河海大學(xué)衛(wèi)星空間信息應(yīng)用研究所InstituteofSatelliteNavigationandSpatialInformationSystem上次課內(nèi)容回顧1.協(xié)方差傳播律是用來解決什么問題的？2.協(xié)方差傳播律萬能公式河海大學(xué)衛(wèi)星空間信息應(yīng)用研究所InstituteofSatelliteNavigationandSpatialInformationSystem上次課內(nèi)容回顧3.協(xié)方差傳播律的實際步驟根據(jù)實際情況確定觀測值與函數(shù),寫出具體表達(dá)式寫出觀測量的協(xié)方差陣對函數(shù)進行線性化協(xié)方差傳播4.權(quán)是怎樣定義的？權(quán)與中誤差有何關(guān)系？有了中誤差，為什么還要引進權(quán)的概念？5.權(quán)倒數(shù)傳播律是用來解決什么問題的？具體形式是什么？

第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理2011-3-15主要內(nèi)容§4-1測量平差概述§4-2函數(shù)模型§4-3函數(shù)模型的線性化§4-4測量平差的數(shù)學(xué)模型§4-5最小二乘原理§4.1測量平差概述幾何模型：水準(zhǔn)網(wǎng)、平面控制網(wǎng)、三維測量網(wǎng)幾何量：高差、高程、角度、邊長、方位角、點的二或三維坐標(biāo)§4.1測量平差概述幾何模型中包含多種“量”(真值)，以平面三角形為例：角度：三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C邊長：三條邊長a、b、c高：三點的高h(yuǎn)a、hb、hc坐標(biāo)：三點的平面坐標(biāo)

Xa，Ya；Xb，Yb；Xc，Yc；(5)方位角：TAB

；TBC

；TCA(6)坐標(biāo)差：ΔXAB，ΔYAB

；……(7)面積、周長……§4.1測量平差概述確定一個幾何模型，需確定其中的部分“量”(1)形狀任意兩個內(nèi)角(2個元素)(2)形狀與大小2內(nèi)角+1邊長，2邊長+

1夾角，3邊長(3個元素)(3)形狀、大小與位置2點坐標(biāo)+(2邊或1邊1角)1點坐標(biāo)+1邊方位角+(1邊2角或2邊1角或3邊)3點坐標(biāo)(6個元素)§4.1測量平差概述一、必要元素、必要觀測、多余觀測必要元素確定某個模型所必需的最少的元素個數(shù)，稱為必要元素數(shù)。記必要元素數(shù)的符號為t§4.1測量平差概述必要元素數(shù)的性質(zhì)必要元素的個數(shù)t只取決于模型本身，與實際觀測量無關(guān)所有的必要元素都是彼此函數(shù)獨立的量模型中所有的量都是必要元素的函數(shù)一個模型中函數(shù)獨立的量有且只有t個模型中作為必要元素的“量”不是唯一的§4.1測量平差概述2.必要觀測數(shù)必要觀測數(shù)：確定某個模型所必需的最少的觀測值的個數(shù)，稱為必要觀測數(shù)。必要觀測數(shù)用符號t表示與必要元素具有相同的性質(zhì)§4.1測量平差概述

確定平面三角形的形狀觀測三個內(nèi)角的任意兩個即可,稱其必要觀測個數(shù)為2，必要觀測有種選擇

確定平面三角形的形狀與大小s1s3s26個元素中必須有選擇地觀測三個內(nèi)角與三條邊的三個元素，因此，其必要觀測個數(shù)為3。任意2個角度+1個邊、2個邊+1個角度、三個邊。§4.1測量平差概述必須有選擇地觀測6個高差中的3個，其必要觀測個數(shù)為3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等

確定如圖四點的相對高度關(guān)系A(chǔ)DCBh1h6h5h2h4h3§4.1測量平差概述3.多余觀測（又稱自由度）確定幾何模型最大獨立觀測個數(shù)為t,那么再多進行一個觀測就相關(guān)了，即形成函數(shù)關(guān)系，也稱為觀測多余了。多余觀測:觀測值的個數(shù)n與必要觀測個數(shù)t之差一般用r表示，r=n-t。觀測值:為了確定幾何模型中各元素的大小進行的實際觀測，稱為觀測值，觀測值的個數(shù)一般用n表示。n<t，則無法確定模型n=t，唯一確定模型，不能發(fā)現(xiàn)粗差。n>t,，可以確定模型，還可以發(fā)現(xiàn)粗差?！?.1測量平差概述二、什么是測量平差觀測值中包含有“誤差”對某“量”進行多次觀測，多次觀測結(jié)果并不相等，問：如果對該“量”只作一次觀測，該觀測值是否不含誤差？此時觀測值所含誤差不能被發(fā)現(xiàn)，結(jié)果是不可靠的。為了保證觀測結(jié)果的正確性必須對該“量”進行兩次或兩次以上的觀測，使得誤差通過觀測值之間的差異表現(xiàn)出來，平差的一個主要任務(wù)就是“消除差異”，求出被觀測量的最可靠結(jié)果?！?.1測量平差概述平差問題存在的條件總觀測數(shù)用n表示：當(dāng)n<t時：模型不能確定當(dāng)n=t時：模型能唯一確定當(dāng)n>t時可以確定多個模型平差問題存在的條件是：n>tADCBh1h6h5h2h4h3實際上：§4.2函數(shù)模型函數(shù)模型描述觀測量與未知量間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系的模型，是確定客觀實際的本質(zhì)或特征的模型函數(shù)模型分為：線性和非線性兩類未知量的選取方法：待觀測量的真值t個獨立參數(shù)§4.2函數(shù)模型1、條件平差的函數(shù)模型（未知量為待觀測量的真值）

以條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法

ADCBh1h6h5h2h4h33個線性無關(guān)的條件方程：§4.2函數(shù)模型令則§4.2函數(shù)模型條件方程：令則§4.2函數(shù)模型一般而言，n個觀測值，t個必要觀測，應(yīng)列出r=n-t個條件方程：線性形式或§4.2函數(shù)模型條件平差的自由度即為多余觀測數(shù)r，即條件方程個數(shù)。條件平差的缺點：有時待求量并非觀測量，因而應(yīng)用不便§4.2函數(shù)模型2.間接平差的函數(shù)模型（未知量為t個獨立參數(shù)）選擇幾何模型中t個獨立變量為平差參數(shù)，每一個觀測量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，即列出n個這種函數(shù)關(guān)系式，以此為平差的函數(shù)模型，成為間接平差法。選定和為平差參數(shù)，設(shè)為和，即每個觀測量表示為這兩個參數(shù)的函數(shù)

觀測方程的個數(shù)等于觀測值的個數(shù)ABC§4.2函數(shù)模型A點高程已知，求待定點B,C,D的高程選擇這三個待定點的高程為平差參數(shù)，即觀測方程ADCBh1h6h5h2h4h3§4.2函數(shù)模型一般而言，n個觀測值，t個必要觀測，選擇t個獨立量為平差參數(shù)，則每個觀測量必可表達(dá)成這t個參數(shù)的函數(shù)，即有線性形式或§4.2函數(shù)模型三角形內(nèi)角的觀測方程盡管間接平差法是選了t個獨立參數(shù)，但多余觀測數(shù)不隨平差方法不同而異，其自由度仍是r=n-t§4.2函數(shù)模型3.附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型設(shè)在平差問題中，觀測值個數(shù)為n，t為必要觀測數(shù)，則可列出r=n-t個條件方程，現(xiàn)有增設(shè)了u個獨立量作為參數(shù)，而0<u<t，每增設(shè)一個參數(shù)應(yīng)增加一個條件方程。以含有參數(shù)的條件方程作為平差的函數(shù)模型，稱為附有參數(shù)的條件平差法在中，觀測量為三內(nèi)角，,選定平差參數(shù),r=n-t=1，有一個條件方程，由于增加了一個參數(shù)，應(yīng)在增加一個條件方程，即ABC§4.2函數(shù)模型令則§4.2函數(shù)模型一般而言，觀測值數(shù)為n，必要觀測數(shù)為t，多余觀測數(shù)為r=n-t，再增選u個獨立參數(shù)，0<u<t，則總共應(yīng)列出c=r+u個條件方程線性形式或§4.2函數(shù)模型特點：觀測量和參數(shù)同時作為平差模型中的未知量參與平差，是一種間接平差和條件平差的混合模型由于選擇了u個獨立參數(shù)，方程總數(shù)由r個增加到c=r+u個，平差的自由度仍為r（r=c-u）?！?.2函數(shù)模型4.附有限制條件的間接平差函數(shù)模型如果進行間接平差，就要選出t個獨立量為平差參數(shù)，按每一個觀測值與所選參數(shù)間函數(shù)關(guān)系，組成n個觀測方程。如果在平差問題中，不是選t個而是選定u>t個參數(shù)，其中包含t個獨立參數(shù)，則多選的s=u-t個參數(shù)必是t個獨立參數(shù)的函數(shù)，亦即在u個參數(shù)之間存在著s個函數(shù)關(guān)系，它們是用來約束參數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)系。在選定u>t個參數(shù)進行平差時，除了建立n個觀測方程外，還要增加s個約束參數(shù)方程，故稱此平差方法為附有限制件的間接平差法。ABC§4.2函數(shù)模型非線性形式或線性形式§4-3函數(shù)模型的線性化取近似值臺勞級數(shù)展開，取至一次項函數(shù)模型為非線性形式：§4-3函數(shù)模型的線性化函數(shù)模型為線性形式：令§4-3函數(shù)模型的線性化條件平差法：間接平差法：§4-4測量平差的數(shù)學(xué)模型平差的數(shù)學(xué)模型包含兩部分函數(shù)模型和隨即模型隨機模型描述平差問題中隨機量（如觀測量）及其相互間統(tǒng)計關(guān)系性質(zhì)的模型觀測量的隨機模型是指L的方差-協(xié)方差陣§4-4測量平差的數(shù)學(xué)模型

方程個數(shù)r(觀測值改正數(shù)n；多余觀測數(shù)r)1.條件平差的數(shù)學(xué)模型§4-4測量平差的數(shù)學(xué)模型方程個數(shù)c=r+u(選定的未知參數(shù)u；多余觀測數(shù)r)2.附有參數(shù)的條件平差的數(shù)學(xué)模型方程個數(shù)n(觀測值改正數(shù)n；參數(shù)改正數(shù)t)3.間接平差的數(shù)學(xué)模型§4-4測量平差的數(shù)學(xué)模型

方程個數(shù)n+s(觀測值改正數(shù)n；未知參數(shù)u；獨立參數(shù)改正數(shù)t；約束條件數(shù)s)4.附有限制條件的間接平差的數(shù)學(xué)模型§4-4測量平差的數(shù)學(xué)模型條件平差間接平差附有參數(shù)的條件平差附有條件的間接平差§4-4測量平差的數(shù)學(xué)模型§4-4參數(shù)估計與最小二乘原理一、參數(shù)估計

為了求得唯一解，對最終估計值應(yīng)該提出某種要求，考慮平差所處理的是隨機觀測值，這種要求自然要從數(shù)理統(tǒng)計觀點去尋求，即參數(shù)估計要具有最優(yōu)的統(tǒng)計性質(zhì)，從而可對平差數(shù)學(xué)模型附加某種約束，實現(xiàn)滿足最優(yōu)性質(zhì)的參數(shù)唯一解。

對于上節(jié)提出的四種平差方法都存在多解的情況。以條件平差為例：條件的個數(shù)r=n-t<n，即方程的個數(shù)少，求解的參數(shù)多，方程多解。其它平差模型相同。數(shù)理統(tǒng)計中所述的估計量最優(yōu)性質(zhì)，主要是估計量應(yīng)具有無偏性、一致性和有效性的要求?？梢宰C明，這種估計為最小二乘估計?！?-4參數(shù)估計與最小二乘原理二、最小二乘原理例子：勻速運動的質(zhì)點在時刻的位置是，用線性函數(shù)描述為式中，是質(zhì)點在時刻的初始位置，是平均速度，是待估參數(shù)作多余觀測令

間接平差模型

圖解表示

用什么準(zhǔn)則來對參數(shù)進行估計，使估計直線“最佳”擬合各個觀測點？

最小二乘原理：最佳擬合的估計曲線應(yīng)使各個觀測點到該曲線的偏差的平方和達(dá)到最小。......在滿足的條件下解出參數(shù)最小二乘法測量中的觀測值是服從正態(tài)分布的隨機變量，最小二乘原理可用數(shù)理統(tǒng)計中的最大似然估計來解釋，兩種估計準(zhǔn)則的估值相同。設(shè)觀測向量為L，L為n維隨機正態(tài)向量，其數(shù)學(xué)期望與方差分別為：其似然函數(shù)為：以間接平差法為