第01講平面向量的概念及線性運(yùn)算

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：向量的有關(guān)概念........................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：向量的線性運(yùn)算........................................................4

知識(shí)點(diǎn)3：平面向量基本定理和性質(zhì)................................................5

知識(shí)點(diǎn)4：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算..........................................7

解題方法總結(jié)....................................................................8

題型一：平面向量的基本概念......................................................9

題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問題.........................................10

題型三：共線定理及其應(yīng)用.......................................................14

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用...................................19

題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算.................................................26

題型六：向量共線的坐標(biāo)表示.....................................................30

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................31

05課本典例高考素材............................................................32

06易錯(cuò)分析答題模板............................................................35

易錯(cuò)點(diǎn)：忽視平面向量基本定理的使用條件.........................................35

答題模板：用基底表示向量.......................................................36

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)向量的有關(guān)概念

2024年I卷第3題，5分

(2)向量的線性運(yùn)算和

2024年甲卷(理)第9題，5分通過對(duì)近5年高考試題分析可知，高考在

向量共線定理

2023年北京卷第3題，5分本節(jié)以考查基礎(chǔ)題為主，考查形式也較穩(wěn)定，

(3)平面向量基本定理

2022年I卷第3題，5分考查內(nèi)容一般為平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)

和性質(zhì)

2021年乙卷(文)第13題，5分算，預(yù)計(jì)后面幾年的高考也不會(huì)有大的變化.

(4)平面向量的坐標(biāo)表

2022年乙卷(文)第3題，5分

示及坐標(biāo)運(yùn)算

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.

(2)掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.

(3)了解平面向量基本定理及其意義

(4)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法'減法與數(shù)乘運(yùn)算

匐2

〃二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

如果捻成，￡和!Wa//5；反之，

平面向量的概念及線性運(yùn)算共線向國

基本定理如果1〃加I?忌6,則一定存在唯?的實(shí)數(shù)入，使方=歷.

如果，利《是同?個(gè)平向內(nèi)的兩個(gè)不共線向反，

那么時(shí)丁該平面內(nèi)的仔響收入郡存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)人兒，

平面向甲

使雨。￡+入甚我們把下共線向也；，4泗做

基本定理,

發(fā)示這一平面內(nèi)所力晌林的州草底，記為伍力,

入石+人京叫做向M?矢「M底(￡￡｝的分解式.

平面向量基本定理和性質(zhì)

苦點(diǎn)”是邊上的點(diǎn)，

線段定比分點(diǎn)&AOOI'.8cILBD=XZ>C(X#-l).

的向量表達(dá)式則向民5=專產(chǎn)

平面內(nèi)三點(diǎn)箝B,C共線的充要條件是：

三點(diǎn)共線定理

存在實(shí)數(shù)入,M，使前=人次+y。百，其中A+M=1，。為平面內(nèi)一點(diǎn).

中線向量定理在△oc中，若點(diǎn)D是邊6C9中點(diǎn)，則中線向班歷=：(近+歷

平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

考點(diǎn)突破二即理輝笠

f知識(shí)固本JJ

知識(shí)點(diǎn)1：向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）.

（2）向量的模：向量在的大小，也就是向量通的長(zhǎng)度，記作|麗|.

（3）特殊向量：

①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：。與任一向量平行.

④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

【診斷自測(cè)】下列命題中，正確的是（）

A.若忖明,貝了=石B.若同訓(xùn)，則

C.若￡=石，則Z//BD.若a//B,B//c,則a//c

【答案】C

【解析】對(duì)于A：若同=忖，則只是大小相同，并不能說方向相同，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若Z=L貝!方向相同，C正確；

對(duì)于D：若3/小歸/不，如果B為零向量，則不能推出平行，D錯(cuò)誤.

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)2：向量的線性運(yùn)算

（1）向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

二r①交換律

求兩個(gè)向量和的a+b=b+a

加法

運(yùn)算aa②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(?+5)+c=a+(b+c)

求萬與5的相反

向量-5的和的

減法a—b=a+(—Z?)

運(yùn)算叫做乙與Ba

的差三角形法則

(1)|23H刈源

=(2/2)a

求實(shí)數(shù)彳與向量(2)當(dāng)4>0時(shí)，X日與日的方向相同；當(dāng)

數(shù)乘(A+jLi)a=A,a+jua

a的積的運(yùn)算4<0時(shí)，幾日與日的方向相同；

2(a+5)=Aa+Ab

當(dāng)2=0時(shí)，23=0

【注意】

(1)向量表達(dá)式中的零向量寫成6,而不能寫成0.

(2)兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或

重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

(3)要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須

重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首

尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：OA-OB=BA,AM-AN=NM,

OA=OB+CA^OA-OB=CA^BA-CA=BA+AC=BC.

【診斷自測(cè)】MP+PQ-MN=()

A.QNB.NQC.PMD.MP

【答案】A

【解析】MP+PQ-MN=NP+PQ=NQ,

故選:A.

知識(shí)點(diǎn)3：平面向量基本定理和性質(zhì)

1、共線向量基本定理

如果商=/lB(2eR),則日〃5；反之，如果日/區(qū)且5片。，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)幾，使4=".(口

訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘).

2、平面向量基本定理

如果I和1是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量都存在唯一的一對(duì)

實(shí)數(shù)4,4,使得萬=41+41，我們把不共線向量I，或叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記

為｛烏勺｝,\ex+^e2叫做向量方關(guān)于基底｛q?｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量I與1不共線，平面內(nèi)的任一向量日都可以分解成形如

。=4冢+乙最的形式，并且這樣的分解是唯一的.4冢+%互叫做I，瓦的一個(gè)線性組合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

推論1：若玄=4,+44=4,十%弓，則4=4,4=4.

推論2：若五=46+4%=。，則4=4=0.

3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

如圖所示，在△ABC中，若點(diǎn)。是邊3C上的點(diǎn)，且彷=4配（2^-1）,則向量

+

AD=ABAAC.在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神

1+2

奇”之功效，建議熟練掌握.

4、三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)尢〃，使區(qū)=2兩+〃而，其中幾+〃=1,。為

平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

A、B、C三點(diǎn)共線

。存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得前=/1通；

o存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得碇=函+九國；

o存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得反=（1-外函+2礪；

。存在；1+〃=1,使得反=2函+〃礪.

5、中線向量定理

如圖所示，在△ABC中，若點(diǎn)D層邊8C的中點(diǎn)，則中線向量初=3（旗+恁），反之亦正確.

A

B

D

【診斷自測(cè)】在AABC中，已知。是8C邊上靠近點(diǎn)2的三等分點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，且詼=4南+〃正,

貝［|4+〃=()

A.—B.—1C.-D.1

22

【答案】A

【解析】因?yàn)椤Ｊ荁C邊上靠近點(diǎn)3的三等分點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，

__.2__1___

所以理k=反+在=一配k——AC

32

=-(AC-AB)--AC

32

2—.1—.

=——AB+-AC,

36

因?yàn)橥?2而+〃不亍，

21211

所以4=—,//=—,所以4+"=_彳+:=—.

知識(shí)點(diǎn)4：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

(1)平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與x軸，y軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量入了作為基底，那么由平面

向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量萬，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使前=爐+爐，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)

(x,y)叫做向量五的坐標(biāo)，記作a=(x,y).

(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有

向量(蒼y)、一對(duì)應(yīng)、向量〃、一對(duì)應(yīng)、點(diǎn)A(x,y).

(3)設(shè)，=(%,%),S=(x2,y2),則〃+。=(苔+%2，%+%)，a-b=(xx-x2,yr-y2),即兩個(gè)向量的和

與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若M=(x,y),%為實(shí)數(shù)，則幾五=(/U,Xy),即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相

應(yīng)坐標(biāo).

(4)設(shè)4%,%),B(x2,y2),則AB=OB-OA=(占-%,X-%)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有

向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).

(5)平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

①己知點(diǎn)A(x「％),B(X2,y2),貝1148=0；2-玉，%-%)，IA5|="(%2f)?

②已知4=(X],%),方=(尤2，%)，則江土石=(菁土元2，乂±%)，九^=(2玉,2%)，

a-b=jqx2+yxy2,\a|=+y；.

a//b占必—元2yl=°，汗-LBo玉%+%%=0

【診斷自測(cè)】已知點(diǎn)42,3),8知點(diǎn),且Q=_2而，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是.

【答案】(。,5)

【解析】如圖，連接AP,。4,成，

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，OP=OA+AP=OA-2PB=OA-2(OB-OP),

整理得/=2礪-或=(2,8)-(2,3)=(0,5).

故答案為：(0,5)

解題方法總結(jié)

(1)向量的三角形法則適用于任意兩個(gè)向量的加法，并且可以推廣到兩個(gè)以上的非零向量相加，稱

為多邊形法則.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向

量.

即取;+可4+…+匯

(2)\\a\-\b\\<\a±b\<\a\+\b\,當(dāng)且僅當(dāng)商,石至少有一個(gè)為0時(shí),向量不等式的等號(hào)成立.

(3)特別地：||洲-出|兇萬土5|或土石區(qū)團(tuán)|+歷|當(dāng)且僅當(dāng)仁5至少有一個(gè)為0時(shí)或者兩向量共線時(shí),

向量不等式的等號(hào)成立.

(4)減法公式：AB-AC=CB,常用于向量式的化簡(jiǎn).

(5)A、P、3三點(diǎn)共線o歷=(1-。西+f而這是直線的向量式方程.

題型洞察

題型一：平面向量的基本概念

【典例1-1］（2024?高三?福建廈門?開學(xué)考試）下列命題不正確的是（）

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長(zhǎng)度等于0

ab入

C.若日，石都為非零向量，則使同+%=°成立的條件是2與萬反向共線

D.若』，b=c，則Z="

【答案】A

【解析】A選項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0,故B正確；

ababab-

C選項(xiàng)，因?yàn)槿张c同都是單位向量，所以只有當(dāng)日與同是相反向量，即Z與石是反向共線時(shí)曰+鬲=°

HHH\b\H忖

才成立，故C正確；

D選項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.

故選:A

【典例1-2】給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②兩個(gè)向量不能比較大小，

但它們的模能比較大小；③若;=0Q為實(shí)數(shù)），則2必為零；④已知"“為實(shí)數(shù)，若彳2=則Z與

石共線.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】①錯(cuò)誤.兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn).

②正確.因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小.

③錯(cuò)誤.因?yàn)轶?6,所以a=。或16.

④錯(cuò)誤.當(dāng)a=〃=0時(shí)，病=泌,此時(shí)，Z與B可以是任意向量.

所以錯(cuò)誤命題有3個(gè).

故選：C.

【方法技巧］

準(zhǔn)確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵.共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳

遞性，兩個(gè)向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長(zhǎng)度無關(guān)，兩個(gè)向量方向相同且長(zhǎng)度相等，就是相

等向量.共線向量或相等向量均與向量起點(diǎn)無關(guān).

【變式1-1】下列說法中，正確的是（）

A.若貝！|￡>方

B.若|￡|=伽，則￡=[

C.若0=方,則a//6

D.若M，則之與B不是共線向量

【答案】C

【解析】對(duì)于A,向量的模為非負(fù)數(shù)，它們可以比較大小，但向量不可以比較大小，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,兩個(gè)向量的模相等，但方向可以不同，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,若￡=石，貝必定共線，故a〃b，故C成立.

對(duì)于D,當(dāng)ZHB時(shí)，它們可以模長(zhǎng)不相等，但可以同向或反向，

故Z與B可以為共線向量，故D錯(cuò)誤.

故選：C

【變式1-2】設(shè)Z是非零向量，%是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.Z與的方向相反B.Z與的方向相同

C.|-Aiz|>|a|D.|-Aa|>|2|tz

【答案】B

【解析】對(duì)于A,當(dāng);1>0時(shí)，Z與xZ的方向相同，當(dāng)2<0時(shí)，Z與4%的方向相反，故A不正確；對(duì)于B,

顯然力>0，即B正確；

對(duì)于C,卜痛|=|川同，由于囚與1的大小不確定，故卜與口的大小關(guān)系不確定，故C不正確；

對(duì)于D,岡￡是向量，而卜九@表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小，故D不正確.

故選：B

題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問題

【典例2-1]若網(wǎng)=7,|砌=4,貝U圜的取值范圍是（）

A.[3,7]B.（3,7）C.[3,11]D.（3,11）

【答案】C

【解析】由題意知網(wǎng)=7,|狗=4,M|BC|=|AC-ABI,

當(dāng)衣，通同向時(shí)，取得最小值，|配卜|衣一荏|=||*|一|通||=|4-7|=3；

當(dāng)衣，礪反向時(shí)，|黑|取得最大值，I配卜I衣-麗1=11蔗1+1通11=14+71=11；

__lUiunI

當(dāng)后,而不共線時(shí)，Wq取得最小值，3=|lACI-IA5|I<|BC|<IIAC|+IAB|I=11.

IUUUI

故7q的取值范圍是［3,i|

故選：C

【典例2-2】在平行四邊形ABCZ）中，E為8。的中點(diǎn)，尸為BC上一點(diǎn)，則通+而-2福=（）

A.2FEB.2EFC.~FED.2CF

【答案】A

【解析】因?yàn)镋為的中點(diǎn)，則荏+布=2通，

所以通+赤-2赤=2衣-2福'=2^.

故選：A.

【方法技巧】

（1）兩向量共線問題用向量的加法和減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為需要選擇的目標(biāo)向量即可，而此類問題又以“爪

子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題.

（2）進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或

首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解.

（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似

三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.

【變式2-1】如圖，在平行四邊形■。中‘瓜"S點(diǎn)E滿足金萍，則金（

【答案】A

—>I-—>2—>

【解析】由題意知，點(diǎn)E滿足EC=-AC,可得AE=：AC,

33

_2_______.__.2__?__.__.21

則k詼=通k_茄=耳尼_而=耳（血+礪）一而=耳￡一§尻

故選：A.

【變式2?2】（2024.寧夏吳忠.模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，平行四邊形ABC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,后為AO的中

點(diǎn)，若品=丸誦+〃勃（尢//ER），則X+4等于（）.

D.

2

【答案】D

—>->->->1—>->1->—>1-3-

【解析】由題意知。石=。4+4石=—AD+—AC=—AD+—（AB+AO）=—A3——AD,

4444

.TT[3]

因?yàn)?。E=XAB+〃A￡）（4,〃eR），所以2=A=>%+〃=一不，

故選：D.

【變式2-3】已知矩形ABC。的對(duì)角線交于點(diǎn)。，E為A。的中點(diǎn)，若瓦=4通+〃而（2,〃為實(shí)數(shù)）,

則力一〃2n（）

3-2V21+V2

D.

-2~2

【答案】A

【解析】如圖

DO=1（ZM+5C）,

在AZMO中，

DE=^（DA+DO）,

??.詼=］夕+抑+；或］=加+!覺=!通1而

13

AA

44

故選：A.

【變式2-4］（2024.高三.安徽?開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角

形來構(gòu)造無理數(shù).已知48=3。=8=1,筋，8。,4。，。,4（7與3。交于點(diǎn)0,若加=入陽+日近，則

C.72+1D.-72-1

【答案】A

【解析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C￡）,C4所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,

由題意得AC=0,

則A（0,后）,‘￥，￥jc（0,0）,：W=冬一號(hào),AC=（0,-72）.

因?yàn)镃B=CO=1,NDCB=900+45=135°,故ZBDC=22.5°,

因?yàn)閠an45。=2tan22.5。之,所以.22.5。=血-1（負(fù)值舍去）,

1-tan222.5°

所以O(shè)C=OC-tan225=72-1，

故0（0,0-1）.又￡＞（-1,0）,則加=（1,忘-1）,

1%

2

H^7）d=XAB+nAC,所以,

A/2-1=--2-72//

2

解得所以2+〃=0-1,

故選：A.

題型三：共線定理及其應(yīng)用

【典例3-1】已知平面向量Z，B不共線，AB=^a+6b,BC=-3+3b,麗=Z+3后，則（）

A.A,B,。三點(diǎn)共線B.A,B,C三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

【答案】D

【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄縕,B不共線，所以2,5可以作為平面內(nèi)的一組基底，

又AB=4a+6b,BC=-a+3b<CD=a+3b>

^^XBD=BC+CD=a+3b-a+3b=6b,AC=AB+BC=-a+3b+4a+6b=3a+9b,

對(duì)于A：因?yàn)橥?43+6$,BD=6b,顯然不存在實(shí)數(shù)f使得通=t而，

所以A,B,。三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)轫?防+6石，AC=3a+9b,不存在實(shí)數(shù)"使得通=〃而，

所以A,B,C三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)槠?4+35,CD=a+ib，不存在實(shí)數(shù)正使得前=〃?前，

所以B,C,D三點(diǎn)不共線，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)?W=3d+95,CD=a+3b^所以=3函，

所以:W//E，故A,C,。三點(diǎn)共線，故D正確.

故選：D

【典例3-2］如圖，在AABC中，無不=3麗，尸是BN上的一點(diǎn)，^AP=（m+^\AB+^AC,則實(shí)數(shù)機(jī)的值

為（）

D-5

【答案】D

【解析】由題意可知，AN=^NC,所以就=3前,

XAP=Im+1jAB+|AC,^AP=[m+^\AB+^AN.

因?yàn)?P、N三點(diǎn)共線，所以(m+；)+g=l,解得機(jī)=；.

故選：D.

【方法技巧】

要證明A,B,C三點(diǎn)共線，只需證明油與阮共線，即證油=2配(2e7?).若已知A,B,C三

點(diǎn)共線，則必有荏與配共線，從而存在實(shí)數(shù)2,使得荏=4沅.

【變式3-1]如圖，AASC中，點(diǎn)M是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足麗=§AB,AM與CN交于點(diǎn)。，

AD=AAM,則2=()

【答案】C

11_____00

【解析】在"1BC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AM=-AB+-AC,則而=2謝=—麗+—無至，

2222

_.7.uuma2uuuiQUUKW_____________4

5LAN=-AB,于是得+因點(diǎn)C,D,N共線，則有二+彳=1,解得彳=:,

3__________42425

所以彳=，4

故選:C

【變式3-2](2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)G是AABC的重心，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，若

GM=XAB+]uAC,貝lJ2+M=()

【答案】C

［解析］==

所以丸=一:,〃=:,%+〃=-:.

36o

故選：C

【變式3-3］已知q,4是兩個(gè)不共線的單位向量，d=C］-e2，B=-2?［+ke?,若4與5共線，貝廉=.

【答案】2

【解析】因?yàn)槲?G—4與在=一2,十%與共線，所以石=4。，

即一21+砥=語-可，又混不共線，所以C所以％=2.

故答案為：2

【變式3-4】已知AABC的重心為G,經(jīng)過點(diǎn)G的直線交A8于Q,交AC于E,若明=2罰，AE=/2AC,

.2—.1/AUUH1uum1—.

如圖，設(shè)廠為5C的中點(diǎn)，貝！JAG=]A/=]（A3+AC）,又人8=力人。，AC=-AE,

—?1—?1—?1111

則AG=^yA0+丁AE,又G,D,E三點(diǎn)共線，.?.77+丁=1,即彳+―=3.

3Z3〃343〃Z//

故答案為：3.

【變式3-5］如圖，點(diǎn)G為AABC的重心，過點(diǎn)G的直線分別交直線AB,AC點(diǎn)。，E兩點(diǎn),

AB=3mA￡)(m>0),AC=3nAE(n>0),貝lj根+〃=；若〃>相>0,則工^的最小值為

mn—m

【答案】13+2亞

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)G為△A3C的重心，

uni1tuniumr

所以AG=—A5+—AC,

33

因?yàn)槌?3znI5(w〉0),AC=3nAE(n>0),

所以而=機(jī)亞+〃亞，

因?yàn)镈,G,E三點(diǎn)共線，

所以m+〃=1,

貝lj〃=l一根>根，貝1]0<根<工，代入—十---得工+---,0<m<—

2mn—mm1—2m2

f(ni]=--\---------,0<m<—,

、)ml-2m2

fr(m\=—^-+---------7

-2m2+4m-1

m2(1-2m)2

令/'(機(jī))=0,貝4^=2;乎或二區(qū)(舍)

且當(dāng)〃0一02]時(shí),/'(加)<。,〃%)遞減

(2-歷11

當(dāng)機(jī)e--—，-時(shí)，f'(>n)>0,遞增

所以當(dāng)根=上黃時(shí)，〃⑹有極小值，即最小值,

/(777).=------產(chǎn)H-----/------=3+2^/2

且八2—71_(2-后)

2

故答案為：1；3+272.

【變式3-6]如圖，在AABC中，而=:旃，謖=：才&8與8E交于點(diǎn)尸,A5=2,AC=3,APBC=1,

則卷?泥的值為;過點(diǎn)尸的直線/分別交AB，AC于點(diǎn)M,N,設(shè)加=mAB,AN=nAC(^>0,n>0),

則m+2n的最小值為.

T^AP=xAB+yAC,令苑=々,衣=6,

因?yàn)樯W=；礪，理=g/，所以而=2而,*=3亞，

所以Q=2x而+y前通+3y亞，

f2x+y=121

又民P,石與CP,。分別共線，所以/1,解得％=；y=).

[x+3y=l55

因?yàn)?元=序+'?一萬)=1,

所以2萬2一萬.萬一斤+5=0，即8-商0一9+5=0，

解得D=4，HPAB-AC=4.

因?yàn)椴怀?加算,而=〃不可,

—.1.—.1—.

所以A3=—AM,AC=—RV,

mn

—.2—?1-.2?1—.

所以A尸二一A3+—AC=——AM+—AN,

555m5〃

21

因?yàn)閂,P,N共線，所以三+4=1,

5m5〃

8

所以機(jī)+2〃=(m+2〃)

5

當(dāng)且僅當(dāng)根=￡4,〃=：2時(shí)，等號(hào)成立,

Q

所以+2n的最小值為《.

Q

故答案為：4：—.

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用

【典例4-1】（2024?上海浦東新?三模）給定平面上的一組向量［、則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向

量的基底的是（）

A.2令+02和q-e?B.q+3e2和e2+3q

C.3q-e,和2e2-6qD.ex和ex+e2

【答案】C

【解析】對(duì)A：不存在實(shí)數(shù)X,使得2冢+￡=彳何-最），

故2q+Z和冢-互不共線，可作基底；

對(duì)B：不存在實(shí)數(shù)幾，使得4+33=2.+3,）,

故q+3e?和e2+3］不共線，可作基底；

對(duì)C：對(duì)3工■和2^-61，因?yàn)椋郏?是不共線的兩個(gè)非零向量，

且存在實(shí)數(shù)一2,使得2團(tuán)-61=-2（3］-可，

故3ex-e2和26-6q共線，不可作基底；

對(duì)D：不存在實(shí)數(shù)2,使得1=彳田+可，故4和E不共線，可作基底.

故選：C.

【典例4-2］如圖，在AA8C中，點(diǎn)。，D,E分別為8C和BA的三等分點(diǎn)，點(diǎn)。靠近點(diǎn)8,A。交CE于

點(diǎn)尸，設(shè)耳心=4，BA=b，貝1J詼=（）

D.2/

C.—a+—b

7777

【答案】B

【解析】設(shè)而=幾礪，EP=^EC,

所以麗=Q-麗=2而-麗=X(麗-網(wǎng)-松，

___1_____0____

y.BD=-BC,所以麗=9沅+(1-2)麗，

__2__.

因?yàn)獒輐=耳明，

r\ryr\

所以麗=麗+麗=：麗+從反=:麗+4._碼=g(l_4)麗+//M

工3

—=〃z=—

37

所以;9,解得,

------u=\-A,u=-

〔33戶I7

—.1—.4.1-4-

所以BP=—BC+—BA=—a+—6,

7J777

故選：B.

【方法技巧】

應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或

數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：

(1)運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行化簡(jiǎn)，直至用基底表示為止.

(2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解.

(3)三點(diǎn)共線定理：A,B,P三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)尢〃，]tOP=AOA+^OB,其中

彳+〃=1,。為AB外一點(diǎn).

Ar)

【變式4-1](2024.全國.模擬預(yù)測(cè))在“1BC中，點(diǎn)。在邊上且滿足==2,E為BC的中點(diǎn)，直線

DB

DE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R則麗=()

A.BA+2BCB.-BA+2BCC.2BA-BCD.-2BA+BC

【答案】B

由題，A,C,尸三點(diǎn)共線，貝U麗=4麗/，

D,E,尸三點(diǎn)共線，則阱=〃麗+(1-〃)麗■麗+彳團(tuán),

力=幺r；?

3Z=-l

；，得a

I2

-BF=-BA+2BC-

故選：B.

【變式4?2】（2024?山西呂梁?三模）已知等邊AABC的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)。,石分別為ABIC的中點(diǎn)，若

DF=3EF9則衣=（）

1—?5—?1—?3—?

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

1uun3uum

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【答案】B

【解析】在“1BC中，取｛工，通｝為基底,

則|AC|=^AB\=2,（AC,AB）=60",

因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，DF=3EF.