第18講平面向量、復(fù)數(shù)(對應(yīng)學(xué)生用書第112頁)一、選擇題1．(2017·湘中名校聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z＝m(m－1)＋(m－1)i是純虛數(shù)，其中m是實數(shù)，則eq\f(1,z)＝()【導(dǎo)學(xué)號：07804122】A．i B．－iC．2i D．－2iA[由題意，得m(m－1)＝0且(m－1)≠0，得m＝0，所以z＝－i，eq\f(1,z)＝eq\f(1,－i)＝i，故選A.]2．(2017·石家莊一摸)若復(fù)數(shù)z滿足(eq\r(2)＋i)z＝3i(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)為()A.eq\r(2)＋i B．eq\r(2)－iC．1＋eq\r(2)i D．1－eq\r(2)iD[依題意得z＝eq\f(3i,\r(2)＋i)＝eq\f(3i\r(2)－i,\r(2)＋i\r(2)－i)＝1＋eq\r(2)i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為1－eq\r(2)i，選D.]3．(2015·全國Ⅰ卷)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))A[∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，即4eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).]4.(2016·全國Ⅰ卷)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|＝()A．1 B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．2B[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(2)，故選B.]5.(2016·全國Ⅱ卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－3,1) B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)A[由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3＞0，,m－1＜0，))即－3＜m＜1.故實數(shù)m的取值范圍為(－3,1)．]6．(2015·全國Ⅱ卷)若a為實數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a＝()A．－1 B．0C．1 D．2B[∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝0，,a2－4＝－4，))解得a＝0.故選B.]7．(2017·豫南九校4月聯(lián)考)已知向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，則eq\f(|2a－b|,a·a＋b)等于()A．－eq\f(5,3) B．1C．2 D．eq\f(5,4)B[∵a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，則2a－b＝(0,5)，a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，∴eq\f(|2a－b|,a·a＋b)＝eq\f(5,5)＝1，故選B.]8．(2017·福建漳州八校聯(lián)考)在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3，則eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))的值為()【導(dǎo)學(xué)號：07804123】A．3 B．－3C．－eq\f(9,2) D．eq\f(9,2)D[由|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|兩邊平方可得，eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3(eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝4eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(9,2)，又因為eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·(－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝9－eq\f(9,2)＝eq\f(9,2)，故選D.]9.(2017·全國Ⅰ卷)設(shè)有下面四個命題p1：若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1,z)∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝eq\x\to(z)2；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則eq\x\to(z)∈R.其中的真命題為()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4B[設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．對于p1，若eq\f(1,z)∈R，即eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題．對于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0.當(dāng)a＝0，b≠0時，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2為假命題．對于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.而z1＝eq\x\to(z)2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因為a1b2＋a2b1＝0D/?a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題．對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?eq\x\to(z)＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題．故選B.]10．(2016·山西太原五中4月模擬)已知△DEF的外接圓的圓心為O，半徑R＝4，如果eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0，且|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(DF,\s\up6(→))|，則向量eq\o(EF,\s\up6(→))在eq\o(FD,\s\up6(→))方向上的投影為()A．6 B．－6C．2eq\r(3) D．－2eq\r(3)B[由eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0得，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)).∴DO經(jīng)過EF的中點，∴DO⊥EF.連接OF，∵|eq\o(OF,\s\up6(→))|＝|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝4，∴△DOF為等邊三角形，∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝4eq\r(3).∴向量eq\o(EF,\s\up6(→))在eq\o(FD,\s\up6(→))方向上的投影為|eq\o(EF,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FD,\s\up6(→))〉＝4eq\r(3)cos150°＝－6，故選B.]11.(2017·全國Ⅱ卷)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．－2 B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3) D．－1B[法一：(解析法)建立坐標(biāo)系如圖①所示，則A，B，C三點的坐標(biāo)分別為A(0，eq\r(3))，B(－1,0)，C(1,0)．圖①設(shè)P點的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，eq\r(3)－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝(－x，eq\r(3)－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－eq\r(3)y)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2－\f(3,4)))≥2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(3,2).當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，y＝eq\f(\r(3),2)時，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取得最小值，最小值為－eq\f(3,2).故選B.法二：(幾何法)如圖②所示，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))(D為BC的中點)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→)).圖②要使eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))最小，則eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PD,\s\up6(→))方向相反，即點P在線段AD上，則(2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→)))min＝－2|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PD,\s\up6(→))|，問題轉(zhuǎn)化為求|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PD,\s\up6(→))|的最大值．又|eq\o(PA,\s\up6(→))|＋|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PD,\s\up6(→))|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(PA,\s\up6(→))|＋|\o(PD,\s\up6(→))|,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝eq\f(3,4)，∴[eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))]min＝(2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→)))min＝－2×eq\f(3,4)＝－eq\f(3,2).故選B.]12.(2017·全國Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λ＋μ的最大值為()A．3 B．2eq\r(2)C.eq\r(5) D．2A[建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則C點坐標(biāo)為(2,1)．設(shè)BD與圓C切于點E，連接CE，則CE⊥BD.∵CD＝1，BC＝2，∴BD＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，EC＝eq\f(BC·CD,BD)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，即圓C的半徑為eq\f(2\r(5),5)，∴P點的軌跡方程為(x－2)2＋(y－1)2＝eq\f(4,5).設(shè)P(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2＋\f(2\r(5),5)cosθ，,y0＝1＋\f(2\r(5),5)sinθ))(θ為參數(shù))，而eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x0，y0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,0)．∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝eq\f(1,2)x0＝1＋eq\f(\r(5),5)cosθ，λ＝y(tǒng)0＝1＋eq\f(2\r(5),5)sinθ.兩式相加，得λ＋μ＝1＋eq\f(2\r(5),5)sinθ＋1＋eq\f(\r(5),5)cosθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中sinφ＝\f(\r(5),5)，cosφ＝\f(2\r(5),5)))，當(dāng)且僅當(dāng)θ＝eq\f(π,2)＋2kπ－φ，k∈Z時，λ＋μ取得最大值3.故選A.]二、填空題13.(2017·全國Ⅰ卷)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.【導(dǎo)學(xué)號：07804124】2eq\r(3)[法一：(直接法)|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝eq\r(22＋4×2×1×cos60°＋4×12)＝eq\r(12)＝2eq\r(3).法二：(數(shù)形結(jié)合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2eq\r(3).]14．(2015·全國Ⅱ卷)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________.eq\f(1,2)[∵λa＋b與a＋2b平行，∴存在實數(shù)t，使λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))]15．(2014·全國Ⅰ卷)已知A，B，C為圓O上的三點，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為________．90°[∵eq\