22.2.3公式法第22章

一元二次方程【2025-2026學(xué)年華東師大版】數(shù)學(xué)

九年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********幻燈片1：封面標(biāo)題：22.2.3公式法副標(biāo)題：掌握求根公式，高效求解方程幻燈片2：復(fù)習(xí)回顧配方法的步驟：化二次項(xiàng)系數(shù)為1、移項(xiàng)、配方、變形為\((x+m)^2=n\)、開方求解。思考：用配方法解一元二次方程的步驟固定，但過(guò)程較繁瑣，能否通過(guò)配方法推導(dǎo)出一個(gè)通用公式，直接代入求解？這就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的公式法?；脽羝?：求根公式的推導(dǎo)推導(dǎo)過(guò)程：對(duì)于一般形式的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）。化1：方程兩邊同除以\(a\)，得\(x^2+\frac{a}x+\frac{c}{a}=0\)。移項(xiàng)：\(x^2+\frac{a}x=-\frac{c}{a}\)。配方：兩邊加\((\frac{2a})^2\)，得\(x^2+\frac{a}x+(\frac{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{2a})^2\)。變形：左邊化為\((x+\frac{2a})^2\)，右邊通分后為\(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)，即\((x+\frac{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)。開方：當(dāng)\(b^2-4ac\geq0\)時(shí)，\(x+\frac{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。求解：移項(xiàng)得\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。結(jié)論：一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的求根公式為\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（其中\(zhòng)(b^2-4ac\geq0\)）?；脽羝?：公式法的定義與適用范圍定義：利用求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（\(b^2-4ac\geq0\)）求解一元二次方程的方法，叫做公式法。適用范圍：所有一元二次方程，是解一元二次方程的通用方法，尤其適用于難以因式分解和配方步驟復(fù)雜的方程?；脽羝?：用公式法解一元二次方程的步驟化為一般形式：將方程整理為\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），確定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值（注意符號(hào)）。計(jì)算判別式：計(jì)算\(\Delta=b^2-4ac\)（\(\Delta\)讀作“德爾塔”，用于判斷方程根的情況）。判斷根的情況：若\(\Delta>0\)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若\(\Delta=0\)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若\(\Delta<0\)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。代入公式求解：當(dāng)\(\Delta\geq0\)時(shí)，將\(a\)、\(b\)、\(\Delta\)的值代入求根公式，計(jì)算出方程的根?；脽羝?：例題1——\(\Delta>0\)的情況題目：解方程\(x^2-3x+2=0\)。解答過(guò)程：化為一般形式：\(x^2-3x+2=0\)，則\(a=1\)，\(b=-3\)，\(c=2\)。計(jì)算判別式：\(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times1\times2=9-8=1>0\)。代入公式：\(x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2\times1}=\frac{3\pm1}{2}\)。求解：\(x_1=\frac{3+1}{2}=2\)，\(x_2=\frac{3-1}{2}=1\)。幻燈片7：例題2——\(\Delta=0\)的情況題目：解方程\(4x^2-4x+1=0\)。解答過(guò)程：化為一般形式：\(4x^2-4x+1=0\)，則\(a=4\)，\(b=-4\)，\(c=1\)。計(jì)算判別式：\(\Delta=(-4)^2-4\times4\times1=16-16=0\)。代入公式：\(x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{0}}{2\times4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)。結(jié)論：方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根\(x_1=x_2=\frac{1}{2}\)?；脽羝?：例題3——\(\Delta<0\)的情況題目：解方程\(2x^2+x+1=0\)。解答過(guò)程：化為一般形式：\(2x^2+x+1=0\)，則\(a=2\)，\(b=1\)，\(c=1\)。計(jì)算判別式：\(\Delta=1^2-4\times2\times1=1-8=-7<0\)。結(jié)論：方程無(wú)實(shí)數(shù)根?；脽羝?：例題4——二次項(xiàng)系數(shù)不為1且含分?jǐn)?shù)的情況題目：解方程\(2x^2-5x+1=0\)。解答過(guò)程：一般形式：\(2x^2-5x+1=0\)，\(a=2\)，\(b=-5\)，\(c=1\)。判別式：\(\Delta=(-5)^2-4\times2\times1=25-8=17>0\)。代入公式：\(x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{17}}{2\times2}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}\)。結(jié)論：方程的根為\(x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}\)，\(x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}\)?；脽羝?0：判別式\(\Delta=b^2-4ac\)的作用判斷根的個(gè)數(shù)：\(\Delta>0\)：兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；\(\Delta=0\)：兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（可看作一個(gè)實(shí)數(shù)根）；\(\Delta<0\)：無(wú)實(shí)數(shù)根。簡(jiǎn)化計(jì)算：在代入公式前先計(jì)算\(\Delta\)，若\(\Delta<0\)，可直接得出無(wú)實(shí)根的結(jié)論，無(wú)需繼續(xù)代入公式。后續(xù)應(yīng)用：在二次函數(shù)等知識(shí)中，判別式可用于判斷函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況。幻燈片11：易錯(cuò)點(diǎn)分析確定\(a\)、\(b\)、\(c\)時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤：如方程\(x^2-2x-3=0\)中，錯(cuò)誤地認(rèn)為\(b=2\)、\(c=3\)，忽略符號(hào)，正確應(yīng)為\(b=-2\)、\(c=-3\)。計(jì)算判別式時(shí)出錯(cuò)：如\(\Delta=(-3)^2-4\times1\times(-2)\)，錯(cuò)誤地計(jì)算為\(9-8=1\)，而正確應(yīng)為\(9+8=17\)（忽略\(c\)的負(fù)號(hào)導(dǎo)致乘法錯(cuò)誤）。\(\Delta=0\)時(shí)誤認(rèn)為只有一個(gè)根：方程\(x^2-2x+1=0\)的根應(yīng)表示為\(x_1=x_2=1\)，而非僅寫\(x=1\)，因?yàn)橐辉畏匠炭傆袃蓚€(gè)根（可能相等）。未化一般形式直接代入：如方程\(x^2=2x-1\)，未移項(xiàng)化為\(x^2-2x+1=0\)，直接取\(a=1\)、\(b=0\)、\(c=-2x+1\)，導(dǎo)致錯(cuò)誤。幻燈片12：課堂練習(xí)1——基礎(chǔ)應(yīng)用題目：用公式法解下列方程：（1）\(x^2-5x+6=0\)（2）\(2x^2+4x+2=0\)（3）\(3x^2-x+1=0\)答案：（1）\(x_1=2\)，\(x_2=3\)；（2）\(x_1=x_2=-1\)；（3）無(wú)實(shí)數(shù)根。幻燈片13：課堂練習(xí)2——綜合應(yīng)用題目：已知關(guān)于\(x\)的方程\(x^2+2x+k=0\)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求\(k\)的取值范圍。解答過(guò)程：方程為一元二次方程，\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=k\)。因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以\(\Delta>0\)。計(jì)算\(\Delta=2^2-4\times1\timesk=4-4k>0\)。解得\(4>4k\)，即\(k<1\)。結(jié)論：\(k\)的取值范圍是\(k<1\)?；脽羝?4：課堂小結(jié)求根公式：\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（\(a\neq0\)，\(\Delta=b^2-4ac\geq0\)）。公式法步驟：化一般形式→求判別式→判斷根的情況→代入公式求解。判別式作用：判斷方程根的個(gè)數(shù)，\(\Delta>0\)（兩不等實(shí)根）、\(\Delta=0\)（兩相等實(shí)根）、\(\Delta<0\)（無(wú)實(shí)根）?；脽羝?5：布置作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：用公式法解下列方程：（1）\(x^2-6x+9=0\)（2）\(2x^2-7x+3=0\)（3）\(x^2+3x+5=0\)提升作業(yè)：（1）當(dāng)\(m\)為何值時(shí)，方程\(mx^2-2x+3=0\)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？（2）已知方程\(x^2+px+q=0\)的兩個(gè)根為\(x_1=1\)，\(x_2=-2\)，求\(p\)和\(q\)的值（提示：利用根與系數(shù)的關(guān)系，或代入根求解）。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解探索我們用配方法來(lái)解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0).因?yàn)閍≠0，方程兩邊除以a，得移項(xiàng)，得新課導(dǎo)入配方，得即因?yàn)閍

≠0，所以4a2>0.當(dāng)b2

–4ac

≥0時(shí)，直接開平方，得所以即由以上研究，得到了一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.將一元二次方程中系數(shù)a、b、c

的值，直接代入這個(gè)公式，就可以求得方程的根.這種解一元二次方程的方法叫做公式法.這里為什么要強(qiáng)調(diào)b2–4ac≥0？如果b2–4ac<0會(huì)怎樣？無(wú)解推進(jìn)新課解下列方程：（1）2x2+x

–6=0；

（2）x2+4x=2；（3）5x2

–4x–12=0；（4）4x2+4x+10=1–8x.例6解（1）a=2，b=1，c=–6，b2

–4ac=12

–4×2×（–6）=1+48=49>0，所以即用公式法解一元二次方程的一般步驟：1、把方程化成一般形式，并寫出a、b、c

的值.2、求出b2–4ac

的值.3、代入求根公式:4、寫出方程的解：x1、x2.特別注意:當(dāng)b2–4ac<0時(shí)無(wú)解.解（2）將方程化為一般形式，得x2+4x–2=0.因?yàn)?/p>

b2

–4ac=24，所以即（3）因?yàn)?/p>

b2

–4ac=256，所以即（4）整理，得4x2+12x+9=0.因?yàn)?/p>

b2

–4ac=0，所以即這里b2–4ac=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.思考根據(jù)你學(xué)習(xí)的體會(huì)小結(jié)一下：解一元二次方程有哪幾種方法？通常你是如何選用的？和同學(xué)交流一下.直接開平方法因式分解法配方法公式法應(yīng)用現(xiàn)在我們來(lái)解決22.1節(jié)中的問(wèn)題1：x(x+10)=900，x2+10x–900=0，它們都是所列方程的根，但負(fù)數(shù)根

x2

不符合題意，應(yīng)舍去.x+10≈

35.4，符合題意，因此綠地的寬約為25.4米，長(zhǎng)約為35.4米.隨堂演練用公式法解下列方程：（1）x2+x–12=0（3）x2+4x+8=2x+11（4）x(x–4)=2–8x（3）x2+4x+8=2x+11解：移項(xiàng)化簡(jiǎn)，得x2+2x–3=0（4）x(x–4)=2–8x解：移項(xiàng)化簡(jiǎn)，得x2+4x–2=0A返回1.[2025福州期中]如果一元二次方程x2＋px＋q＝0能用公式法求解，那么必須滿足的條件是(

)A．p2－4q≥0 B．p2－4q≤0C．p2－4q>0 D．p2－4q<0D返回2．[2025西安期中]當(dāng)用公式法解方程2x2－1＝3x時(shí)，b2－4ac的值為(

)A．－1B．－3C．2D．17C返回3x2＋2x－1＝0返回32－116－15．用公式法解方程：(1)2x2－3x＋1＝0;(2)x2＝1－3x；返回返回返回7.已知下列方程，請(qǐng)把它們的序號(hào)填在最適當(dāng)?shù)慕夥ê蟮臋M線上．①2(x－1)2＝6；②(x－2)2＋x2＝4；③(x－2)(x－3)＝3；④x2－2x－1＝0；⑤x2＋6x－2＝0.(1)直接開平方法：______________；(2)配方法：______________；(3)因式分解法：______________．①③④⑤②8．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)16(x＋1)2＝25;解：移項(xiàng)，得x2－4x＝5，配方，得(x－2)2＝9，∴x－2＝±3，∴x1＝5，x2＝－1.(2)x2－4x－5＝0；解：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x2＋7x＋10＝0，方程左邊分解因式，得(x＋5)·(x＋2)＝0，∴x1＝－5，x2＝－2.(3)x2＋2x＋10＝－5x;返回(4)5x2＋2x－1＝0.返回9．已知a是一元二次方程x2－x－1＝0較大的根，則下面對(duì)a的估計(jì)正確的是(

)A．0＜a＜1 B．1＜a＜1.5C．1.5＜a＜2 D．2＜a＜3C返回10．已知方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根互為相反數(shù)，則(

)A．b＝0 B．c＝0C．b2－4ac＝0 D．b＋c＝0A11．[2025廈門期中]關(guān)于y的方程y(y－2)＝4(