專題05分式及分式方程（六大題型）

型大裳合

>題型一分式有意義的條件A題型五分式方程的解及增根問題（易錯）

>題型二分式的基本性質(zhì)（高頻）A題型六分式方程的實(shí)際應(yīng)用（重點(diǎn)）

>題型三分式化簡求值（高頻）

>題型四解分式方程（重點(diǎn)）

型大通關(guān)

【題型1］分式有意義的條件

1.（24-25八年級上?河北滄州?期末）若分式工有意義，則》的取值范圍是（）

A.B.C.%>2D.%>2

3.（24-25八年級上,貴州銅仁?期末）若分式含的值為0,則x的值為（）

xz-l

A.±1B.1C.±2D.2

4.（23-24九年級上?山東淄博?期末）若分式義無意義，則尤的取值范圍是

x+2-------

5.（24-25八年級上?云南臨滄?期末）若分式身的值為0,則X的值為

【題型2】分式的基本性質(zhì)

6.（24-25八年級上?內(nèi)蒙古通遼?期末）把分式品中的x、y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（）

A.擴(kuò)大3倍B.縮小為原來的!

數(shù)學(xué)

C.不變D.縮小為原來的g

7.（24-25八年級上?福建福州?期末）若分式且中x,y都擴(kuò)大為原來的3倍，則該分式的值（）

x-y

A.不變B.擴(kuò)大到原來的3倍

C.擴(kuò)大到原來的9倍D.縮小到原來的［

8.（24-25八年級上,四川瀘州?期末）若分式懸中x,y的值同時(shí)擴(kuò)大為原來的2倍，則分式的值（）

A.不變B.擴(kuò)大為原來的2倍

C.擴(kuò)大為原來的4倍D.不能確定

9.（24-25八年級上?江蘇鹽城?期末）將分式擊中的x、y的值同時(shí)擴(kuò)大為原來的2倍，則分式的值（）

A.縮小為原來一半B.擴(kuò)大為原來的2倍

C.無法確定D.保持不變

【題型3】分式化簡求值

10.（24-25八年級下?湖南益陽?期末）若工—工=1,則2>3町-2>的值是____.

xyx+2xy-y

11.（23-24八年級上?福建福州?期末）已知工+==3,且a力—b,則安的值為______.

a2ba+b

12.（24-25九年級上?福建泉州?期末）若實(shí)數(shù)尤滿足/+3x-l=0,則告的值為.

x2-l---------

13.（2024?四川成者B?模擬預(yù)測）若，—2x—1=0,則至二—x=

X

14.（24-25八年級上?湖北隨州?期末）先化簡，再求值：+史尹）其中*=5.

\x+l%2-1/X+1

15.（24-25八年級上?吉林?期末）先化簡，再求值：（1+言）+鬻，其中a從—2,-1,1,2中選取一個

合適的數(shù)代入求值.

16.（24-25八年級上?福建廈門?期末）先化簡，再求值：（1-總+品,其中。=3.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

先化簡上咨

17.（24-25八年級上?四川南充?期末）一+（i-擊），然后從-1,0,1,2四個數(shù)中選取一個

x2-l

適當(dāng)?shù)臄?shù)作為尤的值再代入求值.

18.（24-25八年級上,四川瀘州?期末）先化簡，再求值:O缶，其中

【題型4】解分式方程

19.（23-24七年級下?山東濱州?期末）解方程:

4—Y1

⑴￡二號+1；（2）工=丁2.

20.（24-25八年級上?湖北隨州?期末）解下列分式方程

（吐=京;

⑵士=三2.

（24-25八年級上?山東淄博?期末）解方程:

（噎=為r—22

⑵三+2工

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

22.（24-25八年級上,云南昭通?期末）解下列分式方程:

3V—7

⑴—當(dāng)⑵三+2手

23.（24-25八年級上?河南周口?期末）解分式方程:

V—31

（13+￡■；（2）0+1=有

【題型51分式方程的解及增根問題

24.（24-25八年級上?云南臨滄?期末）若關(guān)于尤的分式方程.-2=三的解為正數(shù)，則a的取值范圍是（）

x-l1-X

A.a<2且aW1B.a<—2

C.a>—2且aW—1D.a>—2

25.（24-25八年級上?湖北孝感?期末）若關(guān)于久的分式方程旦-T=2有增根，則小的值為（）

x-22-x

A.-1B.-3C.1D.3

26.（24-25八年級上?湖南邵陽?期末）若關(guān)于x的分式方程"？+/=3的解為正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

x-22-x

圍是（）

A.m<6B.THW2

C.m<6且THH2D.znW3且znH2

27.（24-25八年級上?云南保山?期末）己知關(guān)于久的分式方程1的解是非負(fù)數(shù)，則M的取值范圍是

X-l1-X

（）

A.m>2B.m=2C.m>2且mH3D.m>2且THW3

28.（24-25八年級上,四川自貢,期末）已知關(guān)于x的分式方程篝=1的解是非負(fù)數(shù)，則"的取值范圍是（）

A.m>3且7nW6B.m<3

C.m>—3且THW3D.m<—3且?nW—6

29.（24-25八年級上?全國?期末）若關(guān)于x的方程上+了=2的解為負(fù)數(shù)，則根的取值范圍是（）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

A.m>5B.m<5C.m<5且znHOD.m<5且TnW2

【題型61分式方程的實(shí)際應(yīng)用

30.（24-25八年級上?河北保定?期末）《步輦圖》是唐朝畫家閻立本的作品，如圖是它的局部畫面，裝裱前

是一個長為54cm,寬為27cm的長方形，裝裱后，整幅圖畫寬與長的比是11:20,且四周邊框的寬度相

等，則邊框的寬度應(yīng)是多少cm?設(shè)邊框的寬度為xcm,根據(jù)題意，可列方程為（）

54+2%11-54+%11―54+2%20「54+%20

AA.-------——B.------=—C.-------=—D.------=—

27+2%2027+X2027+2%1127+x11

（24-25八年級上?重慶九龍坡?期末）初二1班同學(xué)們計(jì)劃購進(jìn)A,8兩種水果送給社區(qū)養(yǎng)老院，其中A

種水果的售價(jià)比B種水果的售價(jià)低4元，用240元購進(jìn)4種水果的數(shù)量是用160元購進(jìn)B種水果數(shù)量的

2倍，求A種水果的售價(jià)？若設(shè)A種水果的售價(jià)為尤元，則根據(jù)題意可列方程為（)

240c160c240c160

AA.——X2=——B.——X2=——

xx+4xx-4

C.—=—X2D.—=—X2

xx-4xx+4

32.（24-25八年級上?青海海東?期末）《九章算術(shù)》中記錄的一道題目譯為白話文是：把一份文件用慢馬送

到900里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多一天；如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天.已

知快馬的速度是慢馬速度的2倍，求規(guī)定時(shí)間.設(shè)規(guī)定時(shí)間為X天，所列方程正確的是（)

A900c900-9009000

A.—X2=—B.—=—X2

X+1x-3x+1X-3

-900c900r900900c

C.—X2=—D.—=—X2

x-1x—3x—1x—3

33.（24-25九年級上?貴州六盤水?期末）在六盤水市"六個強(qiáng)化”政策保障下，我市快遞業(yè)務(wù)投遞量不斷增加.某

快遞公司為快遞員更換了快捷的交通工具，公司投遞快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每

人每周比原來多投遞50件，若快遞公司的快遞員人數(shù)不變，求現(xiàn)在平均每人每周投遞快件多少件？設(shè)

現(xiàn)在平均每人每周投遞快件x件，根據(jù)題意可列方程為（）

A3600,「八4800-48003600廣八—36004800f36004800

A.——+50=——B--=—-50C.—=^D.—=—

XX

34.（2025?重慶泰江?一模）孝敬父母是中華民族的傳統(tǒng)美德."母親節(jié)"來臨之際，花店紛紛搞促銷活動，小

麗發(fā)現(xiàn)某花店有康乃馨、玫瑰兩種花束正在參加活動.購買3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，購買5

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

束康乃馨和6束玫瑰需要650元.

⑴求康乃馨花束和玫瑰花束的單價(jià)分別為多少元？

（2廣母親節(jié)”當(dāng)天，花店進(jìn)行促銷活動，將康乃馨花束的單價(jià)降低了2m元，玫瑰花束單價(jià)降低了加元,

節(jié)日當(dāng)天康乃馨花束的銷量是玫瑰花束銷量的1.5倍，且康乃馨花束的銷售額為1800元，玫瑰花束的銷

售額為900元，求機(jī)的值.

35.（24-25八年級上?甘肅慶陽?期末）為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場計(jì)劃購買A,B兩種型

號的充電樁，已知A型充電樁比8型充電樁的單價(jià)少0.3萬元，且用15萬元購買A型充電樁與用20

萬元購買8型充電樁的數(shù)量相等.

⑴A,B兩種型號充電樁的單價(jià)各是多少萬元？

⑵該停車場計(jì)劃購買A,8型充電樁共25個，購買總費(fèi)用不超過26萬元，且購買8型充電樁的數(shù)量不

少于A型充電樁數(shù)量的;.問：共有哪幾種購買方案？哪種方案所需購買總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少

萬元？

36.（23-24八年級下?云南紅河?期末）文化賦能鄉(xiāng)村振興，某縣以文明實(shí)踐引領(lǐng)鄉(xiāng)村治理，在群眾聚集地打

造文化墻，以文化人、以文惠民、以文興城，該縣現(xiàn)欲購買48兩種繪畫工具用于打造文化手繪墻.已

知每件4種工具的單價(jià)比每件B種工具便宜9元，用128元購買4種工具的數(shù)量和用272元購買B種工具的

數(shù)量相同.

（1）求4、B兩種工具的單價(jià)各是多少元.

⑵該縣計(jì)劃購買2、B兩種工具共80件，且4種工具的數(shù)量不大于B種工具數(shù)量的3倍，請你幫忙設(shè)計(jì)出

最省錢的購買方案，并求出最低購買費(fèi)用.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

37.（24-25八年級上?湖南株洲，期末）某公司積極響應(yīng)節(jié)能減排號召，決定采購新能源4型和B型兩款汽車，

已知每輛A型汽車進(jìn)價(jià)是每輛B型汽車進(jìn)價(jià)的1.5倍，若用1500萬元購進(jìn)A型汽車的數(shù)量比1200萬元

購進(jìn)B型汽車的數(shù)量少20輛.

⑴求每輛B型汽車進(jìn)價(jià)是多少萬元？

（2）若某公司決定購買以上兩種新能源汽車一共100輛，總費(fèi)用不超過1182萬元，那么該公司最多可以

購買A型汽車多少輛？

38.（24-25八年級上?河南新鄉(xiāng)?期末）為改善道路通行條件，某市在75周年國慶前夕將城市一段主干道進(jìn)行

拓寬改造.該項(xiàng)工程若由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工，恰好能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成；若由乙工程隊(duì)單獨(dú)施工，則

完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的2倍.如果由甲、乙兩個工程隊(duì)先合作施工6天，那么余下的工程由甲

工程隊(duì)單獨(dú)施工還需3天完成.

⑴求這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天？

（2）已知甲工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為3萬元，乙工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為1.4萬元.為了縮短工期以減少

對交通的影響，工程指揮部決定該工程由甲、乙兩個工程隊(duì)合作來完成，則該工程的施工費(fèi)用是多少？

39.（2024?廣西?中考真題）綜合與實(shí)踐

在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略.

【洗衣過程】

步驟一：將校服放進(jìn)清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進(jìn)清水中，充分漂洗后擰干.重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃

度達(dá)到洗衣目標(biāo).

假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%,每次擰干后校服上都?xì)埩?.5kg水.

0.5d款

濃度關(guān)系式：4后=勒.其中d前、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；卬為單次漂洗

所加清水量（單位：kg）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%

【動手操作】請按要求完成下列任務(wù)：

⑴如果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要多少清水?

⑵如果把4kg清水均分，進(jìn)行兩次漂洗，是否能達(dá)到洗衣目標(biāo)？

⑶比較（1）和（2）的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法.

40.（2021?山東青島?中考真題）某超市經(jīng)銷甲、乙兩種品牌的洗衣液，進(jìn)貨時(shí)發(fā)現(xiàn)，甲品牌洗衣液每瓶的

進(jìn)價(jià)比乙品牌高6元，用1800元購進(jìn)甲品牌洗衣液的數(shù)量是用1800元購進(jìn)乙品牌洗衣液數(shù)量的去銷

售時(shí)，甲品牌洗衣液的售價(jià)為36元/瓶，乙品牌洗衣液的售價(jià)為28元/瓶.

（1）求兩種品牌洗衣液的進(jìn)價(jià)；

（2）若超市需要購進(jìn)甲、乙兩種品牌的洗衣液共120瓶，且購進(jìn)兩種洗衣液的總成本不超過3120元，

超市應(yīng)購進(jìn)甲、乙兩種品牌洗衣液各多少瓶，才能在兩種洗衣液完全售出后所獲利潤最大？最大利潤

是多少元？

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

專題05分式及分式方程（六大題型）

W班型上集合

>題型一分式有意義的條件A題型五分式方程的解及增根問題（易錯）

>題型二分式的基本性質(zhì)（高頻）>題型六分式方程的實(shí)際應(yīng)用（重點(diǎn)）

>題型三分式化簡求值（高頻）

>題型四解分式方程（重點(diǎn)）

注駁型大通關(guān)

<

【題型1］分式有意義的條件

1.（24-25八年級上?河北滄州?期末）若分式二有意義，貝卜的取值范圍是（）

X-2

A.B.C.%>2D.%>2

【答案】B

【分析】本題主要考查了分式有意義的條件和解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握分式的分母不能為

零.

根據(jù)分式有意義的條件即可求出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)分式有意義的條件可得，

x—20

解得xH2

故選：B.

2.（24-25八年級上?山東濱州?期末）根據(jù)下列表格信息，y可能為（）

X-2-1012

**

y0*無意義

【答案】C

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【分析】本題考查了分式的值為零的條件、分式無意義的條件，根據(jù)分式的值為零的條件以及分式無意

義的條件并結(jié)合表格即可得解.

【詳解】解：由表格可得，當(dāng)x=-1時(shí)，分式的值為零，當(dāng)尤=2時(shí)，分式的值無意義，故言符合題意，

故選：C.

3.（24-25八年級上,貴州銅仁?期末）若分式與彳的值為0,貝h的值為（）

%2-1

A.±1B.1C.±2D.2

【答案】D

【分析】此題主要考查了分式值為零的條件，分式的值為0的條件是同時(shí)滿足：（1）分子為0；（2）分

母不為0.據(jù)此解答即可.

【詳解】解：回分式坐的值為0,

x2-l

團(tuán)X—2=0且％2—1。0,

解得％=2.

故選：D.

4.（23-24九年級上?山東淄博?期末）若分式義無意義，則無的取值范圍是

x+2---------------

【答案】%=-2

【分析】本題考查分式無意義的條件，根據(jù)題意得到分母等于0,得到x+2=0,進(jìn)而求解.掌握分式

無意義的條件是分母等于0是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意得久+2=0,

'-X=-2,

故答案為：K=—2.

5.（24-25八年級上?云南臨滄?期末）若分式身的值為0,則x的值為.

3x4-15

【答案】5

【分析】本題考查了分式的值為零的條件.若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個條件：①分子的值為0,

②分母的值不為0,這兩個條件缺一不可.根據(jù)分子等于0,且分母不等于0列式求解即可.

【詳解】解：由題意得/一25=0,且3%+15片0,

解得久=5.

故答案為：5.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【題型2】分式的基本性質(zhì)

6.（24-25八年級上?內(nèi)蒙古通遼?期末）把分式與三中的x、y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（）

X2—y2

A.擴(kuò)大3倍B.縮小為原來的?

C.不變D.縮小為原來的2

【答案】B

【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是用到了整體代入的思想.把原分式中的“、y換成

3x、3y,進(jìn)行計(jì)算，再與原分式比較即可.

【詳解】解：把原分式中的久、y換成3x、3y,則

3x-3y_1x-y

9x2-9y23x2—y2

所以縮小為原來的g

故選：B.

7.（24-25八年級上?福建福州?期末）若分式言中x,y都擴(kuò)大為原來的3倍，則該分式的值（）

A.不變B.擴(kuò)大到原來的3倍

C.擴(kuò)大到原來的9倍D.縮小到原來的］

【答案】B

【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：回/今=丹=衛(wèi)，

3x-3y3（x-y）x-y

回該分式的值擴(kuò)大到原來的3倍.

故選:B.

8.（24-25八年級上?四川瀘州?期末）若分式急中無，＞的值同時(shí)擴(kuò)大為原來的2倍，則分式的值（）

A.不變B.擴(kuò)大為原來的2倍

C.擴(kuò)大為原來的4倍D.不能確定

【答案】B

【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，

將x,y分別擴(kuò)大2倍，再約分可得答案.

【詳解】解:根據(jù)題意，得,2X（2X）：=8婷士＜_2x3^,

3x（2x）—2x（2y）2（3%—2y）3x—2y3x—2y

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

所以分式的值擴(kuò)大為原來的2倍.

故選：B.

9.（24-25八年級上?江蘇鹽城?期末）將分式土中的小y的值同時(shí)擴(kuò)大為原來的2倍，則分式的值（）

A.縮小為原來一半B.擴(kuò)大為原來的2倍

C.無法確定D.保持不變

【答案】D

【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì).把分式中的小y分別用2x、2y代替，求出所得分式與原分式相比

較即可.

【詳解】解：由題意得：月=去筌=2，

2x+2y2（x+y）x+y

即分式的值保持不變，

故選：D.

【題型3）分式化簡求值

10.（24-25八年級下?湖南益陽?期末）若工—工=1,則字亞左的值是____.

xyx+2xy-y

【答案】1

【分析】本題考查了分式的化簡求值，由題意可得x-y=-xy,再將所求式子變形，代入計(jì)算即可得

解，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：晨一工=1,

Xy

0^=1,

xy

By—x=xy,

Bx—y=—xy,

「2%+3砂一2y2（x-y）+3xy2x（-xy）+3xyxy

團(tuán)--------=----7------=---------------=—=41,

x+2xy-y{x-y）+2xy-xy+2xyxy

故答案為：1.

11.（23-24八年級上?福建福州?期末）已知工+告=3,且a力—b,則哼的值為

【答案】1

【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.先將工+2=3變形得

a2b

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

至也匕+a=6ab,將其代入安化簡計(jì)算即可.

a+b

【詳解】解：?.一+2=3,

a2b

???2b+a=6ab,

...6ab-b——2b+a-b—-a+b-.]

a+ba+ba+b,

故答案為：1.

12.（24-25九年級上?福建泉州?期末）若實(shí)數(shù)x滿足/+3%-1=0,則卷的值為.

x2-l----------

【答案】后

【分析】本題主要考查了分式化簡求值.將/+3%-1=0,整理得/一1=一3%,代入告中即可求

x2-l

解.

【詳解】解：回％2+3%—1=0,

回》2—1=-3%,

將/一1=一3支代入―中得彳=一"

%2-1-3%3

故答案為：-

13.（2024?四川成者B?模擬預(yù)測）若久2一2%—1=0,則竺三一%=.

x

【答案】4

【分析】本題考查分式的化簡求值，利用整體思想求解是解答的關(guān)鍵.先由已知得到/-1=2口再

化簡原式，然后整體代入求解即可.

【詳解】解：0x2-2x-l=O,

Ex2-1=2%,

3x2—2—x2

X

2x2-2

x

2(x2-1)

x

4x

x

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

=4,

故答案為：4.

14.（24-25八年級上?湖北隨州,期末）先化簡，再求值：（二r+號;）+0，其中尤=5.

\x+lxz-lJx+1

【答案】三，7

x-14

【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行

化簡，再代入求值.

【詳解】解:原式=島+巖）、巖

Xx+1

=-----X-----

%+1X—1

x

=口；

將X=5代入原式=

5-14

15.（24-25八年級上?吉林?期末）先化簡，再求值：（1+W）+署，其中a從-2,-1,1,2中選取一個

合適的數(shù)代入求值.

【答案】a+1,3

【分析】本題考查了分式的化簡求值，分式有意義的條件，先利用分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，

再根據(jù)分式有意義的條件確定a的值，最后把a(bǔ)的值代入化簡后的結(jié)果中計(jì)算即可求解，掌握分式的運(yùn)

算法則和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=（蕓+六）x

a+2（a+l）（（z—1）

=------x--------------------

a—1a+2

=a+1,

回a—1H0且a+1W0且a+2。0,

回aW1且aW—1且aH—2,

回。=2,

團(tuán)原式=2+1=3.

16.（24-25八年級上?福建廈門?期末）先化簡，再求值：（1—2）+小子7,其中a=3.

\a+2/a2+4a+4

【答案】—,I

a3

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【分析】本題考查分式的化簡求值，先計(jì)算式子中的括號內(nèi)的運(yùn)算，再計(jì)算括號外的除法，化簡后將。

的值代入即可.

【詳解】解：(1一六)'a2+4a+4

CL—2(a+2產(chǎn)

a+2—2)

_a+2

—,

a

當(dāng)a=3時(shí)，原式=等=*

17.(24-25八年級上?四川南充?期末)先化簡妥手-卷0'然后從一1，°，L2四個數(shù)中選取一個

適當(dāng)?shù)臄?shù)作為尤的值再代入求值.

【答案】—)|

x2

【分析】本題主要考查了分式化簡求值，分式有意義的條件，先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然

后再代入求值即可.

【詳解】解：罟總

(%—I)2X+1—1

(%+1)(%—1)X+1

X—1X+1

=----X----

%+1X

_X-1

—,

x

耿?！?,0,

回把x=2代入得：原式=U=].

18.(24-25八年級上,四川瀘州,期末)先化簡，再求值：(空三-小J，其中x=3.

\x+1/x2+2x+l

【答案】X+If4

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡，然后將久=3代入計(jì)算即可.

【詳解】解：(辭-1)+年77

\x+l/xz+2x+l

/2x—1%+1\x—2

\%+1%+1/(x+I)2

x—2(%+I)2

=---7X------

%+1x—2

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

=X+1.

當(dāng)％=3時(shí)，原式=%+1=3+1=4.

【題型4】解分式方程

19.(23-24七年級下,山東濱州,期末)解方程:

..X8,y4—r1

(/z1)=-........F1;⑵hh2.

\—2X2-4

【答案】⑴無解

(2)X—1

【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法步驟是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)解分式方程的方法步驟(去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1,檢驗(yàn)，)求解,

即可解題；

(2)解題方法與(1)類似.

【詳解】(1)解:—=^-+1

X-2*-4

化為整式方程得,%(%+2)=8+久2—4,

去括號得，x2+2x=x2+4,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，2久=4,

系數(shù)化為1得，x=2,

檢驗(yàn)：把x=2代入/—4=4—4=0,

回x=2是原方程的增根，原方程無解；

(2)解：土*-----2

x-33-X

化為整式方程得，4-x=-1-2(%-3),

去括號得，4—x=-1—2%+6,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，x=l,

檢驗(yàn)：把X=1代入x-3=1-3=-2^0,

0%=1是原方程的解.

20.(24-25八年級上?湖北隨州?期末)解下列分式方程

2

x+3

⑵自三2.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【答案】⑴x=1

(2)x=:

O

【分析】本題考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法步驟是解本題的關(guān)鍵.

(1)先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗(yàn)即可；

(2)先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗(yàn)即可.

【詳解】(1)解：；=w，

2xx+3

去分母得：%+3=4%,

回3%=3,

解得：x=1；

經(jīng)檢驗(yàn)：％=1是原方程的解.

(2)-=--2,

X—12.x—2

去分母得：2%=3-4(%-1),

回2%+4%=3+4,即6%=7,

解得：%=:,

6

經(jīng)檢驗(yàn)：攵=:是原方程的解.

6

21.(24-25八年級上?山東淄博?期末)解方程：

23

(1)----=-----

''％+2X-2

x—22

(2)—+2=—

'x-l1-x

【答案】(1)久=一10

呼號

【分析】本題考查了分式方程，熟記解方程步驟，去分母，去括號，移項(xiàng)合并，系數(shù)化1,即可求解.

(1)方程兩邊同時(shí)乘2)。+2)去分母，去括號，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1,即可求出解.

(2)方程兩邊同時(shí)乘久-1去分母，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1,即可求出解.

【詳解】(1)解：三=三

x+2x-2

去分母得：2(久一2)=3。+2)

去括號得：2x—4=3%+6

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

移項(xiàng)合并解得：%=-10

經(jīng)檢驗(yàn)，X=-10是原方程的解

所以久=-10；

去分母得：(K—2)+2(x—1)=—2

去括號得：x—2+2%—2=-2

移項(xiàng)合并得：3尤=2

解得：*=|

經(jīng)檢驗(yàn)，x=|是原方程的解

所以％=|.

22.(24-25八年級上?云南昭通?期末)解下列分式方程：

(1)—=—(2)—+2=-

''x-3x-1'fx-5E

【答案】⑴X]-3

(2)%=3

【分析】本題考查解分式方程：

(1)去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后進(jìn)行檢驗(yàn)即可;

(2)去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后進(jìn)行檢驗(yàn)即可;

【詳解】(1)解：去分母，得：x(x—1)=(x—3)O+1)

解得：x=—3；

檢驗(yàn)：當(dāng)x=—3時(shí)，(久一3)(x—1)40,

回原分式方程的解為x=-3；

(2)解：去分母，得：3+2(x-5)+(x—2)=0

解得：x=3；

檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，(%—5)片0,

回原分式方程的解為％=3.

23.(24-25八年級上?河南周口,期末)解分式方程：

1

⑴W+專x+2

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【答案】(1)久=—9

(2)無解

【分析】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵.

(1)方程兩邊同乘0+2)(尤-2),可去分母，得到關(guān)于”的一元一次方程，求解并檢驗(yàn)即可;

(2)方程兩邊同乘(久-2),可去分母，得到關(guān)于x的一元一次方程，求解并檢驗(yàn)即可.

【詳解】(1)方程兩邊同乘(％+2)(久一2),

得：3+2(%+2)=(%—2),

解得：%=-9.

檢驗(yàn)：當(dāng)?shù)?一9時(shí)(久+2)(%—2)。0,

所以，原分式方程的解為％=-9.

(2)方程兩邊同乘(％-2),

：x-3+久一2——1,

解得：x=2.

檢驗(yàn)：當(dāng)汽=2時(shí)％—2=0,

因此％-2=0不是原分式方程的解，

所以，原分式方程無解.

【題型51分式方程的解及增根問題

24.(24-25八年級上?云南臨滄?期末)若關(guān)于x的分式方程卷-2=看的解為正數(shù)，則a的取值范圍是()

x-l1-X

A.a<2且aHlB.a<-2

C.a>—2且aK—1D.a>—2

【答案】C

【分析】本題考查分式方程的解法，解分式方程，再根據(jù)題意列不等式即可求出答案.解題的關(guān)鍵是熟

練運(yùn)用分式方程的解法.

a_x

【詳解】解:

x-l2=1-x，

a—2(%—1)=-x,

CL—2%+2=-xf

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

—2.x+%=-CL—2,

x=a+2,

???關(guān)于x的分式方程E-2=F的解為正數(shù)，

x-11-x

a+2>0,解得a>-2,

當(dāng)a=-1時(shí)，x=1,此時(shí)分式方程無解，

故aW1,

??a的取值范圍是a>一2且aW1,

故選：C.

25.（24-25八年級上?湖北孝感?期末）若關(guān)于X的分式方程E-歲=2有增根，則租的值為（）

X-22-X

A.-1B.-3C.1D.3

【答案】A

【分析】此題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡公分母為0確定增根；②

化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.將方程的第二個分母提取-1變

形后，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出方程的解，令方程的解為2,即可求出加的值.

【詳解】解：方程變形得：三一歲=2,

x-22-x

去分母得：m+x—1=2（%—2）,

解得：%=m+3

團(tuán)方程三—F=2有增根，

x-22-x

回％=2,即TH+3=2,

解得：m=-1,

故選：A.

26.（24-25八年級上?湖南邵陽?期末）若關(guān)于尤的分式方程學(xué)+普=3的解為正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

x-22-x

圍是（）

A.m<6B.znW2

C.m<6且mH2D.THH3且mW2

【答案】C

【分析】本題考查根據(jù)分式方程的解得情況求參數(shù)的范圍，求出方程的解，根據(jù)方程的解的情況結(jié)合

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

分式有意義的條件，列出不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：解學(xué)+磬=3,得：久=3—日，

團(tuán)分式方程"g+普=3的解為正實(shí)數(shù)，

x-22-x

回%>0且%—2W0,

團(tuán)3—竺>0且3—依。2,

22

團(tuán)HT<6且771W2;

故選C.

27.（24-25八年級上?云南保山?期末）已知關(guān)于X的分式方程￡1的解是非負(fù)數(shù)，則根的取值范圍是

x-11-x

（）

A.m>2B.m=2C.m>2且m力3D.m>2且zn*3

【答案】C

【分析】先求出分式方程的解，由方程的解是非負(fù)數(shù)得根—220,由x—1大0,得小—2—1力0,計(jì)

算可得答案.此題考查了利用分式方程的解求參數(shù)的取值范圍，正確求解分式方程并掌握分式的分母

不等于零的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：￡+1-=1,

x-11-X

0m—3=%-1,

得％=m—2,

回分式方程￡+--=1的解是非負(fù)數(shù)，

x-11-x

0%>0,

即7n—2>0,

得m>2,

以一1H0,

團(tuán)m—2—1W0,得mH3,

0m>2且HiH3,

故選：C.

28.（24-25八年級上?四川自貢?期末）已知關(guān)于x的分式方程號=1的解是非負(fù)數(shù)，則機(jī)的取值范圍是（）

x-3

A.m>3且THH6B.m<3

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

C.m>一3且m力3D.m<-3且znH—6

【答案】A

【分析】本題考查分式方程的解，解一元一次不等式，根據(jù)解分式方程的方法可以求得機(jī)的取值范圍,

即可求解.解答本題的