中考試題2025年上海市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1.下列代數(shù)式中，計算正確的是（）A. B.C. D.2.用代數(shù)式表示與差的平方，正確的是（）A. B. C. D.3.下列函數(shù)中，為正比例函數(shù)的是（）A. B. C. D.4.某學(xué)校組織了一場體育測試，現(xiàn)抽出60個人的體育考試分?jǐn)?shù)，并對此進(jìn)行統(tǒng)計，如圖所示．關(guān)于這60人的分?jǐn)?shù)，下列說法正確的是（）A.中位數(shù)是12 B.中位數(shù)是75 C.眾數(shù)是21 D.眾數(shù)是855.在正方形中，的值為（）A B.1 C. D.26.在銳角三角形中，，，的外接圓為，且半徑為5，邊中點為，如果以為圓心的圓與相交，那么的半徑可以為（）A.2 B.5 C.8 D.9二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7.分解因式：____________．8.不等式組的解集為______．9.已知關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則的取值范圍是______．10.已知一個反比例函數(shù)在各個象限內(nèi)，隨增大而減小，那么這個反比例函數(shù)的解析式可以是_______．（只需寫出一個）11.方程的解為_______．12.將函數(shù)的圖像向下平移2個單位后，得到的新函數(shù)的解析式為______．13.小明與小杰在玩卡牌游戲，已知小明手里有1．2，3，4四張牌，小杰手里有2，4，6，8四張牌，小明從小杰手里抽出一張牌，如果抽到小杰手中四張卡牌中任意一張概率都相等，那么小明抽出的這張卡牌中，和自己手中某一張卡牌的數(shù)字一樣的概率為_____．14.某公司需要員工上班時通過門禁，在門禁上方設(shè)置了人臉掃描儀，已知掃描儀（線段）的豎直高度2.7米，某人（線段）身高為1.8米，掃描儀測得，那么該人與掃描儀的水平距離為________米．（備用數(shù)據(jù)：，，，精確到米）15.為了解乘客到達(dá)高鐵站后離開方式．某地開展問卷調(diào)查，共收到有效答復(fù)2000張，調(diào)查結(jié)果如圖所示．如果當(dāng)?shù)孛刻祀x開高鐵站的人數(shù)約為1.8萬人，那么當(dāng)?shù)孛刻斐俗鲎廛囯x開的人數(shù)大約為_____．16.據(jù)報道，我國某科研團(tuán)隊近期成功研制出一種新閃存器件，其快速擦寫速度全球領(lǐng)先．已知一皮秒等于秒，該器件執(zhí)行一次擦寫需要400皮秒，則該器件一秒可以擦寫______次（科學(xué)記數(shù)法表示）．17.在矩形中，在邊上，關(guān)于直線的對稱點為，聯(lián)結(jié)，，如果四邊形是菱形，那么的值為________．18.已知一個圓與一個角的兩邊各有兩個公共點，且在兩邊上截得的兩條弦正好是該圓內(nèi)接正五邊形的兩條邊，那么這個角的大小是______．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19.計算：．20.解方程：．21.已知學(xué)校熱水器有一個可以儲200升（）水的儲水裝置，且水在裝滿儲水裝置時會自動停止，如圖所示為儲水量與加水時間的關(guān)系，已知溫度（單位：）與的關(guān)系為：．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式并寫出定義域；（2）當(dāng)水加滿時，儲水裝置內(nèi)水溫度為多少？22.小明正在進(jìn)行探究活動：分割梯形并將其拼成等腰三角形，請你幫他一起探究．（1）如圖（1）所示，在梯形中，，．設(shè)為邊中點，將繞點旋轉(zhuǎn)，點旋轉(zhuǎn)至點的位置，得到的是等腰三角形，其中，設(shè)，求邊的長（用表示）；（2）如圖（2）所示，已知梯形中，，且，．請設(shè)計一種方案，用一條或兩條直線將梯形分割，并使得分割成的幾個部分可以通過圖形運動拼成與剩余部分不重疊無縫隙的等腰三角形．請寫出兩腰的線段，以及這兩條或一條直線與梯形的交點的位置．（模仿（1）中的論述語言：為邊中點，是梯形的頂點）．23.如圖，已知，為中的兩弦，聯(lián)結(jié)，交弦于點，，且．（1）求證：；（2）如果，求證：．24.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過，，與軸交于點，頂點為．（1）求，的值．（2）設(shè)拋物線過點，，且與軸交于點，頂點為．①求的值；②當(dāng)四邊形是直角梯形時，求該直角梯形中最小內(nèi)角的正弦值．25.在平行四邊形中，，分別為邊，上兩點．（1）當(dāng)是邊中點時，①如圖（1），聯(lián)結(jié)，如果，求證：；②如圖（2），如果，聯(lián)結(jié)，交邊于點，求的值；（2）如圖（3）所示，聯(lián)結(jié)，，如果，，，．求的長．2025年上海市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1.下列代數(shù)式中，計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查代數(shù)式的運算，涉及合并同類項、同底數(shù)冪相乘、冪的乘方等基本法則；逐一驗證各選項的正確性即可．【詳解】解：A：，合并同類項時，系數(shù)相加，字母部分不變，的系數(shù)為1，故，結(jié)果為，計算正確；B：加法運算中，指數(shù)不改變，僅系數(shù)相加；正確結(jié)果應(yīng)為，而非，計算錯誤；C：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；，結(jié)果應(yīng)為，而非，計算錯誤；D：冪的乘方運算中，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；，結(jié)果應(yīng)為，而非，計算錯誤；故選：A．2.用代數(shù)式表示與差的平方，正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了列代數(shù)式，理解題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵；“a與b差的平方”指先求a減b的差，再將這個差整體平方，即．【詳解】解：A.：這是平方差公式的結(jié)果，表示的平方減去的平方，而非差的平方，錯誤，不符合題意；B.：表示先求差再平方，正確，符合題意；C.：僅對平方后減去，未對差整體平方，錯誤，不符合題意；D.：表示減去的平方，運算順序錯誤，錯誤，不符合題意；故選：B．3.下列函數(shù)中，為正比例函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了正比例函數(shù)的定義，形如（為常數(shù)且）的函數(shù)是正比例函數(shù)；根據(jù)此定義逐一驗證各選項是否符合該形式即可．【詳解】解：A：，該函數(shù)含常數(shù)項“”，不符合正比例函數(shù)的形式，不符合題意；B：，該函數(shù)為二次函數(shù)（最高次數(shù)為2），而正比例函數(shù)為一次函數(shù)，不符合題意；C：，該函數(shù)可寫為，屬于反比例函數(shù)，不符合一次函數(shù)的形式，不符合題意；D：，該函數(shù)可化簡為，符合（）的形式，是正比例函數(shù)，符合題意；故答案為：D．4.某學(xué)校組織了一場體育測試，現(xiàn)抽出60個人的體育考試分?jǐn)?shù)，并對此進(jìn)行統(tǒng)計，如圖所示．關(guān)于這60人的分?jǐn)?shù)，下列說法正確的是（）A.中位數(shù)是12 B.中位數(shù)是75 C.眾數(shù)是21 D.眾數(shù)是85【答案】D【解析】【分析】本題考查了眾數(shù)與中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做眾數(shù)；把一組數(shù)據(jù)按大小排列，最中間一個（奇數(shù)個數(shù)據(jù)）或兩個（偶數(shù)個數(shù)據(jù)）數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)，按照這兩個概念進(jìn)行求解即可．【詳解】解：從統(tǒng)計圖知，85分出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)是85；把分?jǐn)?shù)按大小排列，最中間的兩個數(shù)是第30與31個數(shù)，而，故中位數(shù)是；故只有選項D正確；故選：D．5.在正方形中，的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】本題考查了向量、向量的加法及向量模，理解這些知識是關(guān)鍵；在正方形中，向量相加的模長即為正方形對角線的長，它與邊長的比值可通過勾股定理直接計算即可．【詳解】解：設(shè)正方形邊長為，由勾股定理得：；在正方形中，表示從A到B再到C的路徑，其結(jié)果為向量，即；∴．故選：C．6.在銳角三角形中，，，的外接圓為，且半徑為5，邊中點為，如果以為圓心的圓與相交，那么的半徑可以為（）A.2 B.5 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，兩圓相交的條件等知識，掌握兩圓相交的條件是關(guān)鍵；根據(jù)題意，等腰的外接圓半徑為5，由等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理求得；當(dāng)與相交時，圓心距需滿足條件，代入數(shù)值求解r的范圍，進(jìn)而確定選項．【詳解】解：如圖，連接并延長交于點E，∵，D為中點，∴，；∵銳角三角形中，，∴外接圓心O在上，連接，由勾股定理得：；設(shè)以D為圓心的圓的半徑為，相交應(yīng)滿足：，即，解得：；在此范圍的半徑只有選項B；故選：B．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7.分解因式：____________．【答案】【解析】【分析】原式提取ab進(jìn)行分解即可．【詳解】解：原式=故答案為：【點睛】此題考查了提公因式法的運用，熟練掌握因式分解的提公因式方法是解本題的關(guān)鍵．8.不等式組的解集為______．【答案】【解析】【分析】本題考查求不等式組的解集，先求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集．【詳解】解：由①，得：；由②，得：；∴不等式組的解集為：；故答案為：．9.已知關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)方程沒有實數(shù)根，得到，進(jìn)行求解即可．熟練掌握根的判別式與根的個數(shù)之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故答案為：．10.已知一個反比例函數(shù)在各個象限內(nèi)，隨的增大而減小，那么這個反比例函數(shù)的解析式可以是_______．（只需寫出一個）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的增減性，根據(jù)增減性可知該反比例函數(shù)的比例系數(shù)大于0，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵一個反比例函數(shù)在各個象限內(nèi)，隨的增大而減小，∴該反比例函數(shù)的比例系數(shù)大于0，∴符合題意的反比例函數(shù)解析式可以為，故答案為：（答案不唯一）．11.方程的解為_______．【答案】【解析】【分析】本題考查解無理方程，利用平方法將方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，進(jìn)行求解，檢驗即可．【詳解】解：∵，∴，∴；經(jīng)檢驗，是原方程的解，故答案為：．12.將函數(shù)的圖像向下平移2個單位后，得到的新函數(shù)的解析式為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，平移法則是：左加右減，上加下減；據(jù)此法則即可求解．【詳解】解：∵函數(shù)的圖像向下平移2個單位，∴平移后的新函數(shù)的解析式為；故答案為：．13.小明與小杰在玩卡牌游戲，已知小明手里有1．2，3，4四張牌，小杰手里有2，4，6，8四張牌，小明從小杰手里抽出一張牌，如果抽到小杰手中四張卡牌中的任意一張概率都相等，那么小明抽出的這張卡牌中，和自己手中某一張卡牌的數(shù)字一樣的概率為_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，直接用小杰手中卡牌上的數(shù)字與小明手中卡牌上的數(shù)字相同的卡牌數(shù)除以小杰的卡牌總數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵小杰一共有4種卡牌，其中有2張卡牌上的數(shù)字與小明手中卡片的數(shù)字相同，∴小明抽出的這張卡牌中，和自己手中某一張卡牌的數(shù)字一樣的概率為，故答案為：．14.某公司需要員工上班時通過門禁，在門禁上方設(shè)置了人臉掃描儀，已知掃描儀（線段）的豎直高度2.7米，某人（線段）身高為1.8米，掃描儀測得，那么該人與掃描儀的水平距離為________米．（備用數(shù)據(jù)：，，，精確到米）【答案】【解析】【分析】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，過點作于點，由題意，得，線段的和差求出的長，解，求出的長即可．添加輔助線構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點作于點，則：米，∵米，∴米，在中，，∴米；故答案為：．15.為了解乘客到達(dá)高鐵站后離開的方式．某地開展問卷調(diào)查，共收到有效答復(fù)2000張，調(diào)查結(jié)果如圖所示．如果當(dāng)?shù)孛刻祀x開高鐵站的人數(shù)約為1.8萬人，那么當(dāng)?shù)孛刻斐俗鲎廛囯x開的人數(shù)大約為_____．【答案】1800人【解析】【分析】本題考查利用樣本估計總體，扇形統(tǒng)計圖，根據(jù)扇形統(tǒng)計圖求出樣本中當(dāng)?shù)孛刻斐俗鲎廛囯x開的人數(shù)所占的比例，再用總?cè)藬?shù)乘以這個比例，進(jìn)行計算即可．【詳解】解：（萬人）（人）；故答案為：1800人．16.據(jù)報道，我國某科研團(tuán)隊近期成功研制出一種新閃存器件，其快速擦寫速度全球領(lǐng)先．已知一皮秒等于秒，該器件執(zhí)行一次擦寫需要400皮秒，則該器件一秒可以擦寫______次（科學(xué)記數(shù)法表示）．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)題意可得1秒等于皮秒，再由該器件執(zhí)行一次擦寫需要400皮秒列式求解即可．【詳解】解：，∴該器件一秒可以擦寫次，故答案為：．17.在矩形中，在邊上，關(guān)于直線的對稱點為，聯(lián)結(jié)，，如果四邊形是菱形，那么的值為________．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，由軸對稱的性質(zhì)可得，設(shè)，則，由菱形的性質(zhì)得到，證明，利用勾股定理可得，據(jù)此可得答案．【詳解】解；∵關(guān)于直線的對稱點為，∴，設(shè)，則，∵四邊形是菱形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，故答案為：．18.已知一個圓與一個角兩邊各有兩個公共點，且在兩邊上截得的兩條弦正好是該圓內(nèi)接正五邊形的兩條邊，那么這個角的大小是______．【答案】或【解析】【分析】本題考查正多邊形與圓，如圖，分兩種情況，當(dāng)角的頂點在圓上時，如，弦為時，此時恰好是正五邊形的一個內(nèi)角，進(jìn)行求解即可，當(dāng)角的頂點在圓外部時，即交的兩邊，截取的兩條弦為時，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)角的頂點在圓上時，如交的兩邊，截取的兩條弦為，此時恰好是正五邊形的一個內(nèi)角，∴；當(dāng)角的頂點在圓外部，即交的兩邊，截取的兩條弦為時，則：，∴，∴；綜上：這個角的大小是或；故答案為：或．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查的是實數(shù)的混合運算，二次根式的混合運算，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，先分母有理化，計算分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再合并即可.詳解】解：.20.解方程：．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化整式方程，再解方程并檢驗即可得到答案．【詳解】解：方差兩邊同時乘以得：，去括號得：，移項，合并同類項得：，∴，∴或，解得或，檢驗，當(dāng)時，，此時是原方程的增根，當(dāng)時，，此時是原方程的解，∴原方程的解為．21.已知學(xué)校熱水器有一個可以儲200升（）水的儲水裝置，且水在裝滿儲水裝置時會自動停止，如圖所示為儲水量與加水時間的關(guān)系，已知溫度（單位：）與的關(guān)系為：．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式并寫出定義域；（2）當(dāng)水加滿時，儲水裝置內(nèi)水的溫度為多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)實際應(yīng)用，求分式的值，正確求出對應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求出對應(yīng)的函數(shù)解析式，再求出函數(shù)值為200時自變量的值即可求出定義域；（2）根據(jù)（1）所求可得加滿水時，x的值，據(jù)此代值計算即可．【小問1詳解】解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為，把代入中得，∴，∴關(guān)于的函數(shù)解析式為，當(dāng)時，，∴；【小問2詳解】解；由（1）可得當(dāng)時，，∴加滿水時，，∴答：當(dāng)水加滿時，儲水裝置內(nèi)水的溫度為．22.小明正在進(jìn)行探究活動：分割梯形并將其拼成等腰三角形，請你幫他一起探究．（1）如圖（1）所示，在梯形中，，．設(shè)為邊中點，將繞點旋轉(zhuǎn)，點旋轉(zhuǎn)至點的位置，得到的是等腰三角形，其中，設(shè)，求邊的長（用表示）；（2）如圖（2）所示，已知梯形中，，且，．請設(shè)計一種方案，用一條或兩條直線將梯形分割，并使得分割成的幾個部分可以通過圖形運動拼成與剩余部分不重疊無縫隙的等腰三角形．請寫出兩腰的線段，以及這兩條或一條直線與梯形的交點的位置．（模仿（1）中的論述語言：為邊中點，是梯形的頂點）．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】本題考查了變換：旋轉(zhuǎn)、平移與軸對稱，等腰三角形的性質(zhì)等知識；（1）過點D作于H，則由等腰三角形的性質(zhì)得；證明四邊形是矩形，則有；再由旋轉(zhuǎn)知，則可求得的長，最后求得結(jié)果；（2）連接，把通過平移變換，再軸對稱變換得到，則為滿足條件的等腰三角形．【小問1詳解】解：如圖，過點D作于H，∵，∴；∵，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴；由旋轉(zhuǎn)知，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖（2），連接，把沿平移使M與P對應(yīng)，得到；再把沿對折，得到，H與N是對應(yīng)點，則是等腰三角形，其中兩腰分別為，點N、Q分別是梯形的頂點．23.如圖，已知，為中的兩弦，聯(lián)結(jié)，交弦于點，，且．（1）求證：；（2）如果，求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，弧，弦與圓心角之間的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由等邊對等角得到，利用證明，得到，證明，得到，則可證明；（2）連接，由，得到，，證明，得到，則可證明，進(jìn)而證明，推出；再證明，得到，則可證明．【小問1詳解】證明：如圖所示，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】證明：如圖所示，連接，∵，∴，，又∵，∴，∴；由（1）可得，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴，∴．24.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過，，與軸交于點，頂點為．（1）求，的值．（2）設(shè)拋物線過點，，且與軸交于點，頂點為．①求的值；②當(dāng)四邊形是直角梯形時，求該直角梯形中最小內(nèi)角的正弦值．【答案】（1）（2）①3；②或．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先把拋物線的解析式化為頂點式求出點P坐標(biāo)，再求出點C坐標(biāo)；把點A和點B坐標(biāo)代入中可得拋物線的解析式為，據(jù)此可求出點P和點D的坐標(biāo)，再表示出即可得到答案；②可證明軸，即，則當(dāng)四邊形是直角梯形時，只有或，據(jù)此畫出對應(yīng)的示意圖，討論求解即可．【小問1詳解】解：∵拋物線過，，∴，∴；【小問2詳解】解：①由（1）得拋物線得解析式為，∴點P的坐標(biāo)為，在中，當(dāng)時，，∴點C的坐標(biāo)為；∵拋物線過點，，∴，∴，∴拋物線的解析式為，∴拋物線的對稱軸為直線，在中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，，∴，，∴；②