第1章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.1概述1.2邏輯代數(shù)的基本運算和門電路1.3邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則1.4邏輯函數(shù)常用的描述方法及相互間的轉(zhuǎn)換1.5邏輯函數(shù)的化簡習(xí)題

本章介紹分析和設(shè)計數(shù)字邏輯電路的基本數(shù)學(xué)工具———邏輯代數(shù)，內(nèi)容包括邏輯代數(shù)的基本概念、公式和定理，邏輯函數(shù)的描述方法及化簡方法等，同時介紹了數(shù)字量和模擬量的基本概念以及常用的數(shù)制與代碼。

1.1概述

1.1.1數(shù)字量和模擬量在自然界中，存在著各種各樣的物理量，這些物理量可以分為兩大類：數(shù)字量和模擬量。數(shù)字量是指離散變化的物理量，模擬量則是指連續(xù)變化的物理量。處理數(shù)字信號的電路稱為數(shù)字電路，處理模擬信號的電路稱為模擬電路。同模擬信號相比，數(shù)字信號具有傳輸可靠、易于存儲、抗干擾能力強、穩(wěn)定性好等優(yōu)點。因此，數(shù)字電路獲得了越來越廣泛的應(yīng)用。

1.1.2數(shù)制與代碼

1.數(shù)制

表示數(shù)碼中每一位的構(gòu)成及進(jìn)位的規(guī)則稱為進(jìn)位計數(shù)制，簡稱數(shù)制(NumberSystem)。一種數(shù)制中允許使用的數(shù)碼個數(shù)稱為該數(shù)制的基數(shù)。常用的進(jìn)位計數(shù)制有十進(jìn)制、二進(jìn)

制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制。

數(shù)的一般展開式表示法如下：

式中，

n

是整數(shù)部分的位數(shù)，

m

是小數(shù)部分的位數(shù)，

ai

是第

i

位的系數(shù)，

R是基數(shù)，

Ri稱為第

i位的權(quán)。

1)十進(jìn)制

基數(shù)R為10的進(jìn)位計數(shù)制稱為十進(jìn)制(Decimal)，它有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10個有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢十進(jìn)一，借一為十”。十進(jìn)制數(shù)一般用下標(biāo)10或D表示，如2310

，

87D

等。

2)二進(jìn)制

基數(shù)R為2的進(jìn)位計數(shù)制稱為二進(jìn)制(Binary)，它只有0和1兩個有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢二進(jìn)一，借一為二”。二進(jìn)制數(shù)一般用下標(biāo)2或B表示，如1012

，

1101B

等。

3)八進(jìn)制

基數(shù)R為8的進(jìn)位計數(shù)制稱為八進(jìn)制(Octal)，它有0、1、2、3、4、5、6、7共8個有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢八進(jìn)一，借一為八”。八進(jìn)制數(shù)一般用下標(biāo)8或O表示，如617

8，

547O

等。

4)十六進(jìn)制

基數(shù)R為16的進(jìn)位計數(shù)制稱為十六進(jìn)制

Hexadecimal)，十六進(jìn)制有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)共16個有效數(shù)碼，低位向相鄰高位“逢十六進(jìn)一，借一為十六”。十六進(jìn)制數(shù)一般用下標(biāo)16或H表示，如A116

，

1FH等。

2.不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換

一個數(shù)可以表示為不同進(jìn)制的形式。在日常生活中，人們習(xí)慣使用十進(jìn)制數(shù)，而在計算機等設(shè)備中則使用二進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)，因此經(jīng)常需要在不同數(shù)制間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

1)二—十轉(zhuǎn)換

求二進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制數(shù)時，將所有值為1的數(shù)位的位權(quán)相加即可。

【例1.1】

將二進(jìn)制數(shù)11001101.11B轉(zhuǎn)換為等值的十進(jìn)制數(shù)。

解

二進(jìn)制數(shù)11001101.11B各位對應(yīng)的位權(quán)如下：

位權(quán)：27

26

25

24

23

22

21

20

2-1

2-2

二進(jìn)制數(shù)：

1

1

0

0

1

1

0

1.11

等值十進(jìn)制數(shù)為

27

+26+23+22+20+2-1+2-2=128+64+8+4+1+0.

5+0.25=205.75D

2)十—二轉(zhuǎn)換

將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時，要分別對整數(shù)部分和小數(shù)部分進(jìn)行轉(zhuǎn)換。進(jìn)行整數(shù)部分轉(zhuǎn)換時，先將十進(jìn)制整數(shù)除以2，再對每次得到的商除以2，直至商等于0為止。然后將各次余數(shù)按倒序?qū)懗鰜恚吹谝淮蔚挠鄶?shù)為二進(jìn)制整數(shù)的最低有效位(LSB)，最后一次的余數(shù)為二進(jìn)制整數(shù)的最高有效位(MSB)，所得數(shù)值即為等值二進(jìn)制整數(shù)。

【例1.2】將13D

轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應(yīng)的二進(jìn)制整數(shù)為1101B

。

進(jìn)行小數(shù)部分轉(zhuǎn)換時，先將十進(jìn)制小數(shù)乘以2，積的整數(shù)作為相應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)，再對積的小數(shù)部分乘以2。如此類推，直至小數(shù)部分為0，或按精度要求確定小數(shù)位數(shù)。第一次積的整數(shù)為二進(jìn)制小數(shù)的最高有效位，最后一次積的整數(shù)為二進(jìn)制小數(shù)的最低有效位。

【例1.3】將0.125D轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)為0.001B

。

3)八—十轉(zhuǎn)換

求八進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制數(shù)時，將各數(shù)位的值和相應(yīng)的位權(quán)相乘，然后相加即可。

【例1.4】將八進(jìn)制數(shù)71.5O

轉(zhuǎn)換為等值的十進(jìn)制數(shù)。

解

八進(jìn)制數(shù)71.5O各位對應(yīng)的位權(quán)如下：

位權(quán)：81

80

8-1

八進(jìn)制數(shù)：7

1.5

等值十進(jìn)制數(shù)為

7×81+1×80+5×8-1=7×8+1×1+5×0.125=57.625D

4)十—八轉(zhuǎn)換

將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)時，要分別對整數(shù)部分和小數(shù)部分進(jìn)行轉(zhuǎn)換。進(jìn)行整數(shù)部分轉(zhuǎn)換時，先將十進(jìn)制整數(shù)除以8，再對每次得到的商除以8，直至商等于0為止。然后將各次余數(shù)按倒序?qū)懗鰜?，即第一次的余?shù)為八進(jìn)制整數(shù)的最低有效位，最后一次的余數(shù)為八進(jìn)制整數(shù)的最高有效位，所得數(shù)值即為等值八進(jìn)制整數(shù)。

【例1.5】將1735D

轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應(yīng)的八進(jìn)制整數(shù)為3307O

。

進(jìn)行小數(shù)部分轉(zhuǎn)換時，先將十進(jìn)制小數(shù)乘以8，積的整數(shù)作為相應(yīng)的八進(jìn)制小數(shù)，再對積的小數(shù)部分乘以8。如此類推，直至小數(shù)部分為0，或按精度要求確定小數(shù)位數(shù)。第一次積的整數(shù)為八進(jìn)制小數(shù)的最高有效位，最后一次積的整數(shù)為八進(jìn)制小數(shù)的最低有效位。

【例1.6】將0.1875D

轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制小數(shù)。

解轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應(yīng)的八進(jìn)制小數(shù)為0.14O

。

5)十六—十轉(zhuǎn)換

求十六進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制數(shù)時，將各數(shù)位的值和相應(yīng)的位權(quán)相乘，然后相加即可。

【例1.7】將十六進(jìn)制數(shù)1A.CH

轉(zhuǎn)換為等值的十進(jìn)制數(shù)。

解

十六進(jìn)制數(shù)1A.CH

各位對應(yīng)的位權(quán)如下：

位權(quán)：161

160

16-1

十六進(jìn)制數(shù)：

1A.C

等值十進(jìn)制數(shù)為

1×161

+10×160+12×16-1=1×16+10×1+12×0.

0625=26.75D

【例1.8】將287D

轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應(yīng)的十六進(jìn)制整數(shù)為11FH

。

進(jìn)行小數(shù)部分轉(zhuǎn)換時，先將十進(jìn)制小數(shù)乘以16，積的整數(shù)作為相應(yīng)的十六進(jìn)制小數(shù)，再對積的小數(shù)部分乘以16。如此類推，直至小數(shù)部分為0，或按精度要求確定小數(shù)位數(shù)。

第一次積的整數(shù)為十六進(jìn)制小數(shù)的最高有效位，最后一次積的整數(shù)為十六進(jìn)制小數(shù)的最低有效位。

【例1.9】

將0.62890625D

轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應(yīng)的十六進(jìn)制小數(shù)為0.A1H

。

7)二—八轉(zhuǎn)換

將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)時，整數(shù)部分自右往左三位劃為一組，最后剩余不足三位時在左面補0；小數(shù)部分自左往右三位劃為一組，最后剩余不足三位時在右面補0；然后將每一組用一位八進(jìn)制數(shù)代替。

【例1.10】將二進(jìn)制數(shù)10111011.1011B

轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)為273.54O

。

8)八—二轉(zhuǎn)換

將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時，將每位八進(jìn)制數(shù)展開成三位二進(jìn)制數(shù)即可。

【例1.11】將八進(jìn)制數(shù)361.72O

轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)為11110001.11101B

。

9)二—十六轉(zhuǎn)換

將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)時，整數(shù)部分自右往左四位劃為一組，最后剩余不足四位時在左面補0；小數(shù)部分自左往右四位劃為一組，最后剩余不足四位時在右面補0；然后將每一組用一位十六進(jìn)制數(shù)代替。

【例1.12】將二進(jìn)制數(shù)111010111101.101B

轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)為EBD.AH

。

10)十六—二轉(zhuǎn)換

將十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)時，將每位十六進(jìn)制數(shù)展開成四位二進(jìn)制數(shù)即可。

【例1.13】將十六進(jìn)制數(shù)1C9.2FH

轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)為111001001.00101111B

。

11)八—十六轉(zhuǎn)換

將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)時，先將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再將所得的二進(jìn)制

數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。

【例1.14】將八進(jìn)制數(shù)361.72O轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)為F1.E8H

。

12)十六—八轉(zhuǎn)換

將十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)時，先將十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再將所得的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。

【例1.15】將十六進(jìn)制數(shù)A2B.3FH

轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。

解

轉(zhuǎn)換過程如下：

因此，對應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)為5053.176O

。

3.代碼

在數(shù)字系統(tǒng)中，常用0和1的組合來表示不同的數(shù)字、符號、動作或事物，這一過程叫做編碼，這些組合稱為代碼(Code)。代碼可以分為數(shù)字型的和字符型的，有權(quán)的和無權(quán)的。數(shù)字型代碼用來表示數(shù)字的大小，字符型代碼用來表示不同的符號、動作或事物。有權(quán)代碼的每一數(shù)位都定義了相應(yīng)的位權(quán)，無權(quán)代碼的數(shù)位沒有定義相應(yīng)的位權(quán)。下面介紹三種常用的代碼：

8421BCD碼、格雷(Gray)碼和ASCII

碼。

1)8421BCD碼

BCD(BinaryCodedDecimal)碼即二—十進(jìn)制代碼，用四位二進(jìn)制代碼表示一位十進(jìn)制數(shù)碼。8421BCD碼是一種最常用的BCD碼，它是一種有權(quán)碼，四位的權(quán)值自左至右依次為8、4、2、1。8421BCD碼如表1－1所示。

2)格雷(Gray)碼

格雷碼是一種無權(quán)循環(huán)碼，它的特點是：相鄰的兩個碼之間只有一位不同。表1－2列出了十進(jìn)制數(shù)0~15的四位格雷碼。

3)ASCII碼

ASCII碼，

即美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)碼(AmericanStandardCodeforInformationInterchange)，是目前國際上廣泛采用的一種字符碼。ASCII碼用七位二進(jìn)制代碼來表示

128個不同的字符和符號，如表1－3所示。

1.2邏輯代數(shù)的基本運算和門電路

邏輯代數(shù)(LogicAlgebra)是由英國數(shù)學(xué)家喬治·布爾(GeorgeBoole)于1849年首先提出的，因此也稱為布爾代數(shù)(BooleanAlgebra)。邏輯代數(shù)研究邏輯變量間的相互關(guān)系，是分析和設(shè)計邏輯電路不可缺少的數(shù)學(xué)工具。所謂邏輯變量，是指只有兩種取值的變量：真或假、高或低、1或0。

1.2.1邏輯代數(shù)的基本運算

邏輯變量之間的關(guān)系多種多樣，有簡單的也有復(fù)雜的，最基本的邏輯關(guān)系有：邏輯與、邏輯或和邏輯非三種。

1.邏輯與

只有當(dāng)決定某事件的全部條件同時具備時，該事件才發(fā)生，這樣的邏輯關(guān)系稱為邏輯與，或稱邏輯相乘。

在圖1－1電路中，只有當(dāng)開關(guān)

S1和S2

同時接通時，電燈F

才會亮。若以S1、

S2表示兩個開關(guān)的狀態(tài)，以F

表示電燈的狀態(tài)，用1表示開關(guān)接通和電燈亮，用0表示開關(guān)斷開和電燈滅，則只有當(dāng)S1

和S2同時為1時，

F

才為1，

F

與S1和S2之間是一種與的邏輯關(guān)系。邏輯與運算的運算符為“·”，寫成F=S1

·S2或F=S1S2

。

邏輯變量之間取值的對應(yīng)關(guān)系可用一張表來表示，這種表叫做邏輯真值表，簡稱真值表。與邏輯關(guān)系的真值表如表1－4所示。圖1－1與邏輯電路

2.邏輯或

在決定某事件的諸多條件中，當(dāng)有一個或一個以上具備時，該事件都會發(fā)生，這樣的邏輯關(guān)系稱為邏輯或，或稱邏輯相加。

在圖1－2電路中，當(dāng)開關(guān)S1和S2中有一個接通(S1=1或S2=1)或一個以上接通(S1=1且S2=1)時，電燈F

都會亮(F=1)，因此F

與S1和S2之間是一種或的邏輯關(guān)系。邏輯或運算的運算符為“+”，寫成F=S1+S2?；蜻壿嬯P(guān)系的真值表如表1－5所示。圖1－2或邏輯電路

圖1－3非邏輯電路

1.2.2門電路

輸出和輸入之間具有一定邏輯關(guān)系的電路稱為邏輯門電路，簡稱門電路。常用的門電路有與門、或門、非門、與非門、或非門、與或非門、異或門、同或門等，它們的邏輯符號如圖1－4所示。圖1－4常用門電路的邏輯符號

1.3邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則

1.3.1基本公式邏輯代數(shù)的基本公式如下：

式(8)、(8′)稱為同一律；式(9)、(9′

)稱為交換律；式(10)、(10′

)稱為結(jié)合律；式(11)、(11′

)稱為分配律；式(12)、(12′

)稱為德·摩根(De.Morgan)定律；式(13)稱為還原律。

1.3.2常用公式

下面列出一些常用的邏輯代數(shù)公式，利用前面介紹的基本公式可以對它們加以證明。

(1)A+A·B=A

證明：

A+A·B=A·1+A·B

=A·(1+B)

=A·1

=A

公式的含義是：在一個與或表達(dá)式中，如果一個與項是另一個與項的一個因子，則另一個與項可以不要。這一公式稱為吸收律。例如：

(A+B)+(A+B)·C·D=A+B

公式的含義是：在一個與或表達(dá)式中，如果一個與項中的一個因子的反是另一個與項的一個因子，則包含這兩個與項其余因子作為因子的與項是可要可不要的。例如：

3.對偶規(guī)則

描述：對一個邏輯函數(shù)F，將所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，則得到函數(shù)F的對偶函數(shù)F‘。

例如：已知

F1=A·(B+C)，

F2=A·B+A·C

F′1=A+B·C，F(xiàn)′2

=(A+B)·(A+C)

如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)亦相等。

例如：已知

A·(B+C)=A·B+A·C

則

A+B·C=(A+B)·(A+C)

1.4邏輯函數(shù)常用的描述方法及相互間的轉(zhuǎn)換

1.4.1邏輯函數(shù)常用的描述方法邏輯函數(shù)常用的描述方法有表達(dá)式、真值表、卡諾圖和邏輯圖等。

1.表達(dá)式

由邏輯變量和邏輯運算符號組成，用于表示變量之間邏輯關(guān)系的式子，稱為邏輯表達(dá)式。常用的邏輯表達(dá)式有與或表達(dá)式、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式、與非與非表達(dá)式、或非或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式等。

2.真值表

用來反映變量所有取值組合及對應(yīng)函數(shù)值的表格，稱為真值表。

例如，在一個判奇電路中，當(dāng)A、B、C三個變量中有奇數(shù)個1時，輸出F為1；否則，輸出F為0。據(jù)此可列出表1－13所示的真值表。

3.卡諾圖

將邏輯變量分成兩組，分別在橫豎兩個方向用循環(huán)碼形式排列出各組變量的所有取值組合，構(gòu)成一個有2n個方格的圖形，其中，每一個方格對應(yīng)變量的一個取值組合，這種圖形叫做卡諾圖?？ㄖZ圖分變量卡諾圖和函數(shù)卡諾圖兩種。在變量卡諾圖的所有方格中，沒有相應(yīng)的函數(shù)值，而在函數(shù)卡諾圖中，每個方格上都有相應(yīng)的函數(shù)值。

圖1－5為二~五個變量的卡諾圖，方格中的數(shù)字為該方格對應(yīng)變量取值組合的十進(jìn)制數(shù)，亦稱該方格的編號。

圖1－6為一個四變量的函數(shù)卡諾圖，方格中的0和1表示在對應(yīng)變量取值組合下該函數(shù)的取值。圖1－5變量卡諾圖(a)兩變量；(b)三變量；(c)四變量；(d)五變量圖1－6一個四變量的函數(shù)卡諾圖

4.邏輯圖

由邏輯門電路符號構(gòu)成的，用來表示邏輯變量之間關(guān)系的圖形稱為邏輯電路圖，簡稱邏輯圖。圖1－7函數(shù)F=

1.4.2不同描述方法之間的轉(zhuǎn)換

1.表達(dá)式→真值表

由表達(dá)式列函數(shù)的真值表時，一般首先按自然二進(jìn)制碼的順序列出函數(shù)所含邏輯變量的所有不同取值組合，再確定出相應(yīng)的函數(shù)值。

2.真值表→表達(dá)式

由真值表寫函數(shù)的表達(dá)式時，有兩種標(biāo)準(zhǔn)的形式：標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。

1)標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式

標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式是一種特殊的與或表達(dá)式，其中的每個與項都包含了所有相關(guān)的邏輯變量，每個變量以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，這樣的與項稱為標(biāo)準(zhǔn)與項，又稱最小項。

最小項的主要性質(zhì)：

(1)每個最小項都與變量的惟一的一個取值組合相對應(yīng)，只有該組合使這個最小項取值為1，其余任何組合均使該最小項取值為0。

(2)所有不同的最小項相或，結(jié)果一定為1。

(3)任意兩個不同的最小項相與，結(jié)果一定為0。

最小項的編號：最小項對應(yīng)變量取值組合的大小，稱為該最小項的編號。

從上面例子可以看出，一個與項如果缺少一個變量，則生成兩個最小項；一個與項如果缺少兩個變量，則生成四個最小項。如此類推，一個與項如果缺少n個變量，則生成2

n個最小項。

由真值表求函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式時，找出真值表中函數(shù)值為1的對應(yīng)組合，將這些組合對應(yīng)的最小項相或即可。

【例1.20】

已知邏輯函數(shù)的真值表如表1－17所示，寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。

2)標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式

標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式是一種特殊的或與表達(dá)式，其中的每個或項都包含了所有相關(guān)的邏輯變量，每個變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次。這樣的或項稱為標(biāo)準(zhǔn)或

項，又稱最大項。

最大項的主要性質(zhì):

(1)每個最大項都與變量的惟一的一個取值組合相對應(yīng)，只有該組合使這個最大項取值為0，其余任何組合均使該最大項取值為1。

(2)所有不同的最大項相與，結(jié)果一定為0。

(3)任意兩個不同的最大項相或，結(jié)果一定為1。

最大項的編號:最大項對應(yīng)變量取值組合的大小，稱為該最大項的編號。

從上面例子可以看出，一個或項如果缺少一個變量，則生成兩個最大項；一個或項如果缺少兩個變量，則生成四個最大項。如此類推，一個或項如果缺少n個變量，則生成2

n個最大項。

由真值表求函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式時，找出真值表中函數(shù)值為0的對應(yīng)組合，將這些組合對應(yīng)的最大項相與即可。

【例1.22】已知邏輯函數(shù)的真值表如表1－18所示，寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。

3)標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換

同一函數(shù)，其標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式中最小項的編號和其標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式中最大項的編號是互補的，即在標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式中出現(xiàn)的最小項編號不會在其標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式的最大項編號

中出現(xiàn)，而不在標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式中出現(xiàn)的最小項編號一定在其標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式的最大項編號中出現(xiàn)。

寫出其標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。

解

【例1.24】已知

寫出其標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。

解

3.真值表→卡諾圖

已知邏輯函數(shù)的真值表，只需找出真值表中函數(shù)值為1的變量組合，確定其大小編號，并在卡諾圖中具有相應(yīng)編號的方格中標(biāo)上1，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。

例如，對于表1－19所示的邏輯函數(shù)F的真值表，它的卡諾圖如圖1－8所示。圖1－8表1－19邏輯函數(shù)F的卡諾圖

4.卡諾圖→真值表

已知邏輯函數(shù)的卡諾圖，只需找出卡諾圖中函數(shù)值為1的方格所對應(yīng)的變量組合，并在真值表中讓相應(yīng)組合的函數(shù)值為1，即可得到函數(shù)真值表。

圖1－9為邏輯函數(shù)F的卡諾圖。從圖1－9可以看出，當(dāng)ABC為001、011、100和110時，邏輯函數(shù)F的值為1，由此可知邏輯函數(shù)F的真值表如表1－20所示。圖1－9邏輯函數(shù)F的卡諾圖

5.表達(dá)式→卡諾圖

已知邏輯函數(shù)的表達(dá)式，若要畫出函數(shù)的卡諾圖，則可以先將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化為一般的與或表達(dá)式，再找出使每個與項等于1的取值組合，最后將卡諾圖中對應(yīng)這些組合的方格

標(biāo)為1即可。

圖1－10例1.25函數(shù)F的卡諾圖

從上面例子可以看出，一個與項如果缺少一個變量，則對應(yīng)卡諾圖中兩個方格;一個與項如果缺少兩個變量，則對應(yīng)卡諾圖中四個方格。如此類推，一個與項如果缺少n個變

量，則對應(yīng)卡諾圖中2n個方格。

6.卡諾圖→標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式

已知函數(shù)的卡諾圖時，也可以寫出函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式:標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。

1)由卡諾圖求函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式

已知函數(shù)的卡諾圖，若要寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，則將卡諾圖中所有函數(shù)值為1的方格對應(yīng)的最小項相或即可。

【例1.26】已知函數(shù)F的卡諾圖如圖1－11所示，寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。圖1－11例1.26函數(shù)F的卡諾圖

解從卡諾圖中看到，在編號為0、2、7、8、10、13的方格中，函數(shù)F的值為1，這些方格對應(yīng)的最小項分別為。因此，函數(shù)F的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式為

2)由卡諾圖求函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式

已知函數(shù)的卡諾圖，若要寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式，則將卡諾圖中所有函數(shù)值為0的方格對應(yīng)的最大項相與即可。

【例1.27】已知函數(shù)F的卡諾圖如圖1－12所示，寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。圖1－12例1.27函數(shù)F的卡諾圖

解從卡諾圖中看到，在編號為1、5、9、15的方格中，函數(shù)F的值為0，這些方格對應(yīng)的最大項分別為

因此，可以寫出如下的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式:

1.5邏輯函數(shù)的化簡

我們知道，同一個邏輯函數(shù)可以寫成不同的表達(dá)式。用基本邏輯門電路去實現(xiàn)某函數(shù)時，表達(dá)式越簡單，需用的門電路個數(shù)就越少，因而也就越經(jīng)濟可靠。因此，實現(xiàn)邏輯函數(shù)之前，往往要對它進(jìn)行化簡，先求出其最簡表達(dá)式，再根據(jù)最簡表達(dá)式去實現(xiàn)邏輯函數(shù)。最簡表達(dá)式有很多種，最常用的有最簡與或表達(dá)式和最簡或與表達(dá)式。不同類型的邏輯函數(shù)表達(dá)式，最簡的定義也不同。

函數(shù)的最簡與或表達(dá)式必須滿足的條件有:

(1)與項個數(shù)最少。

(2)與項中變量的個數(shù)最少。

函數(shù)的最簡或與表達(dá)式必須滿足的條件有:

(1)或項個數(shù)最少。

(2)或項中變量的個數(shù)最少。

常見的化簡方法有公式法和卡諾圖法兩種。

1.5.1公式法化簡

公式法化簡邏輯函數(shù)，就是利用邏輯代數(shù)的基本公式，對函數(shù)進(jìn)行消項、消因子等，以求得函數(shù)的最簡表達(dá)式。常用方法有以下四種。

2.吸收法

利用公式A+AB=A吸收多余的與項。

【例1.29】求函數(shù)F=(A+AB+ABC)(A+B+C)的最簡與或表達(dá)式。

解

1.5.2卡諾圖法化簡

1.用卡諾圖化簡法求函數(shù)的最簡與或表達(dá)式

1)卡諾圖的相鄰性

最小項的相鄰性定義:兩個最小項，如果只有一個變量的形式不同(在一個最小項中以原變量出現(xiàn)，在另一個最小項中以反變量出現(xiàn))，其余變量的形式都不變，則稱這兩個最小項是邏輯相鄰的。

卡諾圖的相鄰性判別:在卡諾圖的兩個方格中，如果只有一個變量的取值不同(在一個方格中取1，在另一個方格中取0)，其余變量的取值都不變，則這兩個方格對應(yīng)的最小項是邏輯相鄰的。

在卡諾圖中，由于變量取值按循環(huán)碼排列，使得幾何相鄰的方格對應(yīng)的最小項是邏輯相鄰的。具體而言就是:每一方格和上、下、左、右四邊緊靠它的方格相鄰;最上一行和最下一行對應(yīng)的方格相鄰;最左一列和最右一列對應(yīng)的方格相鄰;對折相重的方格相鄰。圖1－13畫出了卡諾圖中最小項相鄰的幾種情況。圖1－13卡諾圖中最小項相鄰的幾種情況

圖1－14兩個相鄰最小項的合并

(2)四個相鄰的1方格圈在一起，消去兩個變量，如圖1－15所示。圖1－15四個相鄰最小項的合并

四個相鄰的1方格對應(yīng)的四個最小項中有兩個變量的形式變化過，將它們相或時可以消去這兩個變量，只剩下不變的因子。例如，在圖1－15(e)中，四個相鄰的1方格對應(yīng)的四個最小項分別為在這四個最小項中，

A和C兩個變量的形式變化過。因為

結(jié)果是將A和C兩個變量消去，剩下了兩個不變的因子。因此，將這四個方格圈在一起時得到一個簡化的與項。

(3)八個相鄰的1方格圈在一起，消去三個變量，如圖1－16所示。

八個相鄰的1方格對應(yīng)的八個最小項中有三個變量的形式變化過，將它們相或時可以消去這三個變量，只剩下不變的因子。圖1－16八個相鄰最小項的合并

(4)2n個相鄰的1方格圈在一起，消去n個變量。

2n個相鄰的1方格對應(yīng)的2n個最小項中，有n個變量的形式變化過，將它們相或時可以消去這n個變量，只剩下不變的因子。

(5)如果卡諾圖中所有的方格都為1，將它們?nèi)υ谝黄穑Y(jié)果為1。

如果卡諾圖中所有的方格都為1，將它們?nèi)υ谝黄穑扔趯⒆兞康乃胁煌钚№椣嗷?，因此結(jié)果為1。這種情形表示在變量的任何取值情況下，函數(shù)值恒為1。

3)卡諾圖化簡法的步驟和原則

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時，一般先畫出函數(shù)的卡諾圖，然后將卡諾圖中的1方格按邏輯相鄰特性進(jìn)行分組劃圈。每個圈得到一個簡化的與項，與項中只包含在圈中取值沒有變

化過的變量，值為1的以原變量出現(xiàn)，值為0的以反變量出現(xiàn)。再將所得各個與項相或，即得到該函數(shù)的最簡與或表達(dá)式。

用卡諾圖化簡法求函數(shù)最簡與或表達(dá)式的一般步驟如下:

(1)畫出函數(shù)的卡諾圖。

(2)對相鄰最小項進(jìn)行分組合并。

(3)寫出最簡與或表達(dá)式。

用卡諾圖化簡法求函數(shù)最簡與或表達(dá)式的原則如下:

(1)每個值為1的方格至少被圈一次。當(dāng)某個方格被圈多于一次時，相當(dāng)于對這個最小項使用同一律A+A=A，并不改變函數(shù)的值。

(2)每個圈中至少有一個1方格是其余所有圈中不包含的。如果一個圈中的任何一個1方格都出現(xiàn)在別的圈中，則這個圈就是多余的。

(3)任一圈中都不能包含取值為0的方格。

(4)圈的個數(shù)越少越好。圈的個數(shù)越少，得到的與項就越少。

(5)圈越大越好。圈越大，消去的變量越多，所得與項包含的因子就越少。每個圈中包含的1方格的個數(shù)必須是2的整數(shù)次方。

【例1.33】用圖形法化簡函數(shù)

寫出其最簡與或表達(dá)式。

解

首先將函數(shù)F轉(zhuǎn)換為一般與或表達(dá)式:

接著畫出函數(shù)F的卡諾圖，如圖1－17所示。圖1－17例1.33函數(shù)F的卡諾圖

【例1.34】用圖形法化簡函數(shù)(0，

1，

2，

5，

6，

7，

8，

10，

11，

12，

13，

15)，寫出其最簡與或表達(dá)式。

解

畫出函數(shù)F的卡諾圖，如圖1－18所示。圖1－18例1.34函數(shù)F的卡諾圖

由圖1－18(a)和(b)可以看出，函數(shù)F的卡諾圖有兩種可行的合并方案。

根據(jù)圖1－18(a)得到:

根據(jù)圖1－18(b)得到:

本例說明，一個函數(shù)的最簡與或表達(dá)式可以不是惟一的。

2.用卡諾圖化簡法求函數(shù)的最簡或與表達(dá)式

求函數(shù)的最簡或與表達(dá)式時，可以先求出其反函數(shù)的最簡與或表達(dá)式，然后取反得到函數(shù)的最簡或與表達(dá)式。在函數(shù)的卡諾圖中，函數(shù)值為0意味著其反函數(shù)的值為1，因此，

利用卡諾圖化簡法求函數(shù)的最簡或與表達(dá)式時，應(yīng)對函數(shù)卡諾圖中的0方格對應(yīng)的最小項進(jìn)行分組合并。一般的步驟如下:

(1)畫出函數(shù)的卡諾圖。

(2)對相鄰的0方格對應(yīng)的最小項進(jìn)行分組合并，求反函數(shù)的最簡與或表達(dá)式。

(3)對所得反函數(shù)的最簡與或表達(dá)式取反，得函數(shù)的最簡或與表達(dá)式。

【例1.35】

用圖形法化簡函數(shù)

寫出其最簡或與表達(dá)式。

解先畫出函數(shù)F的卡諾圖，如圖1－19所示。

然后對0方格進(jìn)行分組合并，得到的反函數(shù)的最簡與或表達(dá)式如下:

最后對反函數(shù)取反，得到的函數(shù)的最簡或與表達(dá)式如下:圖1－19例1.35函數(shù)F的卡諾圖

1.5.3帶無關(guān)項邏輯函數(shù)的化簡

1.邏輯函數(shù)中的無關(guān)項

在實際的邏輯關(guān)系中，有時會遇到這樣一種情況，即變量的某些取值組合是不會發(fā)生的，這種加給變量的限制稱為變量的約束，而這些不會發(fā)生的組合所對應(yīng)的最小項稱為約

束項。顯然，對變量所有可能的取值，約束項的值都等于0。

對變量約束的具體描述叫做約束條件。例如，

AB+AC=0，

∑(5，

6，

7)=0，∑d(5，

6，

7)等。在真值表和卡諾圖中，約束一般記為“×”或“Φ”。

另外，有時我們只關(guān)心在變量某些取值組合情況下函數(shù)的值，而對變量的