基本不等式及其應(yīng)用典型考點(diǎn)闖關(guān)練

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考

一、單選題

__?_?__k12

1.在VABC中，點(diǎn)尸為線段上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若=+2yze（x>0,y>0）,則（+]

的最小值為（）

A.3B.4C.8D.9

冗

2.已知乙，尸2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，尸是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且/月尸&=三，若橢圓的離心

率為4，雙曲線的離心率為02，則e：+e；的最小值為（）

A.3+73B.C.D.4

22

3.已知a>0,b>0,^.a+b=ab,則下列不等式成立的是（）

A.〃+匕44B.log2?+log2/?>2

C.b]na>lD.^Ja+4b>3

22

4.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=。與雙曲線C:3-與=l（a>0,b>0）的兩條漸近線分別交于3萬(wàn)兩點(diǎn)，

ab

若△（以定的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

5.已知正數(shù)〃，b,C滿(mǎn)足2“+6+3。=8,則"+'+2C、+_L的最小值為（）

b+ca+c

B.上述C.372-1D5+2班

A.2也

44

JII1

6.已知一^+==1,貝心-9爐-分2的最大值為（）

xy

A.-15B.15C.-24D.-25

二、多選題

7.已知a,b都是正實(shí)數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（）

A.(“+4吐+%9B.46

_75—a」

C.a—>3QD.W

2u9—a+12

8.在VABC中，。為邊AC上一點(diǎn)且滿(mǎn)足而=；反，若尸為邊3。上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足乖=2荏+〃正,

A,〃為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.4月的最小值為1B.工月的最大值為二

c.；+的最大值為12D.J+J-的最小值為4

9.已知。涉為正實(shí)數(shù)，/+〃+2/?=14,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.a+b<21B.二的最小值為-1

b+1

C.〃+4b的最小值為12D.-+---的最小值為:

Q+2b+12

三、填空題

10.若直線二+F=l（a>0,6>0）過(guò)點(diǎn)（1,2）,則2°+6的最小值為_(kāi)___.

ab

11.已知正數(shù)。，6滿(mǎn)足:+（=2夜，若（。一32%（必）3,貝。心/=.

12.已知｛%｝是公差不為。的等差數(shù)列，且％,0，為成等比數(shù)列，若S“是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則

S+18。］

」——1的最小值為_(kāi)_____.

an

13.在VA3C中，內(nèi)角A、B、。所對(duì)的邊分別是〃、b、c,若（2a—c）cos5=bcosC,且

SZXABC=^^（。+人+。），貝U〃的最小值為.

14.若隨機(jī)變量X?N（3,〃），KP（l<X<3）=o,P（XN5）=b,則與學(xué)的最小值為

15.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N0O,"）,尸（X>15）=m,P（5<X<10）=n,則布+］的最小值

為.

16.已知正數(shù)a,6滿(mǎn)足而=a+b+l,則工+，的最小值為_(kāi)_____.

ab

四、解答題

17.隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)，人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等影響，醫(yī)

療器械市場(chǎng)近年來(lái)一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)力，計(jì)劃改進(jìn)技

術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái)，每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投

2d+80%,0<x<40

入成本G（x）萬(wàn)元，且G（x）=3600，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為

'/201尤+------2100,40<%<100

.x

200萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完.

（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)W（x）萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入一成本）；

（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

18.若a>0,b>0B.ab=a+b+3

⑴求ab的取值范圍；

⑵求a+助的最小值，以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的。的值.

19.記VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知（6-a）sinA=（6+c）（sinB-sinC）.

⑴求c；

(2)若VABC外接圓的半徑為1,求VABC面積的最大值.

參考答案

題號(hào)123456789

答案DCCBDCACBDABD

1.D

【分析】先根據(jù)共線向量基本定理得到x+2y=l,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸為線段BC上任一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，

所以設(shè)前=4配，^CAF-AB=AAC-AAB，

即赤=2衣+(1-彳)通，

XAF=xAB+2yAC(x>0,y>0),

x+2y—1—4+4=1,

,,12(12、/\1/2y2x__l2y2x_

—I—=—I—|+2y)=I+4H----1之5+2J—>—=9,

xyyjxyxy

當(dāng)且僅當(dāng)」2y=一2x，即=l：時(shí)，等號(hào)成立，

xy3

故'的最小值為9.

%y

故選：D

2.C

2222

【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：3+2=1，1-今=1，易得如-廳=蠟+，=,2,設(shè)

01bla2b?

|P耳|=租,「局=72,利用橢圓和雙曲線的定義得到%=%-。2，九=%+。2，然后在APK巴中，利用余弦

13，

定理得到=+2=4,然后利用基本不等式求解.

【詳解】解：如圖所示：

2222

設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為:承尸,笠"1，

由題意得。；一"=蠟+優(yōu)=/,

設(shè)忸耳|=叫P閶="，貝1_］加+〃=2。］,〃一相=2。2,

解得m=ax-a2,n=ai+a2,

在片瑞中，由余弦定理得：|耳聞2=盧耳(+盧用2—2「KHpq.cosN與尸工，

即(2c)2=(%—%)2+(%+〃2)2—一。2)(。1+。2),化簡(jiǎn)得4c之二Q；+3蠟,

13

則方+方=44,

e\e2

所以d+《=#+《"+《〉】宗營(yíng)+4］

pxL2W3

-41也e；J2，

當(dāng)且僅當(dāng)與=等，即e；=6e；時(shí)，等號(hào)成立；

e\e2

故選：C

3.C

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)1的妙用進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，對(duì)原條件直接使用基本不等式，ab=a+b>2^b

即可求解；C選項(xiàng)，將待證明表達(dá)式消去一個(gè)字母，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決；D選項(xiàng)，結(jié)合B

選項(xiàng)的分析可解決.

【詳解】因?yàn)椤?6=用，所以工+；=1,

ab

對(duì)于A項(xiàng)：<7+Z?=(?+/7)|—+—|=2+—+—>2+2=4,

\ab)ab

,3

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取得等號(hào)，從而在a=3,8=5時(shí)〃+b>4,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)?Q+所以aZ?24,

log2a+log2b=log2ab>log24=2,當(dāng)a=b=2時(shí)取得等號(hào)，止匕時(shí)log?Q+log2b=2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)椤癦?=a+Z?,所以人二一^；〉。，所以〃>1,

于是blna>l等價(jià)于等價(jià)于lna>H,

a-1a

構(gòu)造函數(shù)〃無(wú))=lnx+』_l(無(wú)>1),尸(尤)=工_」=二>0,

XXXX

所以“X)在(1,+向上單調(diào)遞增；

所以/(x)>/(l)=。恒成立，所以不等式6111a>1成立，故C正確；

對(duì)于D項(xiàng)：根據(jù)B選項(xiàng)的分析，a+b=ab>4f

則+y[b）=〃+/?+2之4+2^/^=8y即+y/b>2\/2,

當(dāng)a=b=2時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)而+正=20<3,故D錯(cuò)誤.

故選：C

4.B

22〃

【分析】因?yàn)镃:q-4=1（。>0,6>0）,可得雙曲線的漸近線方程是y=±2x,與直線x=a聯(lián)立方

礦b-a

程求得O,E兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得|ED|,根據(jù)AODE的面積為8,可得而值，根據(jù)2c=2，/+/,

結(jié)合均值不等式，即可求得答案.

22

【詳解】???C:j-2=1（。>0,6>0）

ab

b

???雙曲線的漸近線方程是y=

a

22

?.?直線x=a與雙曲線C:0-2=1（。>0）>0）的兩條漸近線分別交于O,E兩點(diǎn)

ab

不妨設(shè)。為在第一象限，石在第四象限

x=a（-

\x=a

聯(lián)立b，解得，

y=—%[y=b

Ia

故D（a,。）

x=a（

,、，\x=a

聯(lián)立b,解得J

y=——％[y=-b

Ia

故E（a,-Z?）

\ED\=2.b

“DE面積為：%加=料2』。=8

22

,雙曲線C:三-2=l（a>0,b>0）

ab

其焦是巨為2c=l^cr+b1>2-j2ab=2^/16=8

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=2應(yīng)取等號(hào)

??.C的焦距的最小值：8

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等

式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬

于中檔題.

5.D

〃+/?+2u1411

【分析】設(shè)令。+。=機(jī)/+。=〃，故2根+〃=8,m>0,n>0,WOJ+—+-+

b+ca+cnm2

41

由基本不等式，，1”的代換求出？+_L的最小值，從而得到答案.

nm

【詳解】正數(shù)〃，b,。滿(mǎn)足2a+Z;+3c=8,故2(a+c)+(/?+c)=8,

^a+c=m,b+c=n,故2機(jī)+〃=8,m>0,n>0,

a+b+2c1a+c+b+c1a+c1,m1,

---------+-----=-----------+-----=-----+----+1=——F——1-1

b+ca+cb+ca+cb+ca+cnm

=^ll=ill

2n+m+n+m+2

411(-[8m~~n^

—+—>-6+2J------

nm81Vnm,

當(dāng)且僅當(dāng)犯=2，即加=4&-4，n=16-8立時(shí)，等號(hào)成立,

nm

+ha+b+2c14113+2夜15+2加

b+ca+cnm2424

故選：D

6.C

【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.

【詳解】1一9彳2-4y2=1-(9尤2+49)=1一(9/+4/)^+^

9尤24y2

=2x6=12,

當(dāng)3/=2必即當(dāng)Y=(丁=g時(shí)取得等號(hào),

(a%2

所以1113+y+<1-(13+12)=-24,

故選：C.

7.AC

【分析】AB選項(xiàng)，利用基本不等式求出最小值，得到A正確，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，作差法比較出大小

關(guān)系；D選項(xiàng)，先變形后利用基本不等式進(jìn)行求解.

7..14baA、廠八14ba?

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)閍,b都是正實(shí)數(shù),故17(a+4磯-+石戶(hù)+—+-+4>5+2J———=9,

〃

當(dāng)且僅4當(dāng)竺a即。=26時(shí)，等號(hào)成立，A正確；

ab

B選項(xiàng)，因?yàn)?,匕都是正實(shí)數(shù)，故=1+2+色+122+2、口=4,

\abJab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)￡=2,即。=6時(shí)，等號(hào)成立，B錯(cuò)誤；

ba

C選項(xiàng)，a1-3a+—=[a\+—>—>0,故“2+3>3。恒成立，C正確;

212）442

_?_=__1r~r

D選項(xiàng)，。是正實(shí)數(shù)，故/一。+11，其中。+—1、”.一=2,

a+—1a、a

a

a___L_<_L=]?

故/一a+1-1/2-1，當(dāng)且僅當(dāng)。=工即。=1時(shí)，等號(hào)成立，D錯(cuò)誤.

aH1a

a

故選：AC

8.BD

【分析】根據(jù)8,RP三點(diǎn)公式求得4+34=1,結(jié)合基本不等式判斷即可.

__.I__.

【詳解】因?yàn)锳DMJDC,所以AC=3AZ），

y.AP=AAB+^AC=AAB+3/2AD,

因?yàn)槭?、B、。三點(diǎn)共線，所以4+32=1,

又兄，〃為正實(shí)數(shù)，所以2〃=；〃3蚱3廣^）=七

當(dāng)且僅當(dāng)X〃，即時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤，B正確;

11（彳+3〃）=2+當(dāng)+「2+2竹號(hào)

—I--==4,

23〃43jUX3//N%3〃

當(dāng)且僅當(dāng)"/即"1"=：時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：BD

9.ABD

【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到（，+2）S+l）=16,令x=a+2,y=b+l,^\+b=x+--3,結(jié)合函

ax

數(shù)“同=尤+嶼單調(diào)性，可判定A正確；由6+1=￡,得至IJ巴22--4a-12,結(jié)合二次函數(shù)的

性質(zhì)，可得判定B正確；化簡(jiǎn)a+4b=x+4y-6,利用基本不等式，可得判定C不正確；由

（47+2）0+1）=16,得到—L+J_±2、U———,可判定D正確.

〃+2Z?+1V62+2Z?+1

【詳解】由而+〃+2b=14,可得(a+2)S+l)=16,

對(duì)于A中，令無(wú)=a+2,y=Z?+l,貝lja==y—1且孫=16,

可得2<%<16,貝!］。+力=%+>一3=%+3,

x

因?yàn)楹瘮?shù)〃尤)=X+?在(2,4］上單調(diào)遞減，在［4,16)上單調(diào)遞增,

可得<"16)=17,所以。+6=尤+丫-3<14,所以A正確;

對(duì)于B中，由…+1)=16,可得…￡，

〃一64―4a-12("2)2-16

則

I+T=")呼16―16

ah

當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí),釧取得最小值-1,所以B正確;

對(duì)于C中，由a-^-4b=(x-2)+4(y-l)=x-\-4y-6>2yJx-4y-6=10，

當(dāng)且僅當(dāng)％=4y時(shí)，即％=8,y=2時(shí)，即〃=6*=1時(shí)，等號(hào)成立，所以C不正確;

對(duì)于D中，由(a+2)S+l)=16,

r，日1101~11~0IT1

可得----1----->2J---------=2J—=—，

Q+2b+\Va+2b+\\162

當(dāng)且僅當(dāng)=1］時(shí)，即。=2,6=3時(shí)，等號(hào)成立，

4+2Z?+l

所以一二+Jv的最小值為：，所以D正確.

a+2b+12

故選：ABD.

10.8

【分析】由直線2+；=1(。>0,6>0)過(guò)點(diǎn)(1,2),可得，+￡=1,從而有2a+6=(2a+b)［，+色，展

abab\ab)

開(kāi)后利用基本不等式可求得其最小值

【詳解】解：因?yàn)橹本€M；=l(a>0,6>。)過(guò)點(diǎn)(L2),所以工+3=1,

abab

因?yàn)閍>0,bX)

所以2<7+6=(2々+3［工+2］=2+網(wǎng)+2+224+21^^=8,

yab)ba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)4芋/7=hg,即，=2*=4時(shí)取等號(hào)，

ba

所以2a+Z?的最小值為8

故答案為：8

【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正二定三相等”的條件，屬

于基礎(chǔ)題

11.6

【分析】化簡(jiǎn)不等式，利用基本不等式求出，+〃，即可得出/+從的值.

【詳解】由題意，由（。-6）2\4（湖）3,得紇"24",

ab

即(工+工］——>4abf故Q/?H--<2.

\ab)abab

ii1

又ab~\--->2.lab---=2,所以〃----=2,

abvabab

當(dāng)且僅當(dāng)即M=1時(shí)，等號(hào)成立，

ab

'ab=lffl=V2-lb=0+1「

此時(shí)“1'后，解得V廠或《「，貝心+人=2虛，

一十7=2'2Z?=V2+1b=y/2-l

{ab'i

所以〃+

故答案為：6.

13

12.

~2

【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d（dwO）,根據(jù)%,電，%成等比數(shù)列，可得%=d,利用等差數(shù)列的

S+18al

前〃項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)———L,然后利用基本不等式求出最值即可.

an

【詳解】令｛叫的公差為d（dwO）,?.?,%,為成等比數(shù)歹U，

.,.a]=o1a4，「.（4+d）2=4（q+3d）,；.%=d,an=nd,

n（n-l）n（n-l]

S+]8〃叫+二^—^d+18q幾d+—Ld+lSd

anndnd

1181cfl181c113

2〃2V2〃222

11Q

當(dāng)且僅當(dāng)彳〃=上，即附=6時(shí)取等號(hào).

2n

13

故答案為：—

13.12

【分析】由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出cos5的值，結(jié)合角3的取值范圍可得出角5的

值，由三角形的面積公式化簡(jiǎn)得出b=1ac-a-c,結(jié)合余弦定理可得出a+c=3+^ac,利用余弦定

理可求得a+c的最小值.

【詳解】由（2。-<?）（：0$3=6（：0$。及正弦定理可得（251114-5111。）<：053=51113（：05。，

2sinAcosB=sinBcosC+sinCcos3=sin（5+C）=sinA,

因?yàn)锳、BG（0,K）,所以sinA>0,cosB=-,所以3=

23

Fyi]

因?yàn)镾/BC=q（a+6+c）=LacsinB,則ac=2（a+6+c）,所以6=5"-°-°,

222

把b=代入cosB=工=———,a1+c2—[—ac—a—c\=ac,

222ac（2J

化簡(jiǎn)得Q+C=3+LC,

4

由基本不等式可得〃+c=3+7QCW3++c）,即（a+c）—16（a+c）+4820,

解得〃+cW4或Q+C212,

因?yàn)閎=’〃c-Q-c>0,所以，QC〉Q+C22V^,解得ac>16,

22

所以Q+C=3+LC〉7,

所以a+c212，

4

\a=c,

當(dāng)且僅當(dāng)…=12時(shí),即當(dāng)…=6時(shí),a+c取最小值12.

故答案為：12.

14.7+46

【分析】由正態(tài)分布性質(zhì)知正態(tài)分布曲線關(guān)于％=3對(duì)稱(chēng)，故。+6=：,使用基本不等式可求的最小

值.

【詳解】由題意知正態(tài)分布曲線關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，P（l<X<3）=a,

則尸（3VXW5）=a,又P（XN5）=b,故°+6=g,

3〃+4力一+&=!34

則+（Q+Z?）

lab2bla2ybaba

3a_.4Z?、八13a4b,.rr_

=-----1-3+4H----->2J----------1-7=4A/3+7,

ba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)羋=竺，即。=百-1,b=匕回取等號(hào).

ba2

故答案為：7+4班.

15.-/0.125

8

【分析】首先利用正態(tài)分布的性質(zhì)求出機(jī)+〃=；,再利用基本不等式解最小值即可.

【詳解】由題意可知，正態(tài)曲線關(guān)于x=10對(duì)稱(chēng)，所以尸（x>15）=P（x<5）=m,

又尸(5WXW10)=〃，所以相+“=g,

因?yàn)閙2+n2>2mn,得2(m2+n2)>m2+?2+2mn,

得加2+〃223（加+“）2=gx[g）=；,等號(hào)成立時(shí),m=n=-^,

所以病+"的最小值為]

o

故答案為：:

O

16.272-2

11,bT,八

【分析】由題意得1+]=1-麗可，他z>D，通過(guò)換元結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?二>0,。>0,解得人>1,

b-i

11b-111121b—1

所以一+[=7T7+i=l+1_ZT7=l_，令/=Z?_1>0,

abb+1bbb+1

ni1-+-=l--^--1--_/——；=1———>1——/—=1-（3-20）=2夜-2

則ab6（b+l）（t+l）（t+2）/+/+32忘+3''

t

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)仁應(yīng)，此時(shí)b=l+&,a=立詈=1+近,

V2

所以：的最小值為2&-2.

ab

故答案為：2夜-2.

-2X2+120A-300,0<X<40

17.3600

x++1800,40<x<100

x

（2）年產(chǎn)量為60臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1680萬(wàn)元

【分析】（1）分0<xW40和40<xW100兩種情況，進(jìn)行求解利