高中數(shù)學(xué)生活實(shí)際問題教學(xué)案例一、案例背景隨著電子商務(wù)的普及，小區(qū)快遞柜已成為居民日常生活的重要設(shè)施。然而，不少小區(qū)存在“快遞柜不夠用（高峰時(shí)段排隊(duì)取件）”或“快遞柜閑置（低峰時(shí)段占用率低）”的矛盾。如何科學(xué)規(guī)劃快遞柜投放數(shù)量，平衡“滿足居民需求”與“降低物業(yè)成本”，是一個(gè)典型的生活實(shí)際優(yōu)化問題。本案例以“小區(qū)快遞柜優(yōu)化投放”為主題，結(jié)合高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)分析、函數(shù)建模、線性規(guī)劃等知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生通過“問題情境—數(shù)據(jù)收集—模型建立—求解應(yīng)用”的流程，將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際結(jié)合，培養(yǎng)“用數(shù)學(xué)解決問題”的核心素養(yǎng)。適用年級(jí)：高中二年級(jí)（必修3統(tǒng)計(jì)、必修5不等式、選修2-1線性規(guī)劃）課時(shí)安排：3課時(shí)（情境導(dǎo)入與數(shù)據(jù)收集1課時(shí)，模型建立與求解1課時(shí)，結(jié)論應(yīng)用與反思1課時(shí)）二、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能（1）掌握統(tǒng)計(jì)描述性分析（均值、中位數(shù)、峰值）的方法，能處理快遞量、快遞柜使用效率等數(shù)據(jù)；（2）理解優(yōu)化模型的構(gòu)建邏輯，能建立“需求-成本”約束下的線性規(guī)劃模型；（3）學(xué)會(huì)用圖解法求解線性規(guī)劃問題，得到快遞柜投放的最優(yōu)解。2.過程與方法（1）通過實(shí)地調(diào)研（統(tǒng)計(jì)快遞量、采訪物業(yè)、問卷居民），培養(yǎng)數(shù)據(jù)收集與處理能力；（2）通過小組討論，提煉影響快遞柜需求的關(guān)鍵變量（快遞量、成本、使用效率），提升問題抽象能力；（3）通過模型迭代（從簡(jiǎn)化模型到考慮峰值需求的復(fù)雜模型），體會(huì)數(shù)學(xué)建模的逐步優(yōu)化過程。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀（1）感受數(shù)學(xué)在解決生活問題中的實(shí)用性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；（2）培養(yǎng)理性決策意識(shí)，理解“優(yōu)化”不是“最大化”或“最小化”，而是“平衡”；（3）增強(qiáng)社會(huì)參與感，通過給物業(yè)寫建議，將數(shù)學(xué)結(jié)論轉(zhuǎn)化為實(shí)際行動(dòng)。三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）情境導(dǎo)入：發(fā)現(xiàn)問題（15分鐘）教師活動(dòng)：展示兩段視頻：①小區(qū)快遞柜高峰時(shí)段（晚6-8點(diǎn)）居民排隊(duì)取件的場(chǎng)景；②白天快遞柜閑置（占用率不足30%）的場(chǎng)景。提出問題：“我們小區(qū)的快遞柜數(shù)量是否合理？如果不合理，應(yīng)該增加還是減少？依據(jù)是什么？”學(xué)生活動(dòng)：分組討論，列舉可能的影響因素（如快遞量、取件時(shí)間、快遞柜容量、物業(yè)成本等），并提出初步假設(shè)（如“周末快遞量多，需要更多柜子”“成本太高，不能無限增加”）。設(shè)計(jì)意圖：用真實(shí)場(chǎng)景引發(fā)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感受到“問題的緊迫性”，激發(fā)解決問題的欲望。（二）數(shù)據(jù)收集與分析：量化問題（40分鐘）教師活動(dòng)：1.明確調(diào)研任務(wù)：小組1（快遞量統(tǒng)計(jì)）：向物業(yè)獲取小區(qū)近1個(gè)月的快遞代收數(shù)據(jù)（按天統(tǒng)計(jì)，區(qū)分工作日與周末）；小組2（快遞柜現(xiàn)狀）：統(tǒng)計(jì)現(xiàn)有快遞柜數(shù)量（大柜、小柜分別統(tǒng)計(jì)）、每個(gè)柜子的日容量（如大柜可放30件，小柜可放15件）、日均占用率；小組3（成本調(diào)研）：采訪物業(yè)，了解每個(gè)快遞柜的月租金、維護(hù)費(fèi)（折算為日成本）、物業(yè)每月可用于快遞柜的預(yù)算；小組4（居民需求）：發(fā)放問卷（100份），調(diào)查居民取快遞的時(shí)間規(guī)律（如“晚6-8點(diǎn)取件占比”）、對(duì)快遞柜數(shù)量的滿意度。2.指導(dǎo)數(shù)據(jù)處理方法：用Excel計(jì)算快遞量的均值（日均快遞量）、中位數(shù)（中間水平）、峰值（周末或節(jié)日的最大快遞量）；計(jì)算快遞柜的日均處理能力（現(xiàn)有柜子數(shù)量×每個(gè)柜子日容量×平均占用率）；用餅圖展示居民取件時(shí)間分布，用折線圖展示快遞量隨時(shí)間的變化。學(xué)生活動(dòng)：分組完成調(diào)研，整理數(shù)據(jù)并匯報(bào)結(jié)果（以某小區(qū)為例，假設(shè)數(shù)據(jù)如下）：日均快遞量：200件（工作日180件，周末250件）；現(xiàn)有快遞柜：10個(gè)（大柜6個(gè)，小柜4個(gè)），大柜日容量30件，小柜15件，日均占用率70%；快遞柜日成本：大柜12元/個(gè)，小柜8元/個(gè)，物業(yè)日預(yù)算200元；居民取件時(shí)間：晚6-8點(diǎn)占比60%，此時(shí)快遞柜占用率達(dá)95%（高峰需求）。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過實(shí)地調(diào)研，將“模糊的問題”轉(zhuǎn)化為“可量化的數(shù)據(jù)”，體會(huì)“數(shù)據(jù)是建模的基礎(chǔ)”。（三）模型建立：抽象問題（30分鐘）教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化模型，明確“目標(biāo)”與“約束條件”。1.定義變量：設(shè)新增大柜數(shù)量為\(x\)（個(gè)），新增小柜數(shù)量為\(y\)（個(gè)）；現(xiàn)有大柜6個(gè)，小柜4個(gè)，故總大柜為\(6+x\)，總小柜為\(4+y\)。2.確定目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)是在滿足居民需求的前提下，最小化物業(yè)每日成本（或在成本限制下，最大化滿足率）。這里選擇“最小化每日成本”作為目標(biāo)函數(shù)：\[\text{Min}\quadZ=12x+8y+12\times6+8\times4=12x+8y+104\]（注：104元為現(xiàn)有柜子的日成本）3.建立約束條件：（1）需求約束：高峰時(shí)段（晚6-8點(diǎn)）快遞柜容量需滿足峰值快遞量（250件），且占用率不超過95%（避免過度擁擠）：\[(6+x)\times30\times0.95+(4+y)\times15\times0.95\geq250\]簡(jiǎn)化得：\[28.5(6+x)+14.25(4+y)\geq250\quad\Rightarrow\quad28.5x+14.25y\geq250-28.5\times6-14.25\times4\]計(jì)算右邊：\(250-171-57=22\)，故：\[28.5x+14.25y\geq22\quad\Rightarrow\quad2x+y\geq\frac{22}{14.25}\approx1.54\quad(\text{取整為}\2x+y\geq2)\]（注：這里簡(jiǎn)化了系數(shù)，方便學(xué)生計(jì)算）（2）成本約束：新增柜子后的總?cè)粘杀静怀^物業(yè)預(yù)算（200元）：\[12x+8y+104\leq200\quad\Rightarrow\quad12x+8y\leq96\quad\Rightarrow\quad3x+2y\leq24\]（3）非負(fù)約束：\(x\geq0,y\geq0\)（\(x,y\)為整數(shù)）。學(xué)生活動(dòng)：小組討論約束條件的合理性（如“為什么用峰值快遞量而不是日均？”“占用率設(shè)為95%是否合理？”），并嘗試修改模型（如考慮居民對(duì)“等待時(shí)間”的容忍度，調(diào)整占用率閾值）。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解“模型是對(duì)實(shí)際問題的簡(jiǎn)化”，需要平衡“準(zhǔn)確性”與“可解性”。（四）模型求解：解決問題（25分鐘）教師活動(dòng)：1.復(fù)習(xí)線性規(guī)劃的圖解法：將約束條件轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域，找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。2.引導(dǎo)學(xué)生繪制約束條件的可行域：約束1：\(2x+y\geq2\)（直線上方區(qū)域）；約束2：\(3x+2y\leq24\)（直線下方區(qū)域）；非負(fù)約束：\(x\geq0,y\geq0\)（第一象限）。3.尋找最優(yōu)解：目標(biāo)函數(shù)\(Z=12x+8y+104\)，要最小化\(Z\)，即最小化\(12x+8y\)。將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線\(y=-\frac{3}{2}x+\frac{Z-104}{8}\)，斜率為\(-\frac{3}{2}\)。可行域的頂點(diǎn)為：\(A(0,2)\)（約束1與y軸交點(diǎn)）；\(B(8,0)\)（約束2與x軸交點(diǎn)）；\(C(0,12)\)（約束2與y軸交點(diǎn)，但不滿足約束1）；\(D(2,0)\)（約束1與x軸交點(diǎn)，滿足約束2）。計(jì)算各頂點(diǎn)的\(Z\)值：\(A(0,2)\)：\(Z=12\times0+8\times2+104=120\)元；\(B(8,0)\)：\(Z=12\times8+8\times0+104=200\)元；\(D(2,0)\)：\(Z=12\times2+8\times0+104=128\)元。最優(yōu)解為\(A(0,2)\)，即新增2個(gè)小柜，總?cè)粘杀?20元，滿足高峰需求（此時(shí)總?cè)萘浚篭(6\times30\times0.95+(4+2)\times15\times0.95=171+85.5=256.5\geq250\)）。學(xué)生活動(dòng)：用圖解法驗(yàn)證最優(yōu)解，討論“為什么新增小柜比大柜更劃算？”（小柜單位成本更低，且滿足峰值需求的情況下，小柜的性價(jià)比更高）。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生掌握線性規(guī)劃的求解方法，體會(huì)“最優(yōu)解”的實(shí)際意義。（五）結(jié)論應(yīng)用：轉(zhuǎn)化問題（20分鐘）教師活動(dòng)：要求學(xué)生以“小區(qū)快遞柜優(yōu)化建議”為題，給物業(yè)寫一份報(bào)告，內(nèi)容包括：1.調(diào)研數(shù)據(jù)總結(jié)（快遞量、現(xiàn)有柜子現(xiàn)狀、居民需求）；2.模型結(jié)論（新增2個(gè)小柜，總成本120元/天）；3.實(shí)施建議（如選擇居民取件集中的位置投放新柜、調(diào)整現(xiàn)有柜子的大小比例）。學(xué)生活動(dòng)：小組合作完成報(bào)告，派代表向物業(yè)（邀請(qǐng)物業(yè)工作人員參與）匯報(bào)，聽取反饋（如“小柜是否能滿足大件快遞需求？”“新增柜子的位置是否有場(chǎng)地限制？”）。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生將數(shù)學(xué)結(jié)論轉(zhuǎn)化為實(shí)際行動(dòng)，體會(huì)“數(shù)學(xué)建模的最終目的是解決問題”。四、教學(xué)反思與拓展（一）教學(xué)反思1.成功之處：情境真實(shí)，學(xué)生參與度高（90%以上學(xué)生能積極參與調(diào)研與討論）；實(shí)現(xiàn)了“數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際”的聯(lián)結(jié)（學(xué)生能說出“線性規(guī)劃”在快遞柜優(yōu)化中的應(yīng)用）；培養(yǎng)了“理性決策”意識(shí)（學(xué)生理解“優(yōu)化不是越多越好，而是平衡需求與成本”）。2.改進(jìn)方向：數(shù)據(jù)收集環(huán)節(jié)：部分小組遇到物業(yè)不配合的問題，需教師提前聯(lián)系物業(yè)；模型簡(jiǎn)化：忽略了“快遞柜位置”“大件快遞需求”等因素，可在后續(xù)教學(xué)中補(bǔ)充；求解方法：部分學(xué)生對(duì)圖解法不熟悉，需加強(qiáng)基礎(chǔ)練習(xí)。（二）拓展延伸1.深化模型：考慮快遞柜的“大小比例”（如大柜可放大件，小柜放小件），建立多變量?jī)?yōu)化模型；2.跨學(xué)科應(yīng)用：結(jié)合地理知識(shí)（快遞柜位置的選址，用GIS分析居民分布），優(yōu)化投放策略；3.真實(shí)場(chǎng)景遷移：將模型應(yīng)用于“學(xué)校食堂窗口設(shè)置”“共享單車投放”等問題，鞏固建模能力。五、案例總結(jié)本案例以“小區(qū)快遞柜優(yōu)化”為載體，通過“情境-數(shù)據(jù)-模型-應(yīng)用”的流程，讓學(xué)生經(jīng)歷“用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題”的完整過程。教學(xué)中，真實(shí)數(shù)據(jù)是基礎(chǔ)，模型構(gòu)建是核心，結(jié)論應(yīng)用是關(guān)鍵。通過這樣的教學(xué)，學(xué)生不僅掌握了統(tǒng)計(jì)、線性規(guī)劃等知識(shí)點(diǎn)，更重要的是培養(yǎng)了“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的核心素養(yǎng)，真正實(shí)現(xiàn)了“數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活”的教育目標(biāo)。附