數(shù)學人教版9年級上冊

第22單元（二次函數(shù)）單元測評卷

（時間：120分鐘總分：120分）

學校:姓名：班級：學號：

題號——四總分

得分

一、單選題（共15題滿分45分每題3分）

1.豎直上拋物體離地面的高度Mm）與運動時間上）之間的關系可以近似地用公式

//=-5產+卬+%表示，其中4（m）是物體拋出時離地面的高度.％（m/s）是物體拋出時的速度.某

人將一個小球從距地面0.5m的高處以20m/s的速度豎直向上拋出，小球達到的離地面的最大

高度為（）

A.20.5mB.21.5mC.22.5mD.23.5m

2.二次函數(shù)y=2（x+⑹?+”的圖象如圖所示，則一次函數(shù)丫=加+加的圖象經過（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

3.關于二次函數(shù)y=27n?+（l—〃z）x—l—7"（mNO）,現(xiàn)給出以下結論:

①函數(shù)圖象經過尤軸上一定點，且該點的坐標為（1，。）；

②當加=T時，函數(shù)圖象的頂點坐標是

③當機＞0時，函數(shù)圖象截X軸所得的線段長度大于

④當機＜0,尤時，，隨X的增大而減小.

其中正確的有（）

1

A.4個B.3個C.2個D.1個

4.已知二次函數(shù)y=〃+6x+c（"0）,當，＞〃時，x的取值范圍是,且該二次函

數(shù)的圖象經過點M（3,m+1）,N（d，M兩點，則d的值不可能是（）

A.-4B.4C.-6D.6

5.已知點A（-2,yJ,3。,%）,C（2,%）都在二次函數(shù)y="-2or+5（a＞0）的圖象上，則%,%，%的

大小關系用表示為（）

A.%＜%＜%B.C.y2VD.

6.如果將拋物線y=（x7）2向下平移2個單位，那么平移后拋物線與y軸的交點坐標是（）

A.（-1,0）B.（0,-1）C.（-2,0）D.（3,0）

7.如圖是蔬菜塑料大棚及其正面的示意圖.示意圖中曲線AGMD可近似看作一條拋物線，四

邊形A3CD為矩形且支架A3,CD,GH,AW均垂直于地面BC.已知3C=6米，M=2米，

以BC所在的直線為X軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy（規(guī)定一個

單位長度代表1米），若點”的坐標為（1,3）,則拋物線的表達式為（）

8.已知二次函數(shù)＞=62+（。2-4。卜+。-5（a為常數(shù)且”片0）的圖象經過（-加,〃）和（m,九）兩點,

則二次函數(shù)與y軸的交點坐標為（）

A.（0,1）B.（0,-1）C.（0,-5）D.（0,4）

9.已知點AU，X）,8（巧，%）,C（x3,丫3）在二次函數(shù)〉=-爐+。（O0）的圖象上，點A、

C是該函數(shù)圖象與正比例函數(shù)＞=入（左為常數(shù)且左＞0）的圖象的交點，若再＜0（尤2＜w,則%,

2

為，力的大小關系為（）

A.%<%<%B.%<%<為

C.y2<yi<y3D.%<%<必

10.在平面直角坐標系中，拋物線y=-（x+l）2+2關于y軸對稱的拋物線的解析式為（）

A.y=-（x-l）2+2B.y=-（x+l）2-2

C.>=（尤+1）~—2D.y=（x—I）2+2

11.在平面直角坐標系中，拋物線y=/-2x+3與直線y=x+4交于A、3兩點，點A在點3的

右側，則-%-4的值為（）

A.V13B.-3C.-1D.721

12.如圖，二次函數(shù)、="2+2了-3的圖象與工軸交于（-3,0）,下列說法正確的是（）

B.頂點坐標為（-1，-3）

C.對稱軸為直線x=-l

D.當x<-3時，y隨x的增大而增大

13.關于二次函數(shù)y=l和y=-d的圖象，以下說法正確的有（）

①兩圖象都關于X軸對稱；②兩圖象都關于y軸對稱；③兩圖象的頂點相同；④兩圖象的開口

方向不同；⑤點（-U）在拋物線y=Y上，也在拋物線y=f2上.

A.2個B.3個C.4個D.5個

14.已知正方形的邊長為xcm,則它的面積Men?）與邊長x（cm）的函數(shù)圖象為（）

3

15.在同一平面直角坐標系中，拋物線％=依2+服與直線%=2x的圖象如圖所示，那么不等式

)

0<x<2C.x>2D.%vO或x〉2

二、填空題（共10題滿分30分每題3分）

16.對于拋物線y=~4x+，-7,有下列說法，①拋物線的開口向上，②對稱軸為x=2,③頂

點坐標為（2,-3）,④點（-;，-9）在拋物線上,⑤拋物線與X軸有兩個交點.其中正確的有.

17.已知A（-3,*）,8（3,%）是拋物線〉=2（》-1）2+1上的兩點，則升％的大小關系是%—巴.

（用或“=,，填空）

18.已知拋物線、=加+云+。（。＞0）經過點A（3-私另），B（m+l,y2）,C（2-41）,￡＞（〃/），且%＞為,

則機的取值范圍是.

19?點42,如在二次函數(shù)y=-d的圖象上，則機=，點A關于x軸的對稱點3的坐標

是，點A關于y軸的對稱點C的坐標是,B,C兩點中在拋物線y=-Y上的點

是.

4

20.已知拋物線y=-（x-l）2,當X>1時，y隨著X的增大而；當X<1時，y隨著X的增大

而.

21.已知函數(shù)尸居-41的大致圖象如圖所示，對于方程|Y-4|=根（機為實數(shù)），若該方程恰有

3個不相等的實數(shù)根，則機的值是.

4、

22.某種型號的小型飛行器著陸后滑行的距離S（單位：米）關于滑行的時間，（單位：秒）的函

數(shù)解析式是5=10—0.25〃，此飛行器滑行的最大距離是米.

23?點（-1,0）在一個二次項系數(shù)為1的二次函數(shù)的圖像上，試寫出一個符合題意的二次函數(shù)的

解析式：.

24.標準大氣壓下，質量一定的水的體積V（cn?）與溫度《P）之間的關系滿足二次函數(shù)

V=》O+104Q0）,則當溫度為4°C時，水的體積為cm3.

25.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線>y=3x?向右平移優(yōu)（加>0）個單位得到另一

拋物線4,兩拋物線相交于點A,記右的頂點為8,作點A關于x軸的對稱點A.若四邊形。鉆

A是正方形，則經過。、A、5三點的拋物線的解析式是.

三、解答題（共5題滿分45分）

26.如圖，關于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于點41,0）和點8,與》軸交于點以。,3）,

拋物線的對稱軸與x軸交于點。.

5

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）在y軸上是否存在一點p,使APBC為等腰三角形？若存在.請求出點p的坐標.像

27.定義：兩個二次項系數(shù)之和為1,對稱軸相同，且圖像與>軸交點也相同的二次函數(shù)互為

友好同軸二次函數(shù).例如：、=2三+4彳-5的友好同軸二次函數(shù)為六-/-2x-5.

⑴函數(shù)'尤2-2X+3的友好同軸二次函數(shù)為？

（2）當-IW4時，函數(shù)、=（1-。）--2（1-耽+3（"0且"1）的友好同軸二次函數(shù)有最大值為5,

求。的值.

⑶已知點（加，P），（加，4）分別在二次函數(shù)X=/+4ax+c（a>g且分1）及其友好同軸二次函數(shù)內的

圖像上，比較的大小，并說明理由.

28.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線/：產彳-2與％軸，y軸分別交于點A,B,拋物

線y=Y+&v+c經過點B,且與直線I的另一個交點為C（8,〃）.

備用圖

6

⑴求〃的值和拋物線的解析式.

(2)已知P是拋物線上位于直線2C下方的一動點(不與點3,C重合)，設點P的橫坐標為a.當

。為何值時，A3尸C的面積最大，并求出其最大值.

(3)在拋物線上是否存在點“，使△3MC是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出

點”的坐標；若不存在，請說明理由.

29.如圖①，有一個直徑為20m的圓形噴水池，四周安裝一圈噴頭，噴射水柱呈拋物線型，

在水池中心。處立著一個直徑為0.8m的圓柱形實心石柱，各方向噴出的水柱在石柱頂部的中

心點M處匯合.如圖②，水柱距水池中心4m處到達最大高度為6m,建立如圖②所示的平面

直角坐標系.

(1)選擇圖②中一條拋物線求其對應的函數(shù)關系式.

(2)求點M的縱坐標.

(3)如圖③，在水池里過水池中心的直線上安裝一排直線型噴頭，且噴射水柱豎直向上，高度

均為相鄰兩個直線型噴頭的間距均為1.2m,且噴射的水柱不能碰到拋物線型水柱，要

O

求在符合條件處都安裝噴頭，安裝后關于。航成軸對稱分布，且每相鄰的兩個直線型噴頭的

間距為1.2m.直接寫出離中心。最遠的兩個直線型噴頭的水平距離.

7

30.某班級在一次課外活動中設計了一個彈珠投箱子的游戲(長方體無蓋箱子放在水平地面

上).同學們受游戲啟發(fā)，將彈珠抽象為一個動點，并建立了如圖所示的平面直角坐標系(x

軸經過箱子底面中心，并與其一組對邊平行，矩形DEFG為箱子的截面示意圖)，某同學將彈

珠從A(l,0)處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線心:丫=奴2+桁+：(單位長度為1m)的一部分，且

31

當彈珠的高度為5m時，對應的兩個位置的水平距離為2m.已知。石=lm,￡b=em,ZM=4.7m.

%

H_________V

DEOAx

(1)求拋物線L的解析式和頂點坐標.

(2)請通過計算說明該同學拋出的彈珠能投入箱子.

⑶若彈珠投入箱內后立即向左上方彈起，沿與拋物線L形狀相同的拋物線〃運動，且無阻擋

時最大高度可達;m,則彈珠能否彈出箱子？請說明理由.

8

參考答案

1.A2,D3.B4.A5.A6.B7.A8.B9.D10.A11.A12.C13.B

14.C15.B

16.①②⑤

17.>

18.m<\

19.T(2,4)(-2,-1)點C

20.減小增大

21.4

22.100

23.y=f+3x+2(答案不唯一)

24.106

25.y=3x2-2x

26.(1)解：把4L0)和。(0,3)代入y=/+云+。，

]l+b+c=0

[c=3

解得：b=Y,c=3,

二?二次函數(shù)的表達式為：y=f-4x+3；

(2)令y=o,則*2_4X+3=0,

解得：*=1或x=3,

8(3,0),

BC=30,

點P在了軸上，當APBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖，

9

①當CP=CB時，PC=3近,

OP=OC+PC=3+3y/2OP=PC-OC=3yj2-3

，(0,3+3正)，鳥(0,3-30)；

②當=時，OP=OC=3,

?■^(0,-3)；

③當尸3=PC時，

■：OC=OB=3

，止匕時尸與。重合，

..,(0,0)；

綜上所述，點P的坐標為：(0,3+3點)或(0,3-3虎)或(0,-3)或(0,0).

27.(1)設友好同軸二次函數(shù)為y=+法+<?(4*0),

由函數(shù)>=:尤2-2x+3可知，

-2_

對稱軸為直線—一二二匕與y軸交點為①⑶，

4

13x=___--=44

=。=3,對稱軸為直線光—?3,

44Zx-■

4

h——6,

10

3

，友好同軸二次函數(shù)為,丫=/2-6苫+3；

(2)由函數(shù)y=(l-a)/-2(l-a)x+3(。*0且awl)可求得，

該函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為y=af-2ax+3=a(x-l)2+3-a；

2

①當a〉0時，尤=4時，ymax=fl(4-l)+3-a=8a+3=5,

解得：。;

2

②當q<0時，尤=］時，Jmax=?d-D+3-a=3-a=5,

解得：。=-2；

綜上所述，。或2

(3)由函數(shù)%=依2+4依+°色>；且a#D可求得，

該函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為%=(1-。)必+4(1-a)x+c,

把(m,分別代入%,當可得，

p=am2+4am+c,q=(1—a)m2+4(1—a)m+c,

貝Up_q=am2^4am^c—^(l—a)rn2+4(1—a)m+c^=(2a—l)m2+4(2a—l)m,

1

2

(2a—1)>0,

①當p_g〉0時，P>q,BP(la-l)m2+^(2a-l)m>0,

m2+4m>0,

解得：機<T或加>0；

②當p_q<0時，P〈q,即(2a-+4(2iz-l)m<0,

m2+4m<0，

解得：—4<m<0；

③當p_q=0時，P=q,BP(2a-l)m2+4(2?-l)m=0,

m2+4m=0，

11

解得：加=-4或%=0；

綜上所述，當根=T或加=0時，p=q；

當機＜-4或機＞0時，p＞q；

當一4vmv0時，p〈q.

28.（1）解：對于y=x—2,

令x=0,則產-2,

令y=x-2=0,解得：x=2,

當％=8時，幾=8—2=6,

???點A、B、C的坐標分別為A（2,0）I（0,-2）,C（8,6）；

將點5、。的坐標代入拋物線的表達式得：

c=-2b=-7

,解得:

64+86—2=6c=-2

???拋物線的表達式為y=f_7%-2；

（2）解：如圖，過點尸作y軸的平行線交A5于點凡連接BRCP,

設點P的坐標為(。,。2-7°-2),則點”(a,a-2),

??PH-ci—2—a?+7a+2=—片+8a,

/\BPC體|面'積=S&PHB+S/He=3PH,(%XR)=](―a?+8Q)X(80)——4/+32a=—4(Q—4)+64,

-4<0,

.??當〃=4時，的面積存在最大值，最大值為64；

12

（3）解：存在，理由如下：

①當點3為直角頂點時，如圖，此時NCBM=90。，分別過點M和點C作y軸的垂線，垂足分

別為N,D,

,：B（0,-2）,C（8,6）,

BD—8,CD—8,

ZCBD=45°,

?.?ZCBM=90°,

：./MBN=45。,

即"MN是等腰直角三角形，

，BN=MN,

設MN=t,則BN=Z,

/.M（r,-7-2）,

?.?點M在拋物線上，

：.e-lt-2=-t-2,解得f=6或0（舍）,

MN=BN=6,ON=8,

AM（6,-8）；

②當點C為直角頂點時，如圖，此時/3CM'=90。，過點”作y軸的垂線ME,過點C作x

軸的垂線CE,

13

由①知NBC。=45。，

/M'CD=45。,

：.ZM'CE=45。,

：.M'E=CE,

設點M的橫坐標為機，則AfE=CE=-〃z+8,

AT(m,—根+8+6),

—zn+8+6=/??2—7M?—2,解得〃?=—2或8(舍)，

綜上所述，存在點〃，使△BMC是以BC為直角邊的直角三角形，此時點”的坐標為(6,-8)或

(-2,16).

29.(1)解：選擇圖②中第一象限內的拋物線求其對應的函數(shù)關系式，

由題意，得拋物線的頂點坐標為(4,6),

設拋物線對應的函數(shù)關系式為V=2-4y+6,

將點2(10,0)代入，得0(10-4)2+6=0,

14

解得a=

o

拋物線對應的函數(shù)關系式為y=-1(x-4)2+6,

6

選擇圖②中第二象限內的拋物線求其對應的函數(shù)關系式.

由題意，得拋物線的頂點坐標為(Y，6),

設拋物線對應的函數(shù)關系式為J="(X+4)2+6,

將點A(-10,0)代入，得〃(-10+4>+6=0.

解得"Y，

6

拋物線對應的函數(shù)關系式為y=-J(x+4)2+6；

O

(2)解：當x=0時，y=-l(0-4)2+6=^,

63

???點M的縱坐標為g；

71

(3)解：當>=三時，

O

—1)2+63

解得：益=8.5,x2=-0.5,

???安裝后關于成軸對稱分布，實心石柱直徑為Q8m,鄰的兩個直線型噴頭的間距為L2m,

0.8+2=04,12+2=0.6,0.6>0.4,

7

/.(8.5-0.6)-1.2=6—,

??.每邊能裝7個碰頭，總的14個噴頭,

離中心。最遠的兩個直線型噴頭的水平距離為：(0.6+1.2x6)x2=15.6m.

3

30.(1)解：當x=0