第5講功和功率

劃重點之精細(xì)講義系列

口史里也就

知識1：功

1.做功的兩個要素

力和物體在力的方向上發(fā)生的位移.

2.公式：W—Ficosa

⑴該公式只適用于恒力做功.

(2)a是力與位移方向的夾角，/為物體對地的位移.

適用條件公式僅適用于求恒力做的功

恒力做功大小只與F、/、a這三個量有關(guān)。與物體是否還受其他力、物體

影響因素

運動的速度和加速度等其他因素?zé)o關(guān)，也與物體運動的路徑無關(guān)

力與位移以及它們間夾角的余弦的

0^--/------團&

乘積(W二F?1?cosa)

力與在其方向上的分位移乘積

各量的理解(W=F?1cosa)拜祟一」上

力在位移方向上的分力與位移的乘__

一?」----1----十.:

積(W=Fcosa?/)

廠cosa

3.功的正負(fù)的意義

(1)功是標(biāo)量，但有正負(fù)之分，正功表示動力對物體做功，負(fù)功表示阻力對物體做功.

(2)一個力對物體做負(fù)功，往往說成是物體克服這個力做功(取絕對值).

知識2：功率

1.定義

功與完成這些功所用時間的比值.

2.物理意義

描述做功的快慢.

3.公式

（I）P=7,尸為時間f內(nèi)的平均功率.

（2）P=Focosa（a為F與u的夾角）

①。為平均速度，則尸為平均功率.

②。為瞬時速度，則尸為瞬時功率.

區(qū)別與聯(lián)系平均功率瞬時功率

-W-

P=一或P=Fvcosa（F為

tP=Fvcosa（v為瞬時速度，。為

公式

恒力，訶為平均速度，。為FF與v之間的夾角）

與萬之間的夾角）

區(qū)別表示力在一段時間內(nèi)做功的平表示力在一段極短時間內(nèi)做功的快

物理意義

均快慢程度慢程度

與某一段時間（或過程）相關(guān)，與某一時刻（或狀態(tài)）相關(guān)，計算時

對應(yīng)關(guān)系計算時應(yīng)明確是哪個力在哪段應(yīng)明確是哪個力在哪個時刻（或狀

時間（或過程）內(nèi)做功的功率態(tài)）做功的功率

-w

聯(lián)系在尸二一中.當(dāng)t趨近于0時，所求的功率可視為瞬時功率

4.額定功率與實際功率

比較項目定義特點聯(lián)系

發(fā)動機正常條件下長時間不同機械額定功率可能不同，

額定功率

工作時的最大輸出功率但同一機械額定功率不變?yōu)榱藱C械的安全

發(fā)動機實際工作時的輸出同一機械實際功率隨工作情P額，P實

實際功率

功率況的變化而改變

目,例:g骸

【典例1】（多選）如圖所示，在皮帶傳送裝置中，皮帶把物體P勻速帶至高處，在此過程

中，下述說法正確的是（）

A.摩擦力對物體做正功///Q

B.摩擦力對物體做負(fù)功

C.支持力對物體不做功,

D.合外力對物體做正功

【典例2】一人乘電梯從1樓到20樓，在此過程中經(jīng)歷了先加速，后勻速，再減速的運

動過程，則電梯支持力對人做功情況是（）

A.加速時做正功，勻速時不做功，減速時做負(fù)功

B.加速時做正功，勻速和減速時做負(fù)功

C.加速和勻速時做正功，減速時做負(fù)功

D.始終做正功

【典例31相同的恒力按同樣方式施于靜止的物體上，使它分別沿著粗糙水平地面和光滑

水平地面移動相同的位移，恒力對物體做的功和平均功率分別為Wl、P1和亂、尸2則()

A.跖〉牝Pi>P2B.跖=皿P\<Pi

C.Wi=W2Pi>PiD.Wi<W2Pi=P2

【典例4】為了響應(yīng)國家的“節(jié)能減排”號召，某同學(xué)采用了一個家用汽車的節(jié)能方法.在

符合安全行駛要求的情況下，通過減少汽車后備廂中放置的不常用物品和控制加油量等措施,

使汽車負(fù)載減少.假設(shè)汽車以72km/h的速度勻速行駛時，負(fù)載改變前、后汽車受到的阻力分

別為2000N和1950N,請計算該方法使汽車發(fā)動機輸出功率減少了多少？

白就工提賓

考點1：功的正負(fù)判斷方法

1.根據(jù)夾角判斷

(1)G對相不做功

力與位移的夾角⑵K對必做正功

在推力廠作用下，斜面與物塊

(3)6對m做負(fù)功

一起水平運動

衛(wèi)星由位置1到2的過程中，

力與瞬時速度的夾角

尸與。的夾角大于90。做負(fù)功

2.從能的轉(zhuǎn)化角度來進行判斷

此法常用于判斷相互聯(lián)系的兩個物體之間的相互作用力做功的情況.

例如，車〃靜止在光滑水平軌道上，球機用細(xì)線懸掛在車上，由中的位置無初速地釋放，

則可判斷在球下擺過程中繩的拉力對車做正功.因為繩的拉力使車的動能增加了.又因為M

和機構(gòu)成的系統(tǒng)的機械能是守恒的，M增加的機械能等于加減少的機械能，所以繩的拉力一

定對球m做負(fù)功.

目典例少骸

【典例1】人造地球衛(wèi)星在橢圓軌道上運行，由中的。點運動到b點的過程中()

A.萬有引力對衛(wèi)星做正功

B.萬有引力對衛(wèi)星做負(fù)功/”------、、、、

C.萬有引力對衛(wèi)星先做正功，再做負(fù)功球Q，；

D.萬有引力對衛(wèi)星一直不做功"

【典例2】(多選)如圖所示，重球m用一條不可伸長的輕質(zhì)細(xì)線拴住后懸于0點，重球置

于一個斜面不光滑的斜劈又上，用水平力下向左推動斜劈M在光滑水平桌面上由位置甲勻速

向左移動到位置乙，在此過程中，正確的說法是()

A.M、相間的摩擦力對相不做功"刁6"

B.M、機間的摩擦力對機做負(fù)功而,匕’/甲

C./對/所做的功與相對/所做的功的絕對值相等上：

D./、機間的彈力對機做正功

劃重置

1.作用力與反作用力做功特點

作用力和反作用力雖然等大反向，但由于其分別作用在兩個物體上，產(chǎn)生的位移效果無

必然聯(lián)系，故作用力和反作用力的功不一定一正一負(fù)，大小也不一定相等.

2.靜摩擦力做功的特點

(1)靜摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功。

(2)在靜摩擦力做功的過程中，靜摩擦力起著傳遞機械能的作用，沒有機械能轉(zhuǎn)化為其

他形式的能。

(3)相互摩擦的系統(tǒng)內(nèi)，一對靜摩擦力做功的代數(shù)和總為零。

3.滑動摩擦力做功的特點

(1)滑動摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功。

(2)在一對滑動摩擦力做功的過程中，能量的轉(zhuǎn)化有兩個方面：一是相互摩擦的物體之

間機械能的轉(zhuǎn)移;二是機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的數(shù)值等于滑動摩擦力與相對路程的乘

積。

(3)滑動摩擦力、空氣阻力等做的功，在曲線運動或往返運動中等于力和路程(不是位

移)的乘積

考點2：功的計算

1.恒力做的功：直接用Ficosa計算.

2.合外力做的功

方法一：先求合外力產(chǎn)合，再用W杳=PiUcosa求功.

方法二：先求各個力做的功卬1、卬2、卬2、……，再應(yīng)用也合=跖+跖+卬3+……求合

外力做的功.

3.變力做的功——將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功

(1)平均值法

當(dāng)力的方向不變，大小隨位移按線性規(guī)律變化時，可先求出力對位移的平均值

市=研%,再由W=R/cosa計算功，如彈簧彈力做的功。

2

(2)分段法

力在全程是變力，但在每一個階段是恒力，這樣就可以先計算每個階段的功，再利用求

和的方法計算整個過程中變力做的功。

(3)微元法

將運動過程無限分割，每一小段就可看成恒力做功，然后把各小段恒力做的功求出來，

再求出代數(shù)和，即為全過程該變力所做的功。這種處理問題的方法具有普遍的適用性。但在

高中階段該方法主要用于處理大小不變、方向與運動方向始終相同或相反的變力做功的問題。

如滑動摩擦力、空氣阻力做功就屬于這種類型。不難得出，這種情況下，力對物體做功的絕

對值等于力與物體運動路程的乘積。

(4)轉(zhuǎn)換研究對象法繪印、

如圖所示，人站在地上以恒力拉繩子，使小車向左運動，求繩

子拉力對小車所做的功。繩子拉力對小車來說是個變力(大小不變，猿〃〃“”〃〃〃％

方向改變)，但仔細(xì)研究，發(fā)現(xiàn)人拉繩的力卻是恒力，于是轉(zhuǎn)換研究對象，用人拉繩的力所做

的功來求繩子拉力對小車做的功。

2.圖像法

如果參與做功的變力方向與位移方向始終共線而大小隨位移變化，我們可作出該力隨位

移變化的圖像，如圖所示，這時變力做的功W可用F/圖線與/軸所圍成的圖形的面積來表示。

o

/軸上方的面積表示力對物體做的正功的多少，/軸下方的面積表示力對物體做的負(fù)功的多少。

D典例少骸

【典例1】如圖所示，建筑工人通過滑輪裝置將一質(zhì)量是100kg的料車沿30。角的斜面由

底端勻速地拉到頂端，斜面長L是4m,若不計滑輪的質(zhì)量和各處的摩擦力，g取10N/kg,

求這一過程中

(1)人拉繩子的力做的功；

(2)物體的重力做的功；

(3)物體受到的合力對物體做的總功.

【典例2】人在A點拉著繩通過一定滑輪吊起質(zhì)量機=50kg的物體，如圖所示，開始時

繩與水平方向的夾角為60。.當(dāng)人勻速提起重物由A點沿水平方向運動/=2m而到達(dá)B點時，

繩與水平方向成30。角.則人對繩的拉力做了多少功？

6

向°AP3盹7

AB

公式Ficosa中位移“廣的意義：

⑴力對平動的物體(可看作質(zhì)點)做功，為物體上每一點的位移(即受力質(zhì)點對地的位

移).

(2)若受力物體發(fā)生轉(zhuǎn)動或形變，“廣應(yīng)取作用點的位移.

(3)“/”的取值一般以大地為參考系.

考點3：功率的計算

1.平均功率的計算方法

—W

(1)利用P=—.

(2)利用P=F-vcos6,其中v為物體運動的平均速度，尸為恒力.

2.瞬時功率的計算方法

(1)利用公式尸=戶優(yōu)(《仇其中o為r時刻的瞬時速度.

(2)利用公式尸=萬獨，其中獨為物體的速度。在力/方向上的分速度.

(3)利用公式尸=￡9，其中凡為物體受的外力尸在速度。方向上的分力.

典例

【典例1】如圖所示，細(xì)線的一端固定于。點，另一端系一小球.在水平拉力作用下,

小球以恒定速率在豎直平面內(nèi)由A點運動到B點.在此過程中拉力的瞬時功率變化情況是

()

A.逐漸增大B.逐漸減小

C.先增大，后減小D.先減小，后增大

【典例2】如圖甲所示，滑輪質(zhì)量、摩擦均不計，質(zhì)量為2kg的物體在尸作用下由靜止

開始向上做勻加速運動，其速度隨時間的變化關(guān)系如圖乙所示，g取10m*.

求：(1)4s末力F的瞬時功率；”//〃〃〃/.

(2)4s內(nèi)產(chǎn)做功的平均功率.

劃重飛.

求力做功的功率時應(yīng)注意的問題

(1)首先要明確所求功率是平均功率還是瞬時功率，對應(yīng)于某一過程的功率為平均功率,

對應(yīng)于某一時刻的功率為瞬時功率.

(2)求功率大小時要注意廠與。方向間的夾角a對結(jié)果的影響.

(3)用尸=R^cosct求平均功率時，石應(yīng)容易求得，如求勻變速直線運動中某力的平均功

模型分嘉

機車的兩種啟動模型的分析

L模型綜述

物體在牽引力(受功率和速度制約)作用下，從靜止開始克服一定的阻力，加速度不變或變

化，最終加速度等于零，速度達(dá)到最大值.

2.兩種模型的比較

(1)兩種啟動方式的比較

兩種模型以恒定功率啟動以恒定加速度啟動

匕小

P一,圖和O—f圖

0tot0t0tot\t

F—Fm?！?/p>

a—阻不變=/不變=P—

,P（不變）,F~f,m

0過程分析°。加3

AFvf直至U尸額=_Fs

段

運動性質(zhì)加速度減小的加速直線運動勻加速直線運動，維持時間V

/=尸〃=0。t=>F=-3

A

過程分析

B

=>/=—F-ft

JVm="=丁3

段

運動性質(zhì)以。m做勻速直線運動加速度減小的加速運動

尸=戶4=0=

段無

8c以0m=與勻速運動

(2)三個重要關(guān)系式

(1)無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即Om=J-=f(式

「minJ

中Fmm為最小牽引力，其值等于阻力力.

(2)機車以恒定加速度啟動的運動過程中，勻加速過程結(jié)束時，功率最大，速度不是最大,

即v=^<vm=j.

(3)機車以恒定功率運行時，牽引力做的功W=Pf.由動能定理：Pf-/k=AEk.此式經(jīng)常用

于求解機車以恒定功率啟動過程的位移大小.

國■偏少東

【典例1】一輛汽車在平直的公路上以某一初速度運動，運動過程中保持恒定的牽引功率,

其加速度a和速度的倒數(shù)(1/。)圖象如圖所示.若已知汽車的質(zhì)量，則根據(jù)圖象所給的信息，不

能求出的物理量是()

?a/m?s-2z

0%一

-2

A.汽車的功率

B.汽車行駛的最大速度

C.汽車所受到的阻力

D,汽車運動到最大速度所需的時間

【典例2】在一段平直的公路上，質(zhì)量為根=IxU^kg的汽車從靜止開始做勻加速運動，

經(jīng)過一段時間，汽車速度達(dá)到%=10m/s。隨后汽車以P=8xl04w的額定功率沿平直公路繼

續(xù)前進，又經(jīng)過30s達(dá)到最大速度，設(shè)汽車所受的阻力大小恒為/=2xlO3N。求：

(1)汽車行駛的最大速度的大?。?/p>

(2)汽車的速度為20m/s時的加速度大?。?/p>

班劃重飛.

分析機車啟動問題時的注意事項

(1)機車啟動的方式不同，機車運動的規(guī)律就不同，因此機車啟動時，其功率、速度、

加速度、牽引力等物理量的變化規(guī)律也不相同，分析圖象時應(yīng)注意坐標(biāo)軸的意義及圖象變化

所描述的規(guī)律.

(2)恒定功率下的加速一定不是勻加速，這種加速過程發(fā)動機做的功可用W=R計算，不

能用計算(因為尸是變力).

(3)以恒定牽引力加速時的功率一定不恒定,這種加速過程發(fā)動機做的功常用W=F1計算,

不能用W=Pt計算(因為功率P是變化的).

瑚＞國統(tǒng)§

一、單選題

1.下列關(guān)于功的說法正確的是()

A.做功的過程一定伴隨著能量轉(zhuǎn)化

B.功有正負(fù)之分，因此-10J的功小于5J的功

C.根據(jù)功的定義式皿=〃8$[,可知功是既有大小又有方向的物理量

D.功就是能量，能量就是功，二者的含義是相同的

2.如圖所示，質(zhì)量為用的物體靜止在傾角為。的斜面體上，現(xiàn)使斜面體水平向左勻速移動距

離/（物體與斜面體相對靜止）。以下說法正確的是（）

A.摩擦力對物體做正功B.支持力對物體做功為0

C.支持力對物體做負(fù)功D.斜面體對物體做功為0

3.2023年1月5日，福建省重點工程漳州圓山大道項目全線通車。質(zhì)量相等的甲、乙兩車在

運動時受到的阻力相等，t=0時位于同一起始線，之后在平直公路上沿相鄰車道同向運動，

兩車速度v隨時間r變化的圖像如圖所示。下列說法正確的是（）

A.f=3s時兩車功率相等

B.2?4s內(nèi)兩車牽引力始終不相等

C.乙追上甲前兩車間的最大距離為9m

D.2s后乙車的功率始終大于甲車的

4.質(zhì)量為2kg的物體在水平面上沿直線運動，受阻力大小恒定。經(jīng)某點開始沿運動方向的水

平拉力/與運動距離x的關(guān)系如圖所示，0?3m物體做勻速直線運動。下列對圖示過程的說

法正確的是（）

A.在x=5m處物體加速度大小為3m/s2

B.0?7m阻力對物體做功為28J

C.。?7m拉力對物體做功為40J

D.。?7m合力對物體做功為68J

5.如圖甲所示，物體受到水平推力廠的作用在粗糙水平面上做直線運動。監(jiān)測到推力R物

體速度v隨時間f變化的規(guī)律如圖乙、丙所示。取g=10m/s2,貝|（）

A.第1s內(nèi)推力做功為2J

B.第2s內(nèi)物體克服摩擦力做的功為4J

C.f=1.5s時推力F的瞬時功率為3W

D.第2s內(nèi)推力尸做功的平均功率為2W

6.野山鼠擅長打洞，假設(shè)山鼠打洞時受到的阻力/與洞的深度L成正比，即/="（左為比

例常數(shù)），則野山鼠打到洞深d的過程中，需要克服阻力做的功為（）

A.kd2B.—C.2kd2D,4

22

7.如圖1所示，靜止于光滑水平面上坐標(biāo)原點處的小物塊，在水平拉力廠作用下，沿?zé)o軸方

向運動，拉力P的大小隨物塊所在位置坐標(biāo)x的變化關(guān)系如圖2所示，圖線為半圓。則小物塊

圖1圖2

1L兀L兀2

A.0B.—FmxoC.—FmxoD.—x

2440

8.水平桌面上，長6m的輕繩一端固定于。點，如圖所示（俯視圖），另一端系一質(zhì)量"z=2.0kg

的小球?，F(xiàn)對小球施加一個沿桌面大小不變的力尸=10N,F拉著物體從M點運動到N點，F(xiàn)

的方向始終與小球的運動方向成37。角。已知小球與桌面間的動摩擦因數(shù)〃=0.2,不計空氣阻

力，取g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,則下列說法正確的是（）

—60。R]

ON

A.拉力廠對小球做的功為16兀（J）B.拉力尸對小球做的功為8兀（J）

C.小球克服摩擦力做的功為167T（J）D.小球克服摩擦力做的功為4n（J）

9.如圖甲所示，一個傾角為。的斜面固定在地面上，一輛質(zhì)量為機的汽車由靜止以額定功率

尸駛上斜面，汽車行駛的最大速度為叼；如圖乙所示，若汽車從斜面頂端由靜止以額定功率尸

向下運動，汽車行駛的最大速度為也.已知汽車行駛過程中受到的阻力大小恒定不變，重力加

速度為g，下列說法正確的是（）

A.汽車均做勻加速直線運動

B.最大行駛速度V/大于V2

C.阻力大小為"士"?優(yōu)gsin。

匕一馬

D.額定功率大小為-^--2，wgsinO

匕一匕

10.一輛小汽車在水平路面上由靜止啟動，在前5s內(nèi)做勻加速直線運動，5s末達(dá)到額定功率,

之后保持額定功率運動，其v—，圖像如圖所示，已知汽車的質(zhì)量洸=2xl03kg,汽車受到地面

的阻力為車重的0.1倍，（g=10m/s2）貝U（）

A.汽車在前5s內(nèi)的牽引力為6xlO3NB.汽車的額定功率為90kW

C.汽車的最大速度%為60m/sD.當(dāng)汽車速度為30m/s時，汽車加速度大小為Sm/s?

11.一起重機的鋼繩由靜止開始勻加速提起質(zhì)量為根的重物，當(dāng)重物的速度為匕時，起重機

的功率達(dá)到最大值尸，之后起重機保持該功率不變，繼續(xù)提升重物，最后重物以最大速度匕勻

速上升，不計鋼繩重力。則整個過程中，下列說法正確的是（）

P

A.鋼繩的最大拉力為一

嶺

B.重物勻加速過程的時間為

P-mg%

P

C.重物勻加速過程的加速度為——

mvx

D.速度由％增大至匕的過程中，重物的平均速度亍=匕9

12.全球最大水平臂上回轉(zhuǎn)自升塔式起重機的開發(fā)和應(yīng)用，意味著中國橋梁及鐵路施工裝備

進一步邁向世界前列。該起重機某次從仁0時刻由靜止開始提升質(zhì)量為m的物體，其所受合外

力隨時間變化的圖像如圖所示，彳?內(nèi)起重機的功率為額定功率，不計物體受到的空氣阻力，

m

B.Of和…2時間內(nèi)牽引力做的功之比為人

C.L時刻物體正在減速上升

D.0?%階段牽引力所做的功為直

2m

13.一臺起重機將質(zhì)量為機的重物豎直吊起（不計物體所受空氣阻力），重力加速度為g,如

圖所示為該物體的速度一時間圖像，其中4時刻起重機輸出功率達(dá)到最大，此后功率保持不變,

最大速度為Vm，由圖可知（）

A.。?4時間內(nèi)，重物做勻加速運動且起重機輸出功率恒定

B.起重機的最大輸出功率為"ZgVm

c.4?〃時間內(nèi)，起重機對重物做功為3〃?片-3加4

D.0?月時間內(nèi)，起重機對重物做功為根g號

二、多選題

14.電動汽車（BEV）是指以車載電源為動力，符合道路交通、安全法規(guī)各項要求的車輛。由

于對環(huán)境影響相對傳統(tǒng)汽車較小，其前景被廣泛看好。某品牌純電動車型部分參數(shù)：整備質(zhì)

量1200kg,驅(qū)動電機最大功率120kW,該電動汽車在公路上行駛受到阻力大小恒為4X103N,

則下列說法正確的是（）

A.汽車的最大速度為30m/s

B.汽車上坡時低速行駛，是為了使汽車獲得較大的牽引力

C.汽車以2m/s2的加速度勻加速啟動時，牽引力為尸=6.0X1（）3N

D.里程120?320m過程中克服阻力所做的功約為8xl（）4j

15.一個傾角為。的斜面上有一個質(zhì)量為MI的小物塊，隨斜面一起以加速度a（a<g）勻加速下

降一段高度人則該過程中（）

I

A.斜面對小物塊的摩擦力可能為零

B.斜面對小物塊的彈力一定不為零

C.斜面對小物塊做功為〃以/?

D.斜面對小物塊做功為，泌（。-g）

16.如圖，在電梯中有一固定放置的傾角為。的斜面，斜面上放置一個質(zhì)量為根的物體，二

者以相同的加速度。勻加速上升了高度〃，且物體和斜面始終保持相對靜止，在這一過程中,

下列說法正確的是（）

a

A.斜面支持力對物體做的功為m（a+g）//cos2eB,斜面對物體的摩擦力做的功為

7%(a+g)為cos?0

C.斜面對物體做功為力＜如D.合力對物體做的功為mah

17.一質(zhì)量為加的物體在光滑的水平面上，在水平外力的作用下從靜止