第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式單元卷

題號(hào)一二三四總分

得分

用時(shí)：120分鐘滿(mǎn)分：150分

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知X,yeR,則中＜0是=W+的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必聚條件

【答案】A

【詳解】當(dāng)x=y=0時(shí)，卜_計(jì)=慟+國(guó)成立,但正＜0不成立,

所以9＜0是卜-M=不必要條件；

若初＜0,則|x-y|=W+3,所以中＜0是|尤-4=同+帆充分條件.

綜上，研＜0是卜-4=國(guó)+卜的充分不必要條件.

故選：A

2.從坐標(biāo)平面的四個(gè)象限中取若干點(diǎn)，這些點(diǎn)中橫坐標(biāo)為正數(shù)的點(diǎn)比橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點(diǎn)多，縱坐標(biāo)為正數(shù)

的點(diǎn)比縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點(diǎn)少，則下列對(duì)這些點(diǎn)的判斷一定正確的是()

A.第一象限點(diǎn)比第二象限點(diǎn)多B.第二象限點(diǎn)比第三象限點(diǎn)多

C.第一象限點(diǎn)比第三象限點(diǎn)少D.第二象限點(diǎn)比第四象限點(diǎn)少

【答案】D

【詳解】設(shè)第一象限的點(diǎn)即橫坐標(biāo)為正數(shù)且縱坐標(biāo)為正數(shù)的點(diǎn)有x個(gè)，

第二象限的點(diǎn)即橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)且縱坐標(biāo)為正數(shù)的點(diǎn)有了個(gè)，

第三象限的點(diǎn)即橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)且縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點(diǎn)有z個(gè)，

1

第四象限的點(diǎn)即橫坐標(biāo)為正數(shù)且縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點(diǎn)有W個(gè)，

又因?yàn)闄M坐標(biāo)為正數(shù)的點(diǎn)比橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點(diǎn)多，縱坐標(biāo)為正數(shù)的點(diǎn)比縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點(diǎn)少,

所以X+W&+Z①，且z+w>x+y②，

由不等式性質(zhì)可知，①+②可得施>>，即第二象限點(diǎn)比第四象限點(diǎn)少.

故選：D.

3.某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800n?,深為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為100

元，池壁每平方米的造價(jià)為80元，那么貯水池的最低總造價(jià)是（）

A.160000元B.179200元

C.198400元D.297600元

【答案】C

【詳解】設(shè)池底的長(zhǎng)為x,寬為y,則3個(gè)=4800,即了=幽

X

因水池?zé)o蓋，則建造池體需要建造池壁有4個(gè)面，池底一個(gè)面,

建造這個(gè)水池的總造價(jià)是1OOxy+2（x+y）x3x80=160000+480+產(chǎn)

>160000+480x=198400

當(dāng)且僅當(dāng)苫=幽，即x=40時(shí)，等號(hào)成立，

X

故選：C.

4.已知實(shí)數(shù)x,>滿(mǎn)足lWx+yW4,-l<x-y<2,則4x—2y的取值范圍是（）

A.[-4,10]B.[-3,6]C.[-5,13]D.[-2,10]

【答案】D

[詳解]設(shè)4x—2y=機(jī)(x+y)+〃(x—y),貝[|(機(jī)+”)X+(機(jī)_”))=4x_2y,

[m+n=4fm=1

所以，\c，解得<2，即4x-2y=(zx+.yx)+3z(x-.yx),

\m-n=-2]〃=3

Jl<x+y<4(l<x+y<4

*\-l<x-y<2"則j_3K3(x_y)(6，

因止匕，4x-2y=(x+y)+3(x—y)e[—2,10].

2

故選：D.

5.若正實(shí)數(shù)x,?滿(mǎn)足孫+x-3y=-l,則x-y的最大值為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

［詳解］由中+x_3y=T有x=,則———+（j^+l）<0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí),

V+1y+iL/+1」

等號(hào)成立.

故選：D.

6.若二次函數(shù)y=QX2+6X+C（Q。0）的圖象開(kāi)口向下，與工軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為匹,工2,且$<尢2，則不

等式“<0的解集是（）

A.{—Xj<x<xAB.{x\x2<x<x[]

C.卜［I<玉或X>%2}D.[x\x<x2^x>xx]

【答案】c

【詳解】由二次函數(shù)的圖象可得.

2m

7.已知正數(shù)加，〃滿(mǎn)足/+4/=5,則陽(yáng)-一一的最大值為（）

2〃+3

A.yB.1C.y/2D.2

【答案】B

2m〃z（2"+l）<”/+（2〃+l）-_m2+4n2+4?+1_4〃+6

【詳解】因?yàn)榧铀约?

2+4/=5,2〃+3-2及+3-2（2.+3）2（2n+3）-2（2〃+3）

m=2

當(dāng)且僅當(dāng)加=2〃+l,即<1時(shí)取等號(hào).

n=—

[2

故選：B.

8.關(guān)于x的不等式尤2-2（加+l）x+4mW0的解集中恰有4個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

【答案】B

【詳解】原不等式可化為（x-2）（x-2加）W0,

3

若加W1,則不等式的解集是{x|2加Wx42},不等式的解集中不可能有4個(gè)正整數(shù);

所以加>1,不等式的解集是［2,2〃?］；所以不等式的解集中4個(gè)正整數(shù)分別是2,3,4,5,

令5W2加<6,解得|<根<3,所以加的取值范圍是1,3^.

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多頂

符合題目栗求。全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對(duì)一個(gè)得3

分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分

9.下列命題正確的有()

A.若則/〉/B.若a>b,c>d,則a+c>b+d

cc］

C.若Q>b>c>0,則一>—D.若Q>1,貝！Ja~i-------23

aba-1

【答案】BD

【詳解】令。=3,6=-3,滿(mǎn)足但出=62,故A錯(cuò)誤，

a>b,c>df.\a+c>b+d,故B正確，

令。=3,6=2,。=1,滿(mǎn)足但—<7，故C錯(cuò)誤，

ab

?+=tz-l+—+1>2^―|+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)Q—l=—即a=2時(shí)，等號(hào)成立，故D

6Z—1U—ly(a—ljCl—v

正確.

故選：BD.

10.已知a,4ceR,滿(mǎn)足十/十〃=4,且(〃-2)(b-2)(c-2)=abc,則下列結(jié)論正確的有()

A.a+b+c=2B.ab+bc+ac=1

2

C.。的最大值為2D.。的最小值為

【答案】ACD

【詳解】(。一2),一2)(。-2)=abcn4(a+b+c)-8=2(ac+bc+a6),

所以/+2(ac+6c+ab)=(a+b+c)2=4+4(tz+/)+c)-8,

解得〃+b+c=2,故A正確；

所以4(4+6+o)—8=0=2(4C+慶+46),gpac+bc+ab=0,故B錯(cuò)誤；

4

由a+b+c=2得，b+c=2-a,

be=-ac-ab=-a（Z>+c）=-a（2-tz）=a2-2a,

構(gòu)造以b,c為兩根的一元二次方程--（2-0）》+/-20=0,

貝?。荨?（2-0）2-4（/-24）20=4€—1,2,故CD正確；

故選：ACD.

11.已知實(shí)數(shù)。，6滿(mǎn)足/+4^=1+2加，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.abM；B.a+2b<2C.\a-2t\>\D.,一6歸1

【答案】ABD

【詳解】對(duì)A：由/+4/=1+2々6,可得1+2仍=/+4/N2-2ab,即abwg,當(dāng)且僅當(dāng)。=26時(shí)取等號(hào),

故A正確；

對(duì)B：由/+4〃=1+2",可得（a+26y=l+6ab,

i,

由選項(xiàng)A知。b<5，所以（Q+26）=1+6ab<4,

即卜+2耳42,當(dāng)且僅當(dāng)。=26時(shí)取等號(hào)，貝”〃+26?2成立，B正確；

對(duì)C：（a-26/-a2+4ft2—4ab=1+2ab—4ab=1-lab,

由選項(xiàng)當(dāng)〃b時(shí)，（4—26）2=0,即,一2耳=0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：/+4/=1+2",可得（。一6）2+3〃=1,則（a-b）2=1-3/,

因?yàn)?/20,所以（a—即心一同41,所以D正確；

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.

21

12.已知Q>0,b>0,且。+26=1,若不等式一+：之加恒成立，則加的最大值為_(kāi)____.

ab

【答案】8

【詳解】由2+:=12+:］（Q+2b）=2+2+竺+：,

ab\abJab

因?yàn)椤?gt;0,b>0,所以有2+工=4+竺+@24+2、］竺=8,

ababyab

5

4Z?a]

當(dāng)且僅當(dāng)二=：na=26=:時(shí)取等號(hào)，

ab2

所以有加<8,

故答案為：8.

13.已知集合/={刈4苫+5>/},3={x|x2+ox+640},若么口8=0,Nu8=(-1,6],貝[|a+b=.

【答案】19

【詳解】因?yàn)?={x|4x+5>/}={x|-1<x<5},B-^x\x2+ax+b<0^,

A^B=0,Nu8=(-1,6],所以3={x|5Wx<6},

所以5和6是方程/+ax+b=0的兩個(gè)根,

25+5Q+6=0

所以解得。=-11,6=30,

36+6a+b=0'

所以a+6=-ll+30=19.

故答案為：19.

14.記實(shí)數(shù)占戶(hù)2…%中的最大數(shù)為max"1,…X"},最小為min"1'…X,},若。，6,c均為正數(shù)，則

mmmax2凡344”+2+乜

?Iabc

【答案】9

3912

【詳解】設(shè)M=max〈2a,3"4°,一+7+一卜，因?yàn)?。，b,。均為正數(shù)，所以〃>0,

Iabc

12

-

>-

--

M>2aM

13

M>3b1

>-

--

7M

依題意M>4c，整理得v^

14

-

>-

7+2+二--

abccM

396274881

所以V之一+—十&-----1-----H-----得“281

abMMM

所以〃之9,當(dāng)且僅當(dāng)2a=36=4c=9時(shí)等號(hào)成立，

所以Af的最小值為9.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是得到M與。，ac的不等關(guān)系，將多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題.

四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

6

15.(1)已知一3<Q<4,2<b<5,求2Q+6,。一6及，的取值范圍.

b

(2)設(shè)'、>均為正實(shí)數(shù)，試比較”和聲的大小.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.

【詳解】(1)因?yàn)橐?<。<4,所以一6<2a<8,

又2<6<5,兩個(gè)不等式相力口可得一6+2<2Q+6<8+5,即一4<2Q+6<13.

因?yàn)?<Z?<5,所以一5<—6<—2,

又一3<Q<4,兩個(gè)不等式相力口可得一3—5<。一6<4—2,即一8<〃一6<2.

因?yàn)?<6<5,所以!<：<?，

5b2

當(dāng)0Wa<4時(shí)，兩個(gè)不等式相加乘可得：OXL4：<4X],即0V：<2；

5b2b

當(dāng)-3<。<0時(shí)，兩個(gè)不等式相加乘可得：-3xl<^<0xl,即一3</<0,

2b52b

所以<2.

2b

2a+6的取值范圍為(-4,13)；

"6的取值范圍為(-8,2)；

藍(lán)的取值范圍為1|,2)

xy_x(l+y)-y(l+x)_x+xy-y-xy_x-y

-1+x1+y(l+x)(l+y)(l+x)(l+y)(l+x)(l+j)-

因?yàn)閄,y均為正實(shí)數(shù),所以(l+x)(l+y)>0.

x-yX、y

當(dāng)無(wú)一y>0,即x>J時(shí),>0,此時(shí)>------

(l+x)(l+y)l+xi+y

X一歹Xy

當(dāng)1一>=0,即x=>時(shí),=0,此時(shí)

(l+x)(l+y)l+x

x-yX/y

當(dāng)x-y<0,即x<>時(shí),<0,此時(shí)<

(l+x)(l+y)l+x1+7

xy

綜上可得：當(dāng)x>丁時(shí)，----

l+x1+y

,,xy

當(dāng)x=>時(shí)，--=皆一；

1+x1+y

,,xy

當(dāng)時(shí)，--<一.

l+x1+y

16.求解下列各題:

7

⑴求y=*+j+4(X<0)的最大值.

⑵求y=?；(x>l)的最小值.

⑶已知％>0,>>0且4x+y=個(gè)，若x+y>加之+8加恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】⑴-;

⑵8

⑶{加卜9<m<1}

丫2-L3Y4-43x23x2

【詳解】(1)當(dāng)x<0時(shí)，>=-z——+—++

22x22x

y0

當(dāng)且僅當(dāng)-3=-：(x<0)時(shí)，即當(dāng)尤=-2時(shí)，等號(hào)成立,

所以，函數(shù)y=f+3x+4(》<0)的最大值為-1

2x

(2)當(dāng)x>l時(shí)，x-1>0,

爐+81+99QQ

貝!I〉==x+l+——=(x-l)+——+2>2(x-1)----+2=8,

x-1x-1x1x1Vx1

9

當(dāng)且僅當(dāng)X-1=-^XAI)時(shí)，即當(dāng)x=4時(shí)，等號(hào)成立,

X—1

故函數(shù)>=三;(X>1)的最小值為8.

V+4x14

(3)因?yàn)閤>0,y>0且4x+y=a，則^----=一+—=1,

xyxy

14)廠y4x、廠JV4x八

所以，x+y=(x+y)\-+—|=5+T—>5+2/-----=9,

y)xyyxy

ry_4x

xy

14\x=3

當(dāng)且僅當(dāng)一+—=1時(shí)，即當(dāng)/時(shí),等號(hào)成立,即x+y的最小值為9,

xy口=6

x>0,y>0

因?yàn)閤+y>加？+8優(yōu)恒成立，則加2+8〃？<9,即77-+8加一9<0,解得一9<m<l.

因此，實(shí)數(shù)加的取值范圍是{司-9</<1}.

8

17.長(zhǎng)江存儲(chǔ)是我國(guó)唯---家能夠獨(dú)立生產(chǎn)3DNAND閃存的公司，其先進(jìn)的晶棧Xtacking?技術(shù)使得

3DNAND閃存具有極佳的性能和極長(zhǎng)的壽命.為了應(yīng)對(duì)第四季度3DNAND閃存顆粒庫(kù)存積壓的情況，某

下游閃存封裝公司擬對(duì)產(chǎn)能進(jìn)行調(diào)整，已知封裝閃存的固定成本為300萬(wàn)元，每封裝x萬(wàn)片，還需要C(x)

萬(wàn)元的變動(dòng)成本，通過(guò)調(diào)研得知，當(dāng)x不超過(guò)120萬(wàn)片時(shí)，C(x)=0.1f+130x；當(dāng)x超過(guò)120萬(wàn)片時(shí),

C(x)=151x+史”-1350,封裝好后的閃存顆粒售價(jià)為150元/片，且能全部售完.

X

(1)求公司獲得的利潤(rùn)2(x)的函數(shù)解析式;

(2)封裝多少萬(wàn)片時(shí)，公司可獲得最大利潤(rùn)？

-O.lx2+20x-300,0<xV120,x￡N*

【答案】(l)￡(x)=25600.___I”3

一x----------+1050,x>120,xeN

x

(2)160

【詳解】(1)當(dāng)0<x4120,xeN*時(shí),

Z(x)=150%-300-(0.lx2+130x)=-0.1x2+20x-300,

當(dāng)入〉120,%￡]^*時(shí),

一、1l八”八八「12560025600,___

Z/(x)—15Ox-300-(15lxH-----------14350)——x------------F1050,

xx

-O.lx2+20x-300,0<x<l20,xeN*

故L(x)=<25600

-x-+--l-0--5--0--,x>l20,xeN*

、X

(2)當(dāng)0<xWl20,x￡N*時(shí),

20

￡(x)=—O.lY+zOx—300開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為、=--------=100,

-0.1x2

故Z(x)的最大值為￡(100)=-1000+2000-300=700(萬(wàn)元)；

當(dāng)次〉120,工￡?4*時(shí)，

?、25600/25600、cJ~25600小八

Z/(x)=—x-----------F1050=—(xH---------)+11050?—2.x4----------F1050—730,

xxVx

當(dāng)且僅當(dāng)》=受"，即x=160時(shí)等號(hào)成立，

故￡(x)的最大值為730(萬(wàn)元)，

因?yàn)?30>700,

所以封裝160萬(wàn)片時(shí)，公司可獲得最大利潤(rùn).

9

18.已知集合/={x|-----<1},集合8={x|x?+x+a-/<0}.

x+1

(1)若存在使得求。的取值范圍；

(2)若“xe/”是“xe8”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1),雙^卜'-00]

(2)aN4或a<-3

2r-2

【詳解】(1)集合/={x|--<1}={X|-1<X<3},

X+1

若存在尤使得8片。，只需集合B在(-1,3)內(nèi)有解，

即『一°大于y=/+*在(-1,3)內(nèi)的最小值，

因?yàn)閥=/+x在11,-￡|上單調(diào)遞減，在[;,3)上單調(diào)遞增，

所以y=x2+x在(一1,3)內(nèi)的最小值為

1,1

所以a9—a>――,解得。工彳，

42

所以0的范圍為卜sgjulg+sj;

(2)由⑴得，^4=(-1,3),3={x|(x+a)(x+l-a)<0},

因?yàn)椤皒e/”是“xe8”的充分不必要條件，

所以A是8的真子集，

分類(lèi)討論如下：

當(dāng)-。=°一1,即。=；時(shí)，B=</>,不符題意；

當(dāng)-a<a-1,即a>,時(shí)，B={x\-a<x<a-\],

2

[—u<—1

此時(shí)，、乂等號(hào)不同時(shí)成立)，解得，時(shí)，滿(mǎn)足A是8的真子集；

[6Z-1>3

當(dāng)一Q>Q-1,即時(shí)，B={x\a-l<x<-a],

2

此時(shí)