第09講兩條直線的位置關(guān)系

滂總維導(dǎo)圖

相交線：若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線.

概念：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向

延長(zhǎng)線且這兩個(gè)角有公共頂點(diǎn).

對(duì)頂角

相交線性質(zhì)：對(duì)頂角相等.

互補(bǔ)：如果兩個(gè)角的和是180。，那么稱這兩個(gè)

角互為補(bǔ)角，也稱互補(bǔ).

互余：如果兩個(gè)角的和是那么稱這兩個(gè)

互補(bǔ)與互余90°,

角互為余角，也稱互余.

性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等；同角或等角的

余角相等.

兩條直線的位置關(guān)系

垂直的概念及表示.兩條直線相交成四個(gè)角，如果有一個(gè)角是直角，

那么稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂

線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.

垂線

平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

垂直的性質(zhì)

直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.

平行線：在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種.在同一個(gè)平面

內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

，核心考點(diǎn)聚焦

1.對(duì)頂角的定義

2.利用對(duì)頂角相等求角度

3.求一個(gè)角的余角

4.求一個(gè)角的補(bǔ)角

5.與余角、補(bǔ)角有關(guān)的綜合計(jì)算問(wèn)題

6.垂線定義的理解與應(yīng)用

7.利用垂線的定義求角的度數(shù)

8.點(diǎn)到直線的距離與垂線段最短

一、相交線

1.相交線：若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線.表示方法：如下圖，直線AB與直

線CD相交于點(diǎn)0.

2.對(duì)頂角的概念及性質(zhì)

對(duì)頂角的概念：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線且這兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，這樣的兩

個(gè)角叫做對(duì)頂角.性質(zhì)：對(duì)頂角相等.

3.互補(bǔ)與互余

互補(bǔ)：如果兩個(gè)角的和是180。，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，也稱互補(bǔ).

互余：如果兩個(gè)角的和是90。，那么稱這兩個(gè)角互為余角，也稱互余.

性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等；同角或等角的余角相等.

二、垂線

1.垂直的概念及表示.

兩條直線相交成四個(gè)角，如果有一個(gè)角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另

一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.通常用符號(hào)“，”表示兩條直線互相垂直.如下圖，直線A8與直

線CO垂直，記作垂足為O.

垂直的概念包含兩個(gè)方面的含義：一方面由直角（90。的角）可以得到兩條直線垂直；另一方面由兩條

直線垂直可以得到直角（或90。的角）.

2.垂直的性質(zhì)：（1）平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

（2）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.

3.點(diǎn)到線的距離：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)A作直線/的垂線，垂足為點(diǎn)8,則線段A8的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)A到直

線/的距離，此時(shí)線段叫垂線段.

"A

_____□______

BI

三、平行線

1.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種.

在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

表示方法：我們通常用“〃”表示平行.如下圖所示，A3與CD平行，記作或C0〃AR

平行線三要素：①在同一個(gè)平面內(nèi)；②兩條直線；③不相交.三者缺一不可.

A---------------B

_______________D

1.對(duì)同角和等角的理解以及同角或等角的補(bǔ)角相等；同角或等角的余角相等.

2.利用余角，補(bǔ)角，垂線計(jì)算角的綜合問(wèn)題.

?考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一、對(duì)頂角的定義

例題1：下列所給的N1和N2中，是對(duì)頂角的是（）

【答案】C

【解析】A、兩個(gè)角沒(méi)有公共頂點(diǎn)，不符合對(duì)頂角的定義，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、/I的反向延長(zhǎng)線并不是/2的兩邊，不符合對(duì)頂角的定義，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、/I的反向延長(zhǎng)線是N2的兩邊，且兩角有公共頂點(diǎn)，符合對(duì)頂角的定義，故C項(xiàng)正確;

D、兩個(gè)角沒(méi)有公共頂點(diǎn)，不符合對(duì)頂角的定義，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選C.

【變式訓(xùn)練】

1.下列各圖中，N1與N2是對(duì)頂角的是（）

考點(diǎn)二、利用對(duì)頂角相等求角度

例題2：如圖，兩條直線相交于點(diǎn)0,若/1+/2=60。，貝|/2=度.

【答案】30

【解析】因?yàn)镹l+/2=60。，Z1=Z2（對(duì)頂角相等），所以N2=30。.故答案為：30.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知直線AB和CO相交于。點(diǎn)，ZDOE=90°,射線O尸平分NAOE,ZBOD=22°,求/COf1的

度數(shù).

考點(diǎn)三、求一個(gè)角的余角

例題3：若一個(gè)角的度數(shù)為49。3夕，則它的余角的大小為.

【答案】4002r

【解析】一個(gè)角是49。39',則它的余角=90。-49。39，=40。21'.故答案為：40。21'.

【變式訓(xùn)練】

1.已知N1與N2互余，若/1=46。，則N2的度數(shù)為°.

2.如果一個(gè)角的余角是30。，那么這個(gè)角的對(duì)頂角是.

考點(diǎn)四、求一個(gè)角的補(bǔ)角

例題4：已知一人=45。5(/,則NA的補(bǔ)角等于.

【答案】134°10'

【解析】NA的補(bǔ)角為180。-45。50'=134。10',故答案為：134°10,.

【變式訓(xùn)練】

1.已知/a與“互補(bǔ)，且/夕=39°,則/￡=.

2.已知/以=21。18',則N以的補(bǔ)角等于—.

考點(diǎn)五、與余角、補(bǔ)角有關(guān)的綜合計(jì)算問(wèn)題

例題5：如圖，NAOC與N3OC互為補(bǔ)角，NBOC與NBOD互為余角,0E平分/AOC.

⑴若NBOC=2NBOD,求/3OC的度數(shù)；

⑵若NAOC+NEO3=230。，求/BOE的度數(shù).

【解析】（1）因?yàn)椋?0c與，30D互為余角，所以/BOC+NBQD=90。,

22

因?yàn)閆BOC=2NBOD,所以ZBOC=—NCOD=-x90°=60°.

33

（2）因?yàn)?AOC與-30C互為補(bǔ)角，所以NAOC+/30c=180。.

因?yàn)镺E平分/AOC,所以可設(shè)NAOE=NEOC=x,

所以NAOC=2x,ZEOB=180°-x,

因?yàn)镹AOC+ZEOB=230°,所以2x+180°-x=230°,

解得x=50。，所以N3OE=130。.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知點(diǎn)O為直線A3上一點(diǎn)，ZCOD=90°,0E是4OD的平分線.

（D如圖1,若NCOE=55。,求/BOD的度數(shù)；

⑵如圖2,OF是/3OC的平分線，求NEO尸的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，0P是/BOD的一條三等分線，若ZAOC+NDOF=NEOF,求/尸O尸的度數(shù).

考點(diǎn)六、垂線定義的理解與應(yīng)用

例題6：如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（）

A.點(diǎn)3到AC的垂線段是線段48B.點(diǎn)C到A3的垂線段是線段AC

C.線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段D.線段5D是點(diǎn)3到AD的垂線段

【答案】C

【解析】A、點(diǎn)8到AC的垂線段是線段AB,正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AC,正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、線段4）是點(diǎn)A到BC的垂線段，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；

D、線段是點(diǎn)8到AO的垂線段，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選C.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，/ACB=90。，CD1AB,垂足為點(diǎn)。，則下面的結(jié)論正確的有（）

①3C與AC互相垂直；

②AC與8互相垂直；

③點(diǎn)A到BC的垂線段是線段BC-,

④點(diǎn)C到AB的垂線段是線段CD；

⑤線段AC的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到BC的距離.

C

考點(diǎn)七、利用垂線的定義求角的度數(shù)

例題7：如圖，直線A3與CD相交于點(diǎn)O,0E是NA0C的平分線，OFLCD,OG^OE,ABOD=56°.

⑴求ZAOb的度數(shù)；

(2)/￡0尸與々00是否相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)直接寫(xiě)出圖中ZAOE的所有余角.

【解析】(1)因?yàn)镺FLCD,所以NCOF=90°,

又因?yàn)閆AOC與NB0D是對(duì)頂角，

所以ZAOC=ZBOD=56°,

所以ZAOF=Z.COF-ZAOC=90°-56°=34°；

(2)相等，理由：

因?yàn)閆AOC與N8O。是對(duì)頂角，所以ZAOC=NBOD=56°,

因?yàn)?E是/AOC的平分線，所以/AOE=LZAOC=28。，

2

又因?yàn)镺G_LOE,所以N￡OG=90。，

所以ZBOG=180°-ZAOE-NEOG=62°,

而/EOF=ZAOF+ZAOE=340+28°=62°,

所以/EOF=/BOG；

(3)圖中/AOE的所有余角為NEOb,ZCOG,ZBOG.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，直線AB,8相交于點(diǎn)O,EOLAB,垂足為。.

E

B

A

⑴若NCOE=34。，則4G?的度數(shù)為。(直接寫(xiě)出結(jié)果)；

(2)若/AOD+/COE=170。，求/COE的度數(shù).

考點(diǎn)八、點(diǎn)到直線的距離與垂線段最短

例題8：如圖，所有小正方形的邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位長(zhǎng)度，A,B,C都在格點(diǎn)上.

(1)過(guò)點(diǎn)A作直線2C的垂線，垂足為G；

(2)過(guò)點(diǎn)A作直線AHLAB,垂足為A,直線A"交3C于點(diǎn)H；

(3)點(diǎn)A到直線BC的距離等于個(gè)單位長(zhǎng)度.

【解析】(1)如圖，直線AG即為所求.

(2)如圖，直線A4即為所求.

(3)由(1)中圖可得，點(diǎn)A到直線BC的距離等于2個(gè)單位長(zhǎng)度.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)，格點(diǎn)尸是/AC?的邊。8上的一點(diǎn)(請(qǐng)利用三角板和直尺借助網(wǎng)格的格點(diǎn)

畫(huà)圖).

⑴過(guò)點(diǎn)P作的垂線，交。4于點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)P作。4的垂線，垂足為尸;

(2)線段PF的長(zhǎng)度是點(diǎn)P到直線的距離，線段.的長(zhǎng)度是點(diǎn)E到直線的距離，所以線段

PE、PF、OE這三條線段大小關(guān)系是（用號(hào)連接），理由是

》過(guò)關(guān)檢測(cè)

一、選擇題

1.若一個(gè)角是40。，則這個(gè)角的余角是（）

A.40°B.50°C.60°D.140°

2.如圖，點(diǎn)。在直線AB上，ZCOD=75°.若NAOC=135。，則ZBOD的大小為（）

4.如圖，P是直線/外一點(diǎn)，A,B,C三點(diǎn)在直線/上，且于點(diǎn)3,ZAPC=90°,則下列結(jié)論中正

確的是（）

①線段3尸的長(zhǎng)度是點(diǎn)尸到直線/的距離；②線段A尸是A點(diǎn)到直線PC的距離；③在R4,PB,PC三條線段

中，PB最短；④線段PC的長(zhǎng)度是點(diǎn)P到直線/的距離.

P

A.①②③B.③④C.①③D.①②③④

5.如圖，平面內(nèi)ZAQ8=NCOZ）=90。，OF平分ZAOD,尸為0E反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)（圖中所有角均指小于180。

的角），有以下結(jié)論：?ZAOE=ZDOE；②NAOD+NCO3=180。；③NCOB—NA8=90。；

④若NFOD：NCOE=2：7,貝iJ/FOD=36。.其中結(jié)論正確的序號(hào)有（）

A

cF

D

E

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④

二、填空題

6.已知/。=34。42，，則/a的余角為，補(bǔ)角為.

7.如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)0,EO±CD,AB平分NEOD,則/B0C的度數(shù)為

8.如圖，AC1BC,垂足為C,若BC=3cm,AC=4cm,AB=5cm,則點(diǎn)A到BC的距離為cm.

9.如圖，污水處理廠要從A處把處理過(guò)的水引入排水溝PQ,做法如下：過(guò)點(diǎn)A作尸Q于點(diǎn)8,沿著A3

方向鋪設(shè)排水管道可用料最省.能準(zhǔn)確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是.

10.如圖①，點(diǎn)。在直線AB上，ZAOC=120°,OD±AB,將。。繞點(diǎn)。以每秒2。的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐?/p>

轉(zhuǎn)（如圖②），當(dāng)。。旋轉(zhuǎn)到第r秒時(shí)，OD平濟(jì)/BOC,則r的值為.

圖①圖②

三、解答題

11.如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)。，