專題17三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式【考點預(yù)測】知識點一：三角函數(shù)基本概念1．角的概念(1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．(2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是．(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限．(4)象限角的集合表示方法：2．弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．(2)角度制和弧度制的互化：,,．(3)扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．3．任意角的三角函數(shù)(1)定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．(2)推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設(shè)點到原點的距離為，則，，三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣INCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF"INET:三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T．三角函數(shù)線INCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\4-1.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\4-1.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\4-1.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\4-2.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\4-2.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\4-2.TIF"INET有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線知識點二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：．(2)商數(shù)關(guān)系：；知識點三：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．【方法技巧與總結(jié)】1．利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．2．“”方程思想知一求二．【題型歸納目錄】題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別題型二：等分角的象限問題題型三：弧長與扇形面積公式的計算題型四：三角函數(shù)定義題題型五：象限符號與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值題型六：同角求值—條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的題型七：誘導(dǎo)求值與變形【典例例題】題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與角的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（

）A． B．C． D．例3．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合，集合，則（

）A． B． C． D．（多選題）例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果角與角的終邊相同，角與的終邊相同，那么的可能值為（

）A． B． C． D．（多選題）例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列條件中，能使和的終邊關(guān)于軸對稱的是（

）A． B．C． D．例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）寫出兩個與終邊相同的角___________．【方法技巧與總結(jié)】（1）終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角．題型二：等分角的象限問題例7．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若，則的終邊在（

）A．第一、三象限 B．第一、二象限C．第二、四象限 D．第三、四象限例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）θ是第二象限角，則下列選項中一定為負(fù)值的是（

）A．sin B．cos C．sin2θ D．cos2θ例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【方法技巧與總結(jié)】先從的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）的象限分布圖示．題型三：弧長與扇形面積公式的計算例11．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》章給出了弧田面積的計算公式．如圖所示，弧田是由圓弧及其所對弦圍成的圖形．若弧田的弦長是2，弧所在圓心角的弧度數(shù)也是2，則弧田的弧長為_______，弧田的面積為_________．

例12．（2022·全國·高考真題（理））沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當(dāng)時，（

）A． B． C． D．例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊.按如下方法剪裁，扇面形狀較為美觀.從半徑為的圓面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧長與圓周長的比值為，再從扇形中剪下扇環(huán)形制作扇面，使扇環(huán)形的面積與扇形的面積比值為.則一個按上述方法制作的扇環(huán)形裝飾品（如圖）的面積與圓面積的比值為（

）A． B． C． D．例14．（2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測）“圓材埋壁”是我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題，現(xiàn)有一個“圓材埋壁”的模型，其截面如圖所示，若圓柱形材料的底面半徑為1，截面圓圓心為，墻壁截面為矩形，且，則扇形的面積是__________.例15．（2022·全國·模擬預(yù)測）炎炎夏日，在古代人們乘涼時習(xí)慣用的紙疊扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，扇形ABC的面積S為，若，則當(dāng)該紙疊扇的周長C最小時，BD的長度為___________.例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知扇形的周長為4cm，當(dāng)它的半徑為________cm和圓心角為________弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是________cm2.

【方法技巧與總結(jié)】（1）熟記弧長公式：l＝|α|r，扇形面積公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2（弧度制）（2）掌握簡單三角形，特別是直角三角形的解法題型四：三角函數(shù)定義題例17．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．例18．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．例19．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊上一點，若，則（

）A．3 B． C． D．例20．（2022·北京·二模）已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】任意角的正弦、余弦、正切的定義；題型五：象限符號與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果，且，則的化簡為_____.例22．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）若角滿足，，則在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例23．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知，則“”是“角為第一或第四象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要例24．（2022·重慶·高三開學(xué)考試）若，則下列三角函數(shù)值為正值的是（

）A． B． C． D．例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））我們知道，在直角坐標(biāo)系中，角的終邊在第幾象限，這個角就是第幾象限角．已知點在第三象限，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例26．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知，則（

）A． B． C． D．例27．（2022·江西南昌·三模（文））若角的終邊不在坐標(biāo)軸上，且，則(

)A． B． C． D．例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若是第二象限角，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；．余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；．正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù)．題型六：同角求值—條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的例29．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））若，則的值為___________.例30．（2022·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測）已知，則___________．例31．（2022·廣東惠州·一模）已知，，則（

）A． B． C． D．例32．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．例33．（2022·海南·模擬預(yù)測）已知角為第二象限角，，則（

）A． B． C． D．例34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則（

）A． B．C． D．例35．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））若，則（

）A． B．C． D．例36．（2022·廣東廣州·三模）已知，若，則的值為（

）A． B． C． D．例37．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．例38．（2022·山西晉中·模擬預(yù)測（理））若，則等于（

）A． B．2 C． D．例39．（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函數(shù)值．（2）若無象限條件，一般“弦化切”．題型七：誘導(dǎo)求值與變形例40．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））若，則（

）A． B． C． D．例41．（2022·貴州·貴陽一中模擬預(yù)測（文））若則（

）A． B． C． D．例42．（2022·青?！ず|市教育研究室一模（理））（

）A． B． C． D．例43．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知，則（

）A．2 B．—2 C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（2）通過等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（3）等可利用誘導(dǎo)公式把的三角函數(shù)化【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測（理））中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上?下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，垂直于底面，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧長度是弧長度的3倍，，則該曲池的體積為（

）A． B． C． D．2．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）二十四節(jié)氣是中華民族上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，是中國農(nóng)歷中表示李節(jié)變遷的24個特定節(jié)令．如圖，每個節(jié)氣對應(yīng)地球在黃道上運動所到達(dá)的一個位置．根據(jù)描述，從立冬到立春對應(yīng)地球在黃道上運動所對圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知圓錐的母線長為2，其側(cè)面展開圖是圓心角等于的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．4．（2022·福建省福州格致中學(xué)模擬預(yù)測）已知角的大小如圖所示，則（

）A． B．5 C． D．5．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（文））（

）A． B． C． D．6．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）若，則（

）A． B．C． D．7．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（文））已知向量，，，若，則（

）A．2 B．-2 C．3 D．8．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測（文））數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在各領(lǐng)域都應(yīng)用廣泛，0.618就是黃金分割比的近似值，黃金分割比還可以表示成，則（

）．A．4 B． C．2 D．二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的有（

）A．經(jīng)過30分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過弧度B．C．若，，則為第二象限角D．若為第二象限角，則為第一或第三象限角10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中國傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形（如圖）的面積為，圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，圓心角為，當(dāng)與的比值為（黃金分割比）時，折扇看上去較為美觀，那么（

）A． B． C． D．11．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知－＜θ＜，且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0，1)，則關(guān)于tanθ的值，在以下四個答案中，不可能是（

）A．－3 B．3或 C．- D．－3或-12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．成立的條件是角是銳角B．若（），則C．若（），則D．若，則三、填空題13．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院二模）已知角θ的終邊過點，且，則tanθ=____________．14．（2022·福建·莆田二中模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O與x軸的正半軸交于點A，點B，C在圓O上，若射線OB平分∠AOC，B（，），則點C的橫坐標(biāo)為___________.15．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知為第三象限角，且，則______．16．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）