第24章解直角三角形鞏固新課單元測試卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.下列各數中的無理數是（）

\0

A.cos30°B.nC.D.

-)~3

2.2sin30。-cos60。的值等于（）

B.23

A.C.1D.

222

3.在RtZXZBC中，ZC=90°,AB=10fAC=6,則sin/=()

434

A.B.-D.

55-I3

4.如圖，公路互相垂直，公路的中點〃與點。被湖隔開,若測得AB=2Akm,

則"，。兩點間的距離為（）

C.24kmD.4.8km

4

5.在中，ZC=90°,已知/C=5,tmA=~,則的長為()

A.3B.4C.5D.6

6.如圖，小明為了測量河寬Z5,先在加延長線上取一點。，再在同岸取一點C,使

CDAB,測得/C4O=60。，ZBCA=30°,CD=12m,那么河寬45為()

A.12GmB.8GmC.6mD.24m

試卷第1頁，共8頁

7.如圖，在5x5的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,ZUBC的三個頂點都在格點

A.-B.-C.3D.—

3510

8.如圖，在菱形/BCD中，點尸是RD與/C的交點，垂足為E,若4B=10,BD=\6,

則斯的長為（）

A.4B.5C.6D.7

9.如圖，在口/BCD中，ZD=60°.以點8為圓心，以歷1的長為半徑作弧交邊3c于點

E,連接NE.分別以點A,E為圓心，以大于;NE的長為半徑作弧，兩弧交于點P,作

OF

射線AP交NE于點。，交邊于點尸，則不二的值為（）

10.如圖，在矩形N8CD中，4。=2/8=8,E,尸分別為NZ）,BC邊上的點，且8尸=3,將矩

形48。沿直線斯折疊，得到四邊形EFNM,點48的對應點分別為點（點加■落在

試卷第2頁，共8頁

上方），連接CN,當C,N,M三點共線時，/￡的長為（）

D.1

第n卷

二、填空題：本題共8小題，每小題4分，共32分.

11.如圖是一個直角三角尺，其中N8=30。，ZC=90°,貝iJsinN=.

12.如圖，自動扶梯的長為18m,傾斜角為30。，則自動扶梯的垂直高度8C等于

m

13.在△ABC中，ZS=9O°,sine：',貝!|cosN=

14.如圖，△4BC中，。為/C的中點，CE1AB,若DE=3,AE=5,則CE=

15.如圖，在△N2C中，D,E分別是4C的中點，AC=6,尸是線段?！晟弦稽c,

連接/尸，CF,EF=3DF.若N/FC=90°,則8c的長度是.

試卷第3頁，共8頁

A

16.2024年10月30日4時27分，搭載神舟十九號載人飛船的長征二號F遙十九運載火箭在

酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，蔡旭哲、宋令東、王浩澤3名航天員順利進入太空.如圖，這

是某同學繪制的模擬火箭發(fā)射裝置示意圖，一枚運載火箭從地面。處發(fā)射，當火箭上升到A

點時，從地面上距離C點6km處的G處雷達站測得仰角為30。.2s后，火箭到達B點，從G

處雷達站測得仰角為45。.這枚火箭從A處到8處的平均速度約是—km/s.(參考數據：

621.732,結果精確到0.1km/s)

17.如圖，△NBC是邊長為6cm的等邊三角形，點尸，。分別從頂點A,8同時出發(fā)，點尸

沿射線運動，點。沿折線運動，且它們的速度都為lcm/s.當點。到達點A時,

點P隨之停止運動.連接尸0,設點P的運動時間為《s).當與△人5。的一條邊垂直時,

______s.

18.如圖，點￡、G、H分別為矩形/BCD的邊48、CD、4D的中點，連接G〃、HE、

EG,點加■為KG上的動點，過〃■作于尸，兒也，即于。，點尸為8C邊上一動

點，連接已知居=6,BC=8,則MP+MQ+"尸的最小值為.

試卷第4頁，共8頁

BF

三、解答題：本題共7小題，共78分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

19.計算：

20.如圖，湖邊A、B兩點由兩段筆直的觀景棧道NC和C2相連.為了計算A、8兩點之

間的距離，經測量得：ZBAC=37°,ZABC=53°,/C=80米，求A、8兩點之間的距

離.（參考數據：sin37°?0.60,cos37°?；0.80,tan37°?0.75）

21.小明周末到陜西師范大學雁塔校區(qū)研學參觀，他想借助學校西門外寬為30米的長安南

路（即瓦？=30米）測量校內一棟建筑物/C的高度，于是他站在該建筑物的點8處觀察長

安南路上的點￡,測得俯角恰為45。，隨后他坐電梯上升10米（即/3=10米）到達樓頂點/

處，站在樓頂點/處觀察長安南路上點。，測得俯角為已知CE,E、D、C三點

共線，請計算出建筑物NC的高度.（參考數據：sin?=-1-Vw,tana=3,cosa=巫）

45號

試卷第5頁，共8頁

22.、太陽能熱水器作為一種高效利用太陽能的設備，是綠色能源的重要組成部分.它通過

將太陽能轉化為熱能，減少了對傳統(tǒng)化石燃料的依賴，從而降低了碳排放，對環(huán)境保護具有

重要意義.如圖2是安裝熱水器的側面示意圖.已知屋面AE的傾斜角NEAD為22°,長為4m

的真空管AB與水平線AD的夾角為30。，安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長度為0.5m.

（1）求真空管上端B到水平線AD的距離；

（2）求安裝熱水器的鐵架水平橫管的長度（結果精確到0.1m）.

（參考數據：sin22°?-,cos22°?—,tan?-,V3?1.73）

8165

23.如圖，光從空氣斜射入長方體水槽中，入射光線射到水池的水面3點后折射光線2。

射到池底。點處，入射角/48初=30。，折射角/D5N=22。；入射光線/C射到水池的水

面C點后折射光線CE射到池底E點處，入射角NACM'=60°,折射角

ZECN'=40.5°.交C2延長線于點/，DE//BC,MN,為法線.線段

AQ,入射光線48,NC和折射光線AD,CE及法線MN,W都在同一平面內，AF=3

⑴求5C的長；（結果保留根號）

（2）若。E=8.72米，求水池的水深.（結果精確到0.1.參考數據：亞“41，君”73,

sin22°?0.37,cos22°?0.93,tan22°?0.40,sin40.5°?0.65,cos40.5°?0.76,

tan40.5°?0.85）

24.如圖1,在矩形/BCD中，AB=8,/D=10.將邊48繞點/逆時針旋轉。（0°<6<180。）

得到線段NE、過點E作防，/￡交直線2c與點足同學們進行分組自主探究.

試卷第6頁，共8頁

圖①圖②備用圖

【問題解決】

（1）小鄭組連接。E,研究的是的面積問題.他們發(fā)現，當6=60。時，△NDE的面積

為丁當0。<6<90。時，△/￡）￡的面積為一（請用含。的代數式表示）.

（2）小州組研究的是四邊形/瓦芭的問題.連接/尸，BE,在旋轉過程中，他們有以下猜想,

其中正確的是：_（填序號）.

@FB=2FE；?AFLBE-,③NBEF=?BAE；@AF-BE=2AB-EF

（3）小迎組研究的是等腰三角形的存在性問題，他們發(fā)現，在旋轉過程中，可能是等

腰三角形，請求出當是等腰三角形時，cosN/DE的值.

25.【概念感知】定義：我們將一組鄰邊相等且其中一邊鄰角（不是這組鄰邊的夾角）為直

角的凸四邊形稱為單直鄰等四邊形.（凸四邊形是指所有內角均小于180。的四邊形）

例如：如圖1,在四邊形4BCD中，如果A4=8C,ZC=90°,那么四邊形4BCD為單直鄰

等四邊形.

【實踐與操作】

（1）如圖2,已知乙4=90。，請利用尺規(guī)作圖，在射線4W上畫出點。，并補全四邊形

ABCD,使四邊形NBC。是單直鄰等四邊形.（保留作圖痕跡，不用寫作法）；

（2）如圖3,△ABC為等邊三角形，點E在』A8C的角平分線上，連接E/,將E4繞點E

順時針旋轉60。得到線段ED,連接AD.

求證：四邊形/BCD為單直鄰等四邊形；

【拓展應用】

（3）如圖4,四邊形48C。為單直鄰等四邊形，/BCD=90。,AB=BC=6連接8。,

若NC"）=30。，BD=AD,作ND4E=30。，且。E_L4E,連接CE并延長交AD于點尸，交

48于點求CM的長；

【解決問題】

（4）如圖5,射線CFJ_CD于點C,NECF=3Q。，。。=4百，點A在射線CE上，

試卷第7頁，共8頁

'=亞，點3在射線CF上，且四邊形為單直鄰等四邊形，//8C的角平分線交CD

于點P,請直接寫出2尸的長.

圖4圖5

試卷第8頁，共8頁

1.A

【分析】此題主要考查了無理數.熟練掌握無理數的定義，0指數，特殊角的三角函數，算

術平根性質，是解題的關鍵.無限不循環(huán)小數為無理數.如帶根號開不盡方的，化簡結果含

兀的，特殊構造的，像0.8080080008...（每兩個8之間依次多1個0）,等形式的數才是無理

數.

分別根據無理數、有理數的定義即可判斷.

【詳解】解：A.cos30°=立，是無理數，符合題意:

2

B.（-兀）°=1,是有理數，不符合題意;

C.是有理數，不符合題意;

D.（V5）2=5,是有理數，不符合題意.

故選：A.

2.A

【分析】本題考查了特殊角三角函數值，解題的關鍵是熟知特殊角的三角函數值，將特殊三

角函數值代入計算即可.

111

【詳解】解：2sin30°-cos60°=2X-------

222

故選：A.

3.A

【分析】本題主要考查銳角三角函數的定義，解題的關鍵是掌握正弦函數的定義：我們把銳

角A的對邊。與斜邊c的比叫做//的正弦，記作sin/.由正弦函數的定義求解可得.

【詳解】解：如圖

???RtZi/BC中，ZC=90°,AB=\Q,AC=6,

■■BC=ylAB2-AC2=8>

.?.sin八空84

AB105

答案第1頁，共20頁

故選：A.

4.B

【分析】本題考查了直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，掌握以上知識是關鍵.

根據題意，運用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可求解.

【詳解】解：,點〃是斜邊45的中點，

：,CM=-AB=\2km,

2

故選：B.

5.B

【分析】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數是解題的關鍵.由銳角三角函數

BC4

得tanZ=—匕=一,即可求出BC.

AC5

【詳解】解：如圖,

4

???在中，ZC=90°,已知ZC=5,tan/=1

4

.-.BC=-AC=4

5

故選：B.

6.B

【分析】本題考查了直角三角形的性質，勾股定理，三角形的外角性質，等角對等邊，正確

作出輔助線，構建直角三角形是解題的關鍵.

過點C作/。，胡的延長線于點。，根據直角三角形的兩個銳角互余得出乙48=30。，根

據直角三角形中30。角是對的邊是斜邊的一半得出AC=2AD,結合勾股定理求出AD=45

故NC=8。，根據三角形的外角性質得出4=4C4,根據等角對等邊即可求解.

【詳解】解：過點C作"的延長線于點D,

在Rt^/C￡>中，ACAD=60°,AC2=AD2+CD2,

；.NACD=90°-ACAD=30°,

答案第2頁，共20頁

.-.AC=2AD,

故=4)2+122,

解得：AD=4拒,

:.AC=8人,

ACAD=60°,ZSC4=30°,

在△NBC中，ZCAD=ZBCA+ZB,

：.ZB=30°,

即NB=ZBCA,

???AB=AC=86

故選：B.

7.A

【分析】本題考查了銳角三角函數值的求法，構建直角三角形是解答關鍵.

過點A作/2c的延長線于點O,根據題意求出ND和8。的長度，再利用正切值的求法

來求解.

【詳解】解：過點A作/的延長線于點。，如下圖

根據題意可知CD=1,BC=2,AD=l,

:.BD=BC+CD=2+l=3,

AD1

tan/4BC==—.

BD3

故選：A.

8.C

【分析】本題考查了菱形的性質，勾股定理，以及直角三角形的性質，根據題意可得

BF=8,AF=CF,利用勾股定理求出/斤的長度.再根據直角三角形的性質即可得到答案.

【詳解】解：；在菱形中，點尸是AD與/C的交點，/8=10,即=16,

答案第3頁，共20頁

BFVAF,BF=-BD=-x]6=S,AF=CF,

22

AF=7102-82=6>點尸為/C的中點，

AC=2AF=12,

■：AEVBC,

.?.A/C￡是直角三角形，

:.EF=-AC=AF=6,

2

故選：C.

9.A

【分析】證明AO=OE,/A4O=/E4O=60。，再利用正切函數的定義求解即可.

【詳解】解：???在"BCD中，ND=60。，

ZABC=60°,AD//BC,

由作圖知AP平分24BC,BA=BE,

：.^ABE是等邊三角形，乙4BF=ZEBF=；N4BC=30°,

BO1AE,AO=OE,

vAD//BC,

ZAFB=ZEBF=30°,

ZAFB=ZABF=30°,

AB=AF,

???BOLAE,

??.NBAO=ZFAO=1(180°-30°-30°)=60°,

OFOFr

=tanZFAO=tan60°=V3,

OEAO

故選：A.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，角平分線的定義，尺規(guī)作圖一作角平分線，等邊三

角形的判定和性質，正切函數的定義，求得/以。=/"。=60。是解題的關鍵.

10.D

【分析】本題主要考查了矩形的性質，折疊問題，勾股定理，解直角三角形等知識點，熟練

掌握其性質，合理添加輔助線是解決此題的關鍵.如圖，記MC與/。的交點為T,延長EV

交于。，結合BF=FN=3,則CF=5,可得CN=4,結合

答案第4頁，共20頁

*=sinNNTQ=sinNNCF=獸=:,設NQ=3x,貝l|T0=5x,TN=JQT2-NQ2=4x,

1rCJY-

2

可得TC=4x+4,求解x=],再進一步求解即可.

【詳解】解：???在矩形45C。中，AD=2AB=8,

AD=BC=8fAB=CD=4,ZA=ZB=ZBCD=ZD=90°,AD//BC,

由對折可得：BF=NF=3,ZMNF=ZB=90°,MN=AB=4,

："FNC=90。,

；.CF=5,

如圖，記MC與/。的交點為T,延長尸N交于。，

由對折可得：/BFE=/QFE,

???AD〃BC,

ZDEF=ZBFE,ZDTC=ZFCN,

??.ZQEF=ZQFE,

??.QE=QF,

?：/MNF=90。，

.?.ZTNQ=90°,

...強=sinZNTQ=sinZNCF=—=

TQFC

設NQ=3x,貝!]7Q=5x,TN=^QT^-NQ1=4x,

.，*TC=4x+4,

4

???sinZDTC=-=—=

5CT4x+4

2

解得：X=-

...NQ=3X：=2,Tg=5x|=y,

EQ=FQ=3+2=5,

答案第5頁，共20頁

3

同理：tanZCTD=tanZNCF=-,

4

”,即3

DT4DT4

??.DT=—

3

：.QD=TD-TQ=^~=2,

AE=AD—QE—DQ=8—5—2=1.

故選：D.

11.—##-V3

22

【分析】本題考查了特殊銳角的三角函數值.根據特殊銳角的三角函數值即可求解.

【詳解】解：???/5=30。，ZC=90°,

.??/4=90。一/B=60°.

???sinA=sin60°=-

2

故答案為《

12.9

【分析】此題考查了含30。角的直角三角形，熟練掌握含30。角的直角三角形的性質是解題

的關鍵.根據題意可得：BCLAC,從而可得N/C2=90。，然后在RM/BC中，利用含30。

角的直角三角形的性質，進行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：BCYAC,

.-.ZACB=90°,

ABAC=30°,/B=18m,

.-.5C=1^5=9（m）,

???自動扶梯的垂直高度BC等于9m,

故答案為：9.

13-得

【分析】本題考查互余兩角三角函數的關系，掌握互余兩角三角函數的關系以及銳角三角函

數的定義是正確判斷的前提.利用銳角三角函數的定義得出互余兩角三角函數之間的關系,

進而得出答案.

【詳解】解：在直角△/BC中，NB=9Q°,

答案第6頁，共20頁

所以cos/=(,

故答案為：—.

14.疝

【分析】本題考查了勾股定理，斜邊上的中線等于斜邊的一半，先根據。為/C的中點，

CE1AB,得出NC=2EO=6,再結合勾股定理列式計算，即可作答.

【詳解】解：?.?。為NC的中點，CE1AB,

：.AC=2ED=6,

則在RtA^C中，CE=dAC?-AE。=J36-25="I，

故答案為：VH.

15.8

【分析】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質，掌握三角形的中位線

平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵.先根據直角三角形斜邊中線的性質得到

EF=^AC=3,再根據E尸=3。歹求出DE,最后根據三角形中位線定理即可求解.

【詳解】解：???//FC=90。，點E為NC的中點，AC=6,

.-.EF=-AC=-x6=3,

22

???EF=3DF,

.-.DF=-EF=-x3=l,

33

.-.DE=DF+EF=3+1=4,

■■D,￡分別是48,/C的中點，

是"BC中位線，

.?.BC=2L>E=2x4=8.

故答案為：8.

16.1.3

【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題的關

鍵.在RMNCG中，求出NC,在RM8CG中，求出8C,利用=8C-/C求出4B,即

可求平均速度.

答案第7頁，共20頁

A

【詳解】解：在RM/CG中，^C=CGtan30°=6x^-=2V3(km),

在RSBCG中，SC=CGtan45°=6(km),

；.AB=BC-AC=6-2人,

???平均速度為(6-2石)+2=3-G63(km/s),

故答案為：1.3.

17.2或4或8

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，直角三角形30度角的性質等知識,分三種情形：

如圖1中，當尸。，2C時，如圖2中，當。尸時，同法可得。8=28。，如圖3中，當

PQLNC時，同法可得NP=2N0,分別求解即可；

【詳解】解：由題意8Q=/cm,尸8=(6T)cm,

①如圖1中，當尸2c時，

圖1

ZPQB=90°,48=60。，

...ZBPQ=30°,

PB=2BQ,

???6-1=2t,

.*./=2.

如圖2中，當。尸時，同法可得。5=2尸5,

答案第8頁，共20頁

c

圖2

?"=2(67),

???，=4.

③如圖3中，當尸。時，同法可得4P=2/。,

圖3

t=2(12-%),

A/=8,

綜上所述，滿足條件的z的值為2或4或8.

故答案為：2或4或8.

_39

18.—

5

【分析】本題考查矩形的判定和性質，解直角三角形，垂線段的性質等，證明+為

定值是解題的關鍵.

先證四邊形/EG。是矩形，再證N4HE=NQEM,/DHG=/PGM,進而可得

Ari2x~?Q

sinZQEM=sinZAHE=——=—,sinZPGM=sinZDHG=——=-,推出以+MQ為定值,

HE5HG5

由垂線段最短，可知當血/_L8C時，取最小值，"P+MQ+M77也取最小值.

【詳解】解：：矩形428中45=6,BC=8,

：.CD=AB=6,AD=BC=8,ZA=ZD=9Q°,

???點E、G、a分別為矩形4BCD的邊/8、CD、N。的中點，AB=6,BC=8,

：.AE=DG=3,AH=DH=4,四邊形/EGD是矩形，

答案第9頁，共20頁

HE=HG=A/32+42=5，EG//DA//BC,

：.NAHE=NQEM,ZDHG=/PGM,

sinZQEM=sinZAHE=—=sinZPGM=sinZDHG=-=

HE5HG5

???MP1.HG,MQYEH,

333

MQ=EM-sinNQEM=《EM,MP=MG-smZPGM=-MG=-(EG

333324

MP+MQ=-EM+-(EG-EM)=-EG^-xS=-^-,

???點尸為8c邊上一動點，

當即，8C時，兒田取最小值，最小值為3,

2439

/.近+M0+A/F的最小值為1+3=學，

故答案為：—

19.(1)3

⑵彳

【分析】（1）先算開方，三角函數值，零指數易和絕對值，再算乘法，最后計算加減法;

（2）將特殊角的三角函數值代入，再計算.

【詳解】（1）解：V4+2sin45°-（^-3）°+|V2-2|

=2+2x—-1+2-V2

2

-2+V2-1+2-V2

（2）用展+smM50Tan60。

1-cos60'

【點睛】本題主要考查了實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類

題目的關鍵是熟練掌握負整數指數暴、零指數幕、二次根式、絕對值，特殊三角函數值等考

答案第10頁，共20頁

點的運算.

20.100米

【分析】本題考查了解直角三角形的應用(其他問題)，利用三角形的內角和定理得出

N4C2=90。是解題的關鍵.

ATAC

由三角形的內角和定理可得AACB=90°,然后根據AB=——――=—―即可求出A、5

cosABACcos37°

兩點之間的距離.

【詳解】解：：/A4c=37。，NABC=53°,

???ABAC+/ABC+ZACB=180°,

ZACB=90°,

在RtZUCB中，

ABAC=37°,/C=80米，

：.A,8兩點之間的距離約為100米.

21.該高層有60米高

【分析】本題主要考查解直角三角形的應用，等腰三角形的性質和判定；根據題意得到

△2CE為等腰直角三角形A,T^CE=BC=X,得至lJCD=x-30,NC=x+10,在Rt^/CD中,

根據tana=5\求出x=50,即可求出結果.

【詳解】解：由題意可得：NADC=a,NE=45。

AC±EC,.-.ZC=90°,

.1△BCE為等腰直角三角形，

.-.^CE=BC=x,

■：。￡=30,/3=10,

CD=x—30,AC=x+10,

解得：x=50,

.?.NC=50+10=60米.

答：該高層有60米高.

22.(1)點I到4D的距離為2m

答案第11頁，共20頁

(2)8C的長度約為0.3m

【分析】本題主要考查解直角三角形的應用，矩形的判定與性質，含30度角的直角三角形;

(1)過8作3F，4。于R根據含30度角的直角三角形的性質得到3斤即可求出.

Ap

(2)在RM/BF中，根據cos/A4P=f,求出4F=2Gm,根據題意得到四邊形8尸DC

AB

DF

是矩形，得到==即，在RM4DE中，根據tan/04E=——，求出

AD

r)p

AD=-------------=3.75m,再利用=。尸=/O-//計算即可.

tan/EAD

【詳解】(1)解：如圖，過8作8尸，45于尸，

ZAFB=ZDFB=90°,

VAB=4m,ABAD=30°,.-.BF=；4B=2m,

答：點8到/。的距離為2m；

AF

(2)解：在RtA/3/中，^AFB=90°,ABAF=30°,cosZBAF=——,

AB

AF=AB?cosZ.BAF=4xcos30°=2V§m,

???BF_LAD,CD1AD,BC//FD,ZBFD=ZCDF=/BCD=90°,

.?.四邊形反DC是矩形,

CD=BF=2m,BC=FD,

???CE=0.5m,DE=CD-CE=2-0.5=1.5mf

DF

在Rt^ADE中，/ADE=90°,ZDAE=22°,tanZDAE=—,

AD

fDEDE1.5…

?.AD=-------------=----------?--=3.75m

tan"4。tan2202

5

/.8C=D尸=NO—Nb=3.75—26a3.75-2x1.73=0.29?0.3m.

答：5c的長度約為0.3m.

23.(1)26

⑵11.7米

【分析】本題主要考查了解直角三角形和一元一次方程解法等知識點，解決此題的關鍵是正

答案第12頁，共20頁

確的計算.

（1）先根據平行算出特殊角度，分別在直角△的和直角A/PC中根據三角函數關系算出

邊長即可得到答案；

（2）設水深為x米，分別在直角ABND和直角ACNE中根據三角函數關系用x表示出邊長,

再根據線段相等列出方程，算出答案即可；

【詳解】（1）解：由題意得“尸〃兒W〃/N',

ZABM=ZBAF,NACM'=NCAF.

???ZABM=30°,ZACM'=60°,

ZBAF=：30°,ZCAF=60°.

???/斤=3米，

n

BF=AF-tan30°=3x——=^3（米）

3

CF=ylF-tan60°=3x73=373（米）

???BC=CF-BF=373-V3=273（米）.

（2）解：設水池的水深為x米，則8N=CN'=x米，

由題意可知ND2N=22。，ZECN'=40.5°,。￡=8.72米，

DN=BN-tan22°Ax（米）,N'E=CN'-tan40.5°?0.85%（米）.

■：DN+DE=BC+N'E,

0.4x+8.72=2V3+0.85x,

解得x11.7,

即水池的水深約為11.7米.

24.（1）20；40cos（9

⑵②④

⑶1或另

【分析】本題主要考查了旋轉的性質，矩形的性質，解直角三角形，全等三角形的性質與判

定，勾股定理等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵.

（1）過點E作于T,由旋轉的性質可得/E==8,NBAE=0,則可求出/7K4=G,

解直角三角形得到==8cos6,則可求出SWE=4OCOS0,據此可得答案；

答案第13頁，共20頁

(2)由旋轉的性質可得可證明Rt-48尸0RM/E尸(HL),得至1]6尸=斯，故①錯

誤；進一步可證明4尸垂直平分BE,即4FU8E,故②正確；可證明/p匹=/A4E,由

全等三角形的性質可推出/A4E=2/3/尸=2/尸仍，則/FEB=g/R4E,故③錯誤；如

圖所示，設/尸，8E交于。根據S四邊形WE=$△■■+S”E尸，可證明"8-￡尸=；/尸一8￡,

則AF-BE=2AB-EF,故④正確；

(3)分2。=。石和NE=Z)E兩種情況，畫出對應的示意圖，討論求解即可.

【詳解】(1)解；如圖所示，過點E作E7L4)于7,

由旋轉的性質可得AE=AB=8,NBAE=3,

???四邊形ABCD是矩形，

ABAD=90°,

ADAE=/BAD-ZBAE=90°-6?,

：.NTEA=90O—/TAE=8,

在Rt△/￡T中，TE=AE?cos/TEA=8cos夕,

:?SAADF=LADTE=—x10x8cos0=40cos0,

△AD匕22

.,.當。=60°時，SAADE=40cos60°=20；

故答案為：40cos0；20

(2)解：由旋轉的性質可得28=4S,

???四邊形/3C。是矩形，

ZABF=90°,

???AEA.EF,

ZAEF=90°,

又?：AF=AF,

.?.RtA/B壯RM/硝HL),

：.BF=EF,故①錯誤；

答案第14頁，共20頁

VAB=AE,BF=EF,

???，尸垂直平分BE,即故②正確;

???BF=EF,

???/FBE=/FEB,

???ZFBE+/ABE=/ABE+ZBAF=90°,

???/FEB=/BAF,

???VA^ABF^^AEF,

???ZEAF=ZBAF,

:./BAE=2NBAF=2ZFEB,

:.NFEB=g/BAE,故③錯誤；

如圖所示，設/尸，BE交于O,

,:S四邊形Z5FK=S4ABF+S^AEF，

.?.-ABBF+-AEEF=-AFOB+-AFOE,

2222

；AB.EF+gAB.EF=gAF(OB+OE),

AB^EF=-AFBE,

2

；,AFBE=2ABEF,故④正確;

(3)解：①如圖所示，當。4=?！?10時，過點4作力于凡

設DH=X,則E77=10-x,

由勾股定理得=4g>2-EH2,

答案第15頁，共20頁

???82-(10-X)2=102-X2,

34

解得x=《

.-.Z)77=y,

34

在RtA/?！敝?17,

cosAADH==

AD1025

cosAADE=—；

25

②如圖所示，當/E=DE=8時，過點N作/ALOE于",

由勾股定理得=4^-￡7產,

?1?82-(8-y)2=102-72,

解得>=亍25，

=y,

25

在中，cosN/OH=里二五=3

AD108

cosNADE=—；

8

③如圖所示，當/￡=?！?8時，同理可得cosN/DE=*；

8

E

答案第16頁，共