第一章一元二次方程

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.尤+1=2B.X2—4x=3C.x+2y=1D.xy-3=5

2.已知3是關(guān)于x的方程Y-（機(jī)+l）x+2機(jī)=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

恰好是等腰VABC的兩條邊的邊長(zhǎng)，則VABC的周長(zhǎng)為（）

A.7B.10C.11D.10或11

4

3.若函數(shù)y=—的圖象與一次函數(shù)＞=丘+2的圖象有公共點(diǎn)，則％的取值范圍是（）

x

A.—B.—，且k^O

44

C.，且k^OD.—

44

4.“五一”期間，市工會(huì)組織籃球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)），共進(jìn)行

了45場(chǎng)比賽，則這次參加比賽的隊(duì)伍有（）

A.12支B.11支C.9支D.10支

5.關(guān)于元的方程依2一3%+2=0是一元二次方程，則（）

A.?>0B.〃W0C.a=lD.a>0

6.某市決定改善城市容貌，綠化環(huán)境,計(jì)劃經(jīng)過兩年時(shí)間，綠地面積增加44%,這兩年平

均每年綠地面積的增長(zhǎng)率是（）

A.20%B.11%C.22%D.44%

7.某地區(qū)2017年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬(wàn)元，預(yù)計(jì)到2019年共投入8000萬(wàn)元.設(shè)這兩年投

入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x,則下列方程正確的是（）

2

A.2500+2500（l+x）+2500（l+x）=8000B.2500尤2=8000

C.2500（1+x）2=8000D.2500（1+%）+2500（1+x）2=8000

8.方程N(yùn)—3x=4根的判別式的值是（）.

A.-7B.25C.±5D.5

9.如果2是方程Y-3x+左=0的一個(gè)根，則常數(shù)上的值為（）

A.2B.1C.-1D.-2

10.一元二次方程/+2%+4=0的根的情況是（）

A.有一個(gè)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

11.小明在解方程--以=2時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過程如下：

'/a=1,b=Y,c=-2（第一步），

，〃_4ac=（-4）2-4xlx（—2）=24（第二步），

AX=-4±V24（第三步），

2

...西=一2+遙，X2=-2-A/6（第四步）.

小明解答過程開始出錯(cuò)的步驟是（）

A.第一步B.第二步C.第三步D.第四步

12.方程-N+3x=l用公式法求解，先確定a,b,c的值，正確的是（）

A.a=-l,b=3,c=-lB.a=-l,b=3,c=l

C.a=-l,b=-3,c=-lD.a=l,b=-3,c=-l

二、填空題

13.若方程=0的一個(gè)根是加，則代數(shù)式療一加+5=.

14.若方程（％-2）2=。-4有實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍是.

15.已知實(shí)數(shù)七方滿足（2a2+62+l）（2a2+〃-1）=80,試求2/+"的值.

解：^&.2a2+b2=m.

原方程可化為（〃?+1）（機(jī)-1）=80,即7〃2=81,解得祖=±9.

2a2+b2>0,.\2a2+b2=9.

上面的這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜

的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使

復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化.請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料，解決問題.

已知實(shí)數(shù)蒼了滿足（2d+2y2-l）（x2+/）=3,貝U3/+39-2的值為.

16.已知彳=6+忘，>=石一夜.則/-5沖+/的值為.

17.若代數(shù)式。-4）2與代數(shù)式9（4-x）的值相等，則片.

三、解答題

18.根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：

(1)已知尤2-2xy+2y2+6y+9=0,求孫的值；

(2)己知△ABC的三邊長(zhǎng)。、b、c都是正整數(shù)，且滿足/+62-ioa-i2b+61=0,ABC

的最大邊c的值；

(3)已知a-b=8,ab-Vc2-16c+80=0,求a+6+c的值.

315

19.試用配方法證明：無論x取何值，代數(shù)式/+3%-彳的值都不小于一：.

24

20.用直接開平方法解下列方程:

(1)x2—6x+9=16；

(2)9X2+24X+16=4(^-1)2.

21.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化為一般形式.

⑴正方體的表面積為36,求正方體的邊長(zhǎng)x；

⑵在新春佳節(jié)到來之際，九(6)班所有的同學(xué)準(zhǔn)備送賀卡相互祝賀，所有同學(xué)送

完后共送了1980張，求九(6)班的同學(xué)人數(shù)x.

22.解方程：

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的多種解法：如因式分解法，開平方法，配方法和公式法，還

可以運(yùn)用十字相乘法，請(qǐng)從以下一元二次方程中任選兩個(gè)，并選擇你認(rèn)為適當(dāng)?shù)姆椒ń膺@個(gè)

方程.

0x2-4x-l=0,②x(2x+l)=8x-3,(3)x2+3x+l=0,(4)x2-9=4(x-3)

我選擇第幾個(gè)方程.

23.解方程：

(1)X2-4X-2=0;

53

(2)-------=——.

2x+lx-2

24.某學(xué)校生物興趣小組在該?？盏厣蠂艘粔K面積為200平方米的矩形試驗(yàn)田，用來種植

蔬菜，如圖，試驗(yàn)田一面靠墻，墻長(zhǎng)35米，另外三面用49米的長(zhǎng)籬笆圍成，其中一邊開有

一扇1米寬的門（不包括籬笆），求試驗(yàn)田垂直于墻的一邊A8的長(zhǎng)為多少米？

AD

B門C

《第一章一元二次方程》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BDBDBAABAD

題號(hào)1112

答案CA

1.B

【分析】本題主要考查一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義（只含有一個(gè)未知數(shù)，

且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程）逐一判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】解：A.x+l=2：是一元一次方程，不符合條件；

B.X2-4X=3：只含有一個(gè)未知數(shù)x,且x的最高次數(shù)為2,是一元二次方程；

C.x+2y=l：含有兩個(gè)未知數(shù)x和八是二元一次方程，不符合條件；

D.孫-3=5：含有兩個(gè)未知數(shù)x和丫，且乘積項(xiàng)孫的次數(shù)為2,是二元二次方程，不符合

條件；

故選：B.

2.D

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定義，構(gòu)成三角形的條件，等

腰三角形的定義，先把x=3代入原方程求出根的值，進(jìn)而解方程求出x=3或x=4,再分當(dāng)

腰長(zhǎng)為3時(shí)，則底邊長(zhǎng)為4,當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，則底邊長(zhǎng)為3,兩種情況利用構(gòu)成三角形的條

件進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：是關(guān)于尤的方程f-（m+l）x+2m=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，

32—3（7〃+1）+2〃2=0,

解得Ml=6,

.,.原方程為犬-7刀+12=0,

解方程Y—7X+12=0得x=3或x=4,

當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí)，則底邊長(zhǎng)為4,

V3+3>4,

.,?此時(shí)能構(gòu)成三角形，

此時(shí)VA5c的周長(zhǎng)為3+3+4=10；

當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，則底邊長(zhǎng)為3,

3+4>4,

，此時(shí)能構(gòu)成三角形，

此時(shí)VABC的周長(zhǎng)為3+4+4=11,

綜上所述，VABC的周長(zhǎng)為10或11,

故選D.

3.B

【分析】聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式可得區(qū)2+2x-4=0,再根據(jù)根的判別式求出發(fā)的取值范圍

即可.

4

V=—4

【詳解】解：由％得履+2=—,

y=kx+2X

整理得kx2~\-2x-4=0,

??,圖象有公共點(diǎn)，

.\A=22+4^X4>0,

4

二上的取值范圍是文-9且時(shí)0,

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的問題，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)和一次函

數(shù)的解析式、根據(jù)根的判別式求出左的取值范圍.

4.D

【詳解】解：設(shè)這次有尤個(gè)隊(duì)參加比賽，由題意得：

;尤（尤-1）=45,解得x=10或-9（舍去）；

這次有10個(gè)隊(duì)參加比賽.故選D.

5.B

【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義，要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看

它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理.如果能整理為依2+bx+c=0（aw0）的形式，

則這個(gè)方程就為一元二次方程.

【詳解】解：若關(guān)于x的方程分2一3》+2=0是一元二次方程，貝UawO.

故選：B.

6.A

【分析】可設(shè)這兩年平均每年的增長(zhǎng)率為x,因?yàn)榻?jīng)過兩年時(shí)間，讓市區(qū)綠地面積增加44%,

則有（1+x）2=1+44%,解這個(gè)方程即可求出答案.

【詳解】設(shè)這兩年平均每年的綠地增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意得，

（1+x）2=1+44%,

解得xi=-2.2（舍去），X2=0.2.

答：這兩年平均每年綠地面積的增長(zhǎng)率為20%.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了增長(zhǎng)率的問題，一般公式為：原來的量X（1±X）2=現(xiàn)在的量，增長(zhǎng)用+,

減少用-但要注意解的取舍，及每一次增長(zhǎng)的基礎(chǔ).

7.A

【分析】本題考查的是一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，增長(zhǎng)率問題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前

的量x（1+增長(zhǎng)率），如果教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)2017年投入2500萬(wàn)元，則

2018的教育經(jīng)費(fèi)為：25000+x）萬(wàn)元，2019的教育經(jīng)費(fèi)為：2500（l+x）2萬(wàn)元，再利用總量

為8000萬(wàn)元可得方程.

【詳解】解：設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為無，則2018的教育經(jīng)費(fèi)為：25000+x）萬(wàn)元，

2019的教育經(jīng)費(fèi)為：2500（l+x）2萬(wàn)元，

那么可得方程：2500+2500（1+%）+2500（1+x）2=8000,

故選A.

8.B

【詳解】解：方程化為：/_3尤-4=0

A=￡>2-4ac,a=l,b=-3,c=-4

△=b2-4ac=9+16=25

故選B

9.A

【分析】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，把x=2代入已知方程，從而

列出關(guān)于左的新方程，通過解方程來求％的值.

【詳解】解：是方程f-3無+左=0的一個(gè)根，

.?.22-3x2+女=0,

.,.—2+左=0,

解得人=2；

故選：A.

10.D

【詳解】試題分析：△=22-4X4=-12<0,故沒有實(shí)數(shù)根；

故選D.

考點(diǎn)：根的判別式.

11.C

【分析】根據(jù)公式法X=一"心^，可得第三步為x=±"士后,即可解答.

2a2

【詳解】解：根據(jù)公式法可得天=一""2一4〃。，

2a

故第三步為x=-（T）士國(guó),

2

所以第三步開始出錯(cuò)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的解的公式是解題的關(guān)鍵.

12.A

【詳解】解：-x2+3x=1,-x2+3x-1=0,/.a=-l,b=3,c=-l.故選A.

13.6

【分析】由方程元2-x-l=0的一個(gè)根是7〃可得相2-7”=1,進(jìn)而可求出療-〃2+5的值.

【詳解】解：把戶機(jī)代入必一%-1=0,得

JTI2—m—1=0）

m2—m-l>

?'?代數(shù)式病-"2+5=1+5=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解的定義，能使一元二次方程成立的未知數(shù)的值叫作一元

二次方程的解，熟練掌握一元二次方程解得定義是解答本題的關(guān)鍵.

14.a>4

【分析】根據(jù)直接開平方法的條件求解即可.

【詳解】解：：方程（X—2）2=。-4有實(shí)數(shù)根，（*-2）220,

...a-420,則a24,

故答案為：a>4.

【點(diǎn)睛】本題考查直接開平方法解一元二次方程，熟知直接開平方法解一元二次方程

（67X+bp=左時(shí)，必須滿足k>Q這一條件是解答的關(guān)鍵.

15.-

2

【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)換元法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.令

x2+y2=m,則原方程為（2加一1）m=3,結(jié)合Y+/>0可得答案.

【詳解】解：令x?+y2=優(yōu)；

則原方程為（21）機(jī)=3；

3

解得：冽二萬(wàn)或根=一1；

x2+y2>0；

.??2=1；

35

???3X92+39/-2=3X——2=-；

22

故答案為：—.

2

16.5

【分析】由于1+產(chǎn)2豆，孫=1方便運(yùn)算，故可考慮將代數(shù)式化為含G+y）和孫的項(xiàng)，再

整體代入（x+y）和孫的值，進(jìn)行代數(shù)式的求值運(yùn)算.

【詳確軍】解：,**x=A/3+A/2,y=石-V2.

:?x+y=26,xy=lf

x2-5xy+y2=（x2+2xy+y1）-^xy=（_x+y）1-Ixy,

.?.原式=（2后-7*1=5,

故答案為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值和二次根式的運(yùn)算.由于直接代入計(jì)算復(fù)雜容易出錯(cuò)，因此

可考慮整體代入，

17.4或-5

【分析】利用兩代數(shù)式的值相等列方程(x-4)2=9(4-x),再移項(xiàng)得到(x-4)2+9(x-4)=0,

然后利用因式分解法解方程.

【詳解】解：根據(jù)題意得(x-4)2=9(4-x),

(x-4)2+9(x-4)=0,

(x-4)(x-4+9)=0,

x-4=0或x-4+9=0,

所以xi=4,X2=-5.

故答案為4或-5.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再把左邊通過

因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到

兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一

次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

18.(1)9

(2)6、7、8、9、10

(3)8

【分析】(1)將已知的等式化為(方田2+"+3)2=0,再根據(jù)平方式的非負(fù)性即可求解；

(2)將已知的等式化為(/5)2+(66)2=0,再根據(jù)平方式的非負(fù)性即可求出。、b,再根據(jù)

三角形三邊的關(guān)系即可就出c的取值范圍，即可求解；

(3)將已知的等式化為(。-4)2+(58)2=0,再根據(jù)平方式的非負(fù)性即可求解；

【詳解】(1),:x2-2xy+2y2+6y+9=0,

(x2-2xy+y2)+(y2+6y+9)=0,

(x-yf+(y+3)2=0,

/.尸y=0,y+3=0,

x=~3,>=-3,

/.xy=(-3)x(-3)=9,

即孫的值是9；

(2)：/+62-10。_⑵+6i=o,

0a+25)+(b2-l2b+36)=0,

(a-5>+$-6)2=0,

a-5=0,b-6=0,

a=5,b=6,

V6-5<c<6+5,c>6,

A6<c<ll,

???△ABC的最大邊c的值可能是6、7、8、9、10；

(3)*.*a-b=8,tzZ?+c2-16c+80=0,

:?〃(。-8)+16+(c-8)2=0,

22

A(^-4)+(C-8)=0,

a~4-=0,c-8=0,

a=4,c=8,

即萬(wàn)=々-8=4-8=-4,

a+b+c=4_4+8=8,

即a+b+c的值是8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用以及平方數(shù)的非負(fù)性等知識(shí)，靈活運(yùn)用完全平

方公式是解答本題的關(guān)鍵.

19.見解析

3315

【分析】先用配方法把代數(shù)式V+3%-=化成(X+；)2-丁的形式，然后即可證明.

224

331515

【詳解】證明：???f+3x—：=(x+=)2-了之_丁，

2244

31s

???無論X取何實(shí)數(shù)，代數(shù)式％2+3X-7的值都不小于-二.

24

【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)的最值，難度適中.

2

20.(1)玉=7,x2=-\.(2)芯=-6,x2=--.

【分析】(1)先把左邊寫成完全平方的形式，再開平方即可；

(2)先把左邊寫成完全平方的形式，再開平方即可；

【詳解】(1)原方程可化為(x-3尸=16,

兩邊開平方，得x-3=±4,

所以x-3=4或x-3=4

=

所以無1=7,x2—1.

(2)原方程可化為(3X+4)2=4(X-1)2,

兩邊開平方，得3x+4=±2(尤-1),

所以3x+4=2(x—1)或3x+4=—2(x—1),

所以3x+4=2%一2或3x+4=-2x+2,

2

所以玉=-6,x2

【點(diǎn)睛】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，把左邊改寫成完全平方的形式是解答本

題的關(guān)鍵.

21.⑴見解析;(2)見解析;

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)正方體的表面積公式即可得；

(2)互送賀卡屬于雙循環(huán)，根據(jù)雙循環(huán)總場(chǎng)次的計(jì)算方法：隊(duì)伍數(shù)x(隊(duì)伍數(shù)一1)=總場(chǎng)次，

即可列出方程，然后進(jìn)行整理即可.

試題解析：(1)6x2=36,一般形式為6x2—36=0；

(2)x(x—1)=1980,一般形式為x2—x—l980=0.

22.Xi=3,X2=l.

【分析】①此方程利用公式法解比較方便；

②此方程利用因式分解法解比較方便；

③此方程利用公式法解比較方便；

④此方程利用因式分解法解比較方便.

【詳解】我選第①個(gè)方程，解法如下：

x2-4x-l=0,

這里a=l,b=-4,c=-l,

VA=16+4=20,

???x二4±2百二2±百，

2

則XI=2+75，X2=2-75;

我選第②個(gè)方程，解法如下：

x(2x+l)=8x-3,

整理得：2x2-7x+3=0,

分解因式得：(2x-l)(x-