_1.1相似三角形1．1.1相似三角形判定定理eq\a\vs4\al([對應學生用書P1])[讀教材·填要點]1．相似三角形的定義及相關概念如果在兩個三角形中，對應角相等、對應邊成比例，則這兩個三角形叫做相似三角形．設相似三角形對應邊的比值為k，則k叫做相似比(或相似系數(shù))．2．相似三角形判定定理(1)判定定理1：兩角對應相等的兩個三角形相似．(2)判定定理2：三邊對應成比例的兩個三角形相似．(3)判定定理3：兩邊對應成比例，并且夾角相等的兩個三角形相似．[小問題·大思維]1．兩個三角形“相似”與兩個三角形“全等”之間有什么關系？提示：兩個三角形全等是兩個三角形相似的一種特殊情況．相似三角形的本質(zhì)特征是“具有相同形狀”，它們的大小不一定相等，當兩個相似三角形的相似比為1時，兩個三角形全等．2．如果兩個三角形的兩邊對應成比例，且有一角相等，那么這兩個三角形相似嗎？提示：不一定．只有當這個角是對應成比例的兩邊的夾角時，這兩個三角形才相似．eq\a\vs4\al([對應學生用書P1])相似三角形的判定[例1]如圖，若O是△ABC內(nèi)任一點，D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的靠近O的三等分點．求證：△DEF∽△ABC.[思路點撥]本題考查相似三角形判定定理2的應用．解答此題需要根據(jù)已知條件，尋找三角形相似的條件．利用三等分點找出對應邊成比例即可．[精解詳析]∵D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC靠近點O的三等分點，∴DE＝eq\f(1,3)AB，EF＝eq\f(1,3)BC，F(xiàn)D＝eq\f(1,3)CA.∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(FD,CA)＝eq\f(1,3).由三角形相似的判定定理得△DEF∽△ABC.在相似三角形的判定中，應用最多的是判定定理1，因為它的條件最容易尋求，實際證明當中，要特別注意兩個三角形的公共角．判定定理2、3則常見于連續(xù)兩次證明相似時，在第二次使用的情況較多．1．已知△ABC中，BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，BF和CE相交于點P，求證：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.證明：(1)∵BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴eq\f(EP,BP)＝eq\f(FP,CP).又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.[例2]如圖所示，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，求當BD與a，b之間滿足怎樣的關系時，△ABC與△CDB相似？[思路點撥]由于△ABC與△CDB相似且都是直角三角形，因此，只要對應邊成比例即可．而斜邊肯定是三角形的最大邊，所以AC一定與BC對應，這里要注意分類討論的運用．[精解詳析]∵∠ABC＝∠CDB＝90°，斜邊AC與BC為對應邊，以下分兩種情況討論．①當eq\f(AC,BC)＝eq\f(BC,BD)時，△ABC∽△CDB，即eq\f(a,b)＝eq\f(b,BD).∴BD＝eq\f(b2,a)時，△ABC∽△CDB.②當eq\f(AC,BC)＝eq\f(AB,BD)時，△ABC∽△BDC，即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(a2－b2),BD).∴當BD＝eq\f(b\r(a2－b2),a)時，△ABC∽△BDC.故當BD＝eq\f(b2,a)或BD＝eq\f(b\r(a2－b2),a)時，△ABC與△CDB相似．(1)在證明直角三角形相似時，要特別注意直角這一隱含條件的應用．(2)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似．2．如圖，BD、CE是△ABC的高．求證：△ADE∽△ABC.證明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB.∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.相似三角形的應用[例3]如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，CF∥BA，BF交AD于點P，交AC于點E.求證：BP2＝PE·PF.[思路點撥]本題考查相似三角形的判定及其應用，解答本題需要注意AD是等腰△ABC底邊上的高，所以PB＝PC，從而將所求證的結論轉化為PC2＝PE·PF.進而可以證明△PCE∽△PFC來解決問題．[精解詳析]連接PC，在△ABC中，因為AB＝AC，D為BC中點，所以AD垂直平分BC.所以PB＝PC，∠1＝∠2.因為AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，所以∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.因為CF∥AB，所以∠3＝∠F，所以∠4＝∠F.又因為∠EPC＝∠CPF，所以△PCE∽△PFC，所以eq\f(PC,PE)＝eq\f(PF,PC)，所以PC2＝PE·PF.因為PC＝PB，所以PB2＝PE·PF.(1)有兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似，這是判斷兩個三角形相似最常用的方法，并且根據(jù)相等的角的位置，可以確定哪些邊是對應邊．(2)要說明線段的乘積式ab＝cd，或平方式a2＝bc，一般都是證明比例式eq\f(a,c)＝eq\f(d,b)或eq\f(b,a)＝eq\f(a,c)，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式．3．如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點，點Q在線段BC上，當△ADP與△QCP相似時，求BQ的值．解：由題知∠D＝∠C＝90°，①當△ADP∽△PCQ時，eq\f(AD,PC)＝eq\f(DP,CQ)，∴eq\f(1,\f(1,2))＝eq\f(\f(1,2),CQ)，∴CQ＝eq\f(1,4)，∴BQ＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).②當△ADP∽△QCP時，eq\f(AD,QC)＝eq\f(DP,CP)，∴eq\f(1,QC)＝eq\f(\f(1,2),\f(1,2))，∴CQ＝1，∴BQ＝0.綜上可知，當△ADP與△QCP相似時，BQ＝0或eq\f(3,4).eq\a\vs4\al([對應學生用書P3])一、選擇題1．如圖，銳角三角形ABC的高CD和BE相交于點O，圖中與△ODB相似的三角形的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴△ODB，△ABE，△ADC，△OCE都是直角三角形．又∵∠DBO＝∠EBA，∠A＝∠A，∠DOB＝∠EOC，∴△ODB∽△AEB∽△ADC，△ODB∽△OEC.∴與△ODB相似的三角形有3個．答案：C2．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，圖形中共有x個三角形與△ABC相似，則x的值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：由題意知，△ACD與△CBD與△ABC相似，故x＝2.答案：B3．三角形的一條高分這個三角形為兩個相似三角形，則這個三角形是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形解析：等腰三角形底邊上的高或直角三角形斜邊上的高分得的兩個三角形分別相似．答案：D4．如圖所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，則下列結論正確的是()A．△DAB∽△OCAB．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDAD．△OAC∽△ABD解析：設OA＝OB＝BC＝CD＝a，則AB＝eq\r(2)a，BD＝2a.∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(BC,AB)＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2).∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(BC,AB)，且∠ABC＝∠DBA.∴△BAC∽△BDA.答案：C二、填空題5．如圖，已知△ABC，△DEF均為正三角形，D，E分別在AB，BC上，與△DBE相似的三角形的個數(shù)為________．解析：在△DBE與△ECH中，∵∠B＝∠C＝60°，∠BDE＋∠BED＝120°，∠BED＋∠CEH＝120°，∴∠BDE＝∠CEH.∴△DBE∽△ECH.同理可證△ADG和△FHG也都和△BED相似．答案：36．如圖所示，在△ABC中，點D在線段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，那么CD＝________.解析：先根據(jù)已知條件和隱含條件證明△ABC∽△DAC.再根據(jù)相似建立比例式，根據(jù)給出的線段易求出未知線段．答案：47．如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則AE＝________.解析：∵∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AC).又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝eq\f(AB·AC,AD)＝eq\f(6×4,12)＝2.答案：28．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，則AB的長為________．解析：∵DE∥BC，EF∥CD，∴∠FDE＝∠DBC，∠DFE＝∠BDC.∴△FDE∽△DBC∴eq\f(FD,DB)＝eq\f(DE,BC)，即BD＝eq\f(3,2).由eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3)，得eq\f(AE,EC)＝2＝eq\f(AF,FD).∴AF＝2，AB＝eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)三、解答題9．如圖，已知：D是△ABC內(nèi)的一點，在△ABC外取一點E，使∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD.求證：△ABC∽△DBE.證明：∵∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，∴△ABD∽△CBE，∠ABC＝∠DBE.∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(BD,BE)，即eq\f(AB,BD)＝eq\f(BC,BE)，∴△ABC∽△DBE.10．如圖，已知?ABCD中，G是DC延長線上一點，AG分別交BD和BC于E，F(xiàn)兩點．證明：AF·AD＝AG·BF.證明：因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB∥DC，AD∥BC.所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.所以△ABF∽△GDA.從而有eq\f(AF,AG)＝eq\f(BF,AD)，即AF·AD＝AG·BF.11．如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，(1)寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對；(2)連接FG，如果α＝45°，AB＝4eq\r(2)，AF＝3，求FG的長．解：(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.以下證明：△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.(2)當α＝45°時，可得AC⊥BC且AC＝BC.∵M為AB的中點，∴AM＝BM＝2eq\r(