山東省日照神州天立高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中

模擬數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.記S"為等比數(shù)列｛見｝的前八項和，若的=3,52=|,則公比0=()

A.yB.!C.3D.2

23

2.已知函數(shù)了=/(x)的導(dǎo)函數(shù)了=/'(x)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A./(1)>/(2)B./(X)在區(qū)間(-2,5)內(nèi)有2個極值點

C./⑺在區(qū)間(3,4)上是增函數(shù)D.曲線了=/(無)在x=0處的切線的斜率大于

0

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減的是()

A.f[x)=4xB.f(x)=e-v

C./(x)=x+-D.f(x)=Inr

4.記數(shù)列｛%｝的前力項和為加若氏=(-1)"(2"-1),貝！|跖二()

A.301B.101C.-101D.-301

5.函數(shù)/(x)的圖象如圖所示,且/'(x)是/(X)的導(dǎo)函數(shù)，記。=〃4)-/(3),b=/(3),

c=/'(4),則()

試卷第1頁，共4頁

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

6.函數(shù)/(工)=/+辦2+6X+Q2(Q]￡R)在％=o處取得極大值9,貝I]Q+6=()

A.3B.-3C.-3或3D.0

7.若。=Ulnl.1,6=Le°=L,則()

101010

A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b

8.設(shè)函數(shù)/(尤)是定義在R上的奇函數(shù)，/(尤)為其導(dǎo)函數(shù).當(dāng)x>0時，^(x)-/(x)>0,

/⑴=0,則不等式/'(x)>0的解集為()

A.(-oo,-l)u(l,+oo)B.(-co,-l)u(0,l)

C.(-l,0)U(0,l)D.(-l,0)u(l,+?))

二、多選題

9.下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）

A.⑺=e"+xe'

10.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的研究對象普遍存在于自

然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”.按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的

一個樹形圖.若記圖2中第〃行白圈的個數(shù)為?！埃淝啊椇蜑镾"；黑圈的個數(shù)為“，其

前“項和為（，則下列結(jié)論正確的是（）

試卷第2頁，共4頁

第1行

C.$2024=^2024一1D.S2024+4024=^2025

11.黎曼函數(shù)(Riemannfunction)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其一種定義為：xw[0,l]時,

..Lx=K[p,qeN*,R為既約真分?jǐn)?shù)](2"-2、

五(切=4式qJ,若數(shù)列氏=五亍0，〃eN*,貝I()

0,x=0,1和(0,1)內(nèi)的無理數(shù)V-J

1

A-aB.a>a

n2"-1n+ln+2

C.S（2，a,?,i）=1-^J—1n7

+D-*J

三、填空題

12.已知函數(shù)/(》)=卜2+辦+1*,若曲線y=/(x)在點(OJ(O))處的切線與直線

2x-y+2=0平行，則實數(shù)。=.

13.記公差不為0的等差數(shù)列｛氏｝的前〃項和為其，若凡=5(%+%+%)，則上=.

14.已知函數(shù)〃x)=￥，設(shè)g(x)=/2(x)-4(耳，若g(x)只有一個零點，則實數(shù)a的取

值范圍是；若不等式g(M>0的解集中有且只有三個整數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍

是.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=x2+x—lnx.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)求/(力在區(qū)間-,1上的最值.

e

試卷第3頁，共4頁

16.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且％=2勺+1,￡=隹.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列也｝的前〃項和為（，且4=2,令凡也=?！?2也小，求北的最小值.

17.為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”政策，某村在對口幫扶單位的支持下擬建一個生產(chǎn)農(nóng)機(jī)產(chǎn)品的小

型加工廠.經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)該農(nóng)機(jī)產(chǎn)品當(dāng)年需投入固定成本10萬元，每年需另投入流動

成本c（x）（萬元）與ln^成正比（其中x（臺）表示產(chǎn)量），并知當(dāng)生產(chǎn)20臺該產(chǎn)品時，

需要流動成本ln2萬元，每件產(chǎn)品的售價。（x）與產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系為

P（x）=--^-+—+|^（萬元）（其中尤》10）?記當(dāng)年銷售該產(chǎn)品“臺獲得的利潤（禾!|潤=銷

售收入-生產(chǎn)成本）為了（X）萬元.

⑴求函數(shù)/（X）的解析式；

（2）當(dāng)產(chǎn)量x為何值時，該工廠的年利潤/'（x）最大？最大利潤是多少？（結(jié)果精確到0.1）

18.已知數(shù)列｛%｝滿足外出。3…。"一。=——7-

（1）求數(shù)列｛6｝的通項公式；

（2）令設(shè)數(shù)列但｝的前〃項和為可，若不等式22-S,,“2+!對恒成立,

“2"2

求實數(shù)X的取值范圍.

19.已知函數(shù)f（x]=mx+——>0）.

x

（1）當(dāng)加=1時，求函數(shù)/（尤）在（1J。））處的切線方程；

⑵若〃x）Z21nx-2在[1,+動上恒成立，求實數(shù)加的取值范圍；

（3）證明：D（及+1）+方〃2R￡N*）.

試卷第4頁，共4頁

《山東省日照神州天立高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案DDBCBBADABDAD

題號11

答案BCD

1.D

【分析】由等差數(shù)列求和公式基本量的計算即可得解.

939

【詳解】若。2=3,S2="則3+—=不，解得9=2,符合題意.

一2q2

故選：D.

2.D

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定/(X)的極值點、單調(diào)區(qū)間、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，進(jìn)而判斷各

選項的正誤.

【詳解】由導(dǎo)函數(shù)了=/'(無)的部分圖象可得，

當(dāng)一2<x<-l或2<x<4時，/f(x)<0,當(dāng)一l<x<2或4c尤<5時，/f(x)>0,

所以函數(shù)在(-2,-1),(2,4)上單調(diào)遞減，在(-1,2),(4,5)上單調(diào)遞增，

所以/'(可在區(qū)間(-2,5)內(nèi)有3個極值點，故BC錯誤；

所以故A錯誤；

曲線N=〃x)在x=0處的切線的斜率為/''(0)>0,故D正確.

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷A、B、D,利用導(dǎo)數(shù)判斷C選項的單調(diào)性.

【詳解】對于A：/(x)=&在定義域［0,+s)上單調(diào)遞增，故A錯誤；

對于B：/(x)=er=1J在定義域R上單調(diào)遞減，故B正確；

對于C：/(x)=x+1,則/'(x)=T=(x+*7),

當(dāng)xe(l,+⑹時廣(x)>0,所以=x+：在(1,+s)上單調(diào)遞增，故C錯誤；

對于D：/卜)=1"在定義域(0,+/)上單調(diào)遞增，故D錯誤.

答案第1頁，共14頁

故選：B

4.C

【分析】根據(jù)給定條件，利用分組求和法計算即得.

【詳解】數(shù)列｛%｝中，a?=(-l)"(2?-l),貝！J%-+%,=-(4"-3)+(4-1)=2,

所以Si。1=50x2+%。］=100-201=-101

故選：C

5.B

【分析】把三個數(shù)值看成三個斜率，即可用數(shù)形結(jié)合比較大小.

【詳解】設(shè)點/(3,〃3)),8(4,7(4))

則可以把a(bǔ)=八4)-3)看成/(3,〃3)),5(4,7(4))兩點的斜率勺,

把b=/'(3)看成曲線在點/(3,/(3))的切線斜率k2,

把。(4)看成曲線在點8(4,〃4))的切線斜率左3，

再作出圖形進(jìn)行數(shù)形結(jié)合分析:

即6<Q<C.

故選：B.

6.B

【分析】先由取極值的必要條件求出參數(shù)，然后回過頭去檢驗是否滿足題意即可.

【詳解】由題意，函數(shù)/⑺二/+爾+樂+心可得y<x)=3x。+2ax+b,

f\o)=b=o

因為/(x)在x=0處取得極大值9,可得

〃0)=/=9'

答案第2頁，共14頁

a=3、a=-3

解得b=0或

b=0

檢驗知，當(dāng)a=3,b=0時，可得/''(x)=3x，+6x=3x(x+2),

當(dāng)-2<x<0時，r(x)=3x(x+2)<0,即/(x)在(一2,0)上單調(diào)遞減,

當(dāng)x>0時，/'(無)=3x(x+2)>0,即/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

所以/'(無)在x=0處取得極小值9,與題意矛盾，故。=3不符題意；

當(dāng)a=-3,6=0時，可得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),

當(dāng)x<0時，r(x)=3x(x-2)>0,即/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增,

當(dāng)0〈尤<2時，_f(x)=3x(x-2)<0,即/(尤)在(0,2)上單調(diào)遞減,

所以/'(無)在x=0處取得極大值9,故a=-3符合題意；

所以a+6=-3.

故選：B.

【點睛】方法點睛：1、求極值、最值時，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大小;

2、求函數(shù)最值時，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點就是最值點，要通過比較才能下結(jié)論；

3、函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點值進(jìn)行比較才能確定最值.

7.A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx-x+l,g(x)=e=x-l,即可比較a/的大小，構(gòu)造函數(shù)

/7(x)=lnx+J-l,即可比較。，。的大小，即可得解.

【詳解】令/(x)=lnx-x+l,貝==—,

XX

當(dāng)0<x<l時，/'(%)>0,當(dāng)X>1時,/r(x)<0,

所以函數(shù)/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

所以即+即Inl.lvg,

所以a=Ulnl.l<UxL

101010

令g(x)=e*-x-1,貝Ug<x)=e*-1,

答案第3頁，共14頁

當(dāng)%>0時，g'(x)>0,

所以函數(shù)g(%)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

所以g(O」)>g(O)=O,gpe01-0.1-1>0,即

所以6=1。/」、口，

101010

所以,

令〃(x)=lnx+，-l,則3二三^,

xxxx

當(dāng)0<x<l時，<0,當(dāng)x>l時，/zf(x)>0,

所以函數(shù)M%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以端>〃⑴=0

gpin—+--1>0即

10111011

所以UlnU>Ux，=

—,即。>C,

1010101110

綜上所述6>a〉c.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx—x+l,g(x)=eA-x-l,〃(x)=lnx+：-1,

是解決本題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】當(dāng)x>0時，構(gòu)造函數(shù)尸(x)="，求導(dǎo)結(jié)合已知得其單調(diào)性，進(jìn)而可得當(dāng)0<x<l

時，/(x)<0,當(dāng)尤>1時，/(x)>0,結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可進(jìn)一步得解.

【詳解】當(dāng)x>0時，令尸(x)=?,則尸，所以尸(x)在(0,+s)上

單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<l時，F(xiàn)(x)=^<F(l)=/(l)=O,即/(x)<0,

當(dāng)x>l時，F(xiàn)(x)=^-^>F(1)=/(1)=O,即/'(x)>0,

因為函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(。)=0,/(-1)=一/(1)=0=/(1)，

答案第4頁，共14頁

所以當(dāng)x<-l時，Wx)<0,當(dāng)以<x<0時,/(x)=-/(-x)>0,

所以不等式/(x)>0的解集為(T0)U(1,+S).

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)尸(x)=」?,x>0,利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，從而即

可順利得解.

9.ABD

【分析】運(yùn)用函數(shù)乘除的導(dǎo)數(shù)可以判斷A、C,B、D用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則判斷即可.

【詳解】對于A,(xe、)'=ex+xe',故A對.

t1-I1-1

對于B,()=[(x+1)2r=-(x+ip=-^=，故B對.

\722jx+l

對于C(sinxA_cosxcosx-sinx(-sinx)_1故?儼

'Icosx)cos2xcos2x'

對于D,[lg(2x)]=x2=，^,故D對.

L：

」2xIn10xlnlO

綜上所得，正確的是：ABD.

故選:ABD.

10.AD

【分析】根據(jù)題意得。3=見+”,"+|=22+4,再利用裂項相消法可求出S“，T.,然后逐

個分析判斷.

【詳解】由于每一個白圈產(chǎn)生下一行的1白1黑兩個圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的1個白圈2

個黑圈，第"行白圈的個數(shù)為4,,黑圈的個數(shù)為“,

所以an+l=an+bn,bn+l=2bn+an,所以B錯誤,

所以由q=1,4=0,得。2=1也=1，%=2也=3,a4=a3+b3=5,所以A正確,

因為%+i=%+4，所以bn=an+x-an,

a

所以<=4+方2+63----------=@2)+33)■1----------)=。"V~\，

因為"+|=2"+。“，所以%=〃+[-24，

所以S,=4+%■1-----卜a.=(瓦-2bj+(b3-2Z>2)H------F(b*x-2b)

答案第5頁，共14頁

=2+i_(4+打+…+6")=2+1

b

所以S"+1=n+l，所以邑024+4)24=既25，所以D正確，

因為an+i=an+bn,bn+l=2bn+an,所以bn+l-an+l=bn,

因為S.+北=4+i，Tn=a?+I-l,所以S”=&i-%+i+1=4+1,

所以星024=62024+1，所以C錯誤,

故選：AD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，考查裂項相消法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)

題意求得遞推式，考查推理能力和計算能力，屬于較難題.

11.BCD

【分析】對于A,由%=0即可舉出反例，對于B,首先得%=4,利用作差法即可判斷;

2—1

對于CD,利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.

【詳解】對于A,%=火|/)刈°)=°C=「T故A錯誤;

所以竟是既約分?jǐn)?shù)，所以

對于B,當(dāng)〃N2時，2"—2,2"—1是相鄰的偶數(shù)和奇數(shù),

(2"-2]1

a=R

nT-\

、_____1_______1_2〃+i

a

所以“及+1"鞏+22"+]—]2〃+2—](2*1—1)(2〃+2—1)〉，即n+l>%+2，故B正確;

對于C，當(dāng)〃=1時,￡（2'〃M+I）=231〃2二三一ynr

若當(dāng)"=左，（八1）時，￡（2’%,+1）=；-；成立，

/=13乙—1

貝U〃=左+1時，

女+1i111

￡(2a%+J=a+2也

k+i2%+1-12H2一1

i=i32-l

12k+2-l-2k+i12k+i-l

3-(2^+1-1)(2"+2-1)-3-(2k+i-1)(2^+2-1)

故C正確;

2

對于D,當(dāng)〃=1時，ax=0<l----

答案第6頁，共14頁

若當(dāng)〃=匕（左上1,左eN*）時，之4VI一片成立，

z=lK+1

"121

貝[）〃=左+1時，,

z=ik+12-1

k+\?

要使?v'lZT

而（i---）-（1-^-）=—.........-=——---------,-<——--------<1,

k+2k+Yk+lk+2（左+1）（斤+2）3（左+1）（左+2）

只需（左+1）（左+2）―2/+|-420,只需（萬+]）（左+2）%"/，顯然21一1>0,

故只需如土竽0V2川_1,

當(dāng)上=1時，該式子為343,顯然成立，

若當(dāng)左=p,（p21）時，有5+1：P+2）L2PM_1,

當(dāng)先=〃+1時，（P+2?+3）_僅"）+1_1）=（0+2）+3）_2.2尸|+1

（p+2）（p+3）J（P+l）（P+2）uLi

2L2

=5+2）。-嘰上。,

2

從而對任意正整數(shù)上均有‘+1"+2）<2^-1,

2

?2

綜上所述，1>卡1——7,故D正確.

MM+1

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：再利用數(shù)學(xué)歸納法以及分析法可知只需證明對任意正整數(shù)左均有

（左+吁+2）《成立即可，再次利用數(shù)學(xué)歸納法即可順利得解.

2

12.1

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意/（0）=2,計算可得.

【詳解】因為/'（x）=（/+辦+1卜*,所以/<x）=[x2+（2+a）x+l+a]e*,

依題意可得了'（0）=2,gp/,（0）=[02+（2+a）x0+l+?]e°=2,解得a=l.

故答案為：1

13.12

【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列基本量的計算、等差數(shù)列的性質(zhì)得g=3%-2&,進(jìn)一步結(jié)合

等差數(shù)列基本量的計算列方程即可求解.

答案第7頁，共14頁

【詳解】設(shè){見}的首項、公差分另4為q”，貝1^^^=15%=5(%+4+外)=5(24+紇)，

所以W=3%-26=3(%+7d)-2(4+5d)=々+lld=%+(左-l)d,

因為dwO,所以左=12.

故答案為：12.

(A)?/1)「ln5ln211

14.{0}%,+對[T,VJ

【分析】利用導(dǎo)數(shù)，確定八尤)的單調(diào)區(qū)間及最值，作出圖象，由g(x)=0可得/(x)=o或

/(%)=a,再根據(jù)g(x)只有一個零點，結(jié)合f(x)的圖象求解,即可得第一空答案；由g(x)>0,

可得/(x)[〃x)-“]>0,分。>0,。=0,。<0,結(jié)合題意和“X)的圖象求解，即可得第二空

答案.

【詳解】/(x)=^,x>0,尸(無)=三”，

當(dāng)xe(O,e)時,/'(力>0,/(尤)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(e,+8)時,/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減;

⑴=0；當(dāng)0<x<l時，/(x)<0；當(dāng)尤>1時，/(x)>0/(x)=/(e)=-.

;maxe

據(jù)此可作出了(X)圖象如圖所示：

令g(X)=f2(x)-o/'(x)=0,則/(x)=0或/(x)=a,

由/(x)=0,可得x=l；

又??,g(x)=0只有一個零點，，/(x)=。無解，或a=0,

a>-,或a=0,

e

???0的取值范圍是｛0｝口(：,+8).

令g(x)>0，則

答案第8頁，共14頁

①當(dāng)a>0時，貝i]/(x)<0或/(x)>a,

由/（尤）＜0,可得0〈尤＜1,無整數(shù)解，。中有3個整數(shù)解,

結(jié)合/'（x）的圖象可知此三個整數(shù)解為2,3,4,

???〃2)=”3)號,〃4)=/=*〃2),〃5)警，

In5In2

??----<a<---；

52

②當(dāng)a=0時，g(x)=/2(尤),

由g（x）＞0,得xwl,不滿足題意;

③當(dāng)a＜0時，由g（尤）＞0,得/（無）＜a或/（尤）＞0,

：/（x）＜。的解集中無整數(shù)，/（x）＞0的解集中有若干個整數(shù)，不滿足題意；

綜上，。的取值范圍為丁，墨）?

j-LAA.da（1、「ln5In2A

故答案為：{0}u|j,+8j；J.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的第一空的關(guān)鍵是采用整體法，解出/'（x）=a或0,再利用導(dǎo)數(shù)

得出/（無）的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象即可得到。的范圍.

15.⑴單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)/（x）單調(diào)遞增區(qū)間為；,+[.極小值為O：+吟

無極大值；

3

（2）最小值為-+ln2，最大值為2.

【分析】（1）求導(dǎo)，得到/'（X）,令/''（xbo得,x=g或x=7（舍去），將定義域分成幾段考慮

導(dǎo)數(shù)正負(fù),得出單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性，得到函數(shù)/（x）的極值.

（2）與（1）方法相同（只是定義域發(fā)生改變），求出極值后再與端點值比較即可得到最值.

【詳解】（1）函數(shù)/（x）的定義域為（0,+8）,

f'(x)=2x+1--=2x2+x-](2x-l)(x+l)

XXx

令/'（x）=0得,x=g或尤=一1（舍去），

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當(dāng)0<x<g時,/'（無）<0,函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)時J'（x）>0,函數(shù)/（X）單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/（x）單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)〃x）單調(diào)遞增區(qū)間為g,+j.

函數(shù)〃x）的極小值為/（，=[+ln2,無極大值.

（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增，

所以/[1）=1+出2，/[1]=4+工+1，/（1）=2,

\2j4Jee

又因為”1）>,：],所以函數(shù)/'（X）在區(qū)間1,1的最小值為：+ln2,最大值為2.

16.（l）a?=-?-1（?eN*）

（2）2

【分析】（1）由等差數(shù)列及其前〃項和基本量的計算即可列方程組求解首項、公差，進(jìn)而得

解；

（2）由（1）中結(jié)論結(jié)合累乘法得數(shù)列｛￡｝的通項公式，通過裂項法得方的表達(dá)式說明7；單

調(diào)遞增，或由4“用>0也可說明北單調(diào)遞增，進(jìn)而得解.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項為。一公差為人

5%+10(7=8。］+4d

由S5=4S2，%,=24+1,得

ax+(2〃-l)d=2%+2(〃-l)d+1'

解得：a\——=—1,所以a,二一2-(〃—1)=—〃—1(/I￡N*).

（2）方法一：由（1）得a,,

ban_-n-\n+\

由題思G

%+2-?-3〃+3

nn-\n-2432.

b=——x—x???x—xA=-------x-------x-------x---x—x—x—x2

nbb.h1n+2n+1n-----654

n-1}n-21

7~—7=121」....-Y?>2,?eN*

答案第10頁，共14頁

而上關(guān)于"單調(diào)遞減，從而一一二關(guān)于"單調(diào)遞增,

n+2n+2

所以北=12t-」]關(guān)于“也是單調(diào)遞增，

[2n+2)

所以當(dāng)”=1時，〈的最小值為4=12(；-白卜2；

方法二：由(1)得a“N*),

〃+ln+1

由題意HGN=

a一〃一3〃+3

b”n+2

bb.nn-1n-2432

_?_^L±X---X

bn=X—x-----x-------x---x—x—x—x2

如b?-2b,n+2w+ln654

1211

=12nN2,ne

++2)n+\n+2

f------------]>0(〃GN*

從而a=12

n+2)'

又了—e>0,所以7；單調(diào)遞增,

所以北的最小值為(=4=2.

2

17.(1)/(%)二———x+—x-ln—(x>10,xGN*)

17v71005010v)

(2)50臺，24.4萬元

【分析】(1)先通過待定系數(shù)法求解出。(%)與In木的關(guān)系，然后根據(jù)利潤定義表示出/(x)

即可；

(2)利用導(dǎo)數(shù)分析/("的單調(diào)性，從而可求/(%)的最大值以及對應(yīng)》的值.

【詳解】(1)設(shè)。0)=左加元，代入20可得左In2=ln2,所以左=1,

所以/=--10=———x2+—x-ln—,

v7v7101005010

2

所以〃%)=———x+—x-ln—(x>10,xGN*)

7v71005010v7

(2)因為/(%)=———x2+—x-ln—(x>10,xeN*),

v71005010v7

11,51.(1)(%-50)

所以/'(%)=—---x----------1-------------------------------------------------------

50x5050%

當(dāng)xe[10,50)時，/\x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)j?50,+8)時,/r(x)<0,/(%)單調(diào)遞減,

答案第11頁，共14頁

所以/(x)=/(50)=_^^+2x50_ln型=26_ln5w24.4萬元，

7v7maxv,1005010

所以當(dāng)x=50時有最大利潤為24.4萬元.

n

18.(1)??=-

n+\

7

1〃

【分析】(1)〃22時，有2a3…。1=—，將它與已知式子相比可得。”=—；，檢驗”=1

是否滿足該式子即可得解；

(2)先通過分組求和、等比數(shù)列求和公式得S'="￡+l,然后對小2"-5"2"2+5分離

參數(shù)得不等式力2止?fàn)t對V〃eN*恒成立，從而只需求出c'=+1的最大值即可得

解.

【詳解】(1)因為…。”-避”

n+\

所以〃22時，…?！ㄒ?=一，

n

Yl

所以當(dāng)〃22時，an=-----,

H+1

又％=(滿足上式，

所以?！庇?/p>

,-12W+1,1

(2)由⑴知"=工=丫=1+h

所以S,=4+&+&+…+4=(i+g]+[i+g[+…+[+

111

(111)2-2WX21

(222V)」(T)2〃

2

所以2.2"-1"+1-1卜/+J,

即不等式;I>二對eN*恒成立，

2"

/+〃+1_(w+l)2+(w+l)+ln2+n+l_-7i2+n+l

令

2、n+ir)n+lr\n<)〃+l

令〃=1,可得

答案第12頁，共14頁

當(dāng)“22時，-/?+7?+1<0,止匕時C"+1-C"<0,即止匕時有C2>C3>C4>-->C\T>C.，

77

數(shù)列｛g｝的最大項為Q=:,所以42、.

19.(l)2x-y-4=0

⑵[1,+co);

(3)證明見解析

【分析】(1)只需分別求出的值即可求解；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(%)-21nx+2,原題條件等價于g(x)20在[1,+8)上恒成立，求得

m(x-l)Ji

m,從而分加是否小于1進(jìn)行討論即可求解.

g'(x)=-I--