵義.二模)已知定義在R上的函數(shù)滿足：/⑴二，且〃x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),

則下列結論正確的是()

A./(0)=0B./⑺的周期為4C.〃2X一1)關于段白寸稱D./⑺在(0,+⑹單調(diào)遞減

4.(2025?青海海東?二模)(多選題)已知函數(shù)/'(x)的定義域為R,對任意尤,yeR,均滿足

-y)-/(x+y)=f{x-l)/(y-1),且/(0)=2,貝|()

A.函數(shù)g(x)=4(x)為偶函數(shù)B.8是f(x)的一個周期

2025

C.的圖象關于點(2025,0)對稱D.E/?=0

i=0

5.(24-25高三上?安徽?期中)(多選題)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：對

/(x+y)/(x-y)=/2(x)-/2(y),且/⑴=2,函數(shù)"3尤+1)為偶函數(shù)，貝|()

A./(0)=0B./(4-^)+/(x)=0

2025

c.y(x)為偶函數(shù)D.伏)=2

k=l

6.(23-24高三下?海南省直轄縣級單位?開學考試)(多選題)已知定義域為R的函數(shù)/(x)對任意實數(shù)X，〉

都有了⑺+“丁戶門苫馬門寫2)，且"0)70,〃1)=1，則下列說法正確的是()

A./(0)=3

B.f(x)=f(-x)

c.函數(shù)〃尤)的圖象關于點g,0)對稱

D./(1)+〃2)++/(2024)=0

03

實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效

?檢測I組重難知識鞏固.

1.(24-25高三上?江蘇揚州?開學考試)已知函數(shù)y=的定義域為[T4],則+的定義域為

y/x-1

()

A.[—5,5]C.(1,5]D.—5,—

2.(24-25高三上?四川南充?開學考試)己知定義在R上的函數(shù)，(x)對任意的實數(shù)都有

“x+y)=/(x)+/(y),貝lj/(ln2025)+/^ln^j=()

A.2025B.-2025C.0D.1

3.(2025?湖北三模)已知定義在正整數(shù)集上的函數(shù)滿足/(x+〃y))=〃x)+y,且有/(1+/(1))=2,

則().

A./(2024)>2024B./(2025)>2025

C./(2025)<2024D.f(2024)<2025

4.已知對于每一對正實數(shù)無，九函數(shù)滿足：/(x)+/(y)=/(x+j)-xy-1,若/⑴=1,則滿足

=的〃為()

A.1B.2C.3D.4

5.已知定義域為R的函數(shù)滿足/(w)=y3〃x)+x3〃y),給出以下結論：①/(0)=0；?f(l)=0；

③=④f(x)是奇函數(shù).所有正確結論的序號是()

A.①②B.①③C.①③④D.①②④

6.(2025?貴州銅仁?模擬預測)設函數(shù)的定義域為R,且〃2x)+/(2y)=〃x+y)〃x-y),若/⑴=1,

且不恒等于。，則”2025)=()

A.-2B.-1C.1D.2

7.(2024?河南?模擬預測)已知函數(shù)/(元)的定義域為R,對于任意實數(shù)x,y滿足

/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),且/(1)=1,則下列結論錯誤的是()

A.〃。)=2B.為偶函數(shù)

C.〃x)為奇函數(shù)D./(2)=-1

8.(24-25高三上?貴州貴陽?月考)若函數(shù)的定義域為R,且〃尤+y)+〃尤-y)=4〃x)〃y),〃l)=；,

2024

則Z/w=()

k=\

A.-B.0C.--D.--

424

9.(2024.廣西南寧.一模)已知函數(shù)/(元)的定義域為R,〃x+y)〃x-y)=/2(x)-r(y),且當x>0時，

/(x)>0,則()

A.〃。)=1B.“X)是偶函數(shù)C.〃x)是增函數(shù)D.“X)是周期函數(shù)

10.(2025?甘肅定西?模擬預測)若定義在Z上的函數(shù)/(x)滿足對任意羽yeZ均有

〃x+y)=/(x)〃2-y)+〃2—x)/(y),則稱“》)為“S-2函數(shù)”.已知“X)為"S-2函數(shù)”,且/⑵=1,

f(-l)<0,則〃0)+/(47)=()

A.一變B.0C.立D.1

22

11.(2024?云南昆明?三模)函數(shù)y=/(尤)在R上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且與x軸有且僅有一個交

點，對任意x,yeR,〃x)+〃y)=f(也2+.卜/(1)=1,則下列說法正確的是()

A.7■⑵=2B.〃x)為奇函數(shù)

C./(力在(。,+e)單調(diào)遞減D.若〃力44,貝lj尤e[-2,2]

12.(多選題)已知函數(shù)y=對任意實數(shù)x,y都滿足亨]d￥)=〃x)+/(y),且"1)=一1,

則下列說法正確的是()

A.〃x)是偶函數(shù)

B."0)=0

C./(x)+/(l-x)=0

D./(1)+〃2)+〃3)+…+”2023)=-!

13.(2025?江西?模擬預測)(多選題)已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足：

f(xix2)=/(Xj)/(%2)-/(%1)-/(%2)+2,且則()

A./(I)=2

B.f(x)可能是偶函數(shù)

C./(x)的圖象不可能關于點(0,1)對稱

D.若Vxe-),/(x)>2,則/(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增

14.(多選題)已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足：對X/x,jeR,/(x+y)+〃x-y)=2/(尤),且

/(0)^0,f(l)=0,定義：^f(f)=/(l)+/(2)+.+〃”)，則以下結論正確的有()

Z=1

A./(2)=-1B./(-%)=/(%)

35

c.f(x+2)=f(x)D.￡/(/)</(36)

Z=1

15.(24-25高三上?山西太原?期中)(多選題)已知定義域為Z的函數(shù)/(元)滿足對于任意無，yeZ,都有

/(x+y)=/(x)/(l-y)+/(l-x)/(y),且/(1)=1,則下列結論正確的是()

A./(2)=0B.“X)的圖象關于點。,0)對稱

C."X)的圖象關于直線元=1對稱D./(2025)=-1

16.(2025.廣東深圳.二模)(多選題)已知函數(shù)“X)的定義域為R,產(chǎn)(x)+/2(y)=〃x+y)/(x—y)+l,

/(1)=0,則()

A./(O)=OB.43)=0

C.〃x)為偶函數(shù)D.〃尤)的最大值為1

17.已知函數(shù)/(天)的定義域為R,對任意實數(shù)"，v,都有/("-V)=/(")-f(v)成立，且當“<0時，/(?)<0.

(1)判斷了(x)的奇偶性;

(2)證明：/(無)在R上單調(diào)遞增；

⑶判斷命題“對任意正有理數(shù)廠,/%)=/(。)”的真假，并說明理由.

18.已知函數(shù)對于任意實數(shù)x,yeR,都有〃x+y)=/(x)+〃y)-2,且/⑵=4.

⑴求”1)的值；

⑵令g(x)=〃x)-2,求證:函數(shù)g(x)為奇函數(shù)；

⑶求〃-2025)+/(-2024)++/(-1)+/(0)+/(1)++〃2024)+〃2025)的直

19.定義在R上的非常值函數(shù)y=〃x)、y=g(x),若對任意實數(shù)尤、y,均有

〃x+y)"(x—y)=g2(y)—g2(x