已知正數(shù)滿(mǎn)足7x+16y=21xy,求7x+30y的最小值主要內(nèi)容：通過(guò)替換、代入、柯西不等式、k值換元法、二次方程判別式、導(dǎo)數(shù)法及多元函數(shù)最值法等，介紹7x+30y在7x+16y=21xy，且x，y為正數(shù)條件下最小值的計(jì)算步驟。主要公式：1.均值不等式：正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足a+b≥2eq\r(ab)。2.柯西不等式：對(duì)于四個(gè)正實(shí)數(shù)x,y,b,c,有以下不等式成立，即：(x+y)(b+c)≥(eq\r(xb)+eq\r(yc))2，等號(hào)條件為：cx=by。3.導(dǎo)數(shù)公式：eq\f(d(ax),dx)=a,eq\f(d(\f(1,x)),dx)=-eq\f(1,x2).方法“1”的代換7x+30y=eq\f(1,21)*(7x+30y)*21=eq\f(1,21)*(7x+30y)(eq\f(16,x)+eq\f(7,y))=eq\f(1,21)*(112+210+49*eq\f(x,y)+480*eq\f(y,x))利用均值不等式，則有：7x+30y≥eq\f(1,21)*(112+210+2eq\r(16*7*7*30))即：7x+30y≥eq\f(1,21)*(112+210+56eq\r(30))則：7x+30y≥eq\f(46+8eq\r(30),3)。所以：7x+30y的最小值=eq\f(46+8eq\r(30),3)。方法柯西不等式法對(duì)已知條件變形為:eq\f(16,x)+eq\f(7,y)=21，再運(yùn)用不等式公式：∵(eq\f(16,x)+eq\f(7,y))(7x+30y)≥(eq\r(7*16)+eq\r(7*30))2∴21(7x+30y)≥(4eq\r(7)+eq\r(210))2,即：7x+30y≥eq\f(1,21)*(4eq\r(7)+eq\r(210))2，所以：7x+30y的最小值=eq\f(46+8eq\r(30),3)。方法二次方程判別式法設(shè)7x+30y=t,則y=eq\f(1,30)*(t-7x),代入已知條件得：eq\f(16,x)+eq\f(210,t-7x)=21,方程進(jìn)行通分有：16(t-7x)+210x=21x(t-7x)21*7x2+(210-21t-112)x+16t=0,方程有解，則判別式為非負(fù)數(shù)，即：△=(210-21t-112)2-4*21*7*16t≥0，化簡(jiǎn)得：(21t-322)2≥4*16*7*7*30。要求t的最小值，則對(duì)不等式兩邊開(kāi)方有：21t-322≥56eq\r(30),21t≥322+56eq\r(30)，即tmin=eq\f(46+8eq\r(30),3)。方法代入法：由已知條件7x+16y=21xy可知：y=eq\f(7x,21x-16)＞0,代入所求表達(dá)式有：7x+30y=7x+30*eq\f(7x,21x-16)=eq\f(1,21)*[7(21x-16)+eq\f(16*7*30,21x-16)+322]≥eq\f(1,21)*[322+2eq\r(16*7*7*30))]=eq\f(1,21)*(322+56eq\r(30))=eq\f(46+8eq\r(30),3).方法k值換元法設(shè)y=kx,k＞0，代入已知條件有：7x+16kx=21xkx，即：x=eq\f(7+16k,21k),則y=eq\f(7+16k,21),代入所求表達(dá)式7x+30y有：7*eq\f(7+16k,21k)+30*eq\f(7+16k,21)=eq\f(1,21)[7*eq\f(7+16k,k)+30(7+16k)]=eq\f(1,21)(eq\f(7*7,k)+7*16+30*7+30*16k)=eq\f(1,21)(eq\f(7*7,k)+30*16k+322)≥eq\f(1,21)[2eq\r(16*7*7*30)+322]=eq\f(1,21)*(322+56eq\r(30))=eq\f(46+8eq\r(30),3).方法導(dǎo)數(shù)法：設(shè)所求代數(shù)式的最小值為t，則7x+30y=t,求導(dǎo)有：eq\f(dy,dx)=-eq\f(7,30);對(duì)已知條件變形為eq\f(16,x)+eq\f(7,y)=21，求導(dǎo)有:-eq\f(16,x2)-eq\f(7,y2)*eq\f(dy,dx)=0,即：eq\f(dy,dx)=-eq\f(16,7)*(eq\f(y,x))2,所以：-eq\f(7,30)=-eq\f(16,7)*(eq\f(y,x))2，求出：y=eq\r(\f(49,480))x,代入有：7x+16*eq\r(\f(49,480))x=21x*eq\r(\f(49,480))x,即：x=eq\f(16+4\r(30),21),進(jìn)一步求出:y=eq\r(\f(49,480))*eq\f(16+4\r(30),21)=eq\f(15+2\r(30),45),所以:7x+30y的最小值=7*eq\f(16+4\r(30),21)+30*eq\f(15+2\r(30),45)=eq\f(46+8eq\r(30),3)。方法多元函數(shù)極值法設(shè)F(x,y)=7x+30y+λ(eq\f(16,x)+eq\f(7,y)-21),分別對(duì)參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)得：Fx=7-eq\f(16λ,x2),Fy=30-eq\f(7λ,y2),Fλ=eq\f(16,x)+eq\f(7,y)-21。令Fx=Fy=Fλ=0,則：7x2=16λ,30y2=7λ,x=eq\r(\f(16λ,7)),y=eq\r(\f(7λ,30))。代入得方程：eq\f(\r(7*16),eq\r(λ))+eq\f(\r(7*30),eq\r(λ))=21,eq\r(λ)=eq\f(1,21)*(eq\r(7*16)+eq\r(7*30)),則：7x+30y的最小值=(e