第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市順義區(qū)牛欄山一中板橋中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=cosx，則f′(π6)=A.32 B.?32 2.曲線f(x)=x+ax在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線y=2x+5平行，則a=(

)A.0 B.2 C.1 D.33.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且滿足aA.5 B.7 C.9 D.114.若函數(shù)f(x)=lnx?x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A.(?∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(?1,1)5.已知函數(shù)y=f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的部分圖象如圖，則對于函數(shù)y=f(x)的描述錯誤的是(

)A.在區(qū)間(?3,?1)上單調(diào)遞減

B.在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增

C.x=?1為f(x)極小值

D.x=1為f(x)極小值點(diǎn)6.若(x+2x2)A.11 B.10 C.9 D.87.有3名男生和3名女生排成一排，女生不能相鄰的不同排法有(

)A.72種 B.144種 C.108種 D.288種8.某地舉行新疆綠色農(nóng)特產(chǎn)品展銷活動，活動中有駝奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共4種奶制品，無花果干、杏干、烏梅干、巴達(dá)木、開心果、葡萄干共6種干果，葡萄、哈密瓜、香梨、蘋果、西瓜、沙棘、白杏共7種新鮮水果，張先生參觀完活動決定至少選購一種商品，而每一大類中最多選購一種，則張先生不同的選購方法種數(shù)為(

)A.94 B.168 C.276 D.2799.某學(xué)校高二趣味運(yùn)動會中設(shè)置了障礙投籃比賽，每名運(yùn)動員投籃3次.已知甲同學(xué)投籃命中率為13，那么投籃比賽中甲同學(xué)恰好命中一次的概率是(

)A.427 B.1927 C.4910.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a9=12a12+6，aA.11 B.10 C.9 D.8二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.設(shè)函數(shù)f(x)=lnxx，則f′(1)=______．12.在(3x2?1x)13.在(x+ax2)6(a>0)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為7514.函數(shù)f(x)=x?1x2的零點(diǎn)是

，極值點(diǎn)是

15.若曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線，則三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．為了解高一新生對數(shù)學(xué)選修課程的看法，采用分層抽樣的方法從高一新生中抽取5人進(jìn)行訪談．

(Ⅰ)這5人中男生、女生各多少名？

(Ⅱ)從這5人中隨即抽取2人完成訪談問卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.(本小題15分)

設(shè)函數(shù)f(x)=x22?klnx，k>0．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間18.(本小題15分)

如圖1，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，O為DE的中點(diǎn)，AB=AC=25，BC=4.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如圖．

(Ⅰ)求證：A1O⊥BD；

(19.(本小題15分)

科技創(chuàng)新能力是決定綜合國力和國際競爭力的關(guān)鍵因素，也是推動經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展的重要支撐，而研發(fā)投入是科技創(chuàng)新的基本保障.下圖是某公司從2010年到2019年這10年研發(fā)投入的數(shù)據(jù)分布圖：

其中折線圖是該公司研發(fā)投入占當(dāng)年總營收的百分比，條形圖是當(dāng)年研發(fā)投入的數(shù)值(單位：十億元)．

(1)從2010年至2019年中隨機(jī)選取一年.求該年研發(fā)投入占當(dāng)年總營收的百分比超過10%的概率；

(2)從2010年至2019年中隨機(jī)選取兩個年份，設(shè)X表示其中研發(fā)投入超過500億元的年份的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．20.(本小題15分)

橢圓x24+y23=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B過右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)(與A，B重合)，設(shè)kAC=k1，kBD=k221.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=eax?x．

(1)當(dāng)a=1時，求過點(diǎn)(0,0)的切線方程．

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．

(3)若?x∈[?1,1]，使f(x)≥3成立，求a的取值范圍．答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論．【解答】

解：f(x)=cosx，∴f′(x)=?sinx，則f′(π6)=?122.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題目：曲線f(x)=x+ax在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線y=2x+5平行，

f′(x)=1+a2x，令x=1，則1+a2x=1+a2，直線y=2x+5的斜率為2．

3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，屬于基礎(chǔ)題．

首先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出結(jié)果．【解答】

解：數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且滿足an+1?an=2，

則數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差為24.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．

對函數(shù)求導(dǎo)，令其在定義域內(nèi)導(dǎo)函數(shù)大于0即可找出增區(qū)間．【解答】

解：函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)，f′(x)=1x?1，令f′(x)>0，解得：0<x<1，

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，

5.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】

解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<?3時，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，?3<x<?1時，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)?1<x<3時，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，x>3時，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，AB正確；所以x=?1時，函數(shù)取得極小值，C正確；

x=1不是函數(shù)的極值點(diǎn)，D錯誤．

故選：D．6.【答案】B

【解析】解：若(x+2x2)n展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大Cn5最大，則n=10，7.【答案】B

【解析】解：有3名男生和3名女生排成一排，女生不能相鄰，

先排男生共有A33種方法，再排女生共有A43種方法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得滿足條件的排法數(shù)為A33?A48.【答案】D

【解析】由條件張先生不同的選購方法分為三類，選購一種，選購兩種，選購三種，

選購三種商品的方法有4×6×7=168種，

選購兩種商品的方法有4×6+4×7+6×7=94種，

選購一種商品的方法有4+6+7=17種，

故張先生不同的選購方法種數(shù)為17+94+168=279種，

故選：D．

結(jié)合條件可將張先生不同的選購方法分為三類，選購一種，選購兩種，選購三種，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求結(jié)論．

本題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．9.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，甲同學(xué)投籃命中率為13，那么在3次投籃比賽中，

甲同學(xué)恰好命中一次的概率P=C31×13×(1?13)2=49．

10.【答案】B

【解析】解：等差數(shù)列{an}中，a9=12a12+6，a2=4，

則a1+8d=12(a1+11d)+6，a1+d=4，

解得a1=d=2，

則an=2n，Sn11.【答案】1

【解析】本題考查函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

利用求導(dǎo)法則，先求出f′(x)，再求f′(1)．

解：f′(x)=(lnx)′×x?lnx×x′x2=1?lnx12.【答案】8

【解析】解：二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n=128，

解得n=7．

故答案為：8．

先由二項(xiàng)式系數(shù)和的公式求出n，再由二項(xiàng)式展開式定理即可得解．13.【答案】5【解析】解：常數(shù)項(xiàng)為C62x4(ax2)2=1514.【答案】x=1；x=2

【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，求函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．

令f(x)=0即可求得零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)的單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)定義可得結(jié)果．【解答】

解：f(x)=x?1x2，

令f(x)=x?1x2=0，解得x=1，∴f(x)的零點(diǎn)是x=1；

由題意知：f(x)定義域?yàn)??∞,0)∪(0,+∞)，

f′(x)=x2?2x(x?1)x4=2?xx3，令f′(x)=0，解得x=2，

則當(dāng)x∈(?∞,0)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(2,+∞)時，f′(x)<0，

∴f(x)在(?∞,0)15.【答案】ln2

【解析】解：曲線y=ex+x，可得y′=ex+1，

在點(diǎn)(0,1)處切線的斜率為：e0+1=2，

切線方程為：y?1=2x，即y=2x+1．

曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線，

設(shè)y=ln(x+1)+a的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，可得切線的斜率為：1x+1=2，可得x=?12，

x=?12代入y=2x+1，可得切點(diǎn)坐標(biāo)為：(?16.【答案】解：(Ⅰ)這5人中男生人數(shù)為192320×5=3，女生人數(shù)為128320×5=2．

(Ⅱ)記這5人中的3名男生為B1，B2，B3，2名女生為G1，G2，

則樣本空間為：

Ω={(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,G1)，(B1,G2)，(B2,B3)，(B2,G1)，(B2,G2)，【解析】(Ⅰ)利用分層抽樣能求出這5人中男生人數(shù)和女生人數(shù)．

(Ⅱ)記這5人中的3名男生為B1，B2，B3，2名女生為G1，G2，利用列舉法能求出抽取的2人中恰有117.【答案】解：(1)由f(x)=x22?klnx(k>0)

f′(x)=x?kx=x2?kx

X

(0,

(

f′(x)?

0+

f(x)↓

k(1?lnk)↑所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,k)；

f(x)在x=k處的極小值為f(k)=k(1?lnk)2，無極大值．

(2)證明：由(1)知，f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的最小值為f(k)=k(1?lnk)2．

因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以k(1?lnk)2≤0，從而k≥e

當(dāng)k=e時，f(x)在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞減，且f(e)=0

所以x=e是f(x)【解析】本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，在高考中屬于常見題型．

(1)利用f′(x)≥0或f′(x)≤0求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并能求出極值；

(2)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的極值求出最值，利用最值討論存在零點(diǎn)的情況．18.【答案】解：(Ⅰ)證明：∵在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，

O為DE的中點(diǎn)，AB=AC=25，BC=4．

∴A1O⊥DE，

∵將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，

∴A1O⊥平面BCDE，

∵BD?平面BCDE，∴A1O⊥BD．

(Ⅱ)解：以O(shè)為原點(diǎn)，在平面BCED中過點(diǎn)O作DE的垂線為x軸，

以O(shè)E為y軸，OA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A1(0,0,2)，C(2,2,0)，B(2,?2,0)，D(0,?1,0)，

A1C=(2,2,?2)，DB=(2,?1,0)，DA1=(0,1,2)，

設(shè)平面A1BD的法向量為【解析】本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

(Ⅰ)推導(dǎo)出A1O⊥DE，從而A1O⊥平面BCDE，由此能證明A1O⊥BD．

(Ⅱ)以O(shè)為原點(diǎn)，在平面BCED中過點(diǎn)O作DE的垂線為x軸，以O(shè)E為y軸，OA19.【答案】910；

分布列見解析，E(X)=1．【解析】(1)由圖像可知，共10年中，其中占比超過10%有9年，

設(shè)從2010年至2019年中隨機(jī)選取一年，該年研發(fā)投入占當(dāng)年總營收的百分比超過10%為事件A，則P(A)=910．

(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，

則P(X=0)=C52C102=X012P252將表格數(shù)據(jù)代入期望公式可得：E(X)=0×29+1×59+2×29=1．

(1)利用古典概型概率公式即可求解；

(2)由題意得X20.【答案】e=12，F(xiàn)(1,0)；

【解析】(1)因?yàn)闄E圓的方程為x24+y23=1，

所以a2=4，b2=3，c=a2?b2=4?3=1，

則橢圓的離心率e=ca=12.橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)；

(2)證明：易知A(?2,0)，B(2,0)，

當(dāng)直線l的斜率k≠0時，

設(shè)直線l的方程為x=ty+1，C(x1,y1)，D(x2,y2)，

此時k1=y1x1+2，k2=y2x2?2，

聯(lián)立x24+y2321.【答案】y=(e?1)x；

當(dāng)a≤0時，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，f(x)在(?∞,?lnaa)上單調(diào)遞減，在(?lnaa,+∞)【解析】(1)當(dāng)a=1時，f(x)=ex?x，則f′(x)=ex?1．

設(shè)切點(diǎn)為(x0,ex0?x0)，則切線斜率k=f′(x0)=ex0?1．

則切線方程為y?(ex0?x0)=(ex0?1)(x?x0)．

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0,0)，所以將(0,0)代入切線方程