專題04兩條直線的位置關(guān)系期末復(fù)習(xí)（十大重點(diǎn)題型+過(guò)關(guān)

檢:則）

重點(diǎn)題型.......................................................................................1

題型一對(duì)頂角的定義............................................................................1

題型二對(duì)頂角相等..............................................................................2

題型三求一個(gè)角的余角..........................................................................3

題型四求一個(gè)角的補(bǔ)角..........................................................................3

題型五與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算.................................................................4

題型六同（等）角的余（補(bǔ)）角相等.............................................................4

題型七垂線定義的理解..........................................................................4

題型八畫(huà)垂線..................................................................................5

題型九垂線段最短..............................................................................6

題型十點(diǎn)到直線的距離..........................................................................7

過(guò)關(guān)檢測(cè).......................................................................................8

v

重點(diǎn)題型

題型一對(duì)頂角的定義

變式訓(xùn)練一

1.如果把如圖所示的工具的構(gòu)造看作幾條相交的直線，其中有對(duì)頂角的是（）

數(shù)學(xué)

2.觀察以下一系列圖形，過(guò)已知直線外一點(diǎn)作直線與已知直線相交，請(qǐng)你補(bǔ)全探究過(guò)程.

作2條直線與已知直線相交，則圖中共有對(duì)對(duì)頂角；如圖3,作3條直線與已知直線

相交，則圖中共有對(duì)對(duì)頂角.

【歸納總結(jié)】若過(guò)直線外一點(diǎn)作"條直線與該直線相交，則可形成對(duì)對(duì)頂角.

【規(guī)律應(yīng)用】若過(guò)直線外一點(diǎn)作10條直線與該直線相交，則可形成幾對(duì)對(duì)頂角？

題型二對(duì)頂角相等

例2：如圖，直線CD相交于點(diǎn)。，若2NOC=34。，則乙80。的度數(shù)為（）

C.56°D.146°

變式訓(xùn)練二

1.如圖，直線。4,4交于點(diǎn)。，若/1=30。，Z2=115°,則N3的度數(shù)為（）

D.95°

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

2.如圖是一把剪刀的示意圖，我們可想象成一個(gè)相交線模型，若乙4O3+NCQD=76。，則

NAOB=.

題型三求一個(gè)角的余角

例3：如圖，一塊30。的直角三角板放在一條直線上，若4=55。，則/2='

變式訓(xùn)練三

1.若44=25。，則的余角等于（）

A.55°B.65°C.75°D.125°

2.如圖一副三角板480和三角板中（N/Q8=90°,ZCOD=90°,44=45。，

ZC=60°）,若CO「B,則能用圖中字母表示出的角中互余的角有對(duì).

題型四求一個(gè)角的補(bǔ)角

例4：若乙4=56。，則//的補(bǔ)角為（）

A.34°B.44°C.114°D.124°

變式訓(xùn)練四

1.如圖，若其中N1=N5,則與22互補(bǔ)的角有（）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

1X45/6

2卉

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

2.一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的5倍，則這個(gè)角的度數(shù)是.

題型五與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算

例5：已知一個(gè)角的余角是其補(bǔ)角的《，則這個(gè)角的度數(shù)為.

變式訓(xùn)練五

1.//是任意一個(gè)銳角，則的補(bǔ)角比//的余角大

2.已知一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角的余角的3倍，則這個(gè)角的度數(shù)是.

題型六同（等）角的余（補(bǔ)）角相等

例6：如果44+/8=9（）o,44+NC=90。，那么=證明它的依據(jù)是（）

A.等量代換B.同角的余角相等C.余角的定義D.同角的補(bǔ)角相等

變式訓(xùn)練六

1.如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合擺放在桌面上，若N/CD=44。，則/8CF等于

（）

A.54°B.46°C.44°D.22°

2.因?yàn)?4+4=180。，ZA+ZC=180°,所以N8與/C之間的關(guān)系是（）

A.NB=NCB.Z5+ZC=180°C.ZS+ZC=90°D.不確定

題型七垂線定義的理解

例7：如圖，直線48,CA相交于點(diǎn)。，OE工AB,垂足為。，若/EOD=38。，求4BOC

的度數(shù).

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

變式訓(xùn)練七

1.如圖1,漢代的《淮南萬(wàn)畢術(shù)》中記載：“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見(jiàn)四鄰矣.”

這是古人利用光的反射定律改變光路的方法.如圖2,為了探清一口深井的底部情況，在井

口放置一面平面鏡可改變光路.已知角=當(dāng)太陽(yáng)光線與地面CD所成夾

角445c=60。時(shí)，耍使太陽(yáng)光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面

鏡斯，使之與地面的夾角/C3E為（）

圖1

A.70°B.75°D.

2.如圖，已知N8與CD交于點(diǎn)尸，且E/FCF,垂足為尸，若//FE=35。，則NBED=

題型八畫(huà)垂線

例8：已知三角形/3C,用直角三角板過(guò)點(diǎn)A作直線2C的垂線，下列三角板的位置擺放正

確的是（）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

變式訓(xùn)練八

1.如圖，兩個(gè)畫(huà)圖過(guò)程，直觀的刻畫(huà)了一個(gè)幾何定理，這個(gè)定理指的是（）

A.兩點(diǎn)確定一條直線

B.在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短

C.在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

D.同位角相等，兩直線平行

2.如圖，己知點(diǎn)尸在/4O2的邊。/上，按下列語(yǔ)句畫(huà)圖.

（1）過(guò)點(diǎn)尸畫(huà)邊。1的垂線，交邊08于點(diǎn)Af；

⑵過(guò)點(diǎn)P畫(huà)邊02的垂線，垂足為點(diǎn)N.

題型九垂線段最短

例9：數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，我們要會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思

考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界下列生活場(chǎng)景中，用到“垂線段最短"這一數(shù)學(xué)

原理的是（）

B.

打靶瞄準(zhǔn)拉繩插秧

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

跳遠(yuǎn)測(cè)量成績(jī)彎曲河道改直

變式訓(xùn)練九

1.如圖，在鐵路線上有/、B、C、。四點(diǎn)，任選一點(diǎn)來(lái)建火車站.為使清水村人乘車最方

便，火車站應(yīng)建在點(diǎn)一處.

鐵路線

2.立定跳遠(yuǎn)測(cè)量基準(zhǔn)：從起跳線（或延長(zhǎng)線）到落地點(diǎn)的最近痕跡的垂直距離.在體育課

上，某同學(xué)跳遠(yuǎn)后留下的腳印如圖所示，則他本次的跳遠(yuǎn)成績(jī)是（）

A.線段3的長(zhǎng)度B.線段。。的長(zhǎng)度

C.線段PC的長(zhǎng)度D.線段力的長(zhǎng)度

題型十點(diǎn)到直線的距離

例10：如圖，ACIBC,C為垂足，CD1AB,。為垂足，8c=8,C。=4.8,/C=6,那么

點(diǎn)C到48的距離是.

變式訓(xùn)練十

1.如圖，在三角形/8C中，ABLBC,BD^LAC于點(diǎn)D,則點(diǎn)B到直線/C的距離為線段

的長(zhǎng).

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

2.如圖，點(diǎn)尸到直線/距離是（）

B.線段刊?的長(zhǎng)度

C.線段PC的長(zhǎng)度D.線段的長(zhǎng)度

過(guò)關(guān)檢測(cè)

一、單選題

1.下列圖形中，N1與N2是對(duì)頂角的是（）

2.下列說(shuō)法中，正確的有（）

①在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、垂直三種；

②平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；

③過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

④同角或等角的補(bǔ)角相等

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1

3.如圖，要把河里的水引導(dǎo)田地A處，過(guò)點(diǎn)A向河岸Z作垂線，垂足為3,沿挖掘渠能

使所挖的渠道最短，理由是（）

數(shù)學(xué)

A.垂線段最短B.兩點(diǎn)之間，線段最短

C.兩點(diǎn)確定一條直線D.過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線

4.如圖，直線a,b,c交于點(diǎn)。，若/3=110。，則/I與/2的度數(shù)之和為（）

5.過(guò)直線/外一點(diǎn)P畫(huà)/的垂線CD,下列各圖中，三角尺操作正確的是（）

6.平面內(nèi)三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有（）

A.1個(gè)或3個(gè)B.2個(gè)或3個(gè)

C.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)D.0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3

7.如圖，點(diǎn)。直線上，ABOE=ZCOD=90°,那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

A.ZAOE=ZCOBB.ZCOE=ZDOE

C.NAOB與NCOB互為余角D./COE與//O8互為補(bǔ)角

二、填空題

8.若一個(gè)角的度數(shù)為36。，則這個(gè)角的余角的度數(shù)為°.

9.如圖，如果/1=50。，/2與N4互余，那么N3的度數(shù)是

10.已知/a的補(bǔ)角度數(shù)為140。，則/a的度數(shù)為.

11.一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角的3倍還多20。，這個(gè)角的度數(shù)為°.

12.如圖，在三角形/8C中，4D上BC于點(diǎn)、D,DE上AB于藍(lán)E,則圖中表示點(diǎn)。到直線

AB距離的是線段的長(zhǎng)度.

三、解答題

13.如圖，網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)，格點(diǎn)尸是2的邊。3上的一點(diǎn)（請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺借

助網(wǎng)格的格點(diǎn)畫(huà)圖，保留畫(huà)圖痕跡）.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

⑴過(guò)點(diǎn)P畫(huà)。2的垂線，交。/于點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)尸畫(huà)。4的垂線，垂足為尸

(2)線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)尸到直線04的距離，線段尸E、P廠這兩條線段大小關(guān)系是

(用號(hào)連接)，理由是；

⑶圖中/NQ8的余角是(不再標(biāo)注其它字母).

14.如圖，直線/2、CD交于點(diǎn)。；OM1AB,乙1OC:NMOD=1:2,求/MOD和/BOC

的度數(shù).

15.如圖，直線么。,8￡相交于點(diǎn)。，OC1AD,OFLBE.

⑴寫(xiě)出乙4。尸的所有余角及和它相等的角；

(2)若/C。/=4ZDOE,求ADOE的度數(shù).

16.如圖，直線與CD相交于點(diǎn)。，。尸是//0C的平分線，OELAB,OFLCD.

(1)如果N3OC=42。，求乙40尸的度數(shù);

(2)設(shè)Z80C=a,求證：ZEOP=^a.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

專題04兩條直線的位置關(guān)系期末復(fù)習(xí)（十大重點(diǎn)題型+過(guò)關(guān)

檢:則）

重點(diǎn)題型.......................................................................................1

題型一對(duì)頂角的定義............................................................................1

題型二對(duì)頂角相等..............................................................................3

題型三求一個(gè)角的余角..........................................................................4

題型四求一個(gè)角的補(bǔ)角..........................................................................6

題型五與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算.................................................................7

題型六同（等）角的余（補(bǔ)）角相等.............................................................8

題型七垂線定義的理解..........................................................................9

題型八畫(huà)垂線.................................................................................11

題型九垂線段最短.............................................................................13

題型十點(diǎn)到直線的距離.........................................................................14

過(guò)關(guān)檢測(cè)......................................................................................16

重點(diǎn)題型

題型一對(duì)頂角的定義

例1：在圖中，/I與N2是對(duì)頂角的是（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了對(duì)頂角的定義，有公共頂點(diǎn)，且角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角

叫做對(duì)頂角，據(jù)此求解即可.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【詳解】解：由對(duì)頂角的定義可得，四個(gè)選項(xiàng)中，只有c選項(xiàng)中的/I與22是對(duì)頂角,

故選：C.

變式訓(xùn)練一

1.如果把如圖所示的工具的構(gòu)造看作幾條相交的直線，其中有對(duì)頂角的是（）

【答案】B

【分析】本題考查對(duì)頂角，理解對(duì)頂角的意義是正確判斷的前提.根據(jù)對(duì)頂角的意義結(jié)合具

體圖形進(jìn)行判斷即可.有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延

長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角.

【詳解】解：根據(jù)對(duì)頂角的定義可知，有對(duì)頂角的是B選項(xiàng)，

故選：B.

2.觀察以下一系列圖形，過(guò)已知直線外一點(diǎn)作直線與已知直線相交，請(qǐng)你補(bǔ)全探究過(guò)程.

作2條直線與已知直線相交，則圖中共有對(duì)對(duì)頂角；如圖3,作3條直線與已知直線

相交，則圖中共有對(duì)對(duì)頂角.

【歸納總結(jié)】若過(guò)直線外一點(diǎn)作"條直線與該直線相交，則可形成對(duì)對(duì)頂角.

【規(guī)律應(yīng)用】若過(guò)直線外一點(diǎn)作10條直線與該直線相交，則可形成幾對(duì)對(duì)頂角？

【答案】【規(guī)律探究】2：6；12；【歸納總結(jié)］【規(guī)律應(yīng)用】110

【分析】本題考查對(duì)頂角的概念以及多條直線相交于一點(diǎn)，所形成的對(duì)頂角的個(gè)數(shù)的計(jì)算規(guī)

律.

規(guī)律探究：作1條直線與已知直線相交，數(shù)一數(shù)即可得出成2對(duì)對(duì)頂角；作2條直線與已知

直線相交，數(shù)一數(shù)即可得出6對(duì)對(duì)頂角，作3條直線與已知直線相交，數(shù)一數(shù)即可得出12對(duì)

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

對(duì)頂角；

歸納總結(jié)：依次可找出規(guī)律，過(guò)直線外一點(diǎn)作〃條直線與該直線相交，則可形成“5+1）對(duì)

對(duì)頂角.

規(guī)律應(yīng)用：根據(jù)歸納總結(jié)得出得結(jié)論代入求解即可.

【詳解】解：規(guī)律探究：作1條直線與已知直線相交，則圖中共有2對(duì)對(duì)頂角；

作2條直線與已知直線相交，則圖中共有6對(duì)對(duì)頂角；

作3條直線與已知直線相交，則圖中共有12對(duì)對(duì)頂角；

故答案為：2；6；12；

歸納總結(jié)：過(guò)直線外一點(diǎn)作〃條直線與該直線相交，則可形成+對(duì)對(duì)頂角，

故答案為：?（?+1）；

規(guī)律應(yīng)用：過(guò)直線外一點(diǎn)作10條直線與該直線相交，則可形成10x（10+1）=110對(duì)對(duì)頂角.

題型二對(duì)頂角相等

例2：如圖，直線C。相交于點(diǎn)。，若Z/OC=34。，則的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等，掌握這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)對(duì)頂角

相等即可作答.

【詳解】解：NBOD=NAOC=34°；

故選：B.

變式訓(xùn)練二

1.如圖，直線。4-4交于點(diǎn)。，若/l=30。，Z2=115°,則N3的度數(shù)為（）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

A.65°B.75°C.85°D.95°

【答案】C

【分析】本題考查了對(duì)頂角、幾何圖形中角的計(jì)算，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.由對(duì)

頂角相等得44。2=/2=115。，再由角的和差關(guān)系得出N3的度數(shù).

【詳解】解：如圖，

ZAOB=Z2=115°,

：./3=a4。8-/1=115。-30。=85。,

故選C.

2.如圖是一把剪刀的示意圖，我們可想象成一個(gè)相交線模型，若NA0B+NC0D=16°,則

NAOB=.

【答案】38。/38

【分析】本題考查了對(duì)頂角的定義及性質(zhì)，即兩個(gè)角有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分

別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角，且對(duì)頂角相

等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)對(duì)頂角相等即可求解.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【詳解】解：由題意得，/4O8,/COD為對(duì)頂角,

???NAOB=ZCOD,NAOB+ZCOD=76°,

/AOB=NCOD=38°,

故答案為：38。.

題型三求一個(gè)角的余角

例3：如圖，一塊30。的直角三角板放在一條直線上，若4=55。，則/2='

【分析】本題考查平角的性質(zhì).由/1+/2+90。=180°,計(jì)算可得結(jié)論.

【詳解】解：由題意得/1+/2+90。=180。，

???Zl=55°,

?■.Z2=180°-90°-55°=35°,

故答案為：35.

變式訓(xùn)練三

1.若44=25。，則//的余角等于（）

A.55°B.65°C.75°D.125°

【答案】B

【分析】本題主要考查了求一個(gè)角的余角的度數(shù)，度數(shù)之和為90度的兩個(gè)角互余，據(jù)此求

解即可.

【詳解】解：,??4=25。,

???一/的余角=90°一//=90°-25。=65°,

故選：B.

2.如圖一副三角板480和三角板中（乙108=90°,ZCOD=90°,乙4=45。，

ZC=60°）,若CO「3,則能用圖中字母表示出的角中互余的角有對(duì).

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【答案】10

【分析】本題考查三角板中角度的計(jì)算，與余角有關(guān)的計(jì)算，根據(jù)和為90度的兩個(gè)角互為

余角，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：://OB=90°,/COD=90°,NN=45°,

NA+NB=90°,ZC+Z7?=90°,ZAOC+ZBOC=90°,ZCOB+ZDOB=90°,

.?.ZS=45°

vCOLAB,

.-.ZB+ZCOB=90°,

ZCOB=45°,

"DOB=90°-ZBOC=45°,

.■.ZAOC=90°-ZCOB=45°,

/A+ZAOC=90°,N4+ZCOB=90°,ZA+NBOD=90°,

NB+NBOD=90°,ZB+ZAOC=90°；

綜上：能用圖中字母表示出的角中互余的角有10對(duì)；

故答案為：10

題型四求一個(gè)角的補(bǔ)角

例4：若//=56。，則//的補(bǔ)角為（）

A.34°B.44°C.114°D.124°

【答案】D

【分析】本題考查了補(bǔ)角的概念及計(jì)算，掌握補(bǔ)角的概念和計(jì)算方法是關(guān)鍵.

補(bǔ)角是指如果兩個(gè)角的和是180。，那么這兩個(gè)角叫互為補(bǔ)角，由此即可求解.

【詳解】解：若乙4=56。,則NZ的補(bǔ)角=180。-56=124。,

故選：D.

變式訓(xùn)練四

1.如圖，若其中N1=N5,則與22互補(bǔ)的角有（）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【答案】B

【分析】本題考查的是補(bǔ)角，若兩個(gè)角的和等于180。，則這兩個(gè)角互補(bǔ)，掌握補(bǔ)角的定義

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)補(bǔ)角的定義即可求解.

【詳解】解：?.?N2+Nl=180°,N2+N3=180°,

???與/2互補(bǔ)的角是4/3,

???Zl=Z5,

??22+45=180°,

???與/2互補(bǔ)的角是N5,

???與/2互補(bǔ)的角有3個(gè)，

故選：B.

2.一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的5倍，則這個(gè)角的度數(shù)是.

【答案】30。

【分析】本題主要考查了與補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算，度數(shù)之和為180度的兩個(gè)角互補(bǔ)，設(shè)這個(gè)角的

度數(shù)為x°,則這個(gè)角的補(bǔ)角的度數(shù)為180。-、。，再根據(jù)題意建立方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x。，則這個(gè)角的補(bǔ)角的度數(shù)為180。-工。，

由題意得，180。-X。=5》。，

解得x=30,

??.這個(gè)角的度數(shù)為30。，

故答案為；30°.

題型五與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算

例5：已知一個(gè)角的余角是其補(bǔ)角的《，則這個(gè)角的度數(shù)為.

【答案】80。/80度

【分析】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義，設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x,則這個(gè)角的余角為90O-X,

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

補(bǔ)角為180。-x,再根據(jù)題意列出方程，即可求出x的值.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x,則這個(gè)角的余角為9（F-x,補(bǔ)角為180。-%，

由題意得：90°-x=^（180°-x）,

解得x=80。，

故答案為：80。.

變式訓(xùn)練五

1.//是任意一個(gè)銳角，則—/的補(bǔ)角比//的余角大°.

【答案】90

【分析】本題考查了余角和補(bǔ)角，掌握余角和補(bǔ)角的定義是解題概念.先表示出//的補(bǔ)角

和余角，再作差求解即可.

【詳解】解：???//是任意一個(gè)銳角，

.?.44的補(bǔ)角為180°—4,//的余角為90。-44,

?.?（180。-加-（90。-4）=90。，

ZA的補(bǔ)角比N4的余角大90。,

故答案為：90.

2.已知一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角的余角的3倍，則這個(gè)角的度數(shù)是.

【答案】45。/45度

【分析】此題主要考查了余角和補(bǔ)角.設(shè)這個(gè)角為x,則它的余角為（90O-X）,補(bǔ)角為

（180。-x）,根據(jù)題目所給等量關(guān)系列出方程，再解方程即可.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x,

由題意得：180。7=3（90。-切，

解得：x=45。，

故答案為：45°.

題型六同（等）角的余（補(bǔ)）角相等

例6：如果44+/2=90。,44+NC=90。，那么N8=/C.證明它的依據(jù)是（）

A.等量代換B.同角的余角相等C.余角的定義D.同角的補(bǔ)角相等

【答案】B

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【分析】本題主要考查了等角或同角的余角相等的性質(zhì)，熟記余角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)同角的余角相等進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：???^A+AB=90°,+ZC=90°,

???根據(jù)同角的余角相等，可得/8=/C.

故選：B.

變式訓(xùn)練六

1.如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合擺放在桌面上，若乙4。。=44。，則4Cr等于

()

A.54°B.46°C.44°D.22°

【答案】C

【分析】本題考查了同角的余角相等，熟知同角的余角相等是解題的關(guān)鍵.由

NACD+ZBCD=NBCF+NBCD=90°,利用同角的余角相等可得NBCF=ZACD,即可求

解.

【詳解】解：???//CB=/DCP=90。，

ZACD+NBCD=ZBCF+NBCD=90°,

:.NBCF=NACD=44°,

故選：C.

2.因?yàn)?+N5=180。，ZA+ZC=180°,所以N8與NC之間的關(guān)系是()

A.NB=NCB.ZS+ZC=180°C.ZS+ZC=90°D.不確定

【答案】A

【分析】本題考查同角的補(bǔ)角，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：:4+4=180。，ZA+ZC=180°,

:.4B=NC；

故選A.

題型七垂線定義的理解

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

例7：如圖，直線C。相交于點(diǎn)O,0E工AB,垂足為。，若NEOD=38。，求/3OC

的度數(shù).

【分析】本題主要考查了垂線的定義，幾何圖形中角度的計(jì)算，由垂線的定義可得

NB0E=90。,則可求出40。的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義即可得到答案.

【詳解】W：■-OELAB,

ZB0E=90°,

?-?ZEOD=38°,

???ZBOD=ZBOE-ZEOD=52°,

?-?ZBOC=180°-ZBOD=128°.

變式訓(xùn)練七

1.如圖1,漢代的《淮南萬(wàn)畢術(shù)》中記載：“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見(jiàn)四鄰矣.”

這是古人利用光的反射定律改變光路的方法.如圖2,為了探清一口深井的底部情況，在井

口放置一面平面鏡可改變光路.已知角=,當(dāng)太陽(yáng)光線A8與地面CD所成夾

角48c=60。時(shí)，要使太陽(yáng)光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面

鏡斯，使之與地面的夾角/C3E為（）

圖1圖2

A.70°B.75°C.80°D.85°

【答案】B

【分析】本題主要考查了垂線和角的計(jì)算，根據(jù)得/C2M=90。，所以

ZABE+ZFBM=30°,再根據(jù)=得NABE=NFBM=15°,即可得

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

/￡5。=15。+60。=75。.

："CBM=卿,

???NABC=60°,

ZABE+ZFBM=180?！?0°-60°=30°,

???/ABE=ZFBM,

；"ABE=/FBM=15。,

ZEBC=150+60°=15°.

故選：B.

2.如圖，已知45與CD交于點(diǎn)尸，且￡尸_1。尸，垂足為尸，若/AFE=35。,則=

度.

【分析】本題考查垂直的定義，角的和差關(guān)系，對(duì)頂角相等等知識(shí)，利用垂直的定義可知

ZCEF=90°,再運(yùn)用==方+NZFE1求解即可.

【詳解】解：???￡尸，C尸，

??./CM=90。，

又?；ZAFE=35。,

??.ABFD=NAFC=ZCEF+ZAFE=125°.

故答案為：125。

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

題型八畫(huà)垂線

例8：已知三角形N8C,用直角三角板過(guò)點(diǎn)A作直線2c的垂線，下列三角板的位置擺放正

確的是（）

【分析】本題考查作垂線，根據(jù)過(guò)點(diǎn)作已知直線的垂線方法進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：選項(xiàng)A中三角板過(guò)點(diǎn)A,但不垂直8C,故不符合題意；

選項(xiàng)B中三角板過(guò)點(diǎn)A,且垂直3c,故符合題意；

選項(xiàng)C中三角板不過(guò)點(diǎn)A,故不符合題意；

選項(xiàng)D中三角板過(guò)點(diǎn)A,但不垂直5C,故不符合題意，

故選：B.

變式訓(xùn)練八

1.如圖，兩個(gè)畫(huà)圖過(guò)程，直觀的刻畫(huà)了一個(gè)幾何定理，這個(gè)定理指的是（）

A.兩點(diǎn)確定一條直線

B.在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短

C.在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

D.同位角相等，兩直線平行

【答案】C

【分析】此題考查垂線的性質(zhì)，根據(jù)"在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

垂直”進(jìn)行解答即可.

【詳解】解由畫(huà)圖過(guò)程可知，直觀的刻畫(huà)了一個(gè)幾何定理，這個(gè)定理指的是在同一平面內(nèi),

過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，

故選：c

2.如圖，已知點(diǎn)尸在/4O2的邊CM上，按下列語(yǔ)句畫(huà)圖.

(1)過(guò)點(diǎn)尸畫(huà)邊。4的垂線，交邊08于點(diǎn)M；

⑵過(guò)點(diǎn)P畫(huà)邊02的垂線，垂足為點(diǎn)N.

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】本題考查作圖?基本作圖，垂線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解垂線的定義，屬于基礎(chǔ)

題.

(1)根據(jù)垂線的定義畫(huà)出圖形即可；

(2)根據(jù)垂線的定義畫(huà)出圖形即可.

【詳解】(1)解：如圖，直線尸河即為所求；

(2)解：如圖，直線PN即為所求.

題型九垂線段最短

例9：數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，我們要會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思

考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界下列生活場(chǎng)景中，用到“垂線段最短"這一數(shù)學(xué)

原理的是()

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

跳遠(yuǎn)測(cè)量成績(jī)彎曲河道改直

【答案】C

【分析】本題主要考查了線段的性質(zhì)，直線的性質(zhì)和垂線段最短，根據(jù)線段的性質(zhì)，直線的

性質(zhì)和垂線段最短分別判斷即可.

【詳解】解：A、打靶瞄準(zhǔn)為兩點(diǎn)確定一條直線，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、拉繩插秧為兩點(diǎn)確定一條直線，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、跳遠(yuǎn)測(cè)量成績(jī)?yōu)榇咕€段最短，故該選項(xiàng)符合題意；

D、彎曲河道改直為兩點(diǎn)之間，線段最短，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

變式訓(xùn)練九

1.如圖，在鐵路線上有/、B、C、。四點(diǎn)，任選一點(diǎn)來(lái)建火車站.為使清水村人乘車最方

便，火車站應(yīng)建在點(diǎn)一處.

鐵路線

【分析】本題主要考查了垂線段最短，直線外一點(diǎn)到該直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最

短.據(jù)此可得答案.

【詳解】解：由垂線段最短可知，為使清水村人乘車最方便，則火車站應(yīng)建在點(diǎn)C,

故答案為：C.

2.立定跳遠(yuǎn)測(cè)量基準(zhǔn)：從起跳線（或延長(zhǎng)線）到落地點(diǎn)的最近痕跡的垂直距離.在體育課

上，某同學(xué)跳遠(yuǎn)后留下的腳印如圖所示，則他本次的跳遠(yuǎn)成績(jī)是（）

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

A.線段”的長(zhǎng)度B.線段的長(zhǎng)度

C.線段尸C的長(zhǎng)度D.線段尸/的長(zhǎng)度

【答案】D

【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，根據(jù)題意的分析，可以運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離的

定義以及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則作出分析和判斷即可.

【詳解】解在體育課上，某同學(xué)跳遠(yuǎn)后留下的腳印如圖所示，則他本次的跳遠(yuǎn)成績(jī)是線段

PA的長(zhǎng)度，

故選：D.

題型十點(diǎn)到直線的距離

例10：如圖，AC±BC,C為垂足，CD1/3,。為垂足，BC=8,CD=4.S,AC=6,那么

點(diǎn)C到45的距離是.

【分析】本題主要查了點(diǎn)到直線的距離.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離解答即可.

【詳解】解：,??CD，/B,CD=4.8,

.,.點(diǎn)C到的距離是4.8.

故答案為：4.8

變式訓(xùn)練十

1.如圖，在三角形/8C中，AB工BC,BDLAC于點(diǎn)D,則點(diǎn)B到直線/C的距離為線段

的長(zhǎng).

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

c

【答案】BD

【分析】本題考查點(diǎn)到直線之間的距離,正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

直接利用點(diǎn)到直線的距離定義得出答案.

【詳解】解：4c于點(diǎn)。,

???點(diǎn)8到直線/C的距離為線段AD的長(zhǎng).

故答案為：BD.

2.如圖，點(diǎn)尸到直線/距離是（)

B.線段總的長(zhǎng)度

C.線段PC的長(zhǎng)度D.線段尸。的長(zhǎng)度

【答案】C

【分析】本題考查點(diǎn)到直線的距離，直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線

的距離.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離定義求解即可.

【詳解】解：由點(diǎn)到直線的距離定義，可知點(diǎn)尸到直線/距離是線段PC的長(zhǎng)度,

故選：C.

過(guò)關(guān)檢測(cè)

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

一、單選題

1.下列圖形中，/I與N2是對(duì)頂角的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了對(duì)頂角的識(shí)別，掌握對(duì)頂角的定義，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵.

在一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)而沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫做互為對(duì)

頂角、兩條直線相交，構(gòu)成兩對(duì)對(duì)頂角，由此即可求解.

【詳解】解：A、沒(méi)有公共頂點(diǎn)，不是對(duì)頂角，不符合題意；

B、4,N2是三條直線相交的角，不符合題意；

C、N1,N2是對(duì)頂角，符合題意；

D、Z1,N2是三條直線相交的角，不符合題意；

故選：C.

2.下列說(shuō)法中，正確的有（）

①在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、垂直三種；

②平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；

③過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

④同角或等角的補(bǔ)角相等

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1

【答案】C

【分析】本題主要考查了垂線的定義，平行線的性質(zhì)，平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系，補(bǔ)角的

定義，平面內(nèi)，兩直線只有平行和相交兩種位置關(guān)系，據(jù)此可判斷①；根據(jù)垂線的定義可

判斷②；當(dāng)該點(diǎn)在直線上時(shí)，過(guò)該點(diǎn)不能作出已知直線的平行線，據(jù)此可判斷③；同角或

等角的補(bǔ)角相等，據(jù)此可判斷④.

【詳解】解：①在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交兩種，原說(shuō)法錯(cuò)誤；

②平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，原說(shuō)法正確；

③過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，原說(shuō)法錯(cuò)誤；

④同角或等角的補(bǔ)角相等，原說(shuō)法正確；

???說(shuō)法正確的有②④，

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

故選：c.

3.如圖，要把河里的水引導(dǎo)田地A處，過(guò)點(diǎn)A向河岸Z作垂線，垂足為3,沿N8挖掘渠能

使所挖的渠道最短，理由是（）

A.垂線段最短B.兩點(diǎn)之間，線段最短

C.兩點(diǎn)確定一條直線D.過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線

【答案】A

【分析】本題考查了垂線段最短的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握垂線段最短的定理.根據(jù)題意,

點(diǎn)A到直線工的所有連線中，垂線段最短.

【詳解】解：根據(jù)題意，小河可以抽象為一條直線，點(diǎn)A到直線￡的所有連線中，垂線段最

短,

故選：A.

若/3=110。，則N1與22的度數(shù)之和為（)

C.40°D.35°

【答案】A

【分析】本題主要考查了對(duì)頂角相等，平角的定義，角的和差，

先標(biāo)注N4,再根據(jù)對(duì)頂角相等得N4,然后根據(jù)平角定義得/1+/2+/4=180。，即可得出

答案.

【詳解】解：???/3=110。,

.../4=/3=110°.

?■?Zl+Z2+Z4=180°,

AZ1+Z2=180°-110O=70°.

故選：A.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【答案】B

【分析】本題考查了由直線外一點(diǎn)向直線作垂線的方法，掌握垂線的定義是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線的方法作圖即可求解.

【詳解】解：過(guò)直線/外一點(diǎn)尸畫(huà)/的垂線CD,

只有B選項(xiàng)符合題意，

故選：B.

6.平面內(nèi)二條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有（）

A.1個(gè)或3個(gè)B.2個(gè)或3個(gè)

C.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)D.0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3

【答案】D

【分析】本題考查了平行線與相交線，做到不重不漏是解題關(guān)鍵.根據(jù)相交線的定義，作出

所有可能的圖形即可得解.

【詳解】解：當(dāng)平面內(nèi)三條直線平行時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)；

當(dāng)平面內(nèi)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)；

當(dāng)兩條直線平行，另一條直線與之相交時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)；

當(dāng)平面內(nèi)三條直線兩兩相交時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)；

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

即平面內(nèi)三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3,

故選：D.

C.N40B與NCOB互為余角D./COE與互為補(bǔ)角

【答案】B

【分析】本題考查了角的計(jì)算比較.熟練掌握余角，補(bǔ)角的定義和性質(zhì)，角的和差計(jì)算，是

解題的關(guān)鍵.

根據(jù)互余、互補(bǔ)的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，結(jié)合圖形，判斷即可.

【詳解】解：A,■-ZBOE=ZCOD=90°,

ZAOC=180°-NAOC=90°,

???ZAOE+NAOB=ZBOC+ZAOB=90°,

???ZAOE=ZCOB,

二選項(xiàng)正確；

B、???ZCOE=ZAOC+ZAOE=90°+ZAOE,ZDOE=1800-ZAOE,

???ZCOERZDOE,

.??選項(xiàng)不正確；

C、ZAOB+ZCOB=ZAOC=90°,

二選項(xiàng)正確；

D、-■?ZCOE+ZAOB=NBOE+NBOC+ZAOB=ZBOE+ZAOC=180°,

選項(xiàng)正確.

故選：B.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

二、填空題

8.若一個(gè)角的度數(shù)為36。，則這個(gè)角的余角的度數(shù)為

【答案】54

【分析】本題主要考查了求一個(gè)角的余角的度數(shù)，度數(shù)之和為90度的兩個(gè)角互余，據(jù)此求

解即可.

【詳解】解：若一個(gè)角的度數(shù)為36。，則這個(gè)角的余角的度數(shù)為90。-36。=54。,

故答案為：54.

N2與24互余，那么N3的度數(shù)是

【分析】本題考查了余角的定義及等角的余角相等，對(duì)頂角相等，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過(guò)程中

細(xì)心即可.

根據(jù)余角的定義及等角的余角相等，對(duì)頂角相等，即可求解.

【詳解】解：:N4與/2互余,

.-.Z4+Z2=90°,

Zl=Z2=50°,

.?.Z4=90°-Z2=40°,

?-.Z3=Z4=40°.

故答案為：40.

10.已知/a的補(bǔ)角度數(shù)為140。，則/。的度數(shù)為

【答案】40。/40度

【分析】本題考查了求一個(gè)角的補(bǔ)角，根據(jù)互補(bǔ)的兩個(gè)角的和為180。計(jì)算即可得解.

【詳解】解：「/a的補(bǔ)角度數(shù)為140。,

.-.Za的度數(shù)為180。-140。=40。，

故答案為：40°.

11.一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角的3倍還多20。，這個(gè)角的度數(shù)為

【答案】55

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

【分析】本題考查與余角和補(bǔ)角，一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系

式.設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為X,根據(jù)和為180度的兩個(gè)角互為補(bǔ)角，和為90度的兩個(gè)角互為余

角，結(jié)合已知條件，列出方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x,

由題意得：180。7=3（90。-x）+20。，

整理得，2x=110°,

解得x=55°,

所以這個(gè)角的度數(shù)為55。，

故答案為：55.

12.如圖，在三角形N8C中，ADJ.BC于點(diǎn)、D,DEJ.AB于點(diǎn)、E,則圖中表示點(diǎn)。到直線

AB距離的是線段的長(zhǎng)度.

【答案】DE/ED

【分析】本題考查的是點(diǎn)到直線的距離.熟知點(diǎn)到直線的距離的就是這個(gè)點(diǎn)到這條直線的垂

線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)"直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離”進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：,??OE工42,垂足為點(diǎn)E,

???圖中表示表示點(diǎn)。到直線N3距離的是線段0E的長(zhǎng)度.

故答案為：DE.

三、解答題

13.如圖，網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)，格點(diǎn)P是的邊上的一點(diǎn)（請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺借

助網(wǎng)格的格點(diǎn)畫(huà)圖，保留畫(huà)圖痕跡）.

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)

⑴過(guò)點(diǎn)P畫(huà)。2的垂線，交CM于點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)尸畫(huà)。N的垂線，垂足為尸

(2)線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)尸到直線04的距離，線段尸￡、P尸這兩條線段大小關(guān)系是

(用"〈"號(hào)連接)，理由是;

⑶圖中//08的余角是(不再標(biāo)注其它字母).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)PF,PF<PE,垂線段最短

(3)NOEP和20PP

【分析】本題主要考查了畫(huà)垂線，點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短和余角的定義，正確作出對(duì)

應(yīng)的圖形是解題的關(guān)鍵；

(1)如圖所示，取格點(diǎn)連接F歸交