3．1.2瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)的準(zhǔn)確定義和極限形式的意義，并掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.理解導(dǎo)函數(shù)的概念，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義和實(shí)際意義．知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的________．也就是說(shuō)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率是________．相應(yīng)地，切線方程為_(kāi)___________________．知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系思考導(dǎo)函數(shù)f′(x)和f(x)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)有何關(guān)系？梳理(1)導(dǎo)函數(shù)的定義若f(x)對(duì)于區(qū)間(a，b)內(nèi)________都可導(dǎo)，則f(x)在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量x的變化而變化，因而也是________________的函數(shù)，該函數(shù)稱(chēng)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作________．在不引起混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)也簡(jiǎn)稱(chēng)為f(x)的導(dǎo)數(shù)．(2)f′(x0)的意義f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點(diǎn)x＝x0處的____________．類(lèi)型一求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)例1求函數(shù)y＝－x2＋3x的導(dǎo)函數(shù)．反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本方法，此方法還能加深對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解，而求某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般是先求出導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值．跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)的導(dǎo)函數(shù)．類(lèi)型二導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用命題角度1求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程例2求拋物線y＝eq\f(1,4)x2過(guò)點(diǎn)(4，eq\f(7,4))的切線方程．反思與感悟過(guò)點(diǎn)(x1，y1)的曲線y＝f(x)的切線方程的求法步驟(1)設(shè)切點(diǎn)(x0，y0)；(2)建立方程f′(x0)＝eq\f(y1－y0,x1－x0)；(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，從而寫(xiě)出切線方程．跟蹤訓(xùn)練2求過(guò)點(diǎn)(－1,0)與曲線y＝x2＋x＋1相切的直線方程．命題角度2導(dǎo)數(shù)幾何意義在圖象上的應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的圖象如圖所示，記k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，則k1，k2，k3之間的大小關(guān)系為_(kāi)_______．(請(qǐng)用“>”連接)反思與感悟(1)弄清導(dǎo)數(shù)與切線的斜率及傾斜角的關(guān)系是解答此類(lèi)題的關(guān)鍵．(2)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象升降的關(guān)系①若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)存在且f′(x0)>0(即切線的斜率大于零)，則函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的圖象是上升的；若f′(x0)<0(即切線的斜率小于零)，則函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的圖象是下降的；②導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的大小反映了曲線上升和下降的快慢．跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是________．1．已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是________．2．如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P(2，y)處的切線是l，則f(2)＋f′(2)＝________.3．已知y＝ax2＋b在點(diǎn)(1,3)處的切線斜率為2，則eq\f(b,a)＝________.4．若曲線y＝2x2－4x＋P與直線y＝1相切，則P＝________.5．設(shè)曲線y＝ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a＝________.1．導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度．2．“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個(gè)數(shù)值，不是變數(shù)，“導(dǎo)函數(shù)”是一個(gè)函數(shù)，二者有本質(zhì)的區(qū)別，但又有密切關(guān)系，f′(x0)是其導(dǎo)數(shù)y＝f′(x)在x＝x0處的一個(gè)函數(shù)值．3．利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上．如果已知點(diǎn)在曲線上，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知點(diǎn)不在切線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，f(x0))，表示出切線方程，然后求出切點(diǎn)．提醒：完成作業(yè)第3章§3.13.1.2(二)

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)知識(shí)點(diǎn)二思考函數(shù)f(x)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0的函數(shù)值．f(x)在x＝x0的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．梳理(1)任一點(diǎn)自變量xf′(x)(2)函數(shù)值題型探究例1解∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－x＋Δx2＋3x＋Δx－－x2＋3x,Δx)＝3－2x－Δx，∴當(dāng)Δx→0時(shí)，3－2x－Δx→3－2x，故函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝3－2x.跟蹤訓(xùn)練1解∵Δy＝(x＋Δx)－eq\f(1,x＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝Δx＋eq\f(Δx,xx＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝1＋eq\f(1,xx＋Δx)，∴當(dāng)Δx→0時(shí)，1＋eq\f(1,xx＋Δx)→1＋eq\f(1,x2)，∴函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝1＋eq\f(1,x2).例2解設(shè)切線在拋物線上的切點(diǎn)為(x0，eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0))，則eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,4)x0＋Δx\o\al(2,)－\f(1,4)x\o\al(2,0),Δx)＝eq\f(1,2)x0＋eq\f(1,4)Δx.當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,2)x0＋eq\f(1,4)Δx無(wú)限趨近于eq\f(1,2)x0，所以切線的斜率為eq\f(1,2)x0.則eq\f(\f(1,4)x\o\al(2,0)－\f(7,4),x0－4)＝eq\f(1,2)x0，即xeq\o\al(2,0)－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1.即切線過(guò)拋物線y＝eq\f(1,4)x2上的點(diǎn)(7，eq\f(49,4))，(1，eq\f(1,4))，故切線方程為y－eq\f(49,4)＝eq\f(7,2)(x－7)或y－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)(x－1)，化簡(jiǎn)得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，即為所求的切線方程．跟蹤訓(xùn)練2解設(shè)切點(diǎn)為(x0，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x0＋Δx2＋x0＋Δx＋1－x\o\al(2,0)＋x0＋1,Δx)＝2x0＋1＋Δx.當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝2x0＋1＋Δx無(wú)限趨近于2x0＋1，∴切線的斜率為2x0＋1，則k＝eq\f(x\o\al(2,0)＋x0＋1－0,x0－－1)＝eq\f(x\o\al(2,0)＋x0＋1,x0＋1)，∴2x0＋1＝eq\f(x\o\al(2,0)＋x0＋1,x0＋1).解得x0＝0或x0＝－2.當(dāng)x0＝0時(shí)，切線斜率k＝1，過(guò)(－1,0)的切線方程為y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0；當(dāng)x0＝－2時(shí)，切線斜率k＝－3，過(guò)(－1,0)的切線方程為y－0