專題26幾何壓軸綜合考點01平移1．（2025·廣西·中考真題）綜合與實踐樹人中學組織一次“愛心義賣”活動．九（5）班分配到了一塊矩形義賣區(qū)和一把遮陽傘，遮陽傘在地面上的投影是一個平行四邊形（如圖1）初始時，矩形義賣區(qū)與遮陽傘投影的平面圖如圖2所示，在上，，，，，，由于場地限制，參加義賣的同學只能左右平移遮陽傘．在移動過程中，也隨之移動（始終在邊所在直線上），且形狀大小保持不變，但落在義賣區(qū)內(nèi)的部分（遮陽區(qū)）會呈現(xiàn)不同的形狀．如圖3為移動到落在上的情形．【問題提出】西西同學打算用數(shù)學方法，確定遮陽區(qū)面積最大時的位置．設遮陽區(qū)的面積為，從初始時向右移動的距離為．【直觀感知】（1）從初始起右移至圖3情形的過程中，隨的增大如何變化？【初步探究】（2）求圖3情形的與的值；【深入研究】（3）從圖3情形起右移至與重合，求該過程中關于的解析式；【問題解決】（4）當遮陽區(qū)面積最大時，向右移動了多少？（直接寫出結果）2．（2023·河北·中考真題）在平面直角坐標系中，設計了點的兩種移動方式：從點移動到點稱為一次甲方式：從點移動到點稱為一次乙方式．例、點P從原點O出發(fā)連續(xù)移動2次；若都按甲方式，最終移動到點；若都按乙方式，最終移動到點；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動到點．

(1)設直線經(jīng)過上例中的點，求的解析式；并直接寫出將向上平移9個單位長度得到的直線的解析式；(2)點P從原點O出發(fā)連續(xù)移動10次，每次移動按甲方式或乙方式，最終移動到點．其中，按甲方式移動了m次．①用含m的式子分別表示；②請說明：無論m怎樣變化，點Q都在一條確定的直線上．設這條直線為，在圖中直接畫出的圖象；(3)在（1）和（2）中的直線上分別有一個動點，橫坐標依次為，若A，B，C三點始終在一條直線上，直接寫出此時a，b，c之間的關系式．3．（2023·湖北十堰·中考真題）在某次數(shù)學探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F(xiàn)分別為，，的中點，G，H分別為，的中點），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為，最大值為．

考點02軸對稱1．（2025·山西·中考真題）綜合與探究問題情境：如圖，在紙片中，，點D在邊上，．沿過點D的直線折疊該紙片，使的對應線段與平行，且折痕與邊交于點E，得到，然后展平．猜想證明：（1）判斷四邊的形狀，并說明理由拓展延伸：（2）如圖，繼續(xù)沿過點D的直線折疊該紙片，使點A的對應點落在射線上，且折痕與邊交于點F，然后展平．連接交邊于點G，連接．①若，判斷與的位置關系，并說明理由；②若，，，當是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出的長2．（2025·四川成都·中考真題）如圖，在中，點在邊上，點關于直線的對稱點落在內(nèi)，射線交射線于點，交射線于點，射線交邊于點．【特例感知】（1）如圖1，當時，點在延長線上，求證：；【問題探究】（2）在（1）的條件下，若，，求的長；【拓展延伸】（3）如圖2，當時，點在邊上，若，求的值．（用含的代數(shù)式表示）3．（2024·江蘇連云港·中考真題）【問題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°（如圖2），這時候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的__________倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；【操作實踐】（2）如圖3，圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關系．小昕按所示步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請你結合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點P為端點的四條線段之間的數(shù)量關系；【探究應用】（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎上，小昕將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中存在最大值．若，，當最大時，求AD的長；（4）如圖6，在中，，點D、E分別在邊AC和BC上，連接DE、AE、BD．若，，求的最小值．4．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學活動，有一位同學操作過程如下：操作一：對折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：在上選一點P，沿折疊，使點A落在正方形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接、，延長交于點Q，連接．

(1)如圖1，當點M在上時，___________度；(2)改變點P在上的位置（點P不與點A，D重合）如圖2，判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．5．（2023·甘肅武威·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，和都是等邊三角形，點關于的對稱點在邊上．①求證：；②用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．【模型應用】（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點關于的對稱點在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

6．（2023·重慶·中考真題）在中，，，點為線段上一動點，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點．若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側作等邊．點為所在直線上一點，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點為的中點，連接，當取最大值時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請直接寫出此時的值．考點03旋轉(zhuǎn)1．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖1，在中，，沿方向向左平移得到，A、對應點分別是、．點是線段上的一個動點，連接，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至線段，使得，連接．

(1)當點與點重合時，求的長；(2)如圖2，連接、．在點的運動過程中：①和是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由；②當?shù)拈L為多少時，能構成等腰三角形？2．（2023·山東淄博·中考真題）在數(shù)學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動．(1)操作判斷小紅將兩個完全相同的矩形紙片和拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：的形狀為________．

(2)深入探究小紅在保持矩形不動的條件下，將矩形繞點旋轉(zhuǎn)，若，．探究一：當點恰好落在的延長線上時，設與相交于點，如圖②．求的面積．探究二：連接，取的中點，連接，如圖③．求線段長度的最大值和最小值．

3．（2023·江蘇南通·中考真題）正方形中，點在邊，上運動（不與正方形頂點重合）．作射線，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，交射線于點．

(1)如圖，點在邊上，，則圖中與線段相等的線段是___________；(2)過點作，垂足為，連接，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，當點在邊延長線上且時，求的值．4．（2025·貴州·中考真題）如圖，在菱形中，，點為線段上一動點，點為射線上的一點（點與點不重合）．【問題解決】（1）如圖①，若點與線段的中點重合，則度，線段與線段的位置關系是；【問題探究】（2）如圖②，在點運動過程中，點在線段上，且，探究線段與線段的數(shù)量關系，并說明理由；【拓展延伸】（3）在點運動過程中，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，射線交射線于點，若，求的長．5．（2025·吉林長春·中考真題）如圖，在中，，，點為邊的中點，點為邊上一動點，連接．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)線段的長為；(2)當時，求的長；(3)當點在邊上時，求證：；(4)當點到的距離是點到距離的2倍時，直接寫出的長．6．（2025·江西·中考真題）綜合與實踐從特殊到一般是研究數(shù)學問題的一般思路，綜合實踐小組以特殊四邊形為背景就三角形的旋轉(zhuǎn)放縮問題展開探究．特例研究在正方形中，相交于點O．（1）如圖1，可以看成是繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)并放大k倍得到，此時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為________，k的值為________；（2）如圖2，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，并放大得到（點O，B的對應點分別為點E，F(xiàn)），使得點E落在上，點F落在上，求的值類比探究（3）如圖3，在菱形中，，O是的垂直平分線與的交點，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，并放縮得到（點O，B的對應點分別為點E，F(xiàn)），使得點E落在上，點F落在上．猜想的值是否與α有關，并說明理由；（4）若（3）中，其余條件不變，探究之間的數(shù)量關系（用含β的式子表示）．7．（2025·湖北·中考真題）在中，，將繞點旋轉(zhuǎn)得到，點的對應點落在邊上，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當時，求的長；(3)如圖3，過點作的平行線交的延長線于點，過點作的平行線交于點G，與交于點．①求證：；②當時，直接寫出的值．8．（2024·山東淄博·中考真題）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習．【操作發(fā)現(xiàn)】小明作出了的內(nèi)接等腰三角形，．并在邊上任取一點（不與點，重合），連接，然后將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．如圖①小明發(fā)現(xiàn)：與的位置關系是__________，請說明理由：【實踐探究】連接，與相交于點．如圖②，小明又發(fā)現(xiàn)：當確定時，線段的長存在最大值．請求出當．時，長的最大值；【問題解決】在圖②中，小明進一步發(fā)現(xiàn)：點分線段所成的比與點分線段所成的比始終相等．請予以證明．9．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）數(shù)學活動課上，某小組將一個含的三角尺利一個正方形紙板如圖1擺放，若，．將三角尺繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，觀察圖形的變化，完成探究活動．【初步探究】如圖2，連接，并延長，延長線相交于點交于點．問題1和的數(shù)量關系是________，位置關系是_________．【深入探究】應用問題1的結論解決下面的問題．問題2如圖3，連接，點是的中點，連接，．求證．【嘗試應用】問題3如圖4，請直接寫出當旋轉(zhuǎn)角從變化到時，點經(jīng)過路線的長度．10．（2024·廣東·中考真題）【知識技能】（1）如圖1，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到．當點E的對應點與點A重合時，求證：．【數(shù)學理解】（2）如圖2，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，作的中線．求證：．【拓展探索】（3）如圖3，在中，，點D在上，．過點D作，垂足為E，，．在四邊形內(nèi)是否存在點G，使得？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．11．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在中，，，點D、E在邊上，且，，，求的長．解：如圖2，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應填：______；“②”處應填：______；“③”處應填：______．劉老師進一步談到：圖形的變化強調(diào)從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應萬變．【知識遷移】如圖3，在正方形中，點E、F分別在邊上，滿足的周長等于正方形的周長的一半，連結，分別與對角線交于M、N兩點．探究的數(shù)量關系并證明．

【拓展應用】如圖4，在矩形中，點E、F分別在邊上，且．探究的數(shù)量關系：______（直接寫出結論，不必證明）．

【問題再探】如圖5，在中，，，，點D、E在邊上，且．設，，求y與x的函數(shù)關系式．

考點04四邊形1．（2025·河北·中考真題）綜合與實踐［情境］要將矩形鐵板切割成相同的兩部分，焊接成直角護板（如圖），需找到合適的切割線．［模型］已知矩形（數(shù)據(jù)如圖所示）．作一條直線，使與所夾的銳角為，且將矩形分成周長相等的兩部分．［操作］嘉嘉和淇淇嘗試用不同方法解決問題．［探究］根據(jù)以上描述，解決下列問題．［拓展］操作和探究中蘊含著一般性結論，請繼續(xù)研究下面的問題．如圖3，嘉嘉的思路如下：①連接，交于點；②過點作，分別交，于點，……如圖4，淇淇的方法如下：①在邊上截取，連接；②作線段的垂直平分線，交于點；③在邊上截取，作直線．(1)圖中，矩形的周長為______；(2)在圖的基礎上，用尺規(guī)作圖作出直線（作出一條即可，保留作圖痕跡，不寫作法）；(3)根據(jù)淇淇的作圖過程，請說明圖中的直線符合要求．(4)如圖，若直線將矩形分成周長相等的兩部分，分別交邊，于點，，過點作于點，連接．當時，求的值；當最大時，直接寫出的長．2．（2025·浙江·中考真題）在菱形中，．(1)如圖1，求的值．(2)如圖2，E是延長線上的一點，連接，作與關于直線對稱，交射線于點P，連接．①當時，求的長．②求的最小值．3．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）在平行四邊形中，，分別為邊，上兩點．(1)當是邊中點時，①如圖（1），聯(lián)結，如果，求證：；②如圖（2），如果，聯(lián)結，交邊于點，求的值；(2)如圖（3）所示，聯(lián)結，，如果，，，．求的長．4．（2025·江蘇揚州·中考真題）問題：如圖1，點為正方形內(nèi)一個動點，過點作，，矩形的面積是矩形面積的2倍，探索的度數(shù)隨點運動的變化情況．【從特例開始】（1）小玲利用正方形網(wǎng)格畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖2），請你僅用無刻度的直尺連接一條線段，由此可得此圖形中______；（2）小亮也畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖3），其中，，，求此圖形中的度數(shù)；【一般化探索】（3）利用圖1，探索上述問題中的度數(shù)隨點運動的變化情況，并說明理由．5．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則______；______；(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關系，并說明理由；(3)①如圖3所示，在中，，，交于點，請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點在垂中平行四邊形的一條邊上（不限作圖工具）；②若關于直線對稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點，連接，請直接寫出的值．6．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在?中，，，，為邊上的動點．連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過點作，交直線于點．連接、，分別取、的中點、，連接，交于點．(1)若點與點重合，則線段的長度為______．(2)隨著點的運動，與的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出與的長度；若改變，請說明理由．7．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，點D在邊上．若，則，請證明；（2）【靈活運用】如圖2，在中，，點D為邊的中點，，點E在上，連接，．若，求的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形中，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，，延長，相交于點G．若，，求的長．8．（2024·湖南長沙·中考真題）對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；

（

）②內(nèi)角不等于的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；

（

）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有．（

）(2)如圖1，已知四邊形內(nèi)接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點E，的平分線交于點F，連接．求證：是的直徑．(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點E，F(xiàn)，G，H．①如圖2．連接交于點P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內(nèi)切圓的半徑r及的長．9．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在中，，．點是邊上的一點（點不與點、重合），作射線，在射線上取點，使，以為邊作正方形，使點和點在直線同側．(1)當點是邊的中點時，求的長；(2)當時，點到直線的距離為________；(3)連結，當時，求正方形的邊長；(4)若點到直線的距離是點到直線距離的3倍，則的長為________．（寫出一個即可）10．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖1，點為矩形的對稱中心，，，點為邊上一點，連接并延長，交于點，四邊形與關于所在直線成軸對稱，線段交邊于點．

(1)求證：；(2)當時，求的長；(3)令，．①求證：；②如圖2，連接，，分別交，于點，.記四邊形的面積為，的面積為.當時，求的值．11．（2023·海南·中考真題）如圖1，在菱形中，對角線，相交于點，，，點為線段上的動點（不與點，重合），連接并延長交邊于點，交的延長線于點．

(1)當點恰好為的中點時，求證：；(2)求線段的長；(3)當為直角三角形時，求的值；(4)如圖2，作線段的垂直平分線，交于點，交于點，連接，在點的運動過程中，的度數(shù)是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由．

專題26幾何壓軸綜合考點01平移1．（2025·廣西·中考真題）綜合與實踐樹人中學組織一次“愛心義賣”活動．九（5）班分配到了一塊矩形義賣區(qū)和一把遮陽傘，遮陽傘在地面上的投影是一個平行四邊形（如圖1）初始時，矩形義賣區(qū)與遮陽傘投影的平面圖如圖2所示，在上，，，，，，由于場地限制，參加義賣的同學只能左右平移遮陽傘．在移動過程中，也隨之移動（始終在邊所在直線上），且形狀大小保持不變，但落在義賣區(qū)內(nèi)的部分（遮陽區(qū)）會呈現(xiàn)不同的形狀．如圖3為移動到落在上的情形．【問題提出】西西同學打算用數(shù)學方法，確定遮陽區(qū)面積最大時的位置．設遮陽區(qū)的面積為，從初始時向右移動的距離為．【直觀感知】（1）從初始起右移至圖3情形的過程中，隨的增大如何變化？【初步探究】（2）求圖3情形的與的值；【深入研究】（3）從圖3情形起右移至與重合，求該過程中關于的解析式；【問題解決】（4）當遮陽區(qū)面積最大時，向右移動了多少？（直接寫出結果）【答案】（1）隨的增大而增大；（2），；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得，根據(jù)平行四邊形的面積公式得，然后分別求出當時，當時，關于的解析式，即可得出結論；（2）根據(jù)（1）的結論可得答案；（3）當時，如圖，設向右移動后得到，設交于點，交于點，交于點，則，，此時遮陽區(qū)的面積為六邊形的面積，推出，，得，，再根據(jù)即可得出結論；（4）分別確定：當時，當時，當時，各個范圍內(nèi)的最大值，即可得出結論．【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，，，，在邊所在直線上，∴，，，又∵如圖2，在上，，，∴，，當時，如圖，設交于點，交于點，則，此時遮陽區(qū)的面積為的面積，∵，∴，，∴，∴，∴，∴當時，隨的增大而增大，的值從增大到；當時，如圖，設交于點，則，，，此時遮陽區(qū)的面積為四邊形的面積，∵，∴四邊形為梯形，∴，∴當時，隨的增大而增大，的值從增大到；綜上所述，從初始起右移至圖3情形的過程中，隨的增大而增大；（2）如圖3，此時點落在上，則，由（1）知：當時，；∴圖3情形時，，；（3）當時，如圖，設向右移動后得到，設交于點，交于點，交于點，則，，此時遮陽區(qū)的面積為六邊形的面積，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，∴從圖3情形起右移至與重合，該過程中關于的解析式為；（4）當時，，當時，的最大值為：；當時，，當時，的最大值為：；當時，，∵∴當時，的最大值為：，綜上所述，當時，取得最大值，最大值為，∴當遮陽區(qū)面積最大時，向右移動了．【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，列函數(shù)關系式，二次函數(shù)的最值，等積變換等知識點，利用分類討論的思想及數(shù)形結合的思想解決問題是解題的關鍵．2．（2023·河北·中考真題）在平面直角坐標系中，設計了點的兩種移動方式：從點移動到點稱為一次甲方式：從點移動到點稱為一次乙方式．例、點P從原點O出發(fā)連續(xù)移動2次；若都按甲方式，最終移動到點；若都按乙方式，最終移動到點；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動到點．

(1)設直線經(jīng)過上例中的點，求的解析式；并直接寫出將向上平移9個單位長度得到的直線的解析式；(2)點P從原點O出發(fā)連續(xù)移動10次，每次移動按甲方式或乙方式，最終移動到點．其中，按甲方式移動了m次．①用含m的式子分別表示；②請說明：無論m怎樣變化，點Q都在一條確定的直線上．設這條直線為，在圖中直接畫出的圖象；(3)在（1）和（2）中的直線上分別有一個動點，橫坐標依次為，若A，B，C三點始終在一條直線上，直接寫出此時a，b，c之間的關系式．【答案】(1)的解析式為；的解析式為；(2)①；②的解析式為，圖象見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出的解析式，然后根據(jù)直線平移的規(guī)律：上加下減即可求出直線的解析式；（2）①根據(jù)題意可得：點P按照甲方式移動m次后得到的點的坐標為，再得出點按照乙方式移動次后得到的點的橫坐標和縱坐標，即得結果；②由①的結果可得直線的解析式，進而可畫出函數(shù)圖象；（3）先根據(jù)題意得出點A，B，C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再把點C的坐標代入整理即可得出結果．【詳解】（1）設的解析式為，把、代入，得，解得：，∴的解析式為；將向上平移9個單位長度得到的直線的解析式為；（2）①∵點P按照甲方式移動了m次，點P從原點O出發(fā)連續(xù)移動10次，∴點P按照乙方式移動了次，∴點P按照甲方式移動m次后得到的點的坐標為；∴點按照乙方式移動次后得到的點的橫坐標為，縱坐標為，∴；②由于，∴直線的解析式為；函數(shù)圖象如圖所示：

（3）∵點的橫坐標依次為，且分別在直線上，∴，設直線的解析式為，把A、B兩點坐標代入，得，解得：，∴直線的解析式為，∵A，B，C三點始終在一條直線上，∴，整理得：；即a，b，c之間的關系式為：．【點睛】本題是一次函數(shù)和平移綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)和一次函數(shù)的相關知識，正確理解題意、熟練掌握平移的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題關鍵．3．（2023·湖北十堰·中考真題）在某次數(shù)學探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F(xiàn)分別為，，的中點，G，H分別為，的中點），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為，最大值為．

【答案】8【分析】根據(jù)題意，可固定四邊形，平移或旋轉(zhuǎn)其它圖形，組合成四邊形，求出周長，判斷最小值，最大值．【詳解】

如圖1，，，∴四邊形周長=；

如圖2，∴四邊形周長為；故答案為：最小值為8，最大值.【點睛】本題考查圖形變換及勾股定理，通過平移、旋轉(zhuǎn)組成滿足要求的四邊形是解題的關鍵．考點02軸對稱1．（2025·山西·中考真題）綜合與探究問題情境：如圖，在紙片中，，點D在邊上，．沿過點D的直線折疊該紙片，使的對應線段與平行，且折痕與邊交于點E，得到，然后展平．猜想證明：（1）判斷四邊的形狀，并說明理由拓展延伸：（2）如圖，繼續(xù)沿過點D的直線折疊該紙片，使點A的對應點落在射線上，且折痕與邊交于點F，然后展平．連接交邊于點G，連接．①若，判斷與的位置關系，并說明理由；②若，，，當是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出的長【答案】（1）四邊形是菱形，理由見解析；（2）①．理由見解析；②5或【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進而得到，由等角對等邊推出，從而證明，即可四邊形是菱形；（2）①由（1）推出，由折疊的性質(zhì)得到，結合已知可得，進而推出，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出，即可得到與的位置關系；②分是以為腰為底的等腰三角形和是以為腰為底的等腰三角形兩種情況討論，如圖，延長交于點H，設交點為，利用三角形相似的性質(zhì)建立方程求解即可．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：由折疊的性質(zhì)可得，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）證明：①，理由如下：由（1）知四邊形是菱形，∴，由折疊的性質(zhì)得到，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；解：②∵，，，∴，當是以為腰為底的等腰三角形時，如圖，延長交于點H，設交點為，則，∵，，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得，，，∴，∴；∵，∴；∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴；當是以為腰為底的等腰三角形時，如圖，則，同理得，，設，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵是以為腰為底的等腰三角形，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴；綜上，的長為或．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，合理作出輔助線，構造三角形全等，結合分類討論的思想是解題的關鍵．2．（2025·四川成都·中考真題）如圖，在中，點在邊上，點關于直線的對稱點落在內(nèi)，射線交射線于點，交射線于點，射線交邊于點．【特例感知】（1）如圖1，當時，點在延長線上，求證：；【問題探究】（2）在（1）的條件下，若，，求的長；【拓展延伸】（3）如圖2，當時，點在邊上，若，求的值．（用含的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析；（2）4；（3）【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得：，再結合平行四邊形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，即可求證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而得到，可證明，從而得到，再由折疊的性質(zhì)得：，再根據(jù)，可得，即可求解；（3）延長交于點，設，，證明得出，證明得出，證明得出，進而求得，根據(jù)得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：（1）由折疊的性質(zhì)得：，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，解得：，∴，∴；（3）解：如圖，延長交于點，設，∵，∴，，∴，∵折疊，∴∵，即∴∴即∴∵四邊形是平行四邊形，∴又∵折疊，∴∵∴∴∵∴∵∴∴又∵∴∴即∴∵∴∴∴解得：∴又∵∴∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．3．（2024·江蘇連云港·中考真題）【問題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°（如圖2），這時候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的__________倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；【操作實踐】（2）如圖3，圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關系．小昕按所示步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請你結合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點P為端點的四條線段之間的數(shù)量關系；【探究應用】（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎上，小昕將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中存在最大值．若，，當最大時，求AD的長；（4）如圖6，在中，，點D、E分別在邊AC和BC上，連接DE、AE、BD．若，，求的最小值．【答案】（1）2（2）（3）（4）【分析】（1）利用圓與正多邊形的性質(zhì)分別計算兩個正方形的面積可得答案；（2）如圖，由，證明，再結合圖形變換可得答案；（3）如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，可得在以為圓心，為半徑的圓上運動，可得當與相切時，最大，再進一步解答即可；（4）如圖，將沿對折，的對應點為，將沿對折，的對應點為，連接，再將沿方向平移，使與重合，如圖，得，由（2）可得：，當三點共線時，最短，再進一步解答即可.【詳解】解：如圖，∵正方形，及圓為正方形的內(nèi)切圓，為正方形的外接正方形，∴設，，∴，，∴，，∴大正方形面積是小正方形面積的2倍．（2）如圖，∵，∴，，，，∴，如圖，結合圖形變換可得：；（3）如圖，∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，∴在以為圓心，為半徑的圓上運動，∵為圓外一個定點，∴當與相切時，最大，∴，∴，由（2）可得：，∵，，∴，∴；（4）如圖，將沿對折，的對應點為，將沿對折，的對應點為，連接，∴，，再將沿方向平移，使與重合，如圖，得，由（2）可得：，∴當三點共線時，最短，∵，，∴，，∴；∴的最小值為；【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，軸對稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓與正多邊形的關系，切線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.4．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學活動，有一位同學操作過程如下：操作一：對折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：在上選一點P，沿折疊，使點A落在正方形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接、，延長交于點Q，連接．

(1)如圖1，當點M在上時，___________度；(2)改變點P在上的位置（點P不與點A，D重合）如圖2，判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)30(2)，理由見解析【分析】（1）由正方形的性質(zhì)結合折疊的性質(zhì)可得出，，進而可求出，即得出；（2）由正方形的性質(zhì)結合折疊的性質(zhì)可證，即得出．【詳解】（1）解：∵對折正方形紙片，使與重合，得到折痕，∴，．∵在上選一點P，沿折疊，使點A落在正方形內(nèi)部點M處，∴．在中，，∴．故答案為：．（2）解：結論：，理由如下：∵四邊形是正方形，，．由折疊可得：，，，．又，，∴．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點．熟練掌握上述知識并利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．5．（2023·甘肅武威·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，和都是等邊三角形，點關于的對稱點在邊上．①求證：；②用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．【模型應用】（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點關于的對稱點在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

【答案】（1）①見解析；②，理由見解析；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）①證明：，再證明即可；②由和關于對稱，可得．證明，從而可得結論；（2）如圖，過點作于點，得，證明，．可得，證明，，可得，則，可得，從而可得結論；（3）由，可得，結合，求解，，如圖，過點作于點．可得，，可得，再利用余弦的定義可得答案．【詳解】（1）①證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴．∴．

②．理由如下：∵和關于對稱，∴．∵，∴．∴．（2）．理由如下：如圖，過點作于點，得．

∵和關于對稱，∴，．∵，∴，∴．∴．∵是直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∴，即．（3）∵，∴，∵，∴，∴．如圖，過點作于點．

∵，∴，．∴．∴．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，軸對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的靈活應用，本題難度較高，屬于中考壓軸題，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．6．（2023·重慶·中考真題）在中，，，點為線段上一動點，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點．若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側作等邊．點為所在直線上一點，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點為的中點，連接，當取最大值時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請直接寫出此時的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）解，求得，根據(jù)即可求解；（2）延長使得，連接，可得，根據(jù)，得出四點共圓，則，，得出，結合已知條件得出，可得，即可得證；（3）在取得最小值的條件下，即，設，則，，根據(jù)題意得出點在以為圓心，為半徑的圓上運動，取的中點，連接，則是的中位線，在半徑為的上運動，當取最大值時，即三點共線時，此時如圖，過點作于點，過點作于點，連接，交于點，則四邊形是矩形，得出是的中位線，同理可得是的中位線，是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，則，在中，勾股定理求得，進而即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，∴，∵，∴；（2）證明：如圖所示，延長使得，連接，

∵是的中點則，，，∴，∴，∴，∴∵是等邊三角形，∴，∵，∴四點共圓，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，

在取得最小值的條件下，即，設，則，，∴，，∵將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．∴∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動，取的中點，連接，則是的中位線，∴在半徑為的上運動，當取最大值時，即三點共線時，此時如圖，過點作于點，過點作于點，

∵是的中點，∴，∴是等邊三角形，則，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，如圖所示，連接，交于點，則四邊形是矩形，

∴，是的中點，∴即是的中位線，同理可得是的中位線，∴，∵是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，∴∴則在中，∴．

【點睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，圓外一點到圓上距離的最值問題，垂線段最短，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．考點03旋轉(zhuǎn)1．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖1，在中，，沿方向向左平移得到，A、對應點分別是、．點是線段上的一個動點，連接，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至線段，使得，連接．

(1)當點與點重合時，求的長；(2)如圖2，連接、．在點的運動過程中：①和是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由；②當?shù)拈L為多少時，能構成等腰三角形？【答案】(1)(2)①；②的長為14或11或8或0【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得四邊形、四邊形是平行四邊形，再由已知推導出是的平分線，由等腰三角形的性質(zhì)可得，過點作交于點，求出，再由，所以；（2）①證明，則；②過點作交于，由等積法可得，求出，分三種情況討論：當時，；當點與點重合時，，此時，當時，，在中，，可得；當時，，過點作交于，所以，能求出，，則；當時，，當點在上時，，此時點與點重合，此時．【詳解】（1）解：當點與點重合時，，由平移可知，，，四邊形、四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，是的平分線，，，如圖1，過點作交于點，

，，，，；（2）解：①，理由如下：如圖2，，，，，；②如圖2，過點作交于，

由①可知，，當時，，，，，當點與點重合時，，此時，當時，，在中，，；當時，，，，過點作交于，，，，，，，，；當時，，，，，當點在上時，，此時點與點重合，；綜上所述：的長為14或11或8或0．【點睛】本題考查幾何變換的綜合應用，熟練掌握三角形平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關鍵．2．（2023·山東淄博·中考真題）在數(shù)學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動．(1)操作判斷小紅將兩個完全相同的矩形紙片和拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：的形狀為________．

(2)深入探究小紅在保持矩形不動的條件下，將矩形繞點旋轉(zhuǎn)，若，．探究一：當點恰好落在的延長線上時，設與相交于點，如圖②．求的面積．探究二：連接，取的中點，連接，如圖③．求線段長度的最大值和最小值．

【答案】(1)等腰直角三角形(2)探究一：；探究二：線段長度的最大值為，最小值為【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推導出，即可判斷出是等腰直角三角形，（2）探究一：證明，可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面積；探究二：連接，取的中點，連接，取、的中點為、，連接，，，分別得出四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，則，可知點在以為直徑的圓上，設的中點為，，即可得出的最大值與最小值．【詳解】（1）解：兩個完全相同的矩形紙片和，，是等腰三角形，，．，，，∵，∴，∴，，，，是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（2）探究一：，，，，，，，，，，，在中，，，解得，，的面積；探究二：連接，取的中點，連接，，取、的中點為、，連接，，，

是的中點，，且，，，，，且，四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，點在以為直徑的圓上，設的中點為，，的最大值為，最小值為．【點睛】本題考查四邊形的綜合應用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，能夠確定H點的運動軌跡是解題的關鍵．3．（2023·江蘇南通·中考真題）正方形中，點在邊，上運動（不與正方形頂點重合）．作射線，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，交射線于點．

(1)如圖，點在邊上，，則圖中與線段相等的線段是___________；(2)過點作，垂足為，連接，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，當點在邊延長線上且時，求的值．【答案】(1)(2)的度數(shù)為或(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件得到，即可得到答案；（2）當點在邊上時，過點作，垂足為，延長交于點，證明，得到，推出為等腰直角三角形，得到答案；當點在邊上時，過點作，垂足為，延長交延長線于點，則四邊形是矩形，同理得到，得到為等腰直角三角形得到答案；（3）由平行的性質(zhì)得到分線段成比例．【詳解】（1）．正方形，，，，．（2）解：①當點在邊上時（如圖），過點作，垂足為，延長交于點．，四邊形是矩形．．，，，為等腰直角三角形，．．．．，．為等腰直角三角形，．．

②當點在邊上時（如圖），過點作，垂足為，延長交延長線于點，則四邊形是矩形，同理，．．為等腰直角三角形，．．

綜上，的度數(shù)為45°或135°．（3）解：當點在邊延長線上時，點在邊上（如圖），設，則．．．，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的分線段成比例以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2025·貴州·中考真題）如圖，在菱形中，，點為線段上一動點，點為射線上的一點（點與點不重合）．【問題解決】（1）如圖①，若點與線段的中點重合，則度，線段與線段的位置關系是；【問題探究】（2）如圖②，在點運動過程中，點在線段上，且，探究線段與線段的數(shù)量關系，并說明理由；【拓展延伸】（3）在點運動過程中，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，射線交射線于點，若，求的長．【答案】（1），；（2），理由見解析；（3）的長為或.【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)證明為等邊三角形，再結合等邊三角形的性質(zhì)可得答案；（2）如圖，把繞順時針旋轉(zhuǎn)得到，證明為等邊三角形，可得，，求解，，，可得，進一步可得結論；（3）如圖，當在線段上，記與交于點，證明，可得，設，則，可得，證明，再進一步解答即可；如圖，當在線段上時，延長交于，同理可得：，設，而，則，可得，證明，再進一步可得答案.【詳解】解：（1）∵在菱形中，∴，∵，∴為等邊三角形，∵點與線段的中點重合，∴，；（2）如圖，把繞順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴為等邊三角形，∴，，∵點在線段上，且，∴，，∴，，∴，∴，∴；（3）如圖，當在線段上，記與交于點，∵，∴，∵，∴，∴，∴，設，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，如圖，當在線段上時，延長交于，同理可得：，，∴，設，而，則，∴，∴，同理：，∴，∴，綜上：的長為或.【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，含30角的直角三角形的性質(zhì)，本題的難度大，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.5．（2025·吉林長春·中考真題）如圖，在中，，，點為邊的中點，點為邊上一動點，連接．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)線段的長為；(2)當時，求的長；(3)當點在邊上時，求證：；(4)當點到的距離是點到距離的2倍時，直接寫出的長．【答案】(1)(2)(3)證明見解析(4)的長為或.【分析】（1）利用勾股定理計算即可；（2）如圖，求解，，證明，結合，可得，再進一步求解即可；（3）證明，結合，，從而可得結論；（4）如圖，當在的左邊時，結合題意可得：，，，過作于，過作于，可得，結合（1）可得：，證明，可得，再進一步解得即可；如圖，當在的右邊時，過作于，過作于，同法可得答案.【詳解】（1）解：∵在中，，，∴；（2）解：如圖，在中，，，點為邊的中點，∴，，∵，∴，而，∴，∴；（3）證明：∵旋轉(zhuǎn)，∴，如圖，∵，，∴，∵，，∴；（4）解：如圖，當在的左邊時，結合題意可得：，，，過作于，過作于，∴四邊形為矩形，∴，結合（1）可得：，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；如圖，當在的右邊時，過作于，過作于，同理：，四邊形四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，，同理可得：，，∴；綜上：的長為或.【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.6．（2025·江西·中考真題）綜合與實踐從特殊到一般是研究數(shù)學問題的一般思路，綜合實踐小組以特殊四邊形為背景就三角形的旋轉(zhuǎn)放縮問題展開探究．特例研究在正方形中，相交于點O．（1）如圖1，可以看成是繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)并放大k倍得到，此時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為________，k的值為________；（2）如圖2，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，并放大得到（點O，B的對應點分別為點E，F(xiàn)），使得點E落在上，點F落在上，求的值類比探究（3）如圖3，在菱形中，，O是的垂直平分線與的交點，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，并放縮得到（點O，B的對應點分別為點E，F(xiàn)），使得點E落在上，點F落在上．猜想的值是否與α有關，并說明理由；（4）若（3）中，其余條件不變，探究之間的數(shù)量關系（用含β的式子表示）．【答案】（1）；；（2）；（3）的值與α無關，理由見解析；（4）．【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)結合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解即可；（2）由題意得，推出，，再得到，推出，根據(jù)正方形的性質(zhì)求解即可；（3）同理可證，得到，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求得，再根據(jù)余弦函數(shù)的定義求解即可；（4）同理可證，，，根據(jù)，求解即可．【詳解】解：（1）∵正方形，∴，，∴旋轉(zhuǎn)角為，，故答案為：；；（2）如圖，根據(jù)題意得，∴，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）的值與α無關，理由如下，如圖，同理可證，∴，∵菱形中，，∴，∵O是的垂直平分線與的交點，∴，∴，過點作于點，∴，，∴，∴，∴的值與α無關；（3）同理可證，，，∴，，∵，∴，即．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，正方形和菱形的性質(zhì)．解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．7．（2025·湖北·中考真題）在中，，將繞點旋轉(zhuǎn)得到，點的對應點落在邊上，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當時，求的長；(3)如圖3，過點作的平行線交的延長線于點，過點作的平行線交于點G，與交于點．①求證：；②當時，直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)(3)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，則，即可證明．（2）根據(jù)，，可得，即可得出，過作，則，即，在中勾股定理求出，則，在中勾股定理求出，根據(jù)，得出，即可求出．（3）①設旋轉(zhuǎn)角為，則，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出，，根據(jù)，得出，，即可得，根據(jù)，得出，即可得，證明，得出，結合，得出；②根據(jù)，設，證明四邊形是平行四邊形，得出，由①得，在中，勾股定理得出，則，則，根據(jù)，得出，根據(jù)，得出，證明，，則，求出，由①可得，得出，證出點四點共圓，根據(jù)圓周角定理得出，證明，得出，設，則，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，則，聯(lián)立求出，再根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵將繞點旋轉(zhuǎn)得到，點的對應點落在邊上，∴，∴，∴．（2）解：∵，，∴，∴，過作，∴，∴，在中，即，解得：，（舍去），∴，在中，∴，∵，∴，即，∴．（3）①證明：設旋轉(zhuǎn)角為，則，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；②解：∵，∴設，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，由①得，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，即，∴，∴，∴，即，∴，由①可得，∴，∴點四點共圓，∴，∵，∴，∴，設，則，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，∴，聯(lián)立可得，∴．【點睛】該題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點，證明三角形相似．8．（2024·山東淄博·中考真題）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習．【操作發(fā)現(xiàn)】小明作出了的內(nèi)接等腰三角形，．并在邊上任取一點（不與點，重合），連接，然后將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．如圖①小明發(fā)現(xiàn)：與的位置關系是__________，請說明理由：【實踐探究】連接，與相交于點．如圖②，小明又發(fā)現(xiàn)：當確定時，線段的長存在最大值．請求出當．時，長的最大值；【問題解決】在圖②中，小明進一步發(fā)現(xiàn)：點分線段所成的比與點分線段所成的比始終相等．請予以證明．【答案】操作發(fā)現(xiàn)：與相切；實踐探究：；問題解決：見解析【分析】操作發(fā)現(xiàn)：連接并延長交于點M，連接，根據(jù)直徑所對圓周角為直角得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，由圓周角定理推出，等量代換得到，利用直角三角形的性質(zhì)即可證明，即可得出結論；實踐探究：證明，得到，結合三角形外角的性質(zhì)得到，易證，得到，設，則，得到，利用二次函是的性質(zhì)即可求解；問題解決：過點E作交于點N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：，證明，推出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，得到，根據(jù)，易證，得到，即可證明結論．【詳解】操作發(fā)現(xiàn)：解：連接并延長交于點M，連接，是直徑，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，是的半徑，與相切；實踐探究：解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，即，，，，，，，，，設，則，，，，當時，有最大值為；問題解決：證明：過點E作交于點N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，，，，．【點睛】本題考查圓周角定理，切線的證明，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)最值的應用，正確作出輔助線，構造三角形相似是解題的關鍵．9．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）數(shù)學活動課上，某小組將一個含的三角尺利一個正方形紙板如圖1擺放，若，．將三角尺繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，觀察圖形的變化，完成探究活動．【初步探究】如圖2，連接，并延長，延長線相交于點交于點．問題1和的數(shù)量關系是________，位置關系是_________．【深入探究】應用問題1的結論解決下面的問題．問題2如圖3，連接，點是的中點，連接，．求證．【嘗試應用】問題3如圖4，請直接寫出當旋轉(zhuǎn)角從變化到時，點經(jīng)過路線的長度．【答案】（1）；；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）如圖，由四邊形是正方形，是等腰直角三角形，，證明，再進一步可得結論；（2）如圖，由，，再結合直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得結論；（3）如圖，證明在以為圓心，為半徑的上，過作于，當時，證明，可得，，證明四邊形是正方形，可得當旋轉(zhuǎn)角從變化到時，在上運動，再進一步解答即可；【詳解】解：；；理由如下：如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∵是等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴；（2）如圖，∵四邊形是正方形，∴，∵點是的中點，∴，∵，∴，∵點是的中點，∴，∴；（3）如圖，∵，，∴在以為圓心，為半徑的上，過作于，當時，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，而，，∴四邊形是正方形，∴當旋轉(zhuǎn)角從變化到時，在上運動，∵，，，∴，∴點經(jīng)過路線的長度為.【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，圓周角的應用，勾股定理的逆定理的應用，弧長的計算，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.10．（2024·廣東·中考真題）【知識技能】（1）如圖1，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到．當點E的對應點與點A重合時，求證：．【數(shù)學理解】（2）如圖2，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，作的中線．求證：．【拓展探索】（3）如圖3，在中，，點D在上，．過點D作，垂足為E，，．在四邊形內(nèi)是否存在點G，使得？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，證明見解析【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證明；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、外角定理、中位線的性質(zhì)證明后即可證明；（3）通過解直角三角形得到，，過點C作于點M，易證，得到，即可求得，進而，從而點M是的中點，過點D作，交于點P，連接，，，根據(jù)三線合一得，證明，即可求的，過點P作于點N，則四邊形是矩形，得到，因此點N是的中點，進而，再證，得到，根據(jù)，即可推出，因此當點G與點P重合時，滿足．【詳解】證明：（1）是的中位線，且．又繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．（2）由題意可知：，，．作，則且，又，．根據(jù)外角定理，，．又，是的中位線，，，，，，．（3）存在點使得．∵，∴，∴在中，，過點C作于點M，∴，∵，∴∴，即，∴，∴，∵，∴，∴點M是的中點，∴是的垂直平分線，過點D作，交于點P，連接，，∴，∴根據(jù)三線合一得，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，過點P作于點N，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴點N是的中點，∴垂直平分，∴，∴，∵，，∴，又，∴，∴，∵，∴即，∴，∴當點G與點P重合時，滿足．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、外角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，熟練掌握知識點以及靈活運用是解題的關鍵．11．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在中，，，點D、E在邊上，且，，，求的長．解：如圖2，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應填：______；“②”處應填：______；“③”處應填：______．劉老師進一步談到：圖形的變化強調(diào)從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應萬變．【知識遷移】如圖3，在正方形中，點E、F分別在邊上，滿足的周長等于正方形的周長的一半，連結，分別與對角線交于M、N兩點．探究的數(shù)量關系并證明．

【拓展應用】如圖4，在矩形中，點E、F分別在邊上，且．探究的數(shù)量關系：______（直接寫出結論，不必證明）．

【問題再探】如圖5，在中，，，，點D、E在邊上，且．設，，求y與x的函數(shù)關系式．

【答案】【問題解決】①；②；③5；【知識遷移】，見解析；【拓展應用】；【問題再探】【分析】【問題解決】根據(jù)題中思路解答即可；【知識遷移】如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．過點作交邊于點，連接．由旋轉(zhuǎn)的特征得．結合題意得．證明，得出．根據(jù)正方形性質(zhì)得出．結合，得出．證明，得出．證明．得出．在中，根據(jù)勾股定理即可求解；【拓展應用】如圖所示，設直線交延長線于點，交延長線于點，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．則．則，，根據(jù)，證明，得出，過點H作交于點O，過點H作交于點M，則四邊形為矩形．得出，證明是等腰直角三角形，得出，，在中，根據(jù)勾股定理即可證明；【問題再探】如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．過點作，垂足為點，過點作，垂足為．過點作，過點作交于點、交于點．由旋轉(zhuǎn)的特征得．根據(jù)，得出，證明，得出，根據(jù)勾股定理算出，根據(jù)，表示出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出，，同理可得．，證明四邊形為矩形．得出，，在中，根據(jù)勾股定理即可求解；【詳解】【問題解決】解：如圖2，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴①．∴．又∵，∴在中，②．∵，，∴③．【知識遷移】．證明：如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．過點作交邊于點，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得．由題意得，∴．在和中，，∴．∴．又∵為正方形的對角線，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴．在和中，，∴．∴．在中，，∴．【拓展應用】．證明：如圖所示，設直線交延長線于點，交延長線于點，

將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．則．則，，，，在和中，，∴，過點H作交于點O，過點H作交于點M，則四邊形為矩形．∴，，，是等腰直角三角形，，，，，，在中，，，∴，即，又∴，∴，即，【問題再探】如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．過點作，垂足為點，過點作，垂足為．過點作，過點作交于點、交于點．

由旋轉(zhuǎn)的特征得．，，，即，在和中，，，，，，又，，，，，，即，，同理可得．，，，又∵，∴四邊形為矩形．，，在中，．，解得．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用旋轉(zhuǎn)變換作圖，掌握以上知識點是解題的關鍵．考點04四邊形1．（2025·河北·中考真題）綜合與實踐［情境］要將矩形鐵板切割成相同的兩部分，焊接成直角護板（如圖），需找到合適的切割線．［模型］已知矩形（數(shù)據(jù)如圖所示）．作一條直線，使與所夾的銳角為，且將矩形分成周長相等的兩部分．［操作］嘉嘉和淇淇嘗試用不同方法解決問題．［探究］根據(jù)以上描述，解決下列問題．［拓展］操作和探究中蘊含著一般性結論，請繼續(xù)研究下面的問題．如圖3，嘉嘉的思路如下：①連接，交于點；②過點作，分別交，于點，……如圖4，淇淇的方法如下：①在邊上截取，連接；②作線段的垂直平分線，交于點；③在邊上截取，作直線．(1)圖中，矩形的周長為______；(2)在圖的基礎上，用尺規(guī)作圖作出直線（作出一條即可，保留作圖痕跡，不寫作法）；(3)根據(jù)淇淇的作圖過程，請說明圖中的直線符合要求．(4)如圖，若直線將矩形分成周長相等的兩部分，分別交邊，于點，，過點作于點，連接．當時，求的值；當最大時，直接寫出的長．【答案】(1)；(2)見解析；(3)；(4)；．【分析】根據(jù)矩形的周長公式計算即可；以點為圓心為半徑畫弧，交于點，延長交于點，連接，由作圖可知是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證，根據(jù)矩形的性質(zhì)可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證，，從而可證直線把矩形分成了周長相等的兩部分，所以線段即為所求；根據(jù)矩形的性質(zhì)可證四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可以證明書，，所以可以證明，所以直線把矩形分成了周長相等的兩部分，從而可證直線符合要求；過點作，連接交于點，過點作于點，過點作，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：，，，根據(jù)勾股定理可以求出，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：，，從而可得：，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得：，，根據(jù)正切的定義可以求出的正切；連接交于點，把矩形分成了周長相等的兩部分，點為和的中點，利用勾股定理可以求出，，過點作，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的長度．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，，，矩形的周長為，故答案為：；（2）解：如下圖所示，以點為圓心為半徑畫弧，交于點，延長交于點，線段即為所求，，，，是等腰直角三角形，，矩形的對角線交于點，，四邊形是矩形，，，，在和中，，，，，，直線把矩形分成周長相等的兩部分；（3）證明：四邊形是矩形，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，直線是的垂直平分線，，，，，，，把矩形分成了周長相等的兩部分，直線符合要求；（4）解：如下圖所示，過點作，連接交于點，過點作于點，過點作，四邊形是矩形，且直線將矩形分成周長相等的兩部分，則點是矩形的對角線與的交點，點是的中點，，，，，，是等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，，在和中，，，，，，，，于點，，是等腰直角三角形，，，；解：如下圖所示，連接交于點，把矩形分成了周長相等的兩部分，點為和的中點，，點在以為直徑的上，當與相切時，最大，，，，，，過點作，，四邊形是矩形，，則，，，，，，，是的切線，，．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、中心對稱圖形的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，本題的綜合性較強，難度較大，需要綜合運用矩形、圓、切線等圖形的性質(zhì)，解決本題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)求解．2．（2025·浙江·中考真題）在菱形中，．(1)如圖1，求的值．(2)如圖2，E是延長線上的一點，連接，作與關于直線對稱，交射線于點P，連接．①當時，求的長．②求的最小值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得，然后根據(jù)正弦的定義求解即可得；（2）①連接，設交于點，同理求出，則；證明，得到，由軸對稱的性質(zhì)可得，則，據(jù)此可得，即可得到；②由勾股定理得，根據(jù)，可求出，根據(jù)，可推出當有最小值時，有最小值，即此時有最大值，即當有最小值時，有最小值；過點B作于H，于T，由等面積法可得，則由軸對稱的性質(zhì)可得，由勾股定理得，則當有最小值時，有最小值，由垂線段最短可知，故當點P與點T重合時，有最小值，最小值為，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，設交于點，∵在菱形中，，∴，∴，∴；（2）解：①如圖所示，連接，設交于點，∵四邊形是菱形，∴，，，，∴，∴；∵，，∴，∴，由軸對稱的性質(zhì)可得，∴，∴，∴；②在中，由勾股定理得∵，∴，∵，∴要使的值最小，則要最大，∴要有最小值，又∵的值隨著的值增大而增大，∴的值隨著的值增大而增大，∴當有最小值時，有最小值，即此時有最大值，∴當有最小值時，有最小值；如圖所示，過點B作于H，于T，∵，∴，∴由軸對稱的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理得，∴當有最小值時，有最小值，由垂線段最短可知，∴當點P與點T重合時，有最小值，最小值為，∴，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，求角的正弦值，勾股定理，軸對稱圖形的性質(zhì)，等角對等邊等等，解（2）的關鍵在于把求出的最小值轉(zhuǎn)換成求出的最小值，進而轉(zhuǎn)換成求出的最小值．3．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）在平行四邊形中，，分別為邊，上兩點．(1)當是邊中點時，①如圖（1），聯(lián)結，如果，求證：；②如圖（2），如果，聯(lián)結，交邊于點，求的值；(2)如圖（3）所示，聯(lián)結，，如果，，，．求的長．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①延長交于H，可證明，得到，則可證明，得到，則；②如圖所示，延長交于M，由平行四邊形的性質(zhì)得到，，證明，，得到，，則；設，則，，進而可得，即可得到；可證明，，設，則，則，據(jù)此可得答案；（2）延長交于M，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，證明，，再證明，得到，求出，設，則由相似三角形的性質(zhì)可得，，進而可得；再由，得到，則，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：①如圖所示，延長交于H，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵是邊中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②如圖所示，延長交于M，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，，∴，∵是邊中點，∴，設，則，∴，∴，∵，∴；∴，，設，則，∴，∴；（2）解；如圖所示，延長交于M，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴；∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，設，∵，∴，即∴，∵，即，∴，∴；∵，∴，即，∴，解得或（舍去），∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構造全等三角形和相似三角形是解題的關鍵．4．（2025·江蘇揚州·中考真題）問題：如圖1，點為正方形內(nèi)一個動點，過點作，，矩形的面積是矩形面積的2倍，探索的度數(shù)隨點運動的變化情況．【從特例開始】（1）小玲利用正方形網(wǎng)格畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖2），請你僅用無刻度的直尺連接一條線段，由此可得此圖形中______；（2）小亮也畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖3），其中，，，求此圖形中的度數(shù)；【一般化探索】（3）利用圖1，探索上述問題中的度數(shù)隨點運動的變化情況，并說明理由．【答案】（1）作圖見解析，45；（2）；（3）隨點的運動，的度數(shù)不變，且為【分析】（1）連接與格線的交點記為，先確定點為格點，然后由勾股定理以及逆定理證明為等腰直角三角形，即可求解的度數(shù)；（2）延長至點，使得，連接，先證明，則，，那么，可得四邊形是矩形，四邊形為矩形，求出，由勾股定理得，則，那么，則，即可求解；（3）延長至點，使得，連接，同理，同（2）可得四邊形是矩形，四邊形為矩形，設正方形的邊長為，，則，，由，得到，在中，由勾股定理得，求出，則，再同（2）即可．【詳解】解：（1）如圖，即為所求：連接與格線的交點記為，由網(wǎng)格可得，，∴，∴，∵，∴,∴為格點，同理為格點，∵，，，∴，，∴，∴為等腰直角三角形，∴；故答案為：45；（2）延長至點，使得，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，同理可得四邊形為矩形，∴，，∴，，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即；（3）隨點的運動，的度數(shù)不變，且為，理由如下：延長至點，使得，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，，，∴，同（2）可得四邊形是矩形，四邊形為矩形，設正方形的邊長為，，∴，，∴，∴，∵，∴，整理得，∵在中，，∴，∴（舍負），∴，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定義，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．5．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則______；______；(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關系，并說明理由；(3)①如圖3所示，在中，，，交于點，請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點在垂中平行四邊形的一條邊上（不限作圖工具）；②若關于直線對稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點，連接，請直接寫出的值．【答案】(1)，(2)，理由見解析(3)①見解析；②或【分析】（1）由“垂中平行四邊形”的定義可得，，，，從而可得，由勾股定理得出，證明，得出，再由勾股定理計算即可得解；（2）由“垂中平行四邊形”的定義可得，，，，證明，得出，設，則，，由勾股定理可得，求出，從而可得，即可得解；（3）①根據(jù)“垂中平行四邊形”的定義畫出圖形即可；②根據(jù)①中畫出的圖形，分別結合相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理計算即可得解．【詳解】（1）解：∵四邊形為“垂中平行四邊形”，∴，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵四邊形為“垂中平行四邊形”，∴，，，，∴，∴，設，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：①第一種情況：如圖①，作的平行線，并使得，連接，則四邊形為平行四邊形，延長交于，∵，∴，∴，∵，∴，∴為的中點，∴四邊形即為所求的“垂中平行四邊形”；第二種情況：如圖②，作的平分線，并取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接，故點為的中點，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴四邊形為所求的“垂中平行四邊形”；第三種情況：如圖③，作，交的延長線于點，連接，在的延長線上取點，使得，連接，則點為的中點，同理可得證明，則，則四邊形為平行四邊形，故四邊形為所求的“垂中平行四邊形”；

②若按照上圖①作圖，由題意可得，，四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴是等腰三角形，作于，則，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；若按照上圖②作圖，延長、交于點，同理可得，是等腰三角形，連接，∵，∴，∴，∴，∴，同理可得，∵，，，∴，∴，∴；若按照上圖③作圖，則沒有交點，不存在，故不符合題意，綜上所述，或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線，采用分類討論與數(shù)形結合的思想是解此題的關鍵．6．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在?中，，，，為邊上的動點．連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過點作，交直線于點．連接、，分別取、的中點、，連接，交于點．(1)若點與點重合，則線段的長度為______．(2)隨著點的運動，與的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出與的長度；若改變，請說明理由．【答案】(1)(2)不變，，【分析】（1）當點與點重合時，、、、、共線，，為的中位線，即可求出的長度．（2）構造，使為的中位線，再構造，進而證得是等邊三角形，得出．然后由和為等邊三角形，推導出，然后再由，最后得出和的長度不變．【詳解】（1）解：當點與點重合時，如圖①，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，．∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴是等邊三角形，∴．，∴、、三點共線，∵，，∴、、、共線，∵點、分別是，的中點，∴．∴．故答案為：．（2）解：結論：不變．如解圖②，連接并延長到點，使得，連接，，延長，交于點，連接．延長至點，使得，連接，，設與交于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，．∵點為中點，∴．∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，．∵，，∴，．∴四邊形為平行四邊形，∴，∵∴．在平行四邊形中，∵，，∴，∵，∴是等邊三角