延安中學高三三模數(shù)學試卷2024.05一．填空題（第1—6題每題4分，第7—12題每題5分，滿分54分）1.已知復數(shù)（i是虛數(shù)單位），則______【答案】5【解析】【分析】直接利用復數(shù)的模的公式求解【詳解】因為復數(shù)，所以，故答案為：52.已知A工廠庫房中的某種零件60％來自甲公司，正品率為90％；40％來自乙公司，正品率為95％，從庫房中任取一個這種零件，它是正品的概率為______【答案】0.92【解析】【分析】根據(jù)題意利用全概率公式直接求解即可.【詳解】因為A工廠庫房中的某種零件60％來自甲公司，正品率為90％；40％來自乙公司，正品率為95％，所以從庫房中任取一個這種零件，它是正品的概率為，故答案為：0.923.已知集合，，則______【答案】【解析】【分析】把集合中的元素代入不等式檢驗可求得.【詳解】當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以，所以.故答案為：.4.已知，，則______（用、表示）【答案】##【解析】【分析】根據(jù)指對互化可得，再結合對數(shù)運算即可.【詳解】由，得，又.故答案為：.5.二項式的展開式中，項的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）【答案】60【解析】【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于2，求出r的值，即可求得的系數(shù)【詳解】在的展開式中，通項公式為，令，故項的系數(shù)是，故答案為：606.已知圓柱的底面半徑為3cm，側面積為cm3，則此圓柱的體積為______cm3【答案】【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出圓柱的高，再利用圓柱的體積公式可求得結果.【詳解】設圓柱的高為，則，得，所以此圓柱的體積為，故答案為：7.若函數(shù)的一個零點是，則函數(shù)的最大值為______【答案】2【解析】【分析】根據(jù)求得，再用輔助角公式化簡，從而得到的最大值.【詳解】由題意，所以，所以，又，所以，故的最大值為2.故答案為：2.8.已知點，將向量繞坐標原點O順時針旋轉得到，則______【答案】4【解析】【分析】先求、、，再用向量的數(shù)量積公式計算即可.【詳解】由題意，，，.故答案為：4.9.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是______【答案】8【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可知為奇函數(shù)，根據(jù)單調性可知，然后結合基本不等式即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，又，所以函數(shù)單調遞增，又，所以，所以，即，所以，當且僅當，即，，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.10.如圖，B地在A地的正東方向，相距4km；C地在B地的北偏東方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲線）上任意一點到A的距離比它到B的距離遠2km，現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向A、B、C三地轉運貨物．經(jīng)測算，從M到A、B兩地修建公路費用都是10萬元/km，從M到C修建公路的費用為20萬元/km．選擇合適的點M，可使修建的三條公路總費用最低，則總費用最低是______萬元（精確到0.01）【答案】85.83【解析】【分析】由題意根據(jù)雙曲線定義確定M軌跡，再由雙曲線定義結合圖象當三點共線時求出最小值.【詳解】以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標系，如圖所示：，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支.故，，，，故軌跡方程為：.由題意修建的三條公路總費用，由圖形可知，當三點共線，即在點處時，有最小值，由題意，所以，所以.故答案為：11.已知數(shù)列的通項公式為，數(shù)列滿足，則______【答案】##【解析】【分析】由已知可得，計算即可.【詳解】因為，，所以，，.故答案為：.12.已知數(shù)列共有5項，且滿足：①，；②；③，．則滿足條件的數(shù)列共有______個【答案】80【解析】【分析】根據(jù)，得到，進而得到、、可能的取值，再分類討論的值即可.【詳解】因為，，所以，又，所以，，，所以，，，又因為，，，所以，，時，有種選法，有種選法，一共有種選法，時，有種選法，有種選法，一共有種選法，時，有種選法，有種選法，一共有種選法，時，有種選法，有種選法，一共有種選法，時，有種選法，有種選法，一共有種選法，時，有種選法，有種選法，一共有種選法，時，有種選法，有種選法，一共有種選法，所以滿足條件的數(shù)列共有個.故答案為：80.【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)、數(shù)列、計數(shù)原理綜合，綜合性很強，關鍵在于找到、、所要滿足的條件，再找到合適的角度進行分類討論.二．選擇題（本大題共4題，滿分20分）13.已知角是的內角，則“”是“”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】在三角形內，先利用“大角對大邊”由得到，進而利用正弦定理即可進行證明.【詳解】在三角形中，成立等價于，由正弦定理：，充分性：若成立，大角對大邊，則成立，由上面正弦定理形式得出，滿足充分性；必要性：若成立，由上面正弦定理形式得出，大邊對大角，則成立，滿足必要性；所以“”是“”的充要條件．故選：C.14.在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得次測量分別得到，，…，共個數(shù)據(jù).我們規(guī)定所測量物理量的“最佳近似值”應該滿足與所有測量數(shù)據(jù)的差的平方和最小.由此規(guī)定，從這些數(shù)據(jù)得出的“最佳近似值”應是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】看成關于的二次函數(shù)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意得：由于所以是關于的二次函數(shù)，因此當即時，取得最小值.故選：A.15.如圖，點N為正方形ABCD的中心，為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段EB的中點，則（）A.DM≠EN，且直線DM、EN是異面直線B.DM＝EN，且直線DM、EN是異面直線C.DM≠EN，且直線DM、EN相交直線D.DM＝EN，且直線DM、EN是相交直線【答案】D【解析】【分析】連接，可得是的中點，可得與相交，進而可證，從而可得，從而可得.【詳解】連接，因為點N為正方形ABCD的中心，所以是的中點，所以平面，所以與相交，因為四邊形ABCD是正方形，所以，又因為平面平面，平面平面，所以平面，因平面，所以，又因為是等邊三角形，所以，所以，所以，又因為是的中點，所以.故選：D.16.設，集合，集合，對于集合B有下列兩個結論：①存在a和b，使得集合B中恰有5個元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4個元素．則下列判斷正確的是（）A.①②都正確 B.①②都錯誤 C.①錯誤，②正確 D.①正確，②錯誤【答案】A【解析】【分析】由題意可知，對于①舉例分析判斷即可，對于②，若，則，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)結合零點存性定理可確定出，從而可進行判斷.【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，因為，所以，當時，，，，所以，有5個元素，所以①正確，若，則，得，令，則，令，則，所以在上遞增，即在上遞增，所以當時，，所以在上遞增，因為，所以存在，使，即存在，成立，此時，所以存在a和b，使得集合B中恰有4個元素，所以②正確，故選：A【點睛】關鍵點點睛：判斷結論②的關鍵是構造函數(shù)，利用導數(shù)和零點存在性定理分析判斷.三．解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.如圖，在三棱錐中，，，點O是AC的中點．（1）證明：平面ABC；（2）點M在棱BC上，且，求二面角的大小．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰和等邊三角形的性質證明以及，然后利用線面垂直的判斷證明平面ABC（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求角公式求解即可【小問1詳解】連結OB，，，所以，所以是等腰直角三角形，又點O是AC的中點，所以，由已知可得，是等邊三角形，所以，又，所以，所以，中，，O是AC的中點，所以，，，，且平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．【小問2詳解】OB，OC，OP兩兩垂直，以、、為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系則，，，，由，即所以點則，，設平面APM的—個法向量為，則，令，平面PAC的一個法向量，，所求二面角的平面角是銳角，所以二面角為的大小為．18.已知等比數(shù)列的公比，且，．（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，且是嚴格增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列通項公式的基本量進行運算即可；（2）是嚴格增數(shù)列，利用恒成立即可求解.【小問1詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，且，所以或2，若，，則與矛盾，舍去，若，，則，，滿足題意，所以．【小問2詳解】因為，是嚴格增數(shù)列，所以對于任意正整數(shù)n都成立，，即對于任意正整數(shù)n都成立，所以，因為在上嚴格遞減，所以當時，最大，最大值為，所以的取值范圍是.19.火車晚點是人們在旅行過程中最常見的問題之一，針對這個問題，許多人都會打電話進行投訴.某市火車站為了解每年火車的正點率對每年顧客投訴次數(shù)（單位：次）的影響，對近8年（2015年~2022年）每年火車正點率和每年顧客投訴次數(shù)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.60059243837.293.8（1）求關于的經(jīng)驗回歸方程；若預計2024年火車的正點率為，試估算2024年顧客對火車站投訴的次數(shù)；（2）根據(jù)顧客對火車站投訴的次數(shù)等標準，該火車站這8年中有6年被評為“優(yōu)秀”，2年為“良好”，若從這8年中隨機抽取3年，記其中評價“良好”的年數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，【答案】（1），20次；（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）應用最小二乘法求回歸直線，再代入估算2024年顧客對火車站投訴的次數(shù)；（2）根據(jù)題意寫出的可能取值，應用超幾何概率公式求對應概率，即得分布列，進而求期望.【小問1詳解】由題設，，則，所以，所以；當時，代入，得到，所以2024年顧客對該市火車站投訴的次數(shù)約為20次.【小問2詳解】由題意，服從超幾何分布，可取0，1，2，，，，012所以.20.已知拋物線的焦點為F，過點的直線l與交于A、B兩點．設在點A、B處的切線分別為，，與x軸交于點M，與x軸交于點N，設與的交點為P．（1）設點A橫坐標為a，求切線的斜率，并證明；（2）證明：點P必在直線上；（3）若P、M、N、T四點共圓，求點P的坐標．【答案】（1），證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義可求出切線的斜率，再由點斜式求出直線的方程，從而可求出的坐標，則可得，從而可得結論；（2）設，，利用導數(shù)的幾何意義可求出，的方程，兩方程聯(lián)立求出交點的坐標，再由三點共線得，化簡變形后可得結論；（3）解法一：表示出三點坐標，設的外接圓方程為，將坐標代入方程可求出，從而可得圓的方程，再將代入圓方程，化簡后與聯(lián)立可求出點的坐標；解法二：由（1）可得，，則F，M，N，P四點共圓，PF是的外接圓的直徑，而在的外接圓上，從而可求出直線TP方程，從而可求出點的坐標.【小問1詳解】點A橫坐標為a，則，因為，，所以點A處的切線斜率為a所以切線的方程為，切線與x軸的交點為，因為，所以，所以，所以，當時，亦有；結論得證.【小問2詳解】證明：設，，由，得，所以，所以直線，直線，由，得，即兩直線的交點，因為點，，三點共線，所以，，得，所以，所以所以點P在直線上【小問3詳解】因為直線，直線，所以，，由（2）可知，設的外接圓方程為，則，解得，，所以外接圓方程為將代入方程，得又，解得，，所以點P坐標為解法二:拋物線的焦點，由（1）可知，同理可證得，所以F，M，N，P四點共圓，所以PF是的外接圓的直徑，因為P、M、N、T四點共圓，所以點在的外接圓上，所以，所以，即，得，所以直線TP方程為，即又點P在直線上，則由，得，所以點P坐標【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的切線問題，考查直線過定點問題，四點共圓問題，解題的關鍵是利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，考查計算能力和數(shù)形結合的思想，屬于難題.21.設函數(shù)的定義域為D，對于區(qū)間，當且僅當函數(shù)滿足以下①②兩個性質中的任意一個時，則稱區(qū)間是的一個“美好區(qū)間”．性質①：對于任意，都有；性質②：對于任意，都有．（1）已知，．分別判斷區(qū)間和區(qū)間是否為函數(shù)的“美好區(qū)間”，并說明理由；（2）已知且，若區(qū)間是函數(shù)的一個“美好區(qū)間”，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)的定義域為，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且對于任意，都有．求證：函數(shù)存在“美好區(qū)間”，且存在，使得不屬于函數(shù)的任意一個“美好區(qū)間”．【答案】（1）區(qū)間和區(qū)間都是函數(shù)的“美好區(qū)間”，理由見解析；（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）分別求出函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上的值域，結合“美好區(qū)間”的定義判斷即可；（2）記，，根據(jù)“美好區(qū)間”的定義可得：或，利用導數(shù)研究在上的單調性，分，，以及四種情況討論在區(qū)間上的值域，利用集合間的關系，即可得到實數(shù)的取值范圍；（3）對于任意區(qū)間，記，根據(jù)單調性得到，若為的“美好區(qū)間”必滿足性質②，轉化為或，得出函數(shù)一定存在“美好區(qū)間”，記，結合函數(shù)的單調性和零點存在定理，得到存在，使得，即可證明結論.【小問1詳解】區(qū)間和區(qū)間都是函數(shù)的“美好區(qū)間”，理由如下：由，當時，，所以區(qū)間是函數(shù)的“美好區(qū)間”當時，，所以區(qū)間是函數(shù)的“美好區(qū)間”小問2詳解】記，若區(qū)間是函數(shù)的一個“美好區(qū)間”，則或由，可得，所以當或時，，則的單調遞增區(qū)間為：，；當時，，則的單調遞增區(qū)間為：，且，，，得到在的大致圖像如下：(i)當時，在區(qū)間上單調遞減，且，所以，則，即對于任意，都有，滿足性質②,故當時，區(qū)間是函數(shù)